MHT CET 2022 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) एसिटिक एसिड की दहन अभिक्रिया है: $CH_3COOH_{(l)} + 2O_{2(g)} \rightarrow 2CO_{2(g)} + 2H_2O_{(l)}$
गैसीय प्रजातियों के मोलों की संख्या में परिवर्तन: $\Delta n_g = n_p(g) - n_r(g) = 2 - 2 = 0$
रासायनिक अभिक्रिया में किए गए कार्य का सूत्र: $W = -\Delta n_g RT$
$\Delta n_g$ का मान रखने पर: $W = -0 \times R \times 298 = 0.0 \ J$

(A) अवस्था फलन एक ऐसा गुण है जिसका मान केवल निकाय की वर्तमान अवस्था पर निर्भर करता है,न कि उस अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर। $P$,$V$ और $T$ अवस्था फलन हैं। कार्य $(w)$ और ऊष्मा $(q)$ पथ फलन हैं,जिसका अर्थ है कि उनके मान अपनाए गए पथ पर निर्भर करते हैं। अतः,यह कथन कि कार्य एक अवस्था फलन है,गलत है।

(C) स्थिर दाब पर गैस के संपीड़न के दौरान किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = -P_{ext} \times \Delta V$।
यहाँ, $P_{ext} = 2 \ bar$, $V_1 = 10 \ dm^3$, और $V_2 = 1 \ dm^3$ है।
$\Delta V = V_2 - V_1 = 1 \ dm^3 - 10 \ dm^3 = -9 \ dm^3$।
$W = -2 \ bar \times (-9 \ dm^3) = +18 \ bar \ dm^3$।
चूंकि $1 \ bar \ dm^3 = 100 \ J$ होता है, इसलिए $18 \ bar \ dm^3 = 1800 \ J = 1.8 \ kJ$।
चूंकि कार्य गैस पर किया जा रहा है, इसलिए मान धनात्मक है।

(C) स्थिर बाह्य दाब के विरुद्ध प्रसार के दौरान किया गया कार्य सूत्र: $W = -P_{ext} \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,आयतन को समान इकाई $(m^3)$ में बदलें:
$V_1 = 5 \ dm^3 = 5 \times 10^{-3} \ m^3$.
$V_2 = 7 \times 10^{-3} \ m^3$.
आयतन में परिवर्तन: $\Delta V = V_2 - V_1 = (7 \times 10^{-3} - 5 \times 10^{-3}) \ m^3 = 2 \times 10^{-3} \ m^3$.
अब,किए गए कार्य की गणना करें:
$W = -(2.02 \times 10^5 \ Nm^{-2}) \times (2 \times 10^{-3} \ m^3)$.
$W = -4.04 \times 10^2 \ J = -404 \ J$.
$kJ$ में बदलने पर: $W = -0.404 \ kJ$.

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ निकाय को दी गई ऊष्मा $(q)$ और निकाय पर किए गए कार्य $(w)$ के योग के बराबर होता है: $\Delta U = q + w$
यहाँ,$Q$ निकाय से मुक्त होने वाली ऊष्मा है,इसलिए $q = -Q$
$W$ निकाय पर किया गया कार्य है,इसलिए $w = W$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\Delta U = -Q + W$
$Q$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Q = W - \Delta U$

(B) स्थिर बाहरी दबाव के विरुद्ध किए गए कार्य का सूत्र $W = -P_{ext} \Delta V$ है।
सबसे पहले,आयतन को समान इकाई $(m^3)$ में बदलें:
$V_1 = 2 \ dm^3 = 2 \times 10^{-3} \ m^3$.
$V_2 = 6 \times 10^{-3} \ m^3$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = (6 - 2) \times 10^{-3} \ m^3 = 4 \times 10^{-3} \ m^3$.
दिया गया बाहरी दबाव $P_{ext} = 1 \ bar = 10^5 \ Pa = 10^5 \ N/m^2$.
मान रखने पर:
$W = -(10^5 \ N/m^2) \times (4 \times 10^{-3} \ m^3) = -400 \ J$.
$kJ$ में बदलने पर:
$W = -400 / 1000 \ kJ = -0.4 \ kJ$.

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ को समीकरण $\Delta U = q + w$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,निकाय ऊष्मा अवशोषित करता है,इसलिए $q = +30 \ kJ$
निकाय परिवेश पर कार्य करता है,इसलिए $w = -12 \ kJ$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta U = 30 \ kJ + (-12 \ kJ) = 18 \ kJ$
अतः,आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $18 \ kJ$ है।

(A) वह प्रक्रिया जिसमें निकाय का आयतन पूरे परिवर्तन के दौरान स्थिर रहता है,$Isochoric$ प्रक्रिया कहलाती है।
अतः,$Isochoric$ प्रक्रिया के लिए,आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 0$ होता है।

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ($\Delta U$ या $\Delta E$) का समीकरण है: $\Delta U = q + w$।
यहाँ,निकाय ऊष्मा प्राप्त करता है,इसलिए $q = +x \ J$।
निकाय पर कार्य किया जाता है,इसलिए $w = +y \ J$।
अतः,$\Delta U = (+x) + (+y) = x + y \ J$।

(C) एक मोल एथिल अल्कोहल के दहन के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$C_2H_5OH(\ell) + 3O_{2(g)} \rightarrow 2CO_{2(g)} + 3H_2O(\ell)$
हम जानते हैं कि:
$\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$
अतः,$\Delta H - \Delta U = \Delta n_g RT$
यहाँ,$\Delta n_g$ गैसीय प्रजातियों के मोलों की संख्या में परिवर्तन है:
$\Delta n_g = (n_p)_{gas} - (n_r)_{gas} = 2 - 3 = -1$
$\Delta n_g$ का मान रखने पर:
$\Delta H - \Delta U = (-1) RT = -RT$

(A) सुक्रोज के दहन के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण: $C_{12}H_{22}O_{11(s)} + 12O_{2(g)} \rightarrow 12CO_{2(g)} + 11H_2O(\ell)$.
गैसीय मोलों की संख्या में परिवर्तन: $\Delta n_g = 12 - 12 = 0$.
एन्थैल्पी परिवर्तन और आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन के बीच संबंध: $\Delta H = \Delta U + \Delta n_gRT$.
चूंकि $\Delta n_g = 0$,इसलिए $\Delta H = \Delta U = -24 \ kJ$ ($2.0 \ g$ सुक्रोज के लिए)।
$1 \ mol$ $(342 \ g)$ सुक्रोज के लिए: $\Delta H = (\frac{-24 \ kJ}{2.0 \ g}) \times 342 \ g \ mol^{-1} = -4104 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) दहन अभिक्रियाएँ इस प्रकार हैं:
$C$(ग्रेफाइट) $+ O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)}$; $\Delta H_1 = -393.8 \ kJ \ mol^{-1}$ $(eq. I)$
$C$(हीरा) $+ O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)}$; $\Delta H_2 = -395.3 \ kJ \ mol^{-1}$ $(eq. II)$
$C$(ग्रेफाइट) के $C$(हीरा) में रूपांतरण की एन्थैल्पी ज्ञात करने के लिए,$eq. I$ से $eq. II$ को घटाने पर:
$C$(ग्रेफाइट) $\rightarrow C$(हीरा)
$\Delta H = \Delta H_1 - \Delta H_2$
$\Delta H = -393.8 - (-395.3) \ kJ \ mol^{-1}$
$\Delta H = 1.5 \ kJ \ mol^{-1}$

(B) एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ और आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $(\Delta U)$ के बीच का संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$
केवल ठोस या तरल पदार्थों से जुड़ी अभिक्रियाओं के लिए,गैस के मोलों की संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए $\Delta n_g = 0$ होता है।
अतः,$\Delta H = \Delta U + (0)RT$,जो सरल होकर $\Delta H = \Delta U$ हो जाता है।

(D) एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ और आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $(\Delta U)$ के बीच संबंध समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$.
यहाँ,$\Delta n_g$ गैसीय प्रजातियों के मोलों की संख्या में परिवर्तन है।
अभिक्रिया के लिए: $C_2H_5OH_{(l)} + 3O_{2(g)} \rightarrow 2CO_{2(g)} + 3H_2O_{(l)}$.
$\Delta n_g = (\text{गैसीय उत्पादों के मोल}) - (\text{गैसीय अभिकारकों के मोल}) = 2 - 3 = -1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\Delta H = \Delta U + (-1)RT = \Delta U - RT$.

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार $\Delta U = q + w$।
$\Delta H = \Delta U + P \Delta V$ और $P \Delta V = -w$।
अतः,$\Delta H = \Delta U - w$।
यहाँ,$\Delta U = 600 \ J$ और $w = -800 \ J$।
$\Delta H = 600 + (-800) = -200 \ J$।

(B) अभिक्रिया की एन्थैल्पी को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta H_{r}^{\circ} = \sum (B.E.)_{\text{reactants}} - \sum (B.E.)_{\text{products}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-185 = [B.E._{H-H} + B.E._{Cl-Cl}] - [2 \times B.E._{H-Cl}]$
$-185 = [435 + 244] - 2x$
$-185 = 679 - 2x$
$2x = 679 + 185$
$2x = 864$
$x = 432 \ kJ \ mol^{-1}$
अतः,$H-Cl$ बंध की बंध एन्थैल्पी $432 \ kJ \ mol^{-1}$ है।

(C) एथिलीन की हाइड्रोजनीकरण अभिक्रिया: $CH_2=CH_2 + H_2 \rightarrow CH_3-CH_3$ है।
अभिक्रिया के लिए एन्थैल्पी परिवर्तन: $\Delta H = \sum \text{अभिकारकों की बंध एन्थैल्पी} - \sum \text{उत्पादों की बंध एन्थैल्पी}$।
अभिकारक: $1 \times (C=C) + 4 \times (C-H) + 1 \times (H-H) = 600 + 4(410) + 400 = 2640 \ kJ \ mol^{-1}$।
उत्पाद: $1 \times (C-C) + 6 \times (C-H) = 360 + 6(410) = 2820 \ kJ \ mol^{-1}$।
$\Delta H = 2640 - 2820 = -180 \ kJ \ mol^{-1}$।

(A) हमें अभिक्रिया के लिए संभवन एन्थैल्पी ज्ञात करनी है: $C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \rightarrow CO_{(g)} \ (I)$
दिए गए समीकरण:
$C_{(s)} + O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)} ; \Delta H_1 = -393.3 \ kJ \ mol^{-1} \ (II)$
$CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)} ; \Delta H_2 = -282.2 \ kJ \ mol^{-1} \ (III)$
समीकरण $(II)$ में से समीकरण $(III)$ को घटाने पर:
$(C_{(s)} + O_{2(g)}) - (CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)}) \rightarrow CO_{2(g)} - CO_{2(g)}$
$C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \rightarrow CO_{(g)}$
अतः,$\Delta H_f = \Delta H_1 - \Delta H_2$
$\Delta H_f = -393.3 - (-282.2) = -111.1 \ kJ \ mol^{-1}$

(B) संभवन ऊष्मा $(\Delta_{f}H)$ को उस एन्थैल्पी परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है जब $1 \ mol$ पदार्थ अपने घटक तत्वों से उनकी मानक अवस्थाओं में बनता है।
दिए गए समीकरण में: $H_{2(g)} + Cl_{2(g)} \rightarrow 2HCl_{(g)}$,$2 \ mol$ $HCl$ के निर्माण के लिए एन्थैल्पी परिवर्तन $-194 \ kJ$ है।
अतः,$1 \ mol$ $HCl_{(g)}$ के लिए,संभवन ऊष्मा $\Delta_{f}H = \frac{-194 \ kJ}{2} = -97 \ kJ$ है।

(D) वक्र $C_1: y^2=6x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 6$ प्राप्त होता है,अतः $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{C_1} = \frac{3}{y}$।
वक्र $C_2: 9x^2+by^2=16$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{C_2} = -\frac{9x}{by}$।
चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होना चाहिए:
$\left(\frac{3}{y}\right) \times \left(-\frac{9x}{by}\right) = -1$
$\Rightarrow \frac{27x}{by^2} = 1$
$\Rightarrow 27x = by^2$
समीकरण में $y^2=6x$ रखने पर:
$27x = b(6x)$
प्रतिच्छेदन बिंदु पर $x \neq 0$ है,इसलिए $3x$ से भाग देने पर:
$9 = 2b$
$b = \frac{9}{2}$

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^2 e^{-x}$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$
$f'(x) = x e^{-x} (2 - x)$
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि $e^{-x}$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $x(2 - x)$ पर निर्भर करता है।
$x(2 - x) > 0$
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है:
$x(x - 2) < 0$
मूल $x = 0$ और $x = 2$ हैं। अंतरालों $(-\infty, 0)$,$(0, 2)$,और $(2, \infty)$ की जाँच करने पर:
$x \in (0, 2)$ के लिए,$x$ धनात्मक है और $(x - 2)$ ऋणात्मक है,इसलिए $x(x - 2) < 0$,जिसका अर्थ है कि $f'(x) > 0$ है।
अतः,फलन $f(x)$ अंतराल $(0, 2)$ में निरंतर वर्धमान है।

(D) मान लीजिए $t$ समय पर बर्फ की मात्रा $x(t)$ है। पिघलने की दर मौजूद मात्रा के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -cx$ जहाँ $c > 0$ एक स्थिरांक है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $\ln(x) = -ct + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(t) = x_0 e^{-ct}$।
दिया गया है कि $20 \text{ मिनट}$ में आधी बर्फ पिघल जाती है,इसलिए $t = 20$ पर,$x(20) = \frac{x_0}{2}$।
अतः,$\frac{x_0}{2} = x_0 e^{-20c}$,जिसका अर्थ है $e^{-20c} = \frac{1}{2}$।
हमें $40 \text{ मिनट}$ के बाद बची हुई बर्फ ज्ञात करनी है,जो $x(40) = x_0 e^{-40c}$ है।
चूंकि $e^{-40c} = (e^{-20c})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$।
इस प्रकार,$x(40) = \frac{1}{4} x_0$।
इसकी तुलना $k x_0$ से करने पर,हमें $k = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = 15 - |x - 10|$.
हमें उन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है जहाँ $g(x) = f(f(x))$ अवकलनीय नहीं है।
सबसे पहले,$f(x)$,$x = 10$ पर अवकलनीय नहीं है।
अब,$g(x) = f(f(x)) = 15 - |f(x) - 10| = 15 - |(15 - |x - 10|) - 10| = 15 - |5 - |x - 10||$.
फलन $g(x)$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ आंतरिक व्यंजक शून्य होते हैं या जहाँ मूल फलन $f(x)$ अवकलनीय नहीं होता है।
$1$. $f(x)$,$x = 10$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. बाहरी मापांक के अंदर का व्यंजक,$5 - |x - 10|$,शून्य होता है जब $|x - 10| = 5$,जो $x - 10 = 5$ या $x - 10 = -5$ देता है,इसलिए $x = 15$ या $x = 5$ है।
अतः,फलन $g(x)$,$x \in \{5, 10, 15\}$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया समीकरण: $x^y \cdot y^x = 16$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log(x^y \cdot y^x) = \log(16)$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $y \log x + x \log y = \log(16)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग):
$\frac{dy}{dx} \log x + y \cdot \frac{1}{x} + \log y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(2, 2)$ को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} \log(2) + 2 \cdot \frac{1}{2} + \log(2) + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} \log(2) + 1 + \log(2) + \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} (\log(2) + 1) = -(1 + \log(2))$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1 + \log(2)}{1 + \log(2)} = -1$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{a-x}{a+x}$।
हमें $(f \circ f)(x) = x$ दिया गया है।
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \frac{a - \frac{a-x}{a+x}}{a + \frac{a-x}{a+x}} = x$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{a(a+x) - (a-x)}{a(a+x) + (a-x)} = x$
$\frac{a^2 + ax - a + x}{a^2 + ax + a - x} = x$
$a^2 + ax - a + x = x(a^2 + ax + a - x)$
$a^2 + ax - a + x = a^2x + ax^2 + ax - x^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x + (a-a^2) = 0$।
सभी $x$ के लिए यह सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$a-1 = 0 \Rightarrow a = 1$।
अतः,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$।
अब,$f\left(\frac{-1}{2}\right)$ की गणना करने पर:
$f\left(\frac{-1}{2}\right) = \frac{1 - (-1/2)}{1 + (-1/2)} = \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$।

(A) दिया गया है $\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4} ~d x=A(x)\left(\sqrt{1-x^2}\right)^m+C$.
माना $x=\cos \theta$,तो $d x=-\sin \theta d \theta$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int \frac{\sqrt{1-\cos ^2 \theta}}{\cos ^4 \theta} \cdot(-\sin \theta d \theta) = -\int \frac{\sin \theta}{\cos ^4 \theta} \cdot \sin \theta d \theta = -\int \tan ^2 \theta \sec ^2 \theta d \theta$.
माना $u=\tan \theta$,तो $d u=\sec ^2 \theta d \theta$.
समाकलन $-\int u^2 d u = -\frac{u^3}{3}+C = -\frac{\tan ^3 \theta}{3}+C$ हो जाता है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sqrt{1-\cos ^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$,इसलिए:
$-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)^3+C = -\frac{1}{3 x^3}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3+C$.
इसकी तुलना $A(x)\left(\sqrt{1-x^2}\right)^m+C$ से करने पर,हमें $A(x)=-\frac{1}{3 x^3}$ और $m=3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3 x^3}\right)^3 = -\frac{1}{27 x^9}$.

(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi \cos ^2 x\right)}{x^2}$ है।
सर्वसमिका $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi(1 - \sin ^2 x)\right)}{x^2}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi - \pi \sin ^2 x\right)}{x^2}$
चूंकि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,इसलिए:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi \sin ^2 x\right)}{x^2}$
अब,$\pi \sin ^2 x$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin \left(\pi \sin ^2 x\right)}{\pi \sin ^2 x} \times \frac{\pi \sin ^2 x}{x^2} \right)$
मानक सीमा $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = 1 \times \pi \times (1)^2 = \pi$.

(D) निहितार्थ $p \rightarrow (p \wedge \sim q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $p$ सत्य $(T)$ हो और परिणामी $(p \wedge \sim q)$ असत्य $(F)$ हो।
चूंकि $p$ सत्य $(T)$ है,व्यंजक $(p \wedge \sim q)$ का मान $(T \wedge \sim q)$ हो जाता है।
$(T \wedge \sim q)$ को असत्य $(F)$ होने के लिए,$\sim q$ को असत्य $(F)$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $q$ को सत्य $(T)$ होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $p = T$ और $q = T$ हैं।

(B) कथन $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow [(\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q]$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी बनाते हैं:
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $\sim p$ | $\sim p \rightarrow q$ | $(\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q$ | $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow [(\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q]$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
चूंकि अंतिम कॉलम में $p$ और $q$ के सभी संभावित सत्यता मानों के लिए केवल $T$ (सत्य) मान हैं,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(D) मान लीजिए $X$ प्रतिस्थापन के साथ $2$ प्रयासों में निकाले गए राजाओं की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=2$ है।
एक बार में राजा निकालने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
राजा न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,माध्य $2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$ है।

(C) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 8$ और प्रसरण $npq = 4$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 8$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 8$,जिससे $n = 16$ प्राप्त होता है।
अब,$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
सूत्र $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X \leq 2) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} + {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} + {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14}$
$P(X \leq 2) = ({}^{16}C_{0} + {}^{16}C_{1} + {}^{16}C_{2}) (\frac{1}{2})^{16}$
संयोजनों की गणना करने पर:
${}^{16}C_{0} = 1$
${}^{16}C_{1} = 16$
${}^{16}C_{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$
योग $= 1 + 16 + 120 = 137$ है।
अतः,$P(X \leq 2) = \frac{137}{2^{16}}$ है।
इसकी तुलना $\frac{k}{2^{16}}$ से करने पर,हमें $k = 137$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $6x^2 + xy - y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(3x - y)(2x + y) = 0$।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: 3x - y = 0$ और $L_2: 2x + y = 0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x + 3y = 10$ है।
त्रिभुज के शीर्ष:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $(0, 0)$।
$2$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $(-2, 4)$।
$3$. $L_3$ और $L_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $(1, 3)$।
केंद्रक $(G) = \left(\frac{0 - 2 + 1}{3}, \frac{0 + 4 + 3}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$।

(B) माना अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ हैं। चूँकि रेखा $\langle 1, 2, 3 \rangle$ और $\langle -3, 2, 5 \rangle$ दिक अनुपात वाली रेखाओं के लंबवत है,इसलिए:
$a + 2b + 3c = 0$
$-3a + 2b + 5c = 0$
दिक अनुपात ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
सरल करने पर,हमें $\langle a, b, c \rangle = \langle 2, -7, 4 \rangle$ प्राप्त होता है।
रेखा $(-1, 3, -2)$ से गुजरती है,अतः समीकरण है:
$\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$
$\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$

(A) दो समतलों $P_1 = 0$ और $P_2 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतल $2x - y - 4 = 0$ और $y + 2z - 4 = 0$ हैं।
अतः,अभीष्ट समतल का समीकरण $(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$ है।
चूंकि समतल बिंदु $(1, 1, 0)$ से गुजरता है,हम $x = 1, y = 1, z = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2(1) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(2 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-3 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 3$
$\lambda = -1$।
अब $\lambda = -1$ को समीकरण में रखने पर:
$(2x - y - 4) - 1(y + 2z - 4) = 0$
$2x - y - 4 - y - 2z + 4 = 0$
$2x - 2y - 2z = 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें $x - y - z = 0$ प्राप्त होता है।

(B) $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-1) + c(z-1) = 0$ है।
चूंकि समतल $(1, 0, -1)$ और $(-1, 1, 0)$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दोनों दिशा सदिशों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$a(1) + b(0) + c(-1) = 0 \Rightarrow a = c$ और $a(-1) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow a = b$.
इसलिए,$a = b = c$ प्राप्त होता है। $a = b = c = 1$ रखने पर,समतल का समीकरण $1(x-1) + 1(y-1) + 1(z-1) = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $x + y + z = 3$ बनता है।
$3$ से विभाजित करने पर,अंतःखंड रूप $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः अंतःखंड $A(3, 0, 0)$,$B(0, 3, 0)$ और $C(0, 0, 3)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ घन इकाइयां}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$ है।
माना $u = \sin x$,तब $2u^2 + 5u - 3 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2u - 1)(u + 3) = 0$.
अतः $u = \frac{1}{2}$ या $u = -3$.
चूंकि $\sin x$ का मान $[-1, 1]$ के बीच होता है,इसलिए $u = -3$ को छोड़ दिया जाएगा।
अतः $\sin x = \frac{1}{2}$.
अंतराल $[0, 3\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए हल $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ और $\frac{13\pi}{6}$ हैं।
कुल मानों की संख्या $3$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2 \sin x - 1)(\sin x + 3) = 0$.
अतः $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -3$.
$\sin x = -3$ संभव नहीं है।
$\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए,$[0, 3\pi]$ में हल $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ हैं।
कुल $3$ हल प्राप्त होते हैं।

(C) चूँकि तीनों सदिश एक ही समतल में स्थित हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\left|\begin{array}{lll}a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b\end{array}\right|=0$
दूसरी पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(ab - c^2) + 0 - 1(ac - ac) = 0$
$-(ab - c^2) = 0$
$ab - c^2 = 0$
$c^2 = ab$
$c = \sqrt{ab}$
अतः,$c$,$a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है।

(B) तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} \mu & 1 & 1 \\ 1 & \mu & 1 \\ 1 & 1 & \mu \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\mu(\mu^2 - 1) - 1(\mu - 1) + 1(1 - \mu) = 0$
$\mu(\mu - 1)(\mu + 1) - 1(\mu - 1) - 1(\mu - 1) = 0$
$(\mu - 1) [\mu(\mu + 1) - 1 - 1] = 0$
$(\mu - 1) (\mu^2 + \mu - 2) = 0$
$(\mu - 1) (\mu + 2) (\mu - 1) = 0$
$(\mu - 1)^2 (\mu + 2) = 0$
$\mu$ के भिन्न वास्तविक मान $\mu = 1$ और $\mu = -2$ हैं।
इन भिन्न मानों का योग $1 + (-2) = -1$ है।

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & x \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + x) - \hat{j}(3 - x) + \hat{k}(-3 - 2) = (2 + x) \hat{i} + (x - 3) \hat{j} - 5 \hat{k}$.
अब,परिमाण $r = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(2 + x)^2 + (x - 3)^2 + (-5)^2}$ ज्ञात करें।
वर्गों का विस्तार करें: $r = \sqrt{(4 + 4x + x^2) + (x^2 - 6x + 9) + 25} = \sqrt{2x^2 - 2x + 38}$.
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग बनाएं:
$2x^2 - 2x + 38 = 2(x^2 - x) + 38 = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 38 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 38 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{2}$.
चूंकि $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$,$r^2$ का न्यूनतम मान $\frac{75}{2}$ है।
अतः,$r \geq \sqrt{\frac{75}{2}} = \sqrt{\frac{25 \times 3}{2}} = 5 \sqrt{\frac{3}{2}}$.
इसलिए,$r$ के लिए शर्त $r \geq 5 \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(D) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दो रेखाओं के दिशा सदिशों का क्रॉस गुणनफल है: $\vec{n} = (1, 0, -1) \times (-1, 1, 0)$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-1)) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(1 - 0) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
अतः,अभिलंब सदिश $\langle 1, 1, 1 \rangle$ है।
$(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले और $\langle 1, 1, 1 \rangle$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $1(x-1) + 1(y-1) + 1(z-1) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $x + y + z = 3$ प्राप्त होता है।
$3$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a = 3$,$b = 3$,और $c = 3$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |abc| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ घन इकाइयाँ है।

(B) $RC$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे कोणीय आवृत्ति $\omega$ बढ़ती है,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ घटता है।
चूंकि $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,इसलिए $X_C$ में कमी के कारण कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V_0}{Z}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $Z$ घटता है,इसलिए धारा $I$ बढ़ती है।
बल्ब की चमक व्यय हुई शक्ति $P = I^2 R$ पर निर्भर करती है। जैसे-जैसे धारा $I$ बढ़ती है,व्यय हुई शक्ति बढ़ती है और बल्ब अधिक चमकता है।

(B) श्रेणीक्रम $LCR$ परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ होता है।
यहाँ वोल्टेज धारा से $45^{\circ}$ आगे है,इसलिए $\phi = 45^{\circ}$ है।
अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_L - X_C}{R} = 1$,जिसका अर्थ है $X_L - X_C = R$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ के मान रखने पर:
$2 \pi f L - \frac{1}{2 \pi f C} = R$
$2 \pi f L = R + \frac{1}{2 \pi f C}$
$2 \pi f L = \frac{2 \pi f C R + 1}{2 \pi f C}$
$L = \frac{1 + 2 \pi f C R}{4 \pi^2 f^2 C}$
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ है।
$3^{\text{rd}}$ कक्षा से $2^{\text{nd}}$ कक्षा में संक्रमण के लिए $(n_2=3, n_1=2)$:
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5 R_H}{36} \quad \dots(1)$
$4^{\text{th}}$ कक्षा से $3^{\text{rd}}$ कक्षा में संक्रमण के लिए $(n_2=4, n_1=3)$,मान लीजिए तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है:
$\frac{1}{\lambda'} = R_H \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R_H \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7 R_H}{144} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5 R_H / 36}{7 R_H / 144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$
अतः,$\lambda' = \frac{20}{7} \lambda$।

(A) चूंकि संधारित्र $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
संयोजन के सिरों पर विभवांतर $V_2 - V_1$ है।
माना बिंदु $D$ पर विभव $V_D$ है।
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_D - V_1 = \frac{Q}{C_1}$ है और $C_2$ के सिरों पर विभवांतर $V_2 - V_D = \frac{Q}{C_2}$ है।
इन दोनों को जोड़ने पर,$(V_D - V_1) + (V_2 - V_D) = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} = Q \left( \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2} \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$V_2 - V_1 = Q \left( \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2} \right)$,जिससे $Q = \frac{C_1 C_2 (V_2 - V_1)}{C_1 + C_2}$ प्राप्त होता है।
अब,$V_D$ के व्यंजक में $Q$ का मान रखने पर:
$V_D - V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{1}{C_1} \cdot \frac{C_1 C_2 (V_2 - V_1)}{C_1 + C_2} = \frac{C_2 (V_2 - V_1)}{C_1 + C_2}$।
$V_D = V_1 + \frac{C_2 V_2 - C_2 V_1}{C_1 + C_2} = \frac{V_1 C_1 + V_1 C_2 + C_2 V_2 - C_2 V_1}{C_1 + C_2} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$।

(C) अवधारणा: संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{q^2}{2C}$
जहाँ $q$ आवेश है और $C$ धारिता है।
माना मूल आवेश $q$ है। प्रारंभिक ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ है।
जब आवेश को $\Delta q = 2 \ C$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवेश $(q + 2)$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $U'$ को $U' = U + 21\% \text{ of } U = 1.21U$ के रूप में दिया गया है।
ऊर्जा के सूत्र में मान रखने पर:
$1.21 \left( \frac{q^2}{2C} \right) = \frac{(q + 2)^2}{2C}$
$1.21 q^2 = (q + 2)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{1.21} q = q + 2$
$1.1q = q + 2$
$0.1q = 2$
$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.
अतः,संधारित्र पर मूल आवेश $20 \ C$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C$ है।
परावैद्युत डालने के बाद,नई धारिताएँ $C_1 = KC$ और $C_2 = C$ हो जाती हैं।
चूंकि संधारित्र $V$ emf वाली बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए संधारित्र $C_2$ के सिरों पर विभवांतर $V_2$ वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा प्राप्त होता है:
$V_2 = V \cdot \frac{C_1}{C_1 + C_2}$
मान रखने पर:
$V_2 = V \cdot \frac{KC}{KC + C} = V \cdot \frac{KC}{C(K + 1)} = \frac{KV}{K + 1}$.

(A) एक इंडक्टर के लिए चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ और धारा $(I)$ के बीच का संबंध $\phi = L I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व है।
इससे,हम लिख सकते हैं कि $L = \frac{\phi}{I}$।
$\phi$ बनाम $I$ के ग्राफ में,रेखा का ढाल (slope) $\frac{\phi}{I}$ द्वारा प्राप्त होता है,जो स्व-प्रेरकत्व $L$ को दर्शाता है।
अधिक ढाल $L$ के बड़े मान को इंगित करता है।
रेखाओं $A, B, C,$ और $D$ के ढाल की तुलना करने पर,रेखा $A$ का ढाल अधिकतम है।
इसलिए,इंडक्टर $A$ का स्व-प्रेरकत्व सबसे अधिक है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{enclosed}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है और $\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
जब गुब्बारे को फुलाया जाता है,तो उसका आकार बढ़ता है,लेकिन गुब्बारे की सतह पर कुल आवेश $q$ स्थिर रहता है।
चूंकि सतह द्वारा परिबद्ध आवेश नहीं बदलता है,इसलिए कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ भी अपरिवर्तित रहता है।

(C) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं के बीच होने वाली टक्करों को पूर्णतः प्रत्यास्थ (elastic) माना जाता है।
एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय का कुल रैखिक संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
चूंकि टक्कर के दौरान अणुओं पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,इसलिए संवेग संरक्षण का नियम भी लागू होता है।
अतः,गतिज ऊर्जा और संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।

(B) प्राथमिक अल्कोहल वह है जिसमें हाइड्रॉक्सिल समूह $(-OH)$ एक प्राथमिक कार्बन परमाणु (एक कार्बन परमाणु जो केवल एक अन्य कार्बन परमाणु से जुड़ा हो) से जुड़ा होता है।
$1$. $2-$मिथाइलप्रोपेन$-2-$ऑल: $-OH$ समूह एक तृतीयक कार्बन परमाणु से जुड़ा है। यह एक तृतीयक अल्कोहल है।
$2$. $2-$मिथाइलप्रोपेन$-1-$ऑल: संरचना $(CH_3)_2CH-CH_2OH$ है। $-OH$ समूह एक प्राथमिक कार्बन परमाणु से जुड़ा है। यह एक प्राथमिक अल्कोहल है।
$3$. साइक्लोब्यूटेनॉल: $-OH$ समूह एक द्वितीयक कार्बन परमाणु से जुड़ा है। यह एक द्वितीयक अल्कोहल है।
$4$. ब्यूटेन$-2-$ऑल: $-OH$ समूह एक द्वितीयक कार्बन परमाणु से जुड़ा है। यह एक द्वितीयक अल्कोहल है।
अतः,$2-$मिथाइलप्रोपेन$-1-$ऑल एक प्राथमिक अल्कोहल है।

(B) एक तृतीयक $(3^{\circ})$ एल्किल हैलाइड वह है जिसमें हैलोजन परमाणु उस कार्बन परमाणु से जुड़ा होता है जो आगे तीन अन्य कार्बन परमाणुओं से बंधा होता है।
विकल्प $B$ में,$(CH_3)_3C-Br$,ब्रोमीन परमाणु से जुड़ा कार्बन परमाणु तीन मिथाइल समूहों से जुड़ा है,जो इसे एक तृतीयक कार्बन बनाता है।
अतः,$(CH_3)_3C-Br$ एक तृतीयक एल्किल हैलाइड है।

(B) $2, 4, 6-$ट्राइनाइट्रोफिनोल पिक्रिक एसिड का सामान्य नाम है।
इसमें एक फिनोल रिंग होती है जिसमें बेंजीन रिंग के $2, 4,$ और $6$ स्थान पर तीन नाइट्रो $(-NO_2)$ समूह जुड़े होते हैं।
इसलिए,सही $IUPAC$ नाम $2, 4, 6-$ट्राइनाइट्रोफिनोल है।

(B) प्राथमिक एमीन ($1^{\circ}$ एमीन) वह एमीन है जिसमें नाइट्रोजन परमाणु केवल एक कार्बन परमाणु से जुड़ा होता है (अर्थात $R-NH_2$)।
दिए गए यौगिकों का विश्लेषण करते हैं:
$1. (CH_3)_3N$: तृतीयक एमीन $(3^{\circ})$
$2. (CH_3)_2NH$: द्वितीयक एमीन $(2^{\circ})$
$3. CH_3-NH_2$: प्राथमिक एमीन $(1^{\circ})$
$4. CH_3-CH(NH_2)-CH_3$: द्वितीयक एमीन $(2^{\circ})$
$5. C_6H_5NH_2$: प्राथमिक एमीन $(1^{\circ})$
$6. C_6H_5NHCH_3$: द्वितीयक एमीन $(2^{\circ})$
$7. (CH_3)_3C-NH_2$: प्राथमिक एमीन $(1^{\circ})$
प्राथमिक एमीन $CH_3-NH_2$,$C_6H_5NH_2$,और $(CH_3)_3C-NH_2$ हैं।
अतः,प्राथमिक एमीन अणुओं की कुल संख्या $3$ है।

(D) मेसिटिल ऑक्साइड की संरचना $(CH_3)_2C=CHCOCH_3$ है।
$IUPAC$ नाम निर्धारित करने के लिए,हम मुख्य क्रियात्मक समूह (कीटोन) और द्वि-आबंध युक्त सबसे लंबी कार्बन श्रृंखला की पहचान करते हैं।
श्रृंखला में $5$ कार्बन परमाणु हैं,इसलिए मूल एल्केन पेंटेन है।
कीटोन समूह $2$ स्थिति पर है और द्वि-आबंध $3$ स्थिति पर शुरू होता है।
$4$ स्थिति पर एक मिथाइल प्रतिस्थापी है।
अतः,$IUPAC$ नाम $4-$मिथाइलपेंट$-3-$ईन$-2-$ओन है।

(B) द्वितीयक अल्कोहल वह अल्कोहल है जिसमें हाइड्रॉक्सिल समूह $(-OH)$ उस कार्बन परमाणु से जुड़ा होता है जो अन्य दो कार्बन परमाणुओं से जुड़ा होता है।
संरचना $(CH_3)_2CH-CH(OH)-CH_2-CH_2-CH_3$ में,$-OH$ समूह वाला कार्बन एक आइसोप्रोपिल समूह और एक प्रोपिल समूह से जुड़ा है,जो इसे एक द्वितीयक अल्कोहल बनाता है।

(B) ईथर कार्बनिक यौगिक हैं जो दो एल्काइल या एराइल समूहों से जुड़े एक ऑक्सीजन परमाणु द्वारा पहचाने जाते हैं,जिन्हें सामान्य सूत्र $R-O-R'$ द्वारा दर्शाया जाता है। ईथर में उपस्थित क्रियात्मक समूह ईथर लिंकेज है,जिसे $-O-$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) एमाइड एक कार्बनिक यौगिक है जिसमें $-CONH_2$ क्रियात्मक समूह होता है।
दिए गए विकल्पों में,$CH_3CONH_2$ (एसिटामाइड) में $-CONH_2$ समूह मौजूद है,इसलिए यह एक एमाइड है।
$CH_3CN$ एक नाइट्राइल है,$CH_3NH_2$ एक एमीन है,और $CH_3NO_2$ एक नाइट्रो यौगिक है।

(C) ऐनिसोल एक ईथर है जिसका रासायनिक सूत्र $C_6H_5OCH_3$ है।
$IUPAC$ नामकरण में,ईथर को एल्कोक्सीएल्केन के रूप में नामित किया जाता है।
यहाँ,बेंजीन वलय मुख्य हाइड्रोकार्बन है और $-OCH_3$ समूह मेथॉक्सी प्रतिस्थापी है।
इसलिए,इसका $IUPAC$ नाम मेथॉक्सीबेंजीन है।

(C) एक डाइकार्बोक्सिलिक अम्ल में दो कार्बोक्सिल $(-COOH)$ समूह होते हैं।
$1$. वैलेरिक अम्ल: $CH_3(CH_2)_3COOH$ (मोनोकार्बोक्सिलिक अम्ल)
$2$. कैप्रोइक अम्ल: $CH_3(CH_2)_4COOH$ (मोनोकार्बोक्सिलिक अम्ल)
$3$. ग्लूटेरिक अम्ल: $HOOC(CH_2)_3COOH$ (डाइकार्बोक्सिलिक अम्ल)
$4$. ब्यूटिरिक अम्ल: $CH_3(CH_2)_2COOH$ (मोनोकार्बोक्सिलिक अम्ल)
अतः,ग्लूटेरिक अम्ल एक डाइकार्बोक्सिलिक अम्ल है।

(B) एसिटिल क्लोराइड का रासायनिक सूत्र $CH_3COCl$ है।
दिए गए विकल्पों में से:
$A$ एसिटामाइड $(CH_3CONH_2)$ है।
$B$ एसिटिल क्लोराइड $(CH_3COCl)$ है।
$C$ एसिटिक एनहाइड्राइड $((CH_3CO)_2O)$ है।
$D$ ट्राइक्लोरोएसिटिक एसिड $(CCl_3COOH)$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $1-$क्लोरोइथीन $(CH_2=CHCl)$ एक विनाइलिक हैलाइड है क्योंकि हैलोजन परमाणु उस कार्बन परमाणु से जुड़ा होता है जो कार्बन-कार्बन द्वि-आबंध का हिस्सा है। $\newline$ ऐलाइलिक हैलाइड में हैलोजन परमाणु कार्बन-कार्बन द्वि-आबंध के बगल वाले कार्बन परमाणु से जुड़ा होता है। $\newline$ इसलिए,ऐलाइलिक हैलाइड के लिए $1-$क्लोरोइथीन का उदाहरण गलत है।

(D) अल्कोहल एक ऐसा यौगिक है जिसमें एक हाइड्रॉक्सिल समूह $(-OH)$ एक $sp^3$ संकरित कार्बन परमाणु से जुड़ा होता है।
विकल्प $A$,$B$,और $C$ में,$-OH$ समूह सीधे बेंजीन रिंग से जुड़ा है,जहाँ कार्बन परमाणु $sp^2$ संकरित है। इन यौगिकों को फिनोल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
विकल्प $D$ में,$-OH$ समूह एक $-CH_2-$ समूह से जुड़ा है,जो बेंजीन रिंग से जुड़ा है। $-OH$ समूह से बंधा कार्बन परमाणु $sp^3$ संकरित है। इसलिए,यह एक अल्कोहल है।

(C) जब दो $-COOH$ समूह बेंजीन वलय के आसन्न कार्बन परमाणुओं (ऑर्थो स्थिति) से जुड़े होते हैं,तो उस यौगिक को बेंजीन$-1,2-$डाइकार्बोक्सिलिक एसिड कहा जाता है,जिसे सामान्यतः थैलिक एसिड के रूप में जाना जाता है।

(A) ग्रिग्नार्ड अभिकर्मक एक कार्बधात्विक यौगिक है जिसका सामान्य सूत्र $R-Mg-X$ है,जहाँ $R$ एक कार्बनिक समूह है और $X$ एक हैलोजन है। इसे शुष्क ईथर की उपस्थिति में एल्काइल या एराइल हैलाइड की धात्विक मैग्नीशियम के साथ अभिक्रिया द्वारा तैयार किया जाता है।

(A) ईथर एक कार्बनिक यौगिक है जिसमें एक ऑक्सीजन परमाणु दो एल्काइल या एराइल समूहों से जुड़ा होता है,जिसे सामान्य सूत्र $R-O-R'$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मेथोक्सीमेथेन $(CH_3-O-CH_3)$ में एक ऑक्सीजन परमाणु दो मिथाइल समूहों से जुड़ा होता है,जो ईथर की परिभाषा के अनुरूप है।
प्रोपेन$-2-$ओल एक अल्कोहल है,जबकि बेन्जीनोल और बेन्जीन$-1,2-$डायोल फिनोल हैं।

(D) एक सममित कीटोन वह है जिसमें कार्बोनिल कार्बन $(C=O)$ से जुड़े दो एल्काइल या एराइल समूह समान होते हैं।
$A$. एसिटोफेनोन: $C_6H_5-CO-CH_3$ (असममित)
$B$. एथिल मेथिल कीटोन: $CH_3CH_2-CO-CH_3$ (असममित)
$C$. एथिलफेनिल कीटोन: $C_6H_5-CO-CH_2CH_3$ (असममित)
$D$. बेंजोफेनोन: $C_6H_5-CO-C_6H_5$ (सममित,क्योंकि दोनों समूह फेनिल समूह हैं)
अतः,बेंजोफेनोन एक सममित कीटोन है।

(C) कार्बोक्सिलिक अम्लों की अम्लीय शक्ति अल्फा-कार्बन से जुड़े प्रतिस्थापियों के $-I$ (प्रेरणिक) प्रभाव के सीधे समानुपाती होती है।
जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन-आकर्षक समूहों की संख्या बढ़ती है,$-I$ प्रभाव बढ़ता है,जो संयुग्मी क्षार (कार्बोक्सिलेट आयन) को स्थिर करता है और अम्लता को बढ़ाता है।
$Cl_3C-COOH$ में,तीन क्लोरीन परमाणु एक मजबूत $-I$ प्रभाव डालते हैं,जबकि अन्य विकल्पों में केवल एक हैलोजन परमाणु है।
इसलिए,$Cl_3C-COOH$ सबसे प्रबल अम्ल है।

(B) एक एरोमैटिक एमाइन वह यौगिक है जिसमें एक अमीनो समूह $(-NH_2)$ सीधे एक एरोमैटिक वलय (जैसे बेंजीन वलय) से जुड़ा होता है।
विकल्प $B$ में,$-NH_2$ समूह सीधे बेंजीन वलय से जुड़ा है,जिससे यह एक एरोमैटिक एमाइन (एनिलीन) बन जाता है।
विकल्प $A$ में,$-NH_2$ समूह एक साइक्लोहेक्सिल वलय से जुड़ा है,जो एलिफैटिक है।
विकल्प $C$ में,$-NH_2$ समूह एक एथिल श्रृंखला से जुड़ा है,जो बेंजीन वलय से जुड़ी है,जिससे यह एक एलिफैटिक एमाइन (पार्श्व-श्रृंखला एमाइन) बन जाता है।
अतः,सही उत्तर $B$ है।

(B) $S_N1$ (Substitution Nucleophilic Unimolecular) अभिक्रिया क्रियाविधि के बारे में गलत कथन है: $(B)$ यह एक एकल-चरणीय क्रियाविधि है।
$S_N1$ अभिक्रिया क्रियाविधि एक द्वि-चरणीय प्रक्रिया है। पहले चरण में,लिविंग ग्रुप बाहर निकलता है और एक कार्बोनियम आयन मध्यवर्ती बनाता है। दूसरे चरण में,न्यूक्लियोफाइल कार्बोनियम आयन पर हमला करता है,जिससे प्रतिस्थापन उत्पाद का निर्माण होता है।

(B) $S_{N}1$ अभिक्रिया की दर लिविंग ग्रुप के निकलने के बाद बनने वाले कार्बोनियम आयन (कार्बोकेशन) मध्यवर्ती के स्थायित्व पर निर्भर करती है।
अधिक स्थिर कार्बोकेशन $S_{N}1$ अभिक्रिया को तेज करते हैं।
कार्बोकेशन के स्थायित्व का क्रम है: $3^{\circ} > 2^{\circ} > 1^{\circ}$।
विकल्प $B$ में,यौगिक $3$-क्लोरो-$3$-मिथाइलहेक्सेन है। क्लोराइड आयन के निकलने पर,यह एक तृतीयक $(3^{\circ})$ कार्बोकेशन बनाता है,जो दिए गए विकल्पों में सबसे अधिक स्थिर है।
इसलिए,यह $S_{N}1$ क्रियाविधि सबसे तेजी से प्रदर्शित करता है।

(A) सूर्य के प्रकाश की उपस्थिति में अल्कोहल की हैलोजन के साथ अभिक्रिया एल्किल हैलाइड नहीं बनाती है।
अल्कोहल निर्जल $ZnCl_2$ की उपस्थिति में $HCl$ के साथ अभिक्रिया करके एल्किल क्लोराइड बनाता है।
अल्कोहल $NaBr$ और $H_2SO_4$ की उपस्थिति में $HBr$ के साथ अभिक्रिया करके एल्किल ब्रोमाइड बनाता है।
अल्कोहल $NaI$ और $H_3PO_4$ की उपस्थिति में $HI$ के साथ अभिक्रिया करके एल्किल आयोडाइड बनाता है।
अतः,सूर्य के प्रकाश की उपस्थिति में अल्कोहल की हैलोजन के साथ अभिक्रिया एल्किल हैलाइड नहीं बनाती है।

(D) $SN^2$ क्रियाविधि एक ही चरण में होने वाली प्रक्रिया है।
यह प्राथमिक एल्काइल हैलाइड में कम त्रिविम बाधा (steric hindrance) के कारण अनुकूल होती है।
तृतीयक एल्काइल हैलाइड में त्रिविम बाधा बहुत अधिक होती है,जो न्यूक्लियोफाइल को कार्बन परमाणु पर आक्रमण करने से रोकती है।
इसलिए,यह कथन कि $SN^2$ क्रियाविधि तृतीयक एल्काइल हैलाइड में देखी जाती है,गलत है।

(C) हेलोऐल्केन का क्वथनांक आणविक द्रव्यमान और सतह क्षेत्र में वृद्धि के साथ बढ़ता है।
दिए गए यौगिकों की तुलना करने पर:
$A$: $CH_3-CH_2-CH_2-Cl$ $(M.W. \approx 78.5 \ g/mol)$
$B$: $CH_3-CH_2-Cl$ $(M.W. \approx 64.5 \ g/mol)$
$C$: $CH_3-CH(Cl)-CH_2-CH_3$ $(M.W. \approx 92.5 \ g/mol)$
$D$: $CH_3-Cl$ $(M.W. \approx 50.5 \ g/mol)$
चूंकि $CH_3-CH(Cl)-CH_2-CH_3$ का आणविक द्रव्यमान सबसे अधिक है,इसलिए इसका क्वथनांक सबसे अधिक है।

(A) एल्किल हैलाइड $(R-X)$ की सिल्वर नाइट्राइट $(AgNO_2)$ के साथ अभिक्रिया मुख्य उत्पाद के रूप में नाइट्रो एल्केन $(R-NO_2)$ देती है।
$AgNO_2$ एक सहसंयोजक यौगिक है,और नाइट्रोजन परमाणु न्यूक्लियोफिलिक साइट है,जो $C-N$ बंध के निर्माण की ओर ले जाता है।
इसके विपरीत,पोटेशियम नाइट्राइट $(KNO_2)$ एक आयनिक यौगिक है,जो नाइट्राइट आयन $(NO_2^-)$ प्रदान करता है जहाँ ऑक्सीजन न्यूक्लियोफिलिक साइट है,जिसके परिणामस्वरूप एल्किल नाइट्राइट $(R-ONO)$ का निर्माण होता है।

(A) स्वार्ट्स अभिक्रिया: इसमें एल्किल क्लोराइड या ब्रोमाइड को $AgF$,$Hg_2F_2$,$CoF_2$ या $SbF_3$ जैसे धात्विक फ्लोराइड के साथ गर्म करके एल्किल फ्लोराइड प्राप्त किया जाता है।
सामान्य अभिक्रिया: $R-X + AgF \rightarrow R-F + AgX$ (जहाँ $X = -Cl, -Br$)।

(D) इस अभिक्रिया को $Wurtz$ अभिक्रिया के रूप में जाना जाता है।
इसमें धात्विक $Na$ और शुष्क ईथर की उपस्थिति में एल्किल हैलाइड के दो अणुओं का युग्मन होता है।
सामान्य अभिक्रिया: $2R-X + 2Na \xrightarrow{\text{dry ether}} R-R + 2NaX$.
जैसा कि दिखाया गया है,प्राप्त एल्केन $(R-R)$ में मूल एल्किल हैलाइड $(R-X)$ की तुलना में दोगुने कार्बन परमाणु होते हैं।

(D) वुर्ट्ज़ अभिक्रिया में सोडियम धातु और शुष्क ईथर की उपस्थिति में दो एल्काइल हैलाइड्स का संयोजन होकर उच्च एल्केन बनता है।
विकल्प $A$,$B$,और $C$ में एल्काइल हैलाइड शामिल हैं और ये वुर्ट्ज़ अभिक्रिया के उदाहरण हैं।
विकल्प $D$ में ब्रोमोबेंजीन (एक एराइल हैलाइड) सोडियम के साथ अभिक्रिया करके बाइफिनाइल बनाता है। इसे फिटिंग (Fittig) अभिक्रिया कहा जाता है,न कि वुर्ट्ज़ अभिक्रिया।

(A) $Swartz$ अभिक्रिया एल्काइल क्लोराइड या ब्रोमाइड को $AgF$,$Hg_2F_2$,$CoF_2$ या $SbF_3$ जैसे धात्विक फ्लोराइड के साथ गर्म करके एल्काइल फ्लोराइड तैयार करने की एक विधि है।
यह अभिक्रिया इस प्रकार है: $R-Cl + AgF \xrightarrow{\Delta} R-F + AgCl$.
विकल्प $A$ $Swartz$ अभिक्रिया को दर्शाता है।

(A) ग्रिग्नार्ड अभिकर्मक की तैयारी में शुष्क ईथर विलायक की उपस्थिति में एल्काइल हैलाइड $(R-X)$ की अभिक्रिया मैग्नीशियम धातु के साथ की जाती है।
अभिक्रिया इस प्रकार है: $R-X + Mg \xrightarrow{\text{dry ether}} R-MgX$
शुष्क ईथर आवश्यक है क्योंकि ग्रिग्नार्ड अभिकर्मक अत्यधिक प्रतिक्रियाशील होते हैं और नमी या प्रोटिक विलायकों की उपस्थिति में विघटित हो जाते हैं।

(C) उच्च तापमान $(623 \ K)$ और उच्च दबाव $(300 \ atm)$ पर पिघले हुए $NaOH$ के साथ क्लोरोबेंजीन की अभिक्रिया को डाउ प्रक्रिया (Dow process) के रूप में जाना जाता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$C_6H_5Cl + 2NaOH \rightarrow C_6H_5ONa + NaCl + H_2O$
इस अभिक्रिया में,क्लोरोबेंजीन पिघले हुए $NaOH$ के साथ अभिक्रिया करके मध्यवर्ती उत्पाद के रूप में सोडियम फेनॉक्साइड $(C_6H_5ONa)$ बनाता है।
बाद में,सोडियम फेनॉक्साइड का अम्लीकरण करने पर फिनोल प्राप्त होता है।
इसलिए,बनने वाला मध्यवर्ती यौगिक सोडियम फेनॉक्साइड है।

(D) $SN^2$ अभिक्रिया की दर दो मुख्य कारकों पर निर्भर करती है:
$1$. त्रिविम बाधा (Steric hindrance): $SN^2$ अभिक्रिया की दर इलेक्ट्रोफिलिक कार्बन के चारों ओर त्रिविम बाधा के व्युत्क्रमानुपाती होती है। अभिक्रियाशीलता का क्रम $CH_3-X > 1^{\circ} > 2^{\circ} > 3^{\circ}$ एल्किल हैलाइड है।
$2$. लीविंग ग्रुप की क्षमता: यदि एल्किल समूह समान है,तो $SN^2$ अभिक्रिया की दर लीविंग ग्रुप की क्षमता के सीधे समानुपाती होती है। लीविंग ग्रुप की क्षमता का क्रम $I^- > Br^- > Cl^- > F^-$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
- विकल्प $A$,$B$,और $D$ प्राथमिक $(1^{\circ})$ एल्किल हैलाइड हैं।
- विकल्प $C$ द्वितीयक $(2^{\circ})$ एल्किल हैलाइड है,जो अधिक त्रिविम बाधा के कारण प्राथमिक हैलाइड की तुलना में धीमी गति से अभिक्रिया करता है।
- प्राथमिक हैलाइड्स ($A$,$B$,और $D$) में,लीविंग ग्रुप की क्षमता दर निर्धारित करती है। चूंकि $Cl^-$,$Br^-$,और $I^-$ में $I^-$ सबसे अच्छा लीविंग ग्रुप है,इसलिए $CH_3CH_2CH_2CH_2I$ सबसे तेजी से $SN^2$ अभिक्रिया देता है।

(C) $SN^2$ अभिक्रिया की दर त्रिविम बाधा (steric hindrance) और लिविंग ग्रुप की प्रकृति पर निर्भर करती है।
$1$. त्रिविम बाधा: $SN^2$ अभिक्रियाएं प्राथमिक $(1^{\circ})$ एल्किल हैलाइड के लिए द्वितीयक $(2^{\circ})$ या तृतीयक $(3^{\circ})$ एल्किल हैलाइड की तुलना में सबसे तेज होती हैं।
$2$. लिविंग ग्रुप: समान एल्किल समूह के लिए,$SN^2$ अभिक्रिया की दर एक बेहतर लिविंग ग्रुप के साथ तेज होती है। ब्रोमाइड $(Br^-)$ क्लोराइड $(Cl^-)$ की तुलना में एक बेहतर लिविंग ग्रुप है।
विकल्पों की तुलना करने पर:
- विकल्प $A$ और $B$ द्वितीयक $(2^{\circ})$ एल्किल हैलाइड हैं।
- विकल्प $C$ और $D$ प्राथमिक $(1^{\circ})$ एल्किल हैलाइड हैं।
चूंकि प्राथमिक एल्किल हैलाइड में त्रिविम बाधा कम होती है,इसलिए वे द्वितीयक की तुलना में तेजी से प्रतिक्रिया करते हैं।
$C$ और $D$ के बीच,$C$ में ब्रोमाइड लिविंग ग्रुप है,जो $D$ में मौजूद क्लोराइड से बेहतर है।
इसलिए,$1$-ब्रोमो$-3-$मिथाइलपेंटेन $SN^2$ अभिक्रिया सबसे तेजी से करता है।

(D) हेलोएरीन में $C-X$ बंध के विदलन से जुड़ी अभिक्रिया न्यूक्लियोफिलिक एरोमैटिक प्रतिस्थापन $(S_NAr)$ है।
यह अभिक्रिया ऑर्थो और पैरा स्थितियों पर इलेक्ट्रॉन-आकर्षक समूहों (जैसे $-NO_2$) की उपस्थिति से सुगम होती है,जो अभिक्रिया के दौरान बनने वाले कार्बोनियन मध्यवर्ती को स्थिर करते हैं।
यौगिक $I$ में पैरा स्थिति पर एक $-NO_2$ समूह है।
यौगिक $II$ में दो $-NO_2$ समूह हैं (एक ऑर्थो और एक पैरा स्थिति पर)।
यौगिक $III$ में तीन $-NO_2$ समूह हैं (दो ऑर्थो और एक पैरा स्थिति पर)।
जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन-आकर्षक समूहों की संख्या बढ़ती है,न्यूक्लियोफिलिक प्रतिस्थापन के प्रति अभिक्रियाशीलता बढ़ती है।
इसलिए,अभिक्रियाशीलता का सही क्रम $III > II > I$ है।

(A) सोडियम धातु और शुष्क ईथर की उपस्थिति में ब्रोमोबेंजीन की मिथाइल ब्रोमाइड के साथ अभिक्रिया को वुर्ट्ज़-फिटिंग अभिक्रिया के रूप में जाना जाता है।
इस अभिक्रिया में,एक एरील हैलाइड,अल्काइल हैलाइड के साथ अभिक्रिया करके अल्काइलबेंजीन बनाता है।
रासायनिक समीकरण है: $C_6H_5Br + CH_3Br + 2Na \xrightarrow{\text{dry ether}} C_6H_5CH_3 + 2NaBr$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) सैंडमेयर अभिक्रिया में कॉपर$(I)$ लवणों ($CuCl$,$CuBr$,$CuCN$) का उपयोग करके बेंजीन डायज़ोनियम लवणों का एरील हैलाइड्स (क्लोरो,ब्रोमो) या एरील साइनाइड्स में रूपांतरण शामिल है।
विशेष रूप से:
$1$. $Ph-N_2^+Cl^- + CuCl \rightarrow Ph-Cl + N_2$
$2$. $Ph-N_2^+Cl^- + CuBr \rightarrow Ph-Br + N_2$
$3$. $Ph-N_2^+Cl^- + CuCN \rightarrow Ph-CN + N_2$
आयोडोबेंजीन $(Ph-I)$ सैंडमेयर अभिक्रिया द्वारा तैयार नहीं किया जाता है क्योंकि इसे बेंजीन डायज़ोनियम लवण को पोटेशियम आयोडाइड $(KI)$ के घोल के साथ उपचारित करके तैयार किया जाता है,जिसमें कॉपर उत्प्रेरक की आवश्यकता नहीं होती है।

(A) शुष्क ईथर की उपस्थिति में सोडियम धातु के साथ एरिल हैलाइड के दो मोल की अभिक्रिया द्वारा डायरिल यौगिक (बाइफिनाइल) बनाने की प्रक्रिया को $Fittig$ अभिक्रिया कहा जाता है।
सामान्य अभिक्रिया इस प्रकार है:
$2Ar-X + 2Na \xrightarrow{\text{dry ether}} Ar-Ar + 2NaX$
जहाँ $Ar$ एक एरिल समूह है और $X$ एक हैलोजन है।

(A) दी गई अभिक्रिया में जिंक अमलगम $(Zn-Hg)$ और सांद्र हाइड्रोक्लोरिक अम्ल $(HCl)$ का उपयोग करके एल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ का एल्केन $(CH_3CH_3)$ में अपचयन होता है।
$Zn-Hg$ और सांद्र $HCl$ का उपयोग करके कार्बोनिल समूहों (एल्डिहाइड और कीटोन) का मेथिलीन समूहों $(-CH_2-)$ में होने वाले इस विशिष्ट अपचयन को क्लेमेंसन अपचयन कहा जाता है।

(A) यह अभिक्रिया $Ni$ उत्प्रेरक का उपयोग करके एक असंतृप्त एल्डिहाइड $(CH_3-CH=CH-CH_2-CHO)$ के उत्प्रेरकीय हाइड्रोजनीकरण को दर्शाती है।
$Ni$ एक शक्तिशाली अपचायक है जो हाइड्रोजन की अधिकता में कार्बन-कार्बन द्वि-आबंध $(C=C)$ और कार्बोनिल समूह $(C=O)$ दोनों का अपचयन करता है।
$1$. $C=C$ द्वि-आबंध एकल आबंध में अपचयित हो जाता है: $CH_3-CH=CH-CH_2-CHO \rightarrow CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CHO$.
$2$. एल्डिहाइड समूह $(-CHO)$ प्राथमिक अल्कोहल $(-CH_2OH)$ में अपचयित हो जाता है: $CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CHO \rightarrow CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CH_2-OH$.
अतः,अंतिम उत्पाद पेंटेन$-1-$ऑल है।

(B) फिंकेलस्टीन अभिक्रिया हैलोजन विनिमय अभिक्रिया का एक प्रकार है जिसमें एसीटोन की उपस्थिति में सोडियम आयोडाइड $(NaI)$ का उपयोग करके अल्काइल क्लोराइड या ब्रोमाइड को अल्काइल आयोडाइड में परिवर्तित किया जाता है।
अभिक्रिया है: $C_2H_5Cl + NaI \xrightarrow{\text{acetone}} C_2H_5I + NaCl$।
विकल्प $B$ इस अभिक्रिया को दर्शाता है।

(C) एल्किल हैलाइड्स का विहाइड्रोहैलोजनीकरण $E2$ क्रियाविधि द्वारा होता है,जहाँ बनने वाले एल्कीन की स्थिरता के आधार पर अभिक्रिया की सुगमता निर्धारित होती है।
सैटजेफ (Saytzeff) के नियम के अनुसार,अधिक प्रतिस्थापित एल्कीन अधिक स्थिर होते हैं।
अतः,विहाइड्रोहैलोजनीकरण की सुगमता का क्रम: $3^{\circ} > 2^{\circ} > 1^{\circ}$ है।

(C) जब ब्रोमोएथेन $(CH_3CH_2Br)$ को अतिरिक्त अल्कोहलिक अमोनिया के साथ गर्म किया जाता है,तो यह मुख्य उत्पाद के रूप में एथेनामाइन $(CH_3CH_2NH_2)$ बनाने के लिए न्यूक्लियोफिलिक प्रतिस्थापन अभिक्रिया (अमोनोलिसिस) से गुजरता है।
$CH_3CH_2Br + NH_3 (\text{excess}) \rightarrow CH_3CH_2NH_2 + HBr$
चूंकि अमोनिया अधिक मात्रा में है,इसलिए अभिक्रिया प्राथमिक एमाइन चरण पर रुक जाती है।

(D) बेंजीन डायज़ोनियम क्लोराइड की इथेनॉल $(CH_3CH_2OH)$ के साथ अभिक्रिया एक अपचयन (reduction) प्रक्रिया के रूप में कार्य करती है।
इस अभिक्रिया में,इथेनॉल का ऑक्सीकरण एसिटाल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ में होता है और डायज़ोनियम लवण का अपचयन बेंजीन $(C_6H_6)$ में होता है।
रासायनिक समीकरण है: $C_6H_5N_2Cl + C_2H_5OH \rightarrow C_6H_6 + CH_3CHO + N_2 + HCl$.

(B) निर्जल $AlCl_3$ की उपस्थिति में ऐनिसोल की एसिटाइल क्लोराइड के साथ अभिक्रिया एक फ्रीडल-क्राफ्ट्स एसाइलेशन अभिक्रिया है।
ऐनिसोल में $-OCH_3$ समूह होता है,जो एक ऑर्थो/पैरा-निर्देशक समूह है।
ऑर्थो स्थिति पर त्रिविम बाधा (steric hindrance) के कारण,पैरा-प्रतिस्थापित उत्पाद मुख्य उत्पाद के रूप में बनता है।
इसलिए,मुख्य उत्पाद $X$,$4-$मेथॉक्सी एसीटोफिनोन है।

(C) जब क्लोरीन आधिक्य अमोनिया के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह अमोनियम क्लोराइड और डाइनाइट्रोजन गैस बनाता है।
इस अभिक्रिया के लिए रासायनिक समीकरण है:
$8NH_3 + 3Cl_2 \rightarrow 6NH_4Cl + N_2$

(D) जब अमोनिया की अधिकता में क्लोरीन के साथ अभिक्रिया होती है,तो अभिक्रिया इस प्रकार है: $NH_3 + 3Cl_2 \rightarrow NCl_3 + 3HCl$।
अतः,उत्पाद नाइट्रोजन ट्राइक्लोराइड $(NCl_3)$ और हाइड्रोक्लोरिक एसिड $(HCl)$ हैं।

(D) सल्फ्यूरिक एसिड के निर्माण के संपर्क प्रक्रम में,$SO_3$ गैस को सांद्र $H_2SO_4$ में अवशोषित करके ओलियम $(H_2S_2O_7)$ बनाया जाता है।
रासायनिक अभिक्रिया इस प्रकार है:
$SO_3 + H_2SO_4 \rightarrow H_2S_2O_7$ (ओलियम)

(B) समूह में ऊपर से नीचे जाने पर हाइड्रोजन हैलाइडों की तापीय स्थिरता कम हो जाती है क्योंकि बंध वियोजन ऊर्जा घट जाती है।
जैसे-जैसे हैलोजन परमाणु का आकार $F$ से $I$ तक बढ़ता है,$H-X$ बंध की लंबाई बढ़ती है,जिसके परिणामस्वरूप बंध की मजबूती कम हो जाती है।
इसलिए,तापीय स्थिरता का क्रम $HF > HCl > HBr > HI$ है।
अतः,$HI$ तापीय रूप से सबसे कम स्थिर हाइड्रोजन हैलाइड है।

(D) ब्रोमीन और फ्लोरीन की अभिक्रिया तापमान और अभिकारकों के अनुपात के आधार पर अंतर-हैलोजन यौगिक बनाती है।
$Br_2 + F_2 (excess) \rightarrow 2BrF$
$Br_2 + 3F_2 \rightarrow 2BrF_3$
$Br_2 + 5F_2 \rightarrow 2BrF_5$
$BrF_7$ का निर्माण नहीं होता है क्योंकि ब्रोमीन का आकार इतना बड़ा नहीं होता कि वह त्रिविम बाधा (steric hindrance) के कारण अपने चारों ओर सात फ्लोरीन परमाणुओं को समायोजित कर सके।

(D) जब क्लोरीन गैस गर्म और सांद्र सोडियम हाइड्रॉक्साइड $(NaOH)$ के साथ अभिक्रिया करती है,तो यह असमानुपातन (disproportionation) अभिक्रिया दर्शाती है।
इस अभिक्रिया के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$3Cl_2 + 6NaOH \rightarrow 5NaCl + NaClO_3 + 3H_2O$
अतः,प्राप्त उत्पाद सोडियम क्लोराइड $(NaCl)$,सोडियम क्लोरेट $(NaClO_3)$ और जल $(H_2O)$ हैं।