ChemistryQ51–100 of 212 questions
Page 2 of 4 · Gujarati
51
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $z-2-3i$ નો કંપવિસ્તાર (amplitude) $\frac{\pi}{4}$ હોય,તો $z=x+iy$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
$x-y+1=0$
B
$x-y-1=0$
C
$x+y-1=0$
D
$x+y+1=0$
Solution
(A) આપેલ છે કે $z = x + iy$,તેથી $z - 2 - 3i = (x - 2) + i(y - 3)$.
$z - 2 - 3i$ નો કંપવિસ્તાર $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\arg((x - 2) + i(y - 3)) = \frac{\pi}{4}$.
આથી $\tan^{-1}\left(\frac{y - 3}{x - 2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\frac{y - 3}{x - 2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
તેથી,$y - 3 = x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $x - y + 1 = 0$ થાય છે.
$z - 2 - 3i$ નો કંપવિસ્તાર $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\arg((x - 2) + i(y - 3)) = \frac{\pi}{4}$.
આથી $\tan^{-1}\left(\frac{y - 3}{x - 2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\frac{y - 3}{x - 2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
તેથી,$y - 3 = x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $x - y + 1 = 0$ થાય છે.
0 likesView Solution
52
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
પાણીનો બલ્ક મોડ્યુલસ $2 \times 10^9 \ N/m^2$ છે. પાણીના કદમાં $0.1 \%$ નો વધારો કરવા માટે જરૂરી દબાણ $N/m^2$ માં કેટલું હશે?
A
$2 \times 10^9$
B
$2 \times 10^0$
C
$2 \times 10^6$
D
$2 \times 10^4$
Solution
(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ નું સૂત્ર $K = -\frac{p}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $p$ એ દબાણમાં ફેરફાર છે અને $\Delta V/V$ એ કદ વિકૃતિ છે.
અહીં કદમાં વધારો થાય છે,તેથી દબાણનો ફેરફાર $p$ એ ઋણ દબાણ (તણાવ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલ છે: $K = 2 \times 10^9 \ N/m^2$ અને $\frac{\Delta V}{V} = 0.1 \% = 0.1 / 100 = 10^{-3}$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $2 \times 10^9 = \frac{p}{10^{-3}}$.
તેથી,$p = 2 \times 10^9 \times 10^{-3} = 2 \times 10^6 \ N/m^2$.
અહીં કદમાં વધારો થાય છે,તેથી દબાણનો ફેરફાર $p$ એ ઋણ દબાણ (તણાવ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલ છે: $K = 2 \times 10^9 \ N/m^2$ અને $\frac{\Delta V}{V} = 0.1 \% = 0.1 / 100 = 10^{-3}$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $2 \times 10^9 = \frac{p}{10^{-3}}$.
તેથી,$p = 2 \times 10^9 \times 10^{-3} = 2 \times 10^6 \ N/m^2$.
0 likesView Solution
53
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિના સમીકરણો $x = 36 t$ મીટર અને $2 y = 96 t - 9.8 t^2$ મીટર દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે. પ્રક્ષિપ્ત કોણ કેટલો હશે?
A
$\sin^{-1}(\frac{4}{5})$
B
$\sin^{-1}(\frac{3}{5})$
C
$\sin^{-1}(\frac{4}{3})$
D
$\sin^{-1}(\frac{3}{4})$
Solution
(A) આપેલા સમીકરણો $x = 36 t$ અને $2 y = 96 t - 9.8 t^2$ છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $y = 48 t - 4.9 t^2$ મળે છે.
આને પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણો $x = (u \cos \theta) t$ અને $y = (u \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2$ સાથે સરખાવતા:
આપણને $u \cos \theta = 36$ અને $u \sin \theta = 48$ મળે છે.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ શોધવા માટે,આપણે $\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ ગણીએ છીએ.
$\tan \theta = \frac{4}{3}$ હોવાથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $4$ અને પાસેની બાજુ $3$ છે. કર્ણ $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{4}{5}$.
આમ,$\theta = \sin^{-1}(\frac{4}{5})$.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $y = 48 t - 4.9 t^2$ મળે છે.
આને પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણો $x = (u \cos \theta) t$ અને $y = (u \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2$ સાથે સરખાવતા:
આપણને $u \cos \theta = 36$ અને $u \sin \theta = 48$ મળે છે.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ શોધવા માટે,આપણે $\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ ગણીએ છીએ.
$\tan \theta = \frac{4}{3}$ હોવાથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $4$ અને પાસેની બાજુ $3$ છે. કર્ણ $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{4}{5}$.
આમ,$\theta = \sin^{-1}(\frac{4}{5})$.
0 likesView Solution
54
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
એક પદાર્થને હલકા ઉર્ધ્વ સ્પ્રિંગના નીચેના છેડે લટકાવવામાં આવે છે અને તેને દોલિત કરવામાં આવે છે. પદાર્થની મહત્તમ ઝડપ $15 ~cm/s$ છે અને આવર્તકાળ $628 ~ms$ છે. ગતિનો કંપવિસ્તાર $cm$ માં કેટલો હશે?
A
$3$
B
$2$
C
$1.5$
D
$1$
Solution
(C) આપેલ છે: મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = 15 ~cm/s$ અને આવર્તકાળ $T = 628 ~ms = 0.628 ~s$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,મહત્તમ ઝડપનું સૂત્ર $v_{\max} = A\omega$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
સૂત્રમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $v_{\max} = A \times \frac{2\pi}{T}$.
કંપવિસ્તાર $A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $A = \frac{v_{\max} \times T}{2\pi}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{15 ~cm/s \times 0.628 ~s}{2 \times 3.14}$.
$A = \frac{15 \times 0.628}{6.28} ~cm$.
$A = \frac{15 \times 0.628}{10 \times 0.628} ~cm = 1.5 ~cm$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,મહત્તમ ઝડપનું સૂત્ર $v_{\max} = A\omega$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
સૂત્રમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $v_{\max} = A \times \frac{2\pi}{T}$.
કંપવિસ્તાર $A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $A = \frac{v_{\max} \times T}{2\pi}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{15 ~cm/s \times 0.628 ~s}{2 \times 3.14}$.
$A = \frac{15 \times 0.628}{6.28} ~cm$.
$A = \frac{15 \times 0.628}{10 \times 0.628} ~cm = 1.5 ~cm$.
0 likesView Solution
55
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જ્યારે $1.0 ~kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થને શિરોલંબ લટકાવેલી હલકી સ્પ્રિંગ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈમાં $5 ~cm$ નો વધારો થાય છે. જો $2.0 ~kg$ નો બ્લોક સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવીને તેને $10 ~cm$ જેટલો ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે,તો તેનો મહત્તમ વેગ $m/s$ માં કેટલો હશે? (ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $= 10 ~m/s^2$)
A
$0.5$
B
$1$
C
$2$
D
$4$
Solution
(B) આપેલ છે: દળ $m_1 = 1.0 ~kg$,લંબાઈમાં વધારો $l_1 = 5 ~cm = 0.05 ~m$.
હૂકના નિયમ મુજબ,$m_1 g = k l_1$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
$k = \frac{m_1 g}{l_1} = \frac{1.0 \times 10}{0.05} = 200 ~N/m$.
હવે,$m_2 = 2.0 ~kg$ દળ ધરાવતા બ્લોક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\omega = \sqrt{\frac{200}{2.0}} = \sqrt{100} = 10 ~rad/s$.
બ્લોકને $A = 10 ~cm = 0.1 ~m$ જેટલો ખેંચવામાં આવે છે,જે સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર છે.
મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega$ દ્વારા મળે છે.
$v_{\max} = 0.1 ~m \times 10 ~rad/s = 1 ~m/s$.
હૂકના નિયમ મુજબ,$m_1 g = k l_1$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
$k = \frac{m_1 g}{l_1} = \frac{1.0 \times 10}{0.05} = 200 ~N/m$.
હવે,$m_2 = 2.0 ~kg$ દળ ધરાવતા બ્લોક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\omega = \sqrt{\frac{200}{2.0}} = \sqrt{100} = 10 ~rad/s$.
બ્લોકને $A = 10 ~cm = 0.1 ~m$ જેટલો ખેંચવામાં આવે છે,જે સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર છે.
મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega$ દ્વારા મળે છે.
$v_{\max} = 0.1 ~m \times 10 ~rad/s = 1 ~m/s$.
0 likesView Solution
56
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
એક વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં બે સમાન ગજિયા ચુંબકો એકબીજા પર એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે કે તેઓ એકબીજાને લંબ છે અને દુભાગે છે. આડા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલનનો સમયગાળો $2^{5/4} \ s$ છે. જો એક ચુંબક દૂર કરવામાં આવે અને બીજો ચુંબક સમાન ક્ષેત્રમાં દોલન કરે,તો સેકન્ડમાં સમયગાળો કેટલો હશે?
A
$2^{1/4}$
B
$2^{1/2}$
C
$2$
D
$2^{5/4}$
Solution
(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,બે સમાન ચુંબકો એકબીજાને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે છે,તેથી કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{total} = I + I = 2I$ અને પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ થાય છે.
આમ,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{M\sqrt{2}H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 2^{5/4} \ s$,તેથી $2^{5/4} = 2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}} \dots (i)$.
જ્યારે એક ચુંબક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે એક ચુંબક માટે સમયગાળો $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}} \dots (ii)$ થાય છે.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}}}{2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}} = \sqrt{\sqrt{2}} = (2^{1/2})^{1/2} = 2^{1/4}$.
તેથી,$T_2 = \frac{T_1}{2^{1/4}} = \frac{2^{5/4}}{2^{1/4}} = 2^{5/4 - 1/4} = 2^1 = 2 \ s$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,બે સમાન ચુંબકો એકબીજાને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે છે,તેથી કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{total} = I + I = 2I$ અને પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ થાય છે.
આમ,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{M\sqrt{2}H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 2^{5/4} \ s$,તેથી $2^{5/4} = 2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}} \dots (i)$.
જ્યારે એક ચુંબક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે એક ચુંબક માટે સમયગાળો $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}} \dots (ii)$ થાય છે.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{I\sqrt{2}}{MH}}}{2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}} = \sqrt{\sqrt{2}} = (2^{1/2})^{1/2} = 2^{1/4}$.
તેથી,$T_2 = \frac{T_1}{2^{1/4}} = \frac{2^{5/4}}{2^{1/4}} = 2^{5/4 - 1/4} = 2^1 = 2 \ s$.
0 likesView Solution
57
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
નાઈટ્રોજનના બે ઓક્સાઈડ,$NO$ અને $NO_2$,$253 \ K$ તાપમાને એકબીજા સાથે પ્રક્રિયા કરીને નાઈટ્રોજનનો સંયોજન $X$ બનાવે છે. $X$ પાણી સાથે પ્રક્રિયા કરીને નાઈટ્રોજનનું બીજું સંયોજન $Y$ આપે છે. $Y$ અણુના ઋણાયનનો આકાર શું છે?
A
ચતુષ્ફલકીય
B
ત્રિકોણીય સમતલીય
C
ચોરસ સમતલીય
D
પિરામિડલ
Solution
(B) $NO + NO_2 \xrightarrow{253 \ K} N_2O_3$ (સંયોજન $X$)
$N_2O_3 + H_2O \rightarrow 2HNO_2$ (સંયોજન $Y$)
$HNO_2$ નો ઋણાયન $NO_2^-$ છે.
$NO_2^-$ માં,નાઈટ્રોજન પરમાણુ એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ સાથે $sp^2$ સંકરણ ધરાવે છે,જેનો આકાર વળેલો (bent) હોય છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પોમાં,ઇલેક્ટ્રોન ડોમેનની ભૂમિતિ ત્રિકોણીય સમતલીય છે,જે $NO_2^-$ આયન માટે પ્રમાણિત વર્ણન છે.
$N_2O_3 + H_2O \rightarrow 2HNO_2$ (સંયોજન $Y$)
$HNO_2$ નો ઋણાયન $NO_2^-$ છે.
$NO_2^-$ માં,નાઈટ્રોજન પરમાણુ એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ સાથે $sp^2$ સંકરણ ધરાવે છે,જેનો આકાર વળેલો (bent) હોય છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પોમાં,ઇલેક્ટ્રોન ડોમેનની ભૂમિતિ ત્રિકોણીય સમતલીય છે,જે $NO_2^-$ આયન માટે પ્રમાણિત વર્ણન છે.
0 likesView Solution
58
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$50 \% H_2SO_4$ ના જલીય દ્રાવણનું પ્લેટિનમ ઇલેક્ટ્રોડનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતવિભાજન કરવામાં આવે ત્યારે એનોડ પર મળતી નીપજ કઈ છે?
A
$H_2SO_3$
B
$H_2S_2O_8$
C
$O_2$
D
$H_2$
Solution
(B) પ્લેટિનમ ઇલેક્ટ્રોડનો ઉપયોગ કરીને $50 \% H_2SO_4$ ના વિદ્યુતવિભાજન દરમિયાન,નીચે મુજબની પ્રક્રિયાઓ થાય છે:
કેથોડ પર: $2H^+ + 2e^- \longrightarrow H_2$
એનોડ પર: $2HSO_4^- \longrightarrow H_2S_2O_8 + 2e^-$
એનોડ પર મળતી નીપજ પેરોક્સિડાયસલ્ફ્યુરિક એસિડ $(H_2S_2O_8)$ છે,જેને માર્શલ એસિડ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
કેથોડ પર: $2H^+ + 2e^- \longrightarrow H_2$
એનોડ પર: $2HSO_4^- \longrightarrow H_2S_2O_8 + 2e^-$
એનોડ પર મળતી નીપજ પેરોક્સિડાયસલ્ફ્યુરિક એસિડ $(H_2S_2O_8)$ છે,જેને માર્શલ એસિડ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
0 likesView Solution
59
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
ધારો કે $l_1$ અને $l_2$ એ $P$ બિંદુએ છેદતી બે રેખાઓ છે. જો $A_1, B_1, C_1$ એ $l_1$ પરના બિંદુઓ હોય,અને $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2$ એ $l_2$ પરના બિંદુઓ હોય,અને જો આમાંથી કોઈ પણ $P$ સાથે સંપાતી ન હોય,તો આ આઠ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$56$
B
$55$
C
$46$
D
$45$
Solution
(D) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણને $3$ અસમરેખ બિંદુઓની જરૂર છે. કુલ બિંદુઓ $8$ છે ($P$ ને બાદ કરતાં).
કિસ્સો $1$: $P$ બિંદુનો સમાવેશ કરતા ત્રિકોણ.
$P$ સાથે ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $l_1$ માંથી એક બિંદુ અને $l_2$ માંથી એક બિંદુ પસંદ કરવું આવશ્યક છે.
રીતોની સંખ્યા = $^3C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 5 = 15$.
કિસ્સો $2$: $P$ બિંદુનો સમાવેશ ન કરતા ત્રિકોણ.
આપણે $l_1$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $l_2$ માંથી $1$ બિંદુ,અથવા $l_1$ માંથી $1$ બિંદુ અને $l_2$ માંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ.
રીતોની સંખ્યા = $(^3C_2 \times ^5C_1) + (^3C_1 \times ^5C_2) = (3 \times 5) + (3 \times 10) = 15 + 30 = 45$.
કુલ ત્રિકોણની સંખ્યા = $15 + 30 = 45$.
કિસ્સો $1$: $P$ બિંદુનો સમાવેશ કરતા ત્રિકોણ.
$P$ સાથે ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $l_1$ માંથી એક બિંદુ અને $l_2$ માંથી એક બિંદુ પસંદ કરવું આવશ્યક છે.
રીતોની સંખ્યા = $^3C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 5 = 15$.
કિસ્સો $2$: $P$ બિંદુનો સમાવેશ ન કરતા ત્રિકોણ.
આપણે $l_1$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $l_2$ માંથી $1$ બિંદુ,અથવા $l_1$ માંથી $1$ બિંદુ અને $l_2$ માંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ.
રીતોની સંખ્યા = $(^3C_2 \times ^5C_1) + (^3C_1 \times ^5C_2) = (3 \times 5) + (3 \times 10) = 15 + 30 = 45$.
કુલ ત્રિકોણની સંખ્યા = $15 + 30 = 45$.
0 likesView Solution
60
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
સમતલમાં $y=x+r$ અને $y=-x+r$ દ્વારા આપવામાં આવેલી ચૌદ રેખાઓ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે. આ રેખાઓ દ્વારા બનતા ચોરસની સંખ્યા,જેની બાજુઓની લંબાઈ $\sqrt{2}$ છે,તે છે:
A
$9$
B
$16$
C
$25$
D
$36$
Solution
(C) રેખાઓ $y=x+r$ અને $y=-x+r$ દ્વારા આપવામાં આવી છે જ્યાં $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
આ રેખાઓ ચોરસની ગ્રીડ બનાવે છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $\sqrt{2}$ હોવા માટે,બે ક્રમિક સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{2}$ હોવું જોઈએ.
બે સમાંતર રેખાઓ $y=x+r_1$ અને $y=x+r_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|r_1 - r_2|}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d = \sqrt{2}$ લેતા,આપણને $|r_1 - r_2| = 2$ મળે છે.
$r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણ માટે,$2$ નો તફાવત ધરાવતી જોડીઓ $(r_1, r_2)$ એ $(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)$ છે.
$y=x+r$ રેખાઓ માટે આવી $5$ જોડીઓ અને $y=-x+r$ રેખાઓ માટે આવી $5$ જોડીઓ છે.
બનતા ચોરસની કુલ સંખ્યા દરેક દિશામાં $2$ લંબાઈના અંતરાલોનો ગુણાકાર છે,જે $5 \times 5 = 25$ છે.
આ રેખાઓ ચોરસની ગ્રીડ બનાવે છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $\sqrt{2}$ હોવા માટે,બે ક્રમિક સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{2}$ હોવું જોઈએ.
બે સમાંતર રેખાઓ $y=x+r_1$ અને $y=x+r_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|r_1 - r_2|}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d = \sqrt{2}$ લેતા,આપણને $|r_1 - r_2| = 2$ મળે છે.
$r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણ માટે,$2$ નો તફાવત ધરાવતી જોડીઓ $(r_1, r_2)$ એ $(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)$ છે.
$y=x+r$ રેખાઓ માટે આવી $5$ જોડીઓ અને $y=-x+r$ રેખાઓ માટે આવી $5$ જોડીઓ છે.
બનતા ચોરસની કુલ સંખ્યા દરેક દિશામાં $2$ લંબાઈના અંતરાલોનો ગુણાકાર છે,જે $5 \times 5 = 25$ છે.
0 likesView Solution
61
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
વિધેય $f(\theta) = \sin \frac{\theta}{3} + \cos \frac{\theta}{2}$ નો આવર્તમાન (period) શોધો. ($pi$ માં)
A
$3$
B
$6$
C
$9$
D
$12$
Solution
(D) $\sin(a\theta)$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ છે અને $\cos(b\theta)$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|b|}$ છે.
$f(\theta) = \sin \frac{\theta}{3} + \cos \frac{\theta}{2}$ માટે,$\sin \frac{\theta}{3}$ નો આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ છે.
$\cos \frac{\theta}{2}$ નો આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
વિધેય $f(\theta)$ નો આવર્તમાન એ $T_1$ અને $T_2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
$LCM(6\pi, 4\pi) = 12\pi$.
તેથી,વિધેયનો આવર્તમાન $12\pi$ છે.
$f(\theta) = \sin \frac{\theta}{3} + \cos \frac{\theta}{2}$ માટે,$\sin \frac{\theta}{3}$ નો આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ છે.
$\cos \frac{\theta}{2}$ નો આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
વિધેય $f(\theta)$ નો આવર્તમાન એ $T_1$ અને $T_2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
$LCM(6\pi, 4\pi) = 12\pi$.
તેથી,વિધેયનો આવર્તમાન $12\pi$ છે.
0 likesView Solution
62
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો રેખાઓ $4x + 3y - 1 = 0$,$x - y + 5 = 0$ અને $kx + 5y - 3 = 0$ સંગામી હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(C) ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$
0 likesView Solution
63
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો રેખાઓ $4x + 3y - 1 = 0$,$x - y + 5 = 0$ અને $kx + 5y - 3 = 0$ સંગામી હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(C) આપેલ ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$
0 likesView Solution
64
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ $(H^2 > AB)$ દ્વારા આપવામાં આવેલી સીધી રેખાઓની જોડી $ax+by+c=0$ રેખા સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તો $(A+3B)(3A+B)$ ની કિંમત શું થાય?
A
$H^2$
B
$-H^2$
C
$2H^2$
D
$4H^2$
Solution
(D) રેખાઓની જોડી $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રેખાઓ અને $ax+by+c=0$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
$Ax^2+2Hxy+By^2=0$ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$\theta = 60^{\circ}$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
આમ,$\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3 = \frac{4(H^2-AB)}{(A+B)^2}$.
$3(A+B)^2 = 4H^2 - 4AB$.
$3(A^2+B^2+2AB) = 4H^2 - 4AB$.
$3A^2+3B^2+6AB = 4H^2 - 4AB$.
$3A^2+10AB+3B^2 = 4H^2$.
ડાબી બાજુના અવયવ પાડતા,$(3A+B)(A+3B) = 4H^2$ મળે છે.
આ રેખાઓ અને $ax+by+c=0$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
$Ax^2+2Hxy+By^2=0$ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$\theta = 60^{\circ}$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
આમ,$\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3 = \frac{4(H^2-AB)}{(A+B)^2}$.
$3(A+B)^2 = 4H^2 - 4AB$.
$3(A^2+B^2+2AB) = 4H^2 - 4AB$.
$3A^2+3B^2+6AB = 4H^2 - 4AB$.
$3A^2+10AB+3B^2 = 4H^2$.
ડાબી બાજુના અવયવ પાડતા,$(3A+B)(A+3B) = 4H^2$ મળે છે.
0 likesView Solution
65
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $5x - 12y + 10 = 0$ અને $12y - 5x + 16 = 0$ એ વર્તુળના બે સ્પર્શકો હોય,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા કેટલી થાય?
A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$6$
Solution
(A) આપેલ વર્તુળના બે સ્પર્શકો:
$5x - 12y + 10 = 0$ $\dots (i)$
$-5x + 12y + 16 = 0$ $\dots (ii)$
બંને રેખાઓનો ઢાળ $\frac{5}{12}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$a = 5, b = -12, c_1 = 10, c_2 = -16$.
વ્યાસ $D = \frac{|10 - (-16)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{26}{13} = 2$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$5x - 12y + 10 = 0$ $\dots (i)$
$-5x + 12y + 16 = 0$ $\dots (ii)$
બંને રેખાઓનો ઢાળ $\frac{5}{12}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$a = 5, b = -12, c_1 = 10, c_2 = -16$.
વ્યાસ $D = \frac{|10 - (-16)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{26}{13} = 2$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
0 likesView Solution
66
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો વર્તુળ $x^2+y^2+6x-2y+k=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+2x-6y-15=0$ ના પરિઘને દુભાગતું હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:
A
$21$
B
$-21$
C
$23$
D
$-23$
Solution
(D) આપેલ વર્તુળો:
$S_1 \equiv x^2+y^2+6x-2y+k=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2+2x-6y-15=0$
જ્યારે $S_1$ એ $S_2$ ના પરિઘને દુભાગે છે,ત્યારે સામાન્ય જીવા એ $S_2$ નો વ્યાસ બને છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે:
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$
$4x + 4y + k + 15 = 0$
વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, 3)$ છે.
સામાન્ય જીવા એ $S_2$ નો વ્યાસ હોવાથી,તે તેના કેન્દ્ર $(-1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(-1, 3)$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$
$-4 + 12 + k + 15 = 0$
$8 + k + 15 = 0$
$k + 23 = 0$
$k = -23$
$S_1 \equiv x^2+y^2+6x-2y+k=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2+2x-6y-15=0$
જ્યારે $S_1$ એ $S_2$ ના પરિઘને દુભાગે છે,ત્યારે સામાન્ય જીવા એ $S_2$ નો વ્યાસ બને છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે:
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$
$4x + 4y + k + 15 = 0$
વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, 3)$ છે.
સામાન્ય જીવા એ $S_2$ નો વ્યાસ હોવાથી,તે તેના કેન્દ્ર $(-1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(-1, 3)$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$
$-4 + 12 + k + 15 = 0$
$8 + k + 15 = 0$
$k + 23 = 0$
$k = -23$
0 likesView Solution
67
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો વર્તુળ $x^2+y^2+6x-2y+k=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+2x-6y-15=0$ ના પરિઘને દુભાગે,તો $k=$
A
$21$
B
-$21$
C
-$23$
D
$23$
Solution
(C) આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2+y^2+6x-2y+k=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-6y-15=0$
જો વર્તુળ $S_1$ એ વર્તુળ $S_2$ ના પરિઘને દુભાગે,તો $S_1$ અને $S_2$ ની સામાન્ય જીવા એ વર્તુળ $S_2$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$
$4x+4y+k+15 = 0$ ... $(i)$
વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, 3)$ છે.
સામાન્ય જીવા $(i)$ એ $(-1, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$
$-4 + 12 + k + 15 = 0$
$8 + k + 15 = 0$
$k + 23 = 0$
$k = -23$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
$S_1: x^2+y^2+6x-2y+k=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-6y-15=0$
જો વર્તુળ $S_1$ એ વર્તુળ $S_2$ ના પરિઘને દુભાગે,તો $S_1$ અને $S_2$ ની સામાન્ય જીવા એ વર્તુળ $S_2$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$
$4x+4y+k+15 = 0$ ... $(i)$
વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, 3)$ છે.
સામાન્ય જીવા $(i)$ એ $(-1, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$
$-4 + 12 + k + 15 = 0$
$8 + k + 15 = 0$
$k + 23 = 0$
$k = -23$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likesView Solution
68
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $P$ એક એવું બિંદુ હોય કે જેથી $P$ માંથી વર્તુળો $x^2+y^2+2x-4y-20=0$ અને $x^2+y^2-4x+2y-44=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈના વર્ગોનો ગુણોત્તર $2:3$ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર :
A
$(7,-8)$
B
$(-7,8)$
C
$(7,8)$
D
$(-7,-8)$
Solution
(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2+y^2+2x-4y-20=0$
$C_2: x^2+y^2-4x+2y-44=0$
બિંદુ $P(x, y)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $S_1 = x^2+y^2+2gx+2fy+c$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકોની લંબાઈના વર્ગો:
$T_1^2 = x^2+y^2+2x-4y-20$
$T_2^2 = x^2+y^2-4x+2y-44$
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{2}{3}$:
$\frac{x^2+y^2+2x-4y-20}{x^2+y^2-4x+2y-44} = \frac{2}{3}$
$3(x^2+y^2+2x-4y-20) = 2(x^2+y^2-4x+2y-44)$
$3x^2+3y^2+6x-12y-60 = 2x^2+2y^2-8x+4y-88$
$x^2+y^2+14x-16y+28 = 0$
આ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સ્વરૂપનું વર્તુળનું સમીકરણ છે,જ્યાં $2g=14$ અને $2f=-16$.
તેથી,$g=7$ અને $f=-8$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-7, 8)$ છે.
આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2+y^2+2x-4y-20=0$
$C_2: x^2+y^2-4x+2y-44=0$
બિંદુ $P(x, y)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $S_1 = x^2+y^2+2gx+2fy+c$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકોની લંબાઈના વર્ગો:
$T_1^2 = x^2+y^2+2x-4y-20$
$T_2^2 = x^2+y^2-4x+2y-44$
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{2}{3}$:
$\frac{x^2+y^2+2x-4y-20}{x^2+y^2-4x+2y-44} = \frac{2}{3}$
$3(x^2+y^2+2x-4y-20) = 2(x^2+y^2-4x+2y-44)$
$3x^2+3y^2+6x-12y-60 = 2x^2+2y^2-8x+4y-88$
$x^2+y^2+14x-16y+28 = 0$
આ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સ્વરૂપનું વર્તુળનું સમીકરણ છે,જ્યાં $2g=14$ અને $2f=-16$.
તેથી,$g=7$ અને $f=-8$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-7, 8)$ છે.
0 likesView Solution
69
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$S(0,0)$ નાભિ અને $x+y=4$ નિયામિકા ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ શોધો.
A
$x^2+y^2-2xy+8x+8y-16=0$
B
$x^2+y^2-2xy+8x+8y=0$
C
$x^2+y^2+8x+8y-16=0$
D
$x^2-y^2+8x+8y-16=0$
Solution
(A) પરવલયની નાભિ $S(0,0)$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x+y-4=0$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ થી નાભિનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકાના લંબ અંતર જેટલું હોય છે,તેથી $SP^2 = PM^2$.
$(x-0)^2 + (y-0)^2 = \left(\frac{x+y-4}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{(x+y-4)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2) = (x+y-4)^2$
$2x^2 + 2y^2 = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$
$x^2 + y^2 - 2xy + 8x + 8y - 16 = 0$
નિયામિકાનું સમીકરણ $x+y-4=0$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ થી નાભિનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકાના લંબ અંતર જેટલું હોય છે,તેથી $SP^2 = PM^2$.
$(x-0)^2 + (y-0)^2 = \left(\frac{x+y-4}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{(x+y-4)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2) = (x+y-4)^2$
$2x^2 + 2y^2 = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$
$x^2 + y^2 - 2xy + 8x + 8y - 16 = 0$
0 likesView Solution
70
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$(1+x^2)^5(1+x)^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ નો સહગુણક શોધો:
A
$60$
B
$50$
C
$40$
D
$56$
Solution
(A) આપણી પાસે છે,$(1+x^2)^5(1+x)^4$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x^2)^5 = \sum_{r=0}^{5} {^5C_r} (x^2)^r = 1 + 5x^2 + 10x^4 + 10x^6 + 5x^8 + x^{10}$.
અને $(1+x)^4 = \sum_{k=0}^{4} {^4C_k} x^k = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$.
$x^5$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે બંને વિસ્તરણના પદોનો ગુણાકાર એવી રીતે કરીએ છીએ કે જેથી $x$ ના ઘાતાંકોનો સરવાળો $5$ થાય:
$(5x^2) \cdot (4x^3) + (10x^4) \cdot (4x) = 20x^5 + 40x^5 = 60x^5$.
આમ,$x^5$ નો સહગુણક $60$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x^2)^5 = \sum_{r=0}^{5} {^5C_r} (x^2)^r = 1 + 5x^2 + 10x^4 + 10x^6 + 5x^8 + x^{10}$.
અને $(1+x)^4 = \sum_{k=0}^{4} {^4C_k} x^k = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$.
$x^5$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે બંને વિસ્તરણના પદોનો ગુણાકાર એવી રીતે કરીએ છીએ કે જેથી $x$ ના ઘાતાંકોનો સરવાળો $5$ થાય:
$(5x^2) \cdot (4x^3) + (10x^4) \cdot (4x) = 20x^5 + 40x^5 = 60x^5$.
આમ,$x^5$ નો સહગુણક $60$ છે.
0 likesView Solution
71
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$(1+x)^{43}$ ના વિસ્તરણમાં $(2r+1)$-મું પદ અને $(r+2)$-મું પદના સહગુણકો સમાન હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો:
A
$12$
B
$14$
C
$16$
D
$18$
Solution
(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2r+1)$-મા પદ માટે,$k = (2r+1)-1 = 2r$. તેથી,સહગુણક ${}^{43}C_{2r}$ છે.
$(r+2)$-મા પદ માટે,$k = (r+2)-1 = r+1$. તેથી,સહગુણક ${}^{43}C_{r+1}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે:
${}^{43}C_{2r} = {}^{43}C_{r+1}$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{a} = {}^{n}C_{b} \implies a = b$ અથવા $a+b = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $1$: $2r = r+1 \implies r = 1$.
કિસ્સો $2$: $2r + (r+1) = 43 \implies 3r + 1 = 43 \implies 3r = 42 \implies r = 14$.
આમ,$r = 14$ એ સાચો જવાબ છે.
$(2r+1)$-મા પદ માટે,$k = (2r+1)-1 = 2r$. તેથી,સહગુણક ${}^{43}C_{2r}$ છે.
$(r+2)$-મા પદ માટે,$k = (r+2)-1 = r+1$. તેથી,સહગુણક ${}^{43}C_{r+1}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે:
${}^{43}C_{2r} = {}^{43}C_{r+1}$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{a} = {}^{n}C_{b} \implies a = b$ અથવા $a+b = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $1$: $2r = r+1 \implies r = 1$.
કિસ્સો $2$: $2r + (r+1) = 43 \implies 3r + 1 = 43 \implies 3r = 42 \implies r = 14$.
આમ,$r = 14$ એ સાચો જવાબ છે.
0 likesView Solution
72
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $0 < y < 2^{1/3}$ અને $x(y^3 - 1) = 1$ હોય,તો $\frac{2}{x} + \frac{2}{3x^3} + \frac{2}{5x^5} + \dots$ ની કિંમત શોધો:
A
$\log \left( \frac{y^3}{2 - y^3} \right)$
B
$\log \left( \frac{y^3}{1 - y^3} \right)$
C
$\log \left( \frac{2y^3}{1 - y^3} \right)$
D
$\log \left( \frac{y^3}{1 - 2y^3} \right)$
Solution
(A) આપેલ છે કે $x(y^3 - 1) = 1$,તેથી $x = \frac{1}{y^3 - 1}$.
ધારો કે $k = \frac{1}{x} = y^3 - 1$. $0 < y < 2^{1/3}$ હોવાથી,$-1 < k < 1$ થાય.
આપેલ શ્રેણી $S = 2 \left( k + \frac{k^3}{3} + \frac{k^5}{5} + \dots \right)$ છે.
લઘુગણકીય વિસ્તરણ $\log \left( \frac{1+k}{1-k} \right) = 2 \left( k + \frac{k^3}{3} + \frac{k^5}{5} + \dots \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \log \left( \frac{1+k}{1-k} \right)$.
$k = y^3 - 1$ મૂકતા,$S = \log \left( \frac{1 + (y^3 - 1)}{1 - (y^3 - 1)} \right) = \log \left( \frac{y^3}{2 - y^3} \right)$.
ધારો કે $k = \frac{1}{x} = y^3 - 1$. $0 < y < 2^{1/3}$ હોવાથી,$-1 < k < 1$ થાય.
આપેલ શ્રેણી $S = 2 \left( k + \frac{k^3}{3} + \frac{k^5}{5} + \dots \right)$ છે.
લઘુગણકીય વિસ્તરણ $\log \left( \frac{1+k}{1-k} \right) = 2 \left( k + \frac{k^3}{3} + \frac{k^5}{5} + \dots \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \log \left( \frac{1+k}{1-k} \right)$.
$k = y^3 - 1$ મૂકતા,$S = \log \left( \frac{1 + (y^3 - 1)}{1 - (y^3 - 1)} \right) = \log \left( \frac{y^3}{2 - y^3} \right)$.
0 likesView Solution
73
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
ઉપવલય $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો:
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{2}{3}$
C
$\frac{3}{2}$
D
$2$
Solution
(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$9(x^2 - 2x) + 5(y^2 - 4y) = 16$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$9(x^2 - 2x + 1) + 5(y^2 - 4y + 4) = 16 + 9 + 20$.
આથી $9(x - 1)^2 + 5(y - 2)^2 = 45$.
$45$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 1)^2}{5} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 9$. $b^2 > a^2$ હોવાથી,ઉપવલય શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
પદોને ગોઠવતા,$9(x^2 - 2x) + 5(y^2 - 4y) = 16$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$9(x^2 - 2x + 1) + 5(y^2 - 4y + 4) = 16 + 9 + 20$.
આથી $9(x - 1)^2 + 5(y - 2)^2 = 45$.
$45$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 1)^2}{5} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 9$. $b^2 > a^2$ હોવાથી,ઉપવલય શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
0 likesView Solution
74
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
અતિવલય $x^2 - 2y^2 - 2 = 0$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર કેટલો થાય?
A
$1/2$
B
$2/3$
C
$3/2$
D
$2$
Solution
(B) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. $P$ થી અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$ થાય છે.
તેથી,ગુણાકાર $= \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
અહીં,$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. $P$ થી અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$ થાય છે.
તેથી,ગુણાકાર $= \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
0 likesView Solution
75
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$\lim _{x \rightarrow \pi / 6} \left[ \frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{6 x - \pi} \right]$ ની કિંમત શોધો :
A
$\sqrt{3}$
B
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
C
$\frac{1}{3}$
D
$-\frac{1}{3}$
Solution
(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{6 x - \pi}$.
આ સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\frac{d}{dx}(3 \sin x - \sqrt{3} \cos x)}{\frac{d}{dx}(6 x - \pi)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \cos x + \sqrt{3} \sin x}{6}$
હવે,$x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$L = \frac{3 \cos(\frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{6})}{6}$
$L = \frac{3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(\frac{1}{2})}{6}$
$L = \frac{\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\frac{d}{dx}(3 \sin x - \sqrt{3} \cos x)}{\frac{d}{dx}(6 x - \pi)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \cos x + \sqrt{3} \sin x}{6}$
હવે,$x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$L = \frac{3 \cos(\frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{6})}{6}$
$L = \frac{3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(\frac{1}{2})}{6}$
$L = \frac{\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
0 likesView Solution
76
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $a > 0$ અને $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x - x^a}{x^x - a^a} = -1$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.
A
$0$
B
$1$
C
$e$
D
$2e$
Solution
(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x - x^a}{x^x - a^a} = -1$.
$\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી $L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x \ln a - a x^{a-1}}{x^x(1 + \ln x)} = -1$
$x = a$ મૂકતા:
$\frac{a^a \ln a - a^a}{a^a(1 + \ln a)} = -1$
અંશ અને છેદને $a^a$ વડે ભાગતા:
$\frac{\ln a - 1}{1 + \ln a} = -1$
$\Rightarrow \ln a - 1 = -1 - \ln a$
$\Rightarrow 2 \ln a = 0$
$\Rightarrow \ln a = 0$
$\therefore a = e^0 = 1$.
$\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી $L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x \ln a - a x^{a-1}}{x^x(1 + \ln x)} = -1$
$x = a$ મૂકતા:
$\frac{a^a \ln a - a^a}{a^a(1 + \ln a)} = -1$
અંશ અને છેદને $a^a$ વડે ભાગતા:
$\frac{\ln a - 1}{1 + \ln a} = -1$
$\Rightarrow \ln a - 1 = -1 - \ln a$
$\Rightarrow 2 \ln a = 0$
$\Rightarrow \ln a = 0$
$\therefore a = e^0 = 1$.
0 likesView Solution
77
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
એક ત્રિકોણમાં,જો $b=20, c=21$ અને $\sin A=\frac{3}{5}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો:
A
$12$
B
$13$
C
$14$
D
$15$
Solution
(B) આપેલ છે કે,$b=20, c=21$ અને $\sin A=\frac{3}{5}$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ હોવાથી,$\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
તેથી,$\cos A = \frac{4}{5}$ (ધારો કે $A$ લઘુકોણ છે).
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} = \frac{20^2+21^2-a^2}{2 \cdot 20 \cdot 21}$.
$\frac{4}{5} = \frac{400+441-a^2}{840}$.
$840 \cdot \frac{4}{5} = 841 - a^2$.
$168 \cdot 4 = 841 - a^2$.
$672 = 841 - a^2$.
$a^2 = 841 - 672 = 169$.
તેથી,$a = \sqrt{169} = 13$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ હોવાથી,$\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
તેથી,$\cos A = \frac{4}{5}$ (ધારો કે $A$ લઘુકોણ છે).
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} = \frac{20^2+21^2-a^2}{2 \cdot 20 \cdot 21}$.
$\frac{4}{5} = \frac{400+441-a^2}{840}$.
$840 \cdot \frac{4}{5} = 841 - a^2$.
$168 \cdot 4 = 841 - a^2$.
$672 = 841 - a^2$.
$a^2 = 841 - 672 = 169$.
તેથી,$a = \sqrt{169} = 13$.
0 likesView Solution
78
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
એક $\triangle ABC$ માં,જો $3a = b + c$ હોય,તો $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}$ ની કિંમત કેટલી થાય?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ માટે અડધા ખૂણાના સૂત્રો: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
અહીં $s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$2s = a+b+c$ થાય.
તેથી,$\frac{s}{s-a} = \frac{2s}{2s-2a} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2a} = \frac{a+b+c}{b+c-a}$.
આપેલ છે કે $b+c = 3a$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{a + 3a}{3a - a} = \frac{4a}{2a} = 2$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
અહીં $s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$2s = a+b+c$ થાય.
તેથી,$\frac{s}{s-a} = \frac{2s}{2s-2a} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2a} = \frac{a+b+c}{b+c-a}$.
આપેલ છે કે $b+c = 3a$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{a + 3a}{3a - a} = \frac{4a}{2a} = 2$.
0 likesView Solution
79
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $b+c=3a$ હોય,તો $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}$ ની કિંમત શું થાય?
A
$3$
B
$1$
C
$4$
D
$2$
Solution
(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
આપેલ છે કે $b+c=3a$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s=2a$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$ મળે છે.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
આપેલ છે કે $b+c=3a$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s=2a$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$ મળે છે.
0 likesView Solution
80
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $\triangle ABC$ માં,$r_1 < r_2 < r_3$ હોય,તો:
A
$a < b < c$
B
$a > b > c$
C
$b < a < c$
D
$a < c < b$
Solution
(A) આપણી પાસે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ (exradii) માટેના સૂત્રો છે:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$
આપેલ છે કે $r_1 < r_2 < r_3$,તેથી:
$\frac{\Delta}{s-a} < \frac{\Delta}{s-b} < \frac{\Delta}{s-c}$
કારણ કે $\Delta > 0$,વ્યસ્ત લેતા અસમતાની નિશાનીઓ બદલાશે:
$s-a > s-b > s-c$
બધા પદોમાંથી $s$ બાદ કરતા:
$-a > -b > -c$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાનીઓ ફરીથી બદલાશે:
$a < b < c$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$
આપેલ છે કે $r_1 < r_2 < r_3$,તેથી:
$\frac{\Delta}{s-a} < \frac{\Delta}{s-b} < \frac{\Delta}{s-c}$
કારણ કે $\Delta > 0$,વ્યસ્ત લેતા અસમતાની નિશાનીઓ બદલાશે:
$s-a > s-b > s-c$
બધા પદોમાંથી $s$ બાદ કરતા:
$-a > -b > -c$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાનીઓ ફરીથી બદલાશે:
$a < b < c$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likesView Solution
81
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $a \neq p, b \neq q, c \neq r$ અને $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p+a & q+b & 2c \\ a & b & r\end{array}\right|=0$ હોય,તો $\frac{p}{p-a}+\frac{q}{q-b}+\frac{r}{r-c}$ ની કિંમત શોધો:
A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$3$
Solution
(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p+a & q+b & 2c \\ a & b & r\end{array}\right|=0$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બીજી હારને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p & q & c \\ a & b & r\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ a & b & c \\ a & b & r\end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $p(qr-bc) - b(ar-ac) + c(ab-aq) = pqr - pbc - abr + abc + abc - acq = pqr - pbc - abr - acq + 2abc = 0$.
આમ,$pqr - pbc - abr - acq = -2abc$.
હવે,પદાવલિ $E = \frac{p}{p-a} + \frac{q}{q-b} + \frac{r}{r-c}$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $x = p-a, y = q-b, z = r-c$. તો $p = x+a, q = y+b, r = z+c$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકના વિસ્તરણમાં મૂકતા અથવા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા અંતિમ જવાબ $2$ મળે છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બીજી હારને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p & q & c \\ a & b & r\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ a & b & c \\ a & b & r\end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $p(qr-bc) - b(ar-ac) + c(ab-aq) = pqr - pbc - abr + abc + abc - acq = pqr - pbc - abr - acq + 2abc = 0$.
આમ,$pqr - pbc - abr - acq = -2abc$.
હવે,પદાવલિ $E = \frac{p}{p-a} + \frac{q}{q-b} + \frac{r}{r-c}$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $x = p-a, y = q-b, z = r-c$. તો $p = x+a, q = y+b, r = z+c$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકના વિસ્તરણમાં મૂકતા અથવા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા અંતિમ જવાબ $2$ મળે છે.
0 likesView Solution
82
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $\left|\begin{array}{ccc}\cos (A+B) & -\sin (A+B) & \cos 2 B \\ \sin A & \cos A & \sin B \\ -\cos A & \sin A & \cos B\end{array}\right|=0$ હોય,તો $B$ ની કિંમત શોધો.
A
$(2 n+1) \frac{\pi}{2}$
B
$(2 n+1) \pi$
C
$n \pi$
D
$2 n \pi$
Solution
(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{ccc}\cos (A+B) & -\sin (A+B) & \cos 2 B \\ \sin A & \cos A & \sin B \\ -\cos A & \sin A & \cos B\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\cos (A+B)(\cos A \cos B - \sin A \sin B) + \sin (A+B)(\sin A \cos B + \cos A \sin B) + \cos 2 B(\sin^2 A + \cos^2 A) = 0$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos (A+B) \cos (A+B) + \sin (A+B) \sin (A+B) + \cos 2 B(1) = 0$
$\cos^2 (A+B) + \sin^2 (A+B) + \cos 2 B = 0$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$1 + \cos 2 B = 0$
$\cos 2 B = -1$
$2 B = (2 n+1) \pi$
$B = (2 n+1) \frac{\pi}{2}$
$\left|\begin{array}{ccc}\cos (A+B) & -\sin (A+B) & \cos 2 B \\ \sin A & \cos A & \sin B \\ -\cos A & \sin A & \cos B\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\cos (A+B)(\cos A \cos B - \sin A \sin B) + \sin (A+B)(\sin A \cos B + \cos A \sin B) + \cos 2 B(\sin^2 A + \cos^2 A) = 0$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos (A+B) \cos (A+B) + \sin (A+B) \sin (A+B) + \cos 2 B(1) = 0$
$\cos^2 (A+B) + \sin^2 (A+B) + \cos 2 B = 0$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$1 + \cos 2 B = 0$
$\cos 2 B = -1$
$2 B = (2 n+1) \pi$
$B = (2 n+1) \frac{\pi}{2}$
0 likesView Solution
83
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
સમીકરણોની સિસ્ટમ $2x + y - z = 7$,$x - 3y + 2z = 1$,અને $x + 4y - 3z = 5$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$3$
Solution
(A) આપેલ સમીકરણો:
$2x + y - z = 7$ $(i)$
$x - 3y + 2z = 1$ $(ii)$
$x + 4y - 3z = 5$ $(iii)$
સુસંગતતા તપાસવા માટે,આપણે લોપની રીતનો ઉપયોગ કરીએ.
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x - 6y + 4z = 2$ $(iv)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા: $(2x + y - z) - (2x - 6y + 4z) = 7 - 2 \implies 7y - 5z = 5$ $(v)$
હવે,સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(x + 4y - 3z) - (x - 3y + 2z) = 5 - 1 \implies 7y - 5z = 4$ $(vi)$
સમીકરણ $(v)$ અને $(vi)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $7y - 5z = 5$ અને $7y - 5z = 4$ મળે છે.
અહીં $5 \neq 4$ હોવાથી,આ સિસ્ટમ અસંગત છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.
$2x + y - z = 7$ $(i)$
$x - 3y + 2z = 1$ $(ii)$
$x + 4y - 3z = 5$ $(iii)$
સુસંગતતા તપાસવા માટે,આપણે લોપની રીતનો ઉપયોગ કરીએ.
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x - 6y + 4z = 2$ $(iv)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા: $(2x + y - z) - (2x - 6y + 4z) = 7 - 2 \implies 7y - 5z = 5$ $(v)$
હવે,સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(x + 4y - 3z) - (x - 3y + 2z) = 5 - 1 \implies 7y - 5z = 4$ $(vi)$
સમીકરણ $(v)$ અને $(vi)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $7y - 5z = 5$ અને $7y - 5z = 4$ મળે છે.
અહીં $5 \neq 4$ હોવાથી,આ સિસ્ટમ અસંગત છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.
0 likesView Solution
84
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$\sinh^{-1}(2^{3/2})$ ની કિંમત શું થાય?
A
$\log(3+\sqrt{8})$
B
$\log(3-\sqrt{8})$
C
$\log(2+\sqrt{18})$
D
$\log(\sqrt{8}+\sqrt{27})$
Solution
(A) આપણે વ્યસ્ત હાયપરબોલિક સાઈન વિધેયનું લઘુગણકીય સ્વરૂપ વાપરીએ છીએ: $\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
અહીં $x = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8}$ આપેલ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sinh^{-1}(\sqrt{8}) = \log(\sqrt{8} + \sqrt{(\sqrt{8})^2 + 1})$.
$= \log(\sqrt{8} + \sqrt{8 + 1})$.
$= \log(\sqrt{8} + \sqrt{9})$.
$= \log(3 + \sqrt{8})$.
અહીં $x = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8}$ આપેલ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sinh^{-1}(\sqrt{8}) = \log(\sqrt{8} + \sqrt{(\sqrt{8})^2 + 1})$.
$= \log(\sqrt{8} + \sqrt{8 + 1})$.
$= \log(\sqrt{8} + \sqrt{9})$.
$= \log(3 + \sqrt{8})$.
0 likesView Solution
85
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $f: R \rightarrow R$ અને $g: R \rightarrow R$ એ $f(x)=2x+3$ અને $g(x)=x^2+7$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $x$ ની કિંમતો શોધો જેથી $g(f(x))=8$ થાય.
A
$1, 2$
B
$-1, 2$
C
$-1, -2$
D
$1, -2$
Solution
(C) આપેલ વિધેયો $f(x) = 2x + 3$ અને $g(x) = x^2 + 7$ છે.
આપણે $x$ ની કિંમત શોધવાની છે જેથી $g(f(x)) = 8$ થાય.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $g(f(x))$ ની ગણતરી કરો:
$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 7$.
આને $8$ ની બરાબર લેતા:
$(2x + 3)^2 + 7 = 8$
$(2x + 3)^2 = 1$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2x + 3 = 1$ અથવા $2x + 3 = -1$
કિસ્સો $1$: $2x = 1 - 3 = -2 \Rightarrow x = -1$.
કિસ્સો $2$: $2x = -1 - 3 = -4 \Rightarrow x = -2$.
આમ,$x$ ની કિંમતો $-1$ અને $-2$ છે.
આપણે $x$ ની કિંમત શોધવાની છે જેથી $g(f(x)) = 8$ થાય.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $g(f(x))$ ની ગણતરી કરો:
$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 7$.
આને $8$ ની બરાબર લેતા:
$(2x + 3)^2 + 7 = 8$
$(2x + 3)^2 = 1$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2x + 3 = 1$ અથવા $2x + 3 = -1$
કિસ્સો $1$: $2x = 1 - 3 = -2 \Rightarrow x = -1$.
કિસ્સો $2$: $2x = -1 - 3 = -4 \Rightarrow x = -2$.
આમ,$x$ ની કિંમતો $-1$ અને $-2$ છે.
0 likesView Solution
86
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $f: R \rightarrow R$ અને $g: R \rightarrow R$ એ $f(x)=|x|$ અને $g(x)=[x]$ દ્વારા દરેક $x \in R$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $\{x \in R: g(f(x)) \leq f(g(x))\}$ બરાબર શું થાય?
A
$Z \cup(-\infty, 0)$
B
$(-\infty, 0)$
C
$Z$
D
$R$
Solution
(D) આપેલ છે કે $f(x) = |x|$ અને $g(x) = [x]$.
આપણે $x \in R$ નો એવો ગણ શોધવાનો છે કે જેથી $g(f(x)) \leq f(g(x))$ થાય.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા,આપણને $[|x|] \leq |[x]|$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \geq 0$ હોય,તો $|x| = x$ અને $[x] \geq 0$ થાય. અસમતા $[x] \leq |[x]|$ બને છે. કારણ કે $[x]$ એ પૂર્ણાંક છે અને $[x] \geq 0$ માટે $|[x]| = [x]$ થાય છે,તેથી આ તમામ $x \geq 0$ માટે સત્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો ધારો કે $x = -n - \delta$,જ્યાં $n \geq 0$ પૂર્ણાંક છે અને $0 \leq \delta < 1$.
જો $x$ પૂર્ણાંક હોય,$x = -n$ $(n > 0)$,તો $[|x|] = [n] = n$ અને $|[x]| = |-n| = n$ થાય. આમ $n \leq n$,જે સત્ય છે.
જો $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,તો ધારો કે $x = -n - \delta$ $(n \geq 0, 0 < \delta < 1)$. તો $|x| = n + \delta$,તેથી $[|x|] = n$. તેમજ $[x] = -n - 1$,તેથી $|[x]| = |-n - 1| = n + 1$ થાય.
અસમતા $n \leq n + 1$ બને છે,જે સત્ય છે.
તેથી,આ અસમતા તમામ $x \in R$ માટે સત્ય છે.
આપણે $x \in R$ નો એવો ગણ શોધવાનો છે કે જેથી $g(f(x)) \leq f(g(x))$ થાય.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા,આપણને $[|x|] \leq |[x]|$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \geq 0$ હોય,તો $|x| = x$ અને $[x] \geq 0$ થાય. અસમતા $[x] \leq |[x]|$ બને છે. કારણ કે $[x]$ એ પૂર્ણાંક છે અને $[x] \geq 0$ માટે $|[x]| = [x]$ થાય છે,તેથી આ તમામ $x \geq 0$ માટે સત્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો ધારો કે $x = -n - \delta$,જ્યાં $n \geq 0$ પૂર્ણાંક છે અને $0 \leq \delta < 1$.
જો $x$ પૂર્ણાંક હોય,$x = -n$ $(n > 0)$,તો $[|x|] = [n] = n$ અને $|[x]| = |-n| = n$ થાય. આમ $n \leq n$,જે સત્ય છે.
જો $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,તો ધારો કે $x = -n - \delta$ $(n \geq 0, 0 < \delta < 1)$. તો $|x| = n + \delta$,તેથી $[|x|] = n$. તેમજ $[x] = -n - 1$,તેથી $|[x]| = |-n - 1| = n + 1$ થાય.
અસમતા $n \leq n + 1$ બને છે,જે સત્ય છે.
તેથી,આ અસમતા તમામ $x \in R$ માટે સત્ય છે.
0 likesView Solution
87
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}, x \in(-10,10)$ અને $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.
A
$0.5$
B
$0.6$
C
$0.7$
D
$0.8$
Solution
(A) આપેલ છે કે $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને મળે $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$.
આપણને સંબંધ $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $f(x)$ નું પદ મૂકતા:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = k \log \left(\frac{10+\frac{200 x}{100+x^2}}{10-\frac{200 x}{100+x^2}}\right)$.
જમણી બાજુના લઘુગણકના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{10+\frac{200 x}{100+x^2}}{10-\frac{200 x}{100+x^2}} = \frac{10(100+x^2)+200x}{10(100+x^2)-200x} = \frac{1000+10x^2+200x}{1000+10x^2-200x} = \frac{10(x^2+20x+100)}{10(x^2-20x+100)} = \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2}$.
આમ,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = k \log \left(\frac{(x+10)^2}{(10-x)^2}\right)$.
ગુણધર્મ $\log(a^n) = n \log a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = 2k \log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $2k = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 0.5$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને મળે $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$.
આપણને સંબંધ $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $f(x)$ નું પદ મૂકતા:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = k \log \left(\frac{10+\frac{200 x}{100+x^2}}{10-\frac{200 x}{100+x^2}}\right)$.
જમણી બાજુના લઘુગણકના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{10+\frac{200 x}{100+x^2}}{10-\frac{200 x}{100+x^2}} = \frac{10(100+x^2)+200x}{10(100+x^2)-200x} = \frac{1000+10x^2+200x}{1000+10x^2-200x} = \frac{10(x^2+20x+100)}{10(x^2-20x+100)} = \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2}$.
આમ,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = k \log \left(\frac{(x+10)^2}{(10-x)^2}\right)$.
ગુણધર્મ $\log(a^n) = n \log a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right) = 2k \log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $2k = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 0.5$.
0 likesView Solution
88
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
અસમતા $3^x+3^{1-x}-4 < 0$ નો $R$ માં સમાવિષ્ટ ઉકેલ ગણ છે:
A
$(1,3)$
B
$(0,1)$
C
$(1,2)$
D
$(0,2)$
Solution
(B) આપેલ અસમતા: $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$3^{1-x}$ ને $\frac{3}{3^x}$ તરીકે લખતા: $3^x+\frac{3}{3^x}-4 < 0$
આખી અસમતાને $3^x$ વડે ગુણતા (કારણ કે $3^x > 0$): $(3^x)^2 - 4(3^x) + 3 < 0$
ધારો કે $y = 3^x$. અસમતા $y^2 - 4y + 3 < 0$ બને છે
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(y-1)(y-3) < 0$
આનો અર્થ એ થાય કે $1 < y < 3$
$y = 3^x$ પાછા મૂકતા: $1 < 3^x < 3$
કારણ કે $3^0 = 1$ અને $3^1 = 3$,તેથી $3^0 < 3^x < 3^1$
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $0 < x < 1$ મળે છે
આમ,ઉકેલ ગણ $(0,1)$ છે.
$3^{1-x}$ ને $\frac{3}{3^x}$ તરીકે લખતા: $3^x+\frac{3}{3^x}-4 < 0$
આખી અસમતાને $3^x$ વડે ગુણતા (કારણ કે $3^x > 0$): $(3^x)^2 - 4(3^x) + 3 < 0$
ધારો કે $y = 3^x$. અસમતા $y^2 - 4y + 3 < 0$ બને છે
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(y-1)(y-3) < 0$
આનો અર્થ એ થાય કે $1 < y < 3$
$y = 3^x$ પાછા મૂકતા: $1 < 3^x < 3$
કારણ કે $3^0 = 1$ અને $3^1 = 3$,તેથી $3^0 < 3^x < 3^1$
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $0 < x < 1$ મળે છે
આમ,ઉકેલ ગણ $(0,1)$ છે.
0 likesView Solution
89
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
ધારો કે $a, b$,અને $c$ એવા છે કે $\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} + \frac{c}{1-3x}$. તો $\frac{a}{1} + \frac{b}{3} + \frac{c}{5}$ ની કિંમત શોધો.
A
$\frac{1}{15}$
B
$\frac{1}{6}$
C
$\frac{1}{5}$
D
$\frac{1}{3}$
Solution
(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} + \frac{c}{1-3x}$.
બંને બાજુ $(1-x)(1-2x)(1-3x)$ વડે ગુણતા:
$1 = a(1-2x)(1-3x) + b(1-x)(1-3x) + c(1-x)(1-2x)$.
$a$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા:
$1 = a(1-2)(1-3) + 0 + 0 \Rightarrow 1 = a(-1)(-2) \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$b$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$1 = 0 + b(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{2}) + 0 \Rightarrow 1 = b(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) \Rightarrow b = -4$.
$c$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$1 = 0 + 0 + c(1-\frac{1}{3})(1-\frac{2}{3}) \Rightarrow 1 = c(\frac{2}{3})(\frac{1}{3}) \Rightarrow c = \frac{9}{2}$.
હવે,$\frac{a}{1} + \frac{b}{3} + \frac{c}{5}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{1/2}{1} + \frac{-4}{3} + \frac{9/2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{9}{10}$.
$30$ સામાન્ય છેદ લેતા:
$\frac{15}{30} - \frac{40}{30} + \frac{27}{30} = \frac{15 - 40 + 27}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
બંને બાજુ $(1-x)(1-2x)(1-3x)$ વડે ગુણતા:
$1 = a(1-2x)(1-3x) + b(1-x)(1-3x) + c(1-x)(1-2x)$.
$a$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા:
$1 = a(1-2)(1-3) + 0 + 0 \Rightarrow 1 = a(-1)(-2) \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$b$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$1 = 0 + b(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{2}) + 0 \Rightarrow 1 = b(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) \Rightarrow b = -4$.
$c$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$1 = 0 + 0 + c(1-\frac{1}{3})(1-\frac{2}{3}) \Rightarrow 1 = c(\frac{2}{3})(\frac{1}{3}) \Rightarrow c = \frac{9}{2}$.
હવે,$\frac{a}{1} + \frac{b}{3} + \frac{c}{5}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{1/2}{1} + \frac{-4}{3} + \frac{9/2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{9}{10}$.
$30$ સામાન્ય છેદ લેતા:
$\frac{15}{30} - \frac{40}{30} + \frac{27}{30} = \frac{15 - 40 + 27}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
0 likesView Solution
90
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $x > 2$ માટે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2 \sqrt{2x - 4}}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2x - 4}}}$ હોય,તો $f(11)$ ની કિંમત શોધો.
A
$\frac{7}{6}$
B
$\frac{5}{6}$
C
$\frac{6}{7}$
D
$\frac{5}{7}$
Solution
(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2 \sqrt{2x - 4}}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2x - 4}}}$.
$x = 11$ મુકતા:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 2 \sqrt{18}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 2 \sqrt{18}}}$
$\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ હોવાથી:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 6 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}}$
અહીં $11 + 6 \sqrt{2} = (3 + \sqrt{2})^2$ અને $11 - 6 \sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$ થાય.
તેથી,$f(11) = \frac{1}{3 + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 - \sqrt{2}}$
$f(11) = \frac{(3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{6}{7}$.
$x = 11$ મુકતા:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 2 \sqrt{18}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 2 \sqrt{18}}}$
$\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ હોવાથી:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 6 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}}$
અહીં $11 + 6 \sqrt{2} = (3 + \sqrt{2})^2$ અને $11 - 6 \sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$ થાય.
તેથી,$f(11) = \frac{1}{3 + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 - \sqrt{2}}$
$f(11) = \frac{(3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{6}{7}$.
0 likesView Solution
91
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
જો $n = 1, 2, 3, \ldots$ માટે $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$ હોય,તો $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \ldots + \frac{1}{t_{2003}}$ ની કિંમત શોધો.
A
$\frac{4006}{3006}$
B
$\frac{4003}{3007}$
C
$\frac{4006}{3008}$
D
$\frac{4006}{3009}$
Solution
(D) આપણને $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{1}{t_n} = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{t_n} = 4 \left[ \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right]$.
ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n} = 4 \sum_{n=1}^{2003} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} \right) \right]$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે,અને બાકી રહેશે:
$S = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2006} \right)$.
$S = 4 \left( \frac{2006 - 3}{3 \times 2006} \right) = 4 \left( \frac{2003}{6018} \right) = \frac{8012}{6018} = \frac{4006}{3009}$.
તેથી,$\frac{1}{t_n} = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{t_n} = 4 \left[ \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right]$.
ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n} = 4 \sum_{n=1}^{2003} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} \right) \right]$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે,અને બાકી રહેશે:
$S = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2006} \right)$.
$S = 4 \left( \frac{2006 - 3}{3 \times 2006} \right) = 4 \left( \frac{2003}{6018} \right) = \frac{8012}{6018} = \frac{4006}{3009}$.
0 likesView Solution
92
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
વક્રો $y=\sin x$ અને $y=\cos x$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
A
$\tan ^{-1}(2 \sqrt{2})$
B
$\tan ^{-1}(3 \sqrt{2})$
C
$\tan ^{-1}(3 \sqrt{3})$
D
$\tan ^{-1}(5 \sqrt{2})$
Solution
(A) આપેલ વક્રો $y=\sin x$ અને $y=\cos x$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$\sin x = \cos x$ લેતા,જે $\tan x = 1$ આપે છે,તેથી $x = \frac{\pi}{4}$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ પર સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો.
$y = \sin x$ માટે,$m_1 = \frac{dy}{dx} = \cos x$. $x = \frac{\pi}{4}$ પર,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y = \cos x$ માટે,$m_2 = \frac{dy}{dx} = -\sin x$. $x = \frac{\pi}{4}$ પર,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$\sin x = \cos x$ લેતા,જે $\tan x = 1$ આપે છે,તેથી $x = \frac{\pi}{4}$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ પર સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો.
$y = \sin x$ માટે,$m_1 = \frac{dy}{dx} = \cos x$. $x = \frac{\pi}{4}$ પર,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y = \cos x$ માટે,$m_2 = \frac{dy}{dx} = -\sin x$. $x = \frac{\pi}{4}$ પર,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.
0 likesView Solution
93
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $20$ છે. જો એક સંખ્યાનો વર્ગ અને બીજી સંખ્યાનો ઘનનો ગુણાકાર મહત્તમ હોય,તો તે સંખ્યાઓ કઈ છે?
A
$12, 8$
B
$3, 4$
C
$9, 12$
D
$15, 18$
Solution
(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $x + y = 20$,તેથી $y = 20 - x$.
ધારો કે મહત્તમ કરવા માટેનું વિધેય $f(x) = x^2 y^3 = x^2 (20 - x)^3$ છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$f'(x) = 2x(20 - x)^3 + x^2 \cdot 3(20 - x)^2 (-1)$
$f'(x) = x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x]$
$f'(x) = x(20 - x)^2 [40 - 2x - 3x] = x(20 - x)^2 (40 - 5x)$
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$,$x = 20$,અથવા $5x = 40 \Rightarrow x = 8$ મળે છે.
$x$ અને $y$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $x = 8$ લઈએ.
જો $x = 8$ હોય,તો $y = 20 - 8 = 12$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $8$ અને $12$ છે.
આપેલ છે કે $x + y = 20$,તેથી $y = 20 - x$.
ધારો કે મહત્તમ કરવા માટેનું વિધેય $f(x) = x^2 y^3 = x^2 (20 - x)^3$ છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$f'(x) = 2x(20 - x)^3 + x^2 \cdot 3(20 - x)^2 (-1)$
$f'(x) = x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x]$
$f'(x) = x(20 - x)^2 [40 - 2x - 3x] = x(20 - x)^2 (40 - 5x)$
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$,$x = 20$,અથવા $5x = 40 \Rightarrow x = 8$ મળે છે.
$x$ અને $y$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $x = 8$ લઈએ.
જો $x = 8$ હોય,તો $y = 20 - 8 = 12$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $8$ અને $12$ છે.
0 likesView Solution
94
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$2x^2+x-1$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો:
A
$-\frac{1}{4}$
B
$\frac{3}{2}$
C
$-\frac{9}{8}$
D
$\frac{9}{8}$
Solution
(C) ધારો કે $y = 2x^2 + x - 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$y' = 4x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$y' = 0$ લો:
$4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો:
$y'' = 4$.
કારણ કે $y'' > 0$ છે,તેથી વિધેય $x = -\frac{1}{4}$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = -\frac{1}{4}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$
$y = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1$
$y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{9}{8}$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$y' = 4x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$y' = 0$ લો:
$4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો:
$y'' = 4$.
કારણ કે $y'' > 0$ છે,તેથી વિધેય $x = -\frac{1}{4}$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = -\frac{1}{4}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$
$y = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1$
$y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{9}{8}$ છે.
0 likesView Solution
95
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
એક ટાવર તેના પાયામાંથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ પર અનુક્રમે $\alpha, 2 \alpha$ અને $3 \alpha$ ના ખૂણા બનાવે છે,તો $\frac{A B}{B C}$ ની કિંમત શોધો:
A
$\frac{\sin 3 \alpha}{\sin 2 \alpha}$
B
$1+2 \cos 2 \alpha$
C
$2 \cos 2 \alpha$
D
$\frac{\sin 2 \alpha}{\sin \alpha}$
Solution
(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરનો પાયો $D$ છે. $\triangle E D C$ માં,$\tan 3 \alpha = \frac{h}{C D} \Rightarrow C D = h \cot 3 \alpha$.
$\triangle E D B$ માં,$\tan 2 \alpha = \frac{h}{B D} \Rightarrow B D = h \cot 2 \alpha$.
$\triangle E D A$ માં,$\tan \alpha = \frac{h}{A D} \Rightarrow A D = h \cot \alpha$.
હવે,$A B = A D - B D = h(\cot \alpha - \cot 2 \alpha)$ અને $B C = B D - C D = h(\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha)$.
તેથી,$\frac{A B}{B C} = \frac{\cot \alpha - \cot 2 \alpha}{\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha} = \frac{\sin 3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4 \sin^2 \alpha = 1 + 2 \cos 2 \alpha$.
$\triangle E D B$ માં,$\tan 2 \alpha = \frac{h}{B D} \Rightarrow B D = h \cot 2 \alpha$.
$\triangle E D A$ માં,$\tan \alpha = \frac{h}{A D} \Rightarrow A D = h \cot \alpha$.
હવે,$A B = A D - B D = h(\cot \alpha - \cot 2 \alpha)$ અને $B C = B D - C D = h(\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha)$.
તેથી,$\frac{A B}{B C} = \frac{\cot \alpha - \cot 2 \alpha}{\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha} = \frac{\sin 3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4 \sin^2 \alpha = 1 + 2 \cos 2 \alpha$.
0 likesView Solution
96
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$\int (1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$ ની કિંમત શોધો :
A
$(1+x) e^{x+x^{-1}}+C$
B
$(x-1) e^{x+x^{-1}}+C$
C
$-x e^{x+x^{-1}}+C$
D
$x e^{x+x^{-1}}+C$
Solution
(D) ધારો કે $I = \int (1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int e^{x+x^{-1}} dx + \int (x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
અહીં $x e^{x+x^{-1}}$ નું વિકલન લેતા:
$\frac{d}{dx} (x e^{x+x^{-1}}) = 1 \cdot e^{x+x^{-1}} + x \cdot e^{x+x^{-1}} \cdot (1 - x^{-2}) = e^{x+x^{-1}} + x e^{x+x^{-1}} - x^{-1} e^{x+x^{-1}} = (1 + x - x^{-1}) e^{x+x^{-1}}$.
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય $x e^{x+x^{-1}} + C$ થાય છે.
આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int e^{x+x^{-1}} dx + \int (x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
અહીં $x e^{x+x^{-1}}$ નું વિકલન લેતા:
$\frac{d}{dx} (x e^{x+x^{-1}}) = 1 \cdot e^{x+x^{-1}} + x \cdot e^{x+x^{-1}} \cdot (1 - x^{-2}) = e^{x+x^{-1}} + x e^{x+x^{-1}} - x^{-1} e^{x+x^{-1}} = (1 + x - x^{-1}) e^{x+x^{-1}}$.
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય $x e^{x+x^{-1}} + C$ થાય છે.
0 likesView Solution
97
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$\int_0^x t e^{t^2} d t$ ની ન્યૂનતમ કિંમત છે
A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$3$
Solution
(A) ધારો કે $f(x) = \int_0^x t e^{t^2} dt$.
સંકલન મેળવવા માટે,$u = t^2$ લો,તેથી $du = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $t dt = \frac{1}{2} du$.
જ્યારે $t = 0$,ત્યારે $u = 0$. જ્યારે $t = x$,ત્યારે $u = x^2$.
આમ,$f(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (e^{x^2} - 1)$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x^2} \cdot (2x) = x e^{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા આપણને $x = 0$ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો: $f''(x) = e^{x^2} + x(e^{x^2} \cdot 2x) = e^{x^2}(1 + 2x^2)$.
$x = 0$ આગળ,$f''(0) = e^0(1 + 0) = 1 > 0$.
કારણ કે $f''(0) > 0$,વિધેયને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = \frac{1}{2} (e^0 - 1) = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$ છે.
સંકલન મેળવવા માટે,$u = t^2$ લો,તેથી $du = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $t dt = \frac{1}{2} du$.
જ્યારે $t = 0$,ત્યારે $u = 0$. જ્યારે $t = x$,ત્યારે $u = x^2$.
આમ,$f(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (e^{x^2} - 1)$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x^2} \cdot (2x) = x e^{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા આપણને $x = 0$ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો: $f''(x) = e^{x^2} + x(e^{x^2} \cdot 2x) = e^{x^2}(1 + 2x^2)$.
$x = 0$ આગળ,$f''(0) = e^0(1 + 0) = 1 > 0$.
કારણ કે $f''(0) > 0$,વિધેયને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = \frac{1}{2} (e^0 - 1) = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$ છે.
0 likesView Solution
98
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$\int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$ ની કિંમત શોધો :
A
$\frac{\pi}{6}$
B
$\frac{\pi}{4}$
C
$\frac{\pi}{2}$
D
$\pi$
Solution
(B) ધારો કે $I = \int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$.
$x = \cos \theta$ લેતા,$d x = -\sin \theta d \theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$ અને જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $\theta = 0$.
$I = \int_{\pi/2}^0 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right) (-\sin \theta) d \theta$.
અહીં $\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \cot(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ છે.
તેથી,$I = \int_0^{\pi/2} \sin \left(2 \tan^{-1} \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})\right) \sin \theta d \theta$.
$I = \int_0^{\pi/2} \sin(\pi - \theta) \sin \theta d \theta = \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta d \theta$.
$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d \theta$.
$I = \frac{1}{2} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{4}$.
$x = \cos \theta$ લેતા,$d x = -\sin \theta d \theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$ અને જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $\theta = 0$.
$I = \int_{\pi/2}^0 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right) (-\sin \theta) d \theta$.
અહીં $\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \cot(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ છે.
તેથી,$I = \int_0^{\pi/2} \sin \left(2 \tan^{-1} \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})\right) \sin \theta d \theta$.
$I = \int_0^{\pi/2} \sin(\pi - \theta) \sin \theta d \theta = \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta d \theta$.
$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d \theta$.
$I = \frac{1}{2} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{4}$.
0 likesView Solution
99
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$\int_0^3 \frac{3x+1}{x^2+9} dx$ ની કિંમત શોધો:
A
$\log (2 \sqrt{2})+\frac{\pi}{12}$
B
$\log (2 \sqrt{2})+\frac{\pi}{2}$
C
$\log (2 \sqrt{2})+\frac{\pi}{6}$
D
$\log (2 \sqrt{2})+\frac{\pi}{3}$
Solution
(A) આપણે સંકલન $I = \int_0^3 \frac{3x+1}{x^2+9} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$I = \int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx + \int_0^3 \frac{1}{x^2+9} dx$
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^2+9$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{du}{2}$.
$\int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx = \frac{3}{2} \int_9^{18} \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} [\log |u|]_9^{18} = \frac{3}{2} (\log 18 - \log 9) = \frac{3}{2} \log 2$.
બીજા ભાગ માટે,સૂત્ર $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરો:
$\int_0^3 \frac{1}{x^2+3^2} dx = [\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3})]_0^3 = \frac{1}{3} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$.
બંને ભાગોને જોડતા:
$I = \frac{3}{2} \log 2 + \frac{\pi}{12} = \log (2^{3/2}) + \frac{\pi}{12} = \log (2 \sqrt{2}) + \frac{\pi}{12}$.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$I = \int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx + \int_0^3 \frac{1}{x^2+9} dx$
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^2+9$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{du}{2}$.
$\int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx = \frac{3}{2} \int_9^{18} \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} [\log |u|]_9^{18} = \frac{3}{2} (\log 18 - \log 9) = \frac{3}{2} \log 2$.
બીજા ભાગ માટે,સૂત્ર $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરો:
$\int_0^3 \frac{1}{x^2+3^2} dx = [\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3})]_0^3 = \frac{1}{3} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$.
બંને ભાગોને જોડતા:
$I = \frac{3}{2} \log 2 + \frac{\pi}{12} = \log (2^{3/2}) + \frac{\pi}{12} = \log (2 \sqrt{2}) + \frac{\pi}{12}$.
0 likesView Solution
100
ChemistryMCQTS EAMCET · 2003
$\int_{-2}^2 |[x]| \, dx$ ની કિંમત શોધો.
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(D) આપણી પાસે છે $\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} |[x]| \, dx + \int_{-1}^0 |[x]| \, dx + \int_0^1 |[x]| \, dx + \int_1^2 |[x]| \, dx$.
અહીં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે:
$x \in [-2, -1)$ માટે,$[x] = -2$,તેથી $|[x]| = |-2| = 2$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$,તેથી $|[x]| = |-1| = 1$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $|[x]| = |0| = 0$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $|[x]| = |1| = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} 2 \, dx + \int_{-1}^0 1 \, dx + \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx$.
$= 2[x]_{-2}^{-1} + [x]_{-1}^0 + 0 + [x]_1^2$.
$= 2(-1 - (-2)) + (0 - (-1)) + (2 - 1)$.
$= 2(1) + 1 + 1 = 4$.
અહીં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે:
$x \in [-2, -1)$ માટે,$[x] = -2$,તેથી $|[x]| = |-2| = 2$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$,તેથી $|[x]| = |-1| = 1$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $|[x]| = |0| = 0$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $|[x]| = |1| = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} 2 \, dx + \int_{-1}^0 1 \, dx + \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx$.
$= 2[x]_{-2}^{-1} + [x]_{-1}^0 + 0 + [x]_1^2$.
$= 2(-1 - (-2)) + (0 - (-1)) + (2 - 1)$.
$= 2(1) + 1 + 1 = 4$.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real TS EAMCET style covering Chemistry with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Chemistry papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live TS EAMCET mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Chemistry questions are in TS EAMCET 2003?
There are 212 Chemistry questions from the TS EAMCET 2003 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are TS EAMCET 2003 Chemistry solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice TS EAMCET 2003 Chemistry as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full TS EAMCET mock test covering Chemistry with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Chemistry papers from TS EAMCET previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix TS EAMCET Chemistry questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Chemistry Paper
Pick TS EAMCET 2003 Chemistry questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.