IIT JEE 1991 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર: $\frac{dQ}{dt} = \sigma A (T^4 - T_0^4)$ છે.
અહીં $dQ = mc \, dT$ અને $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$ હોવાથી: $mc \frac{dT}{dt} = -\sigma (4 \pi r^2) T^4$ ($T_0 = 0 \, K$ હોવાથી).
$m$ ની કિંમત મૂકતા: $(\rho \frac{4}{3} \pi r^3) c \frac{dT}{dt} = -4 \pi r^2 \sigma T^4$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{dT}{T^4} = -\frac{3 \sigma}{\rho c r} dt$.
$T_i = 200 \, K$ થી $T_f = 100 \, K$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{200}^{100} T^{-4} dT = -\frac{3 \sigma}{\rho c r} \int_{0}^{t} dt$.
$[-\frac{1}{3} T^{-3}]_{200}^{100} = -\frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$\frac{1}{3} [\frac{1}{100^3} - \frac{1}{200^3}] = \frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$\frac{1}{3} [\frac{8 - 1}{8 \times 10^6}] = \frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$\frac{7}{24 \times 10^6} = \frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$t = \frac{7}{72} \frac{r \rho c}{\sigma} \times 10^{-6} \, s$.
સમય $\mu s$ $(10^{-6} \, s)$ માં માંગેલ હોવાથી,જવાબ $\frac{7}{72} \frac{r \rho c}{\sigma} \, \mu s$ થશે.

(B) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાન હોવાથી,$l$ અને $m$ અચળ છે,તેથી $n \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે શરૂઆતની આવૃત્તિઓ $n_1$ અને $n_2$ છે જે અનુક્રમે તણાવ $T_1$ અને $T_2$ ને અનુરૂપ છે,જ્યાં $T_1 > T_2$,જેનો અર્થ છે કે $n_1 > n_2$.
બીટ આવૃત્તિ $n_1 - n_2 = 6$ છે.
જો તણાવ બદલ્યા પછી બીટ આવૃત્તિ $6$ રહે છે,તો નવી આવૃત્તિઓ $n_1'$ અને $n_2'$ એ $|n_1' - n_2'| = 6$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
કિસ્સો $(i)$: જો $n_1$ અચળ રહે,તો $n_2$ વધીને $n_2'$ થવું જોઈએ જેથી $n_2' - n_1 = 6$ થાય. આ માટે તણાવ $T_2$ વધારવો પડે.
આમ,એક તણાવ બદલતી વખતે $6$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ જાળવી રાખવા માટેનો એકમાત્ર માન્ય ભૌતિક ફેરફાર એ છે કે નીચલા તણાવ $T_2$ ને વધારવો જેથી નવી આવૃત્તિ $n_2'$ એ $n_1$ કરતા $6$ Hz વધારે થાય.

(B) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$. પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV = \frac{{\varepsilon _0}AV}{d}$. બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબ દાખલ કર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C' = kC = \frac{k{\varepsilon _0}A}{d}$ થાય છે.
નવો પોટેન્શિયલ તફાવત $V' = \frac{Q}{C'} = \frac{CV}{kC} = \frac{V}{k}$ થાય છે.
નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V'}{d} = \frac{V}{kd}$ થાય છે.
સિસ્ટમ પર થયેલ કાર્ય $W$ એ સંગ્રહિત ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_{final} - U_{initial}$.
$U_{initial} = \frac{1}{2}CV^2$.
$U_{final} = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2kC} = \frac{CV^2}{2k}$.
$W = \frac{CV^2}{2k} - \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}CV^2 \left( \frac{1}{k} - 1 \right) = -\frac{{\varepsilon _0}AV^2}{2d} \left( 1 - \frac{1}{k} \right)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.

(D) $P$ બિંદુએ કણની ગતિઊર્જા $K_P = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$Q$ બિંદુએ કણની ગતિઊર્જા $K_Q = \frac{1}{2}m(2v)^2 = 2mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં વધારો $\Delta K = K_Q - K_P = 2mv^2 - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}mv^2$ છે.
આ વધારો વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ દ્વારા થતા કાર્યને કારણે છે,કારણ કે કણ $x$-અક્ષ પર $2a$ અંતર કાપે છે.
તેથી,$W = qE(2a) = \frac{3}{2}mv^2$,જે આપે છે $E = \frac{3}{4}\frac{mv^2}{qa}$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતા કાર્યનો દર $P_e = \vec{F_e} \cdot \vec{v}$ છે. $P$ બિંદુએ,$\vec{F_e} = qE\hat{i}$ અને $\vec{v} = v\hat{i}$,તેથી $P_e = (qE)(v) = q(\frac{3}{4}\frac{mv^2}{qa})v = \frac{3}{4}\frac{mv^3}{a}$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$Q$ બિંદુએ,વેગ $\vec{v} = -2v\hat{j}$ છે. વિદ્યુત બળ $\vec{F_e} = qE\hat{i}$ છે. કારણ કે $\vec{F_e} \perp \vec{v}$,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતા કાર્યનો દર $P_e = \vec{F_e} \cdot \vec{v} = 0$ છે. ચુંબકીય બળ $\vec{F_m} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા થતા કાર્યનો દર $P_m = \vec{F_m} \cdot \vec{v} = 0$ છે. આમ,$Q$ આગળ કુલ કાર્યનો દર $0+0=0$ છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.