IIT JEE 1991 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) બહુપદી $P(x)$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $P(1)$ ની કિંમત મૂકીને મેળવવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $P(x) = (\alpha ^2 x^2 - 2\alpha x + 1)^{51}$ છે.
$x = 1$ મૂકતા,સહગુણકોનો સરવાળો $(\alpha ^2(1)^2 - 2\alpha(1) + 1)^{51} = (\alpha ^2 - 2\alpha + 1)^{51}$ થાય છે.
સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,$(\alpha ^2 - 2\alpha + 1)^{51} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\alpha - 1)^2 = 0$,જે $\alpha = 1$ આપે છે.

(D) ધારો કે $P = \sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3\pi}{14} \sin \frac{5\pi}{14} \sin \frac{7\pi}{14} \sin \frac{9\pi}{14} \sin \frac{11\pi}{14} \sin \frac{13\pi}{14}$.
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{13\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{14}$,$\sin \frac{11\pi}{14} = \sin \frac{3\pi}{14}$,અને $\sin \frac{9\pi}{14} = \sin \frac{5\pi}{14}$.
વળી,$\sin \frac{7\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$.
તેથી,$P = \left( \sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3\pi}{14} \sin \frac{5\pi}{14} \right)^2 \times 1 = \frac{1}{64}$.

(B) ધારો કે નિશ્ચિત બિંદુ $P$ એ $(x_1, y_1)$ છે. $P$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે,જેને $mx - y + (y_1 - mx_1) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબનું અંતર $\frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
$(2, 0)$,$(0, 2)$ અને $(1, 1)$ થી લંબનો સરવાળો:
$\frac{2m - 0 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} + \frac{0 - 2 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} + \frac{m - 1 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} = 0$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$3m - 3mx_1 + 3y_1 - 3 = 0$
$3(m(1 - x_1) + (y_1 - 1)) = 0$
રેખા ચલ હોવાથી,આ સમીકરણ $m$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું હોવું જોઈએ. તેથી:
$1 - x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
$y_1 - 1 = 0 \Rightarrow y_1 = 1$
આમ,$P$ ના યામ $(1, 1)$ છે.

(B) રેખા $\lambda x - y + 1 = 0$ ના યામ અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ $(-\frac{1}{\lambda}, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
રેખા $x - 2y + 3 = 0$ ના યામ અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ $(-3, 0)$ અને $(0, \frac{3}{2})$ છે.
વર્તુળ આ ચાર બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે $(0, 1), (-3, 0)$ અને $(0, \frac{3}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
$(0, 1)$ મૂકતા,$1 + 2f + c = 0$ મળે.
$(0, \frac{3}{2})$ મૂકતા,$\frac{9}{4} + 3f + c = 0$ મળે.
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $f = -\frac{5}{4}$ અને $c = \frac{3}{2}$ મળે.
$(-3, 0)$ મૂકતા,$9 - 6g + \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow g = \frac{7}{4}$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + \frac{7}{2}x - \frac{5}{2}y + \frac{3}{2} = 0$ છે.
તે $(-\frac{1}{\lambda}, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{1}{\lambda^2} - \frac{7}{2\lambda} + \frac{3}{2} = 0$ મળે.
$3\lambda^2 - 7\lambda + 2 = 0$ ઉકેલતા,$\lambda = 2$ અથવા $\lambda = \frac{1}{3}$ મળે. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $2$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sqrt{\frac{1}{2}(2 \sin^2 x)} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ મળે છે.
આમ,લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x}$ બને છે.
જમણી બાજુના લક્ષ માટે $(x \to 0^+)$,$|\sin x| = \sin x$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$.
ડાબી બાજુના લક્ષ માટે $(x \to 0^-)$,$|\sin x| = -\sin x$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન ન હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(A) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 = \overline{E_1 \cup E_2}$.
ધારો કે $A = E_1 \cup E_2$. તો પદાવલિ $P(A \cap \bar{A})$ બને છે.
કારણ કે $A \cap \bar{A} = \phi$ (ખાલી ગણ),તેથી $P(A \cap \bar{A}) = P(\phi) = 0$.
કારણ કે $0 < \frac{1}{4}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના અભિલંબનું ઢાળ સ્વરૂપ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2 = x$ માટે,$4a = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{1}{4}$.
અભિલંબના સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $y = mx - \frac{1}{2}m - \frac{1}{4}m^3$ મળે છે.
અભિલંબ બિંદુ $(C, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે $x = C$ અને $y = 0$ મૂકીએ છીએ:
$0 = mC - \frac{1}{2}m - \frac{1}{4}m^3$.
આનું સાદું રૂપ $m(C - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}m^2) = 0$ થાય છે.
એક ઉકેલ $m = 0$ છે. અન્ય બે અભિલંબ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $C - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}m^2 = 0$ ના $m^2$ માટે બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
આ માટે $C - \frac{1}{2} > 0$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $C > \frac{1}{2}$.

(C) $x = \frac{3\pi}{4}$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને તે બિંદુએ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ.
પ્રથમ,$x = \frac{3\pi}{4}$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 1$ છે.
ત્યારબાદ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^-} f(x) = 1$ છે.
પછી,જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^+} f(x) = \lim_{h \to 0} 2\sin \left(\frac{2}{9} \left(\frac{3\pi}{4} + h\right)\right) = 2\sin \left(\frac{2}{9} \cdot \frac{3\pi}{4}\right) = 2\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ છે.
અહીં $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^+} f(x) = f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 1$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{3\pi}{4}$ આગળ સતત છે.

(A) $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x \sin x) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \times 1 = \frac{\pi}{2}$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} \sin(\pi + x) = \frac{\pi}{2} \sin(\pi + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \times (-1) = -\frac{\pi}{2}$.
$3$. વિધેયનું મૂલ્ય: $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
અહીં $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) \neq \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ અસતત છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવના $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) \le 1$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1$ મળે છે.
બંને બાજુને $P(B)$ વડે ભાગતા (જ્યાં $P(B) \ne 0$),આપણને $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \ge \frac{P(A) + P(B) - 1}{P(B)}$ મળે છે.
તેથી,$P(A/B) \ge \frac{P(A) + P(B) - 1}{P(B)}$ હંમેશા સાચું છે.

(D) ધારો કે $\cot ^{ - 1}(1/2) = \theta$. તેથી $\cot \theta = 1/2$.
$\cot \theta = 1/2$ હોવાથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ વિચારી શકીએ જેમાં પાસેની બાજુ $1$ અને સામેની બાજુ $2$ છે.
કર્ણની લંબાઈ $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = 2/\sqrt{5}$.
હવે,આપેલ સમીકરણ $\tan (\cos ^{ - 1}x) = \sin \theta = 2/\sqrt{5}$ છે.
ધારો કે $\cos ^{ - 1}x = \phi$,તેથી $\cos \phi = x$.
તેથી $\tan \phi = 2/\sqrt{5}$.
એક કાટકોણ ત્રિકોણમાં જ્યાં $\tan \phi = 2/\sqrt{5}$ હોય,ત્યાં સામેની બાજુ $2$ અને પાસેની બાજુ $\sqrt{5}$ છે.
કર્ણની લંબાઈ $\sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ થશે.
તેથી,$\cos \phi = \text{પાસેની બાજુ} / \text{કર્ણ} = \sqrt{5}/3$.
આમ,$x = \sqrt{5}/3$.

(D) ધારો કે $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$.
આપેલ છે કે $a \cdot b = 3$,તેથી $b_1 + b_2 + b_3 = 3$ ......$(i)$.
આપેલ છે કે $a \times b = c$,જ્યાં $a = (1, 1, 1)$ અને $c = (0, 1, -1)$,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3 - b_2)i + (b_1 - b_3)j + (b_2 - b_1)k$.
આને $c = (0, 1, -1)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$b_3 - b_2 = 0$ ......$(ii)$
$b_1 - b_3 = 1$ ......$(iii)$
$b_2 - b_1 = -1$ ......$(iv)$
$(ii)$ પરથી,$b_2 = b_3$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$b_1 + 2b_2 = 3$.
$(iii)$ પરથી,$b_1 = 1 + b_3 = 1 + b_2$.
$b_1$ ની કિંમત $b_1 + 2b_2 = 3$ માં મૂકતા,$(1 + b_2) + 2b_2 = 3$,તેથી $3b_2 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $b_2 = \frac{2}{3}$.
તેથી $b_3 = \frac{2}{3}$ અને $b_1 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
આમ,$b = \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$.