કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ alpha અને beta માટે,ધા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \alpha y = x e^{\beta x}$ છે. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \alp

Vedclass · Accepted Answer

$A, C$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \alpha y = x e^{\beta x}$ છે. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \alpha$ અને $Q(x) = x e^{\beta x}$.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \alpha dx} = e^{\alpha x}$ છે.બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{d}{dx}(y e^{\alpha x}) = x e^{(\alpha+\beta)x}$ મળે છે.કિસ્સો $I$: જો $\alpha + \beta = 0$,તો $\beta = -\alpha$. સમીકરણ $\frac{d}{dx}(y e^{\alpha x}) = x$ બને છે. બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y e^{\alpha x} = \frac{x^2}{2} + C$. $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 \cdot e^{\alpha} = \frac{1}{2} + C$ મળે છે,તેથી $C = e^{\alpha} - \frac{1}{2}$. આમ,$y = \frac{x^2}{2} e^{-\alpha x} + (e^{\alpha} - \frac{1}{2}) e^{-\alpha x}$. $\alpha = 1$ માટે,$y = \frac{x^2}{2} e^{-x} + (e - \frac{1}{2}) e^{-x}$,જે વિકલ્પ $(A)$ સાથે મેળ ખાય છે.કિસ્સો $II$: જો $\alpha + \beta 
eq 0$,તો $\int x e^{(\alpha+\beta)x} dx$ નું ખંડશઃ સંકલન કરતા $\frac{x e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} - \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{(\alpha+\beta)^2} + C$ મળે છે. આમ,$y e^{\alpha x} = \frac{x e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} - \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{(\alpha+\beta)^2} + C$. $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$C = e^{\alpha} - \frac{e^{\alpha+\beta}}{\alpha+\beta} + \frac{e^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)^2}$. $\alpha = -1, \beta = 2$ માટે,આપણી પાસે $\alpha+\beta = 1$ છે. આ કિંમતો મૂકતા વિકલ્પ $(C)$ નું સ્વરૂપ મળે છે.તેથી,$(A)$ અને $(C)$ બંને $S$ માં સમાવિષ્ટ છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2xy}{1 - x^2} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

નીચે આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ શોધો:
$\frac{dy}{dx} + y \cdot \csc^2 (x) = \csc^2 (x) \cdot \cot (x)$

જો $x=f(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2)+(x-2 e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$,$y \in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ નો ઉકેલ હોય અને $f(0)=1$ હોય,તો $f(\frac{1}{\sqrt{3}})$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y,$ $(x\ne0)$ નો ઉકેલ છે. જો $y(2)=0$ હોય,તો $\tan(y(1))$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module