IIT JEE 1991 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) बहुपद $P(x)$ के गुणांकों का योग $P(1)$ का मान रखकर प्राप्त किया जाता है।
दिया गया बहुपद $P(x) = (\alpha ^2 x^2 - 2\alpha x + 1)^{51}$ है।
$x = 1$ रखने पर,गुणांकों का योग $(\alpha ^2(1)^2 - 2\alpha(1) + 1)^{51} = (\alpha ^2 - 2\alpha + 1)^{51}$ होता है।
चूंकि गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए $(\alpha ^2 - 2\alpha + 1)^{51} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $(\alpha - 1)^2 = 0$,जिससे $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $P = \sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3\pi}{14} \sin \frac{5\pi}{14} \sin \frac{7\pi}{14} \sin \frac{9\pi}{14} \sin \frac{11\pi}{14} \sin \frac{13\pi}{14}$.
गुणधर्म $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{13\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{14}$,$\sin \frac{11\pi}{14} = \sin \frac{3\pi}{14}$,और $\sin \frac{9\pi}{14} = \sin \frac{5\pi}{14}$.
साथ ही,$\sin \frac{7\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$.
अतः,$P = \left( \sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3\pi}{14} \sin \frac{5\pi}{14} \right)^2 \times 1 = \frac{1}{64}$.

(B) माना निश्चित बिंदु $P$ $(x_1, y_1)$ है। $P$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है,जिसे $mx - y + (y_1 - mx_1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की दूरी $\frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$(2, 0)$,$(0, 2)$ और $(1, 1)$ से लंबों का योग:
$\frac{2m - 0 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} + \frac{0 - 2 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} + \frac{m - 1 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} = 0$
अंश को सरल करने पर:
$3m - 3mx_1 + 3y_1 - 3 = 0$
$3(m(1 - x_1) + (y_1 - 1)) = 0$
चूंकि रेखा चर है,यह समीकरण $m$ के सभी मानों के लिए सत्य होना चाहिए। अतः:
$1 - x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
$y_1 - 1 = 0 \Rightarrow y_1 = 1$
अतः,$P$ के निर्देशांक $(1, 1)$ हैं।

(B) रेखा $\lambda x - y + 1 = 0$ के निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{1}{\lambda}, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
रेखा $x - 2y + 3 = 0$ के निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(-3, 0)$ और $(0, \frac{3}{2})$ हैं।
चूँकि वृत्त इन चार बिंदुओं से होकर गुजरता है,यह $(0, 1), (-3, 0)$ और $(0, \frac{3}{2})$ से होकर गुजरता है।
वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
$(0, 1)$ रखने पर,$1 + 2f + c = 0$ प्राप्त होता है।
$(0, \frac{3}{2})$ रखने पर,$\frac{9}{4} + 3f + c = 0$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को घटाने पर: $f = -\frac{5}{4}$ और $c = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$(-3, 0)$ रखने पर,$9 - 6g + \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow g = \frac{7}{4}$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + \frac{7}{2}x - \frac{5}{2}y + \frac{3}{2} = 0$ है।
चूँकि यह $(-\frac{1}{\lambda}, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{1}{\lambda^2} - \frac{7}{2\lambda} + \frac{3}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
$3\lambda^2 - 7\lambda + 2 = 0$ को हल करने पर,$\lambda = 2$ या $\lambda = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $2$ है।

(D) हम जानते हैं कि $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\sqrt{\frac{1}{2}(2 \sin^2 x)} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ प्राप्त होता है।
अतः,सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x}$ हो जाती है।
दाहिनी सीमा के लिए $(x \to 0^+)$,$|\sin x| = \sin x$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$.
बाईं सीमा के लिए $(x \to 0^-)$,$|\sin x| = -\sin x$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$.
चूंकि बाईं सीमा और दाहिनी सीमा बराबर नहीं हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(A) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,हम जानते हैं कि $\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 = \overline{E_1 \cup E_2}$ होता है।
माना $A = E_1 \cup E_2$ है। तब व्यंजक $P(A \cap \bar{A})$ हो जाता है।
चूंकि $A \cap \bar{A} = \phi$ (रिक्त समुच्चय),इसलिए $P(A \cap \bar{A}) = P(\phi) = 0$ है।
चूंकि $0 < \frac{1}{4}$ है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के अभिलंब का ढाल रूप $y = mx - 2am - am^3$ है।
दिए गए परवलय $y^2 = x$ के लिए,$4a = 1$ है,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{4}$।
अभिलंब समीकरण में $a$ का मान रखने पर,हमें $y = mx - \frac{1}{2}m - \frac{1}{4}m^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभिलंब बिंदु $(C, 0)$ से गुजरता है,हम $x = C$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 = mC - \frac{1}{2}m - \frac{1}{4}m^3$।
यह $m(C - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}m^2) = 0$ में सरल हो जाता है।
एक हल $m = 0$ है। अन्य दो अभिलंबों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,द्विघात समीकरण $C - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}m^2 = 0$ के $m^2$ के लिए दो भिन्न वास्तविक हल होने चाहिए।
इसके लिए $C - \frac{1}{2} > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $C > \frac{1}{2}$।

(C) $x = \frac{3\pi}{4}$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और उस बिंदु पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,$x = \frac{3\pi}{4}$ पर फलन का मान $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 1$ है।
इसके बाद,बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^-} f(x) = 1$ है।
फिर,दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^+} f(x) = \lim_{h \to 0} 2\sin \left(\frac{2}{9} \left(\frac{3\pi}{4} + h\right)\right) = 2\sin \left(\frac{2}{9} \cdot \frac{3\pi}{4}\right) = 2\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ है।
चूँकि $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^+} f(x) = f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 1$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = \frac{3\pi}{4}$ पर संतत है।

(A) $x = \frac{\pi}{2}$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x \sin x) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \times 1 = \frac{\pi}{2}$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} \sin(\pi + x) = \frac{\pi}{2} \sin(\pi + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \times (-1) = -\frac{\pi}{2}$.
$3$. फलन का मान: $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
चूँकि $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) \neq \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर असंतत है।

(A) हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही,किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,हम जानते हैं कि $P(A \cup B) \le 1$ होता है।
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1$ मिलता है।
दोनों पक्षों को $P(B)$ से विभाजित करने पर (जहाँ $P(B) \ne 0$),हमें $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \ge \frac{P(A) + P(B) - 1}{P(B)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(A/B) \ge \frac{P(A) + P(B) - 1}{P(B)}$ हमेशा सत्य है।

(D) माना $\cot ^{ - 1}(1/2) = \theta$ है। तब $\cot \theta = 1/2$ होगा।
चूंकि $\cot \theta = 1/2$,हम एक समकोण त्रिभुज की कल्पना कर सकते हैं जिसमें आसन्न भुजा $1$ और सम्मुख भुजा $2$ है।
कर्ण की लंबाई $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ होगी।
अतः,$\sin \theta = 2/\sqrt{5}$।
अब,दिया गया समीकरण $\tan (\cos ^{ - 1}x) = \sin \theta = 2/\sqrt{5}$ है।
माना $\cos ^{ - 1}x = \phi$,इसलिए $\cos \phi = x$।
तब $\tan \phi = 2/\sqrt{5}$।
एक समकोण त्रिभुज में जहाँ $\tan \phi = 2/\sqrt{5}$ है,सम्मुख भुजा $2$ और आसन्न भुजा $\sqrt{5}$ है।
कर्ण की लंबाई $\sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ होगी।
इसलिए,$\cos \phi = \text{आसन्न भुजा} / \text{कर्ण} = \sqrt{5}/3$।
अतः,$x = \sqrt{5}/3$।

(D) माना $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$ है।
दिया है $a \cdot b = 3$,अतः $b_1 + b_2 + b_3 = 3$ ......$(i)$।
दिया है $a \times b = c$,जहाँ $a = (1, 1, 1)$ और $c = (0, 1, -1)$ है,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3 - b_2)i + (b_1 - b_3)j + (b_2 - b_1)k$।
इसे $c = (0, 1, -1)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b_3 - b_2 = 0$ ......$(ii)$
$b_1 - b_3 = 1$ ......$(iii)$
$b_2 - b_1 = -1$ ......$(iv)$
$(ii)$ से,$b_2 = b_3$। इस मान को $(i)$ में रखने पर,$b_1 + 2b_2 = 3$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ से,$b_1 = 1 + b_3 = 1 + b_2$।
$b_1$ का मान $b_1 + 2b_2 = 3$ में रखने पर,$(1 + b_2) + 2b_2 = 3$,अतः $3b_2 = 2$,जिसका अर्थ है $b_2 = \frac{2}{3}$।
अतः $b_3 = \frac{2}{3}$ और $b_1 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।
इस प्रकार,$b = \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$।