ધારો કે $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ એક સતત વિધેય છે જેથી $f(0)=1$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) dt = 0$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \cos 3x = 0$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(B)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \sin 3x = -\frac{6}{\pi}$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = -1$
$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = -1$

ધારો કે $f(x) = \min \{[x-1], [x-2], \ldots, [x-10]\}$ જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો $\int_{0}^{10} f(x) \, dx + \int_{0}^{10} (f(x))^2 \, dx + \int_{0}^{10} |f(x)| \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $F: R \rightarrow R$ એ ત્રણ વાર વિકલનીય વિધેય છે. ધારો કે $F(1)=0, F(3)=-4$ અને તમામ $x \in (1/2, 3)$ માટે $F^{\prime}(x) < 0$ છે. ધારો કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x)=x F(x)$ છે.
$1.$ સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{કોઈપણ }x \in (1,3) \text{માટે }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ અમુક $x \in (1, 3)$ માટે $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ જો $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ અને $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ હોય,તો સાચું પદ(દો) છે:
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$. તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને: