IIT JEE 1978 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $z = (1 - \cos \theta ) + i(2\sin \theta )$. हमें $z^{-1} = \frac{1}{z}$ का वास्तविक भाग ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ और $2\sin \theta = 4\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$.
अतः,$z = 2\sin(\frac{\theta}{2}) [\sin(\frac{\theta}{2}) + 2i\cos(\frac{\theta}{2})]$.
तब,$z^{-1} = \frac{1}{2\sin(\frac{\theta}{2})} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\theta}{2}) + 2i\cos(\frac{\theta}{2})}$.
अंश और हर को संयुग्मी $\sin(\frac{\theta}{2}) - 2i\cos(\frac{\theta}{2})$ से गुणा करने पर:
$z^{-1} = \frac{1}{2\sin(\frac{\theta}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{\theta}{2}) - 2i\cos(\frac{\theta}{2})}{\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})}$.
वास्तविक भाग $\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2}) [\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})]} = \frac{1}{2[\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})]}$.
$\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ और $\cos^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ रखने पर:
वास्तविक भाग $= \frac{1}{2[\frac{1 - \cos \theta}{2} + 4(\frac{1 + \cos \theta}{2})]} = \frac{1}{1 - \cos \theta + 4 + 4\cos \theta} = \frac{1}{5 + 3\cos \theta }$.

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं,इसलिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ (या इसके विपरीत),जहाँ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
हमें $xyz = (a + b)(a\omega + b\omega^2)(a\omega^2 + b\omega)$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$y$ और $z$ का गुणा करें:
$yz = (a\omega + b\omega^2)(a\omega^2 + b\omega) = a^2\omega^3 + ab\omega^2 + ab\omega^4 + b^2\omega^3$.
चूँकि $\omega^3 = 1$ और $\omega^4 = \omega$,यह सरल होकर निम्न प्रकार होगा:
$yz = a^2(1) + ab(\omega^2 + \omega) + b^2(1) = a^2 + ab(-1) + b^2 = a^2 - ab + b^2$.
अब,$x$ से गुणा करने पर:
$xyz = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

(A) स्थिति $1$: यदि $9, x, y, z, a$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो पदों का योग $9 + x + y + z + a = \frac{5}{2}(9 + a)$ होगा।
$x + y + z = 15$ दिया गया है,अतः $9 + 15 + a = \frac{5}{2}(9 + a)$।
$24 + a = \frac{45 + 5a}{2}$।
$48 + 2a = 45 + 5a$।
$3a = 3 \Rightarrow a = 1$।
स्थिति $2$: यदि $9, x, y, z, a$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो $\frac{1}{9}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{a}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
इन पदों का योग $\frac{1}{9} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{a}\right)$ होगा।
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{5}{3}$ दिया गया है,अतः $\frac{1}{9} + \frac{5}{3} + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{a}\right)$।
$\frac{16}{9} + \frac{1}{a} = \frac{5}{18} + \frac{5}{2a}$।
$\frac{1}{a} - \frac{5}{2a} = \frac{5}{18} - \frac{16}{9}$।
$-\frac{3}{2a} = -\frac{3}{2} \Rightarrow a = 1$।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 + px + 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = 1$ है।
दिया गया है कि $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2 + qx + 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\gamma + \delta = -q$ और $\gamma \delta = 1$ है।
व्यंजक $(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$ पर विचार करें:
$= (\alpha \beta - \gamma(\alpha + \beta) + \gamma^2)(\alpha \beta + \delta(\alpha + \beta) + \delta^2)$
$= (1 + p\gamma + \gamma^2)(1 - p\delta + \delta^2)$.
चूंकि $\gamma$ समीकरण $x^2 + qx + 1 = 0$ का मूल है,इसलिए $\gamma^2 + q\gamma + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \gamma^2 = -q\gamma$।
इसी प्रकार,$\delta^2 + 1 = -q\delta$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= (-q\gamma + p\gamma)(-q\delta - p\delta)$
$= \gamma(p - q) \times \delta(-p - q)$
$= -\gamma \delta (p - q)(p + q)$
$= -1(p^2 - q^2) = q^2 - p^2$।

(B) हमें दिया गया है $\tan \alpha = \frac{m}{m + 1}$ और $\tan \beta = \frac{1}{2m + 1}$।
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{m}{m + 1} + \frac{1}{2m + 1}}{1 - \left(\frac{m}{m + 1}\right) \left(\frac{1}{2m + 1}\right)}$
$= \frac{\frac{m(2m + 1) + (m + 1)}{(m + 1)(2m + 1)}}{\frac{(m + 1)(2m + 1) - m}{(m + 1)(2m + 1)}}$
$= \frac{2m^2 + m + m + 1}{2m^2 + m + 2m + 1 - m}$
$= \frac{2m^2 + 2m + 1}{2m^2 + 2m + 1} = 1$
चूंकि $\tan(\alpha + \beta) = 1$,इसलिए $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$।

(A) दिया गया सीमा: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {a + 2x} - \sqrt {3x} }}{{\sqrt {3a + x} - 2\sqrt x }}$
अंश और हर का परिमेयकरण करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{a - x}{3(a - x)} \times \frac{\sqrt {3a + x} + 2\sqrt x}{\sqrt {a + 2x} + \sqrt {3x}}$
$L = \frac{1}{3} \times \frac{2\sqrt{4a} + 2\sqrt{a}}{2\sqrt{3a}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (1 - x)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)$.
$y = 1 - x$ प्रतिस्थापित करने पर,जब $x \to 1$,तब $y \to 0$ और $x = 1 - y$.
अतः $L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \tan \left( {\frac{{\pi (1 - y)}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi y}}{2}} \right)$.
सर्वसमिका $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \cot \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{y}{\tan \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right)}$.
$\frac{\pi }{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\pi }{2}} \cdot \frac{{\frac{{\pi y}}{2}}}{{\tan \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right)}} = \frac{2}{\pi } \cdot 1 = \frac{2}{\pi }$.

(C) आकृति में कुल $8$ वर्ग हैं जो तीन पंक्तियों में व्यवस्थित हैं: शीर्ष पंक्ति ($2$ वर्ग),मध्य पंक्ति ($4$ वर्ग),और निचली पंक्ति ($2$ वर्ग)।
हमें $8$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने हैं।
$8$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने के कुल तरीके $^8C_6 = 28$ हैं।
प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक '$X$' होना चाहिए।
यदि शीर्ष पंक्ति में कोई '$X$' नहीं है,तो शेष $6$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने का $^6C_6 = 1$ तरीका है।
यदि निचली पंक्ति में कोई '$X$' नहीं है,तो शेष $6$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने का $^6C_6 = 1$ तरीका है।
अतः,अमान्य तरीकों की संख्या $1 + 1 = 2$ है।
आवश्यक तरीकों की संख्या $28 - 2 = 26$ है।

(C) दिए गए समघात रैखिक समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$x - cy - bz = 0$
$-cx + y - az = 0$
$-bx - ay + z = 0$
इस निकाय का एक गैर-तुच्छ हल (जहाँ $x, y, z$ सभी शून्य नहीं हैं) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ -c & 1 & -a \\ -b & -a & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 - a^2) - (-c)(-c - ab) + (-b)(ac + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc = 1$

(B) माना $t = x^2$ है।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{x}{1 + x^4} \, dx = \int \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot (x \, dx) = \int \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2} \, dt$।
$= \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + t^2} \, dt$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{1 + t^2} \, dt = \tan^{-1}(t) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{1}{2} \tan^{-1}(t) + c$।
$t = x^2$ वापस रखने पर,अंतिम परिणाम $\frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + c$ है।

(B) माना $I = \int e^x \sin x \, dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx$.
$u = \sin x$ और $v = e^x$ लेने पर:
$I = \sin x \cdot e^x - \int \cos x \cdot e^x \, dx$.
पुनः $\int e^x \cos x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \cos x$ और $v = e^x$:
$\int e^x \cos x \, dx = \cos x \cdot e^x - \int (-\sin x) \cdot e^x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I) + c$.
$I = e^x \sin x - e^x \cos x - I + c$.
$2I = e^x (\sin x - \cos x) + c$.
$I = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + c$.

(D) माना तीसरा शीर्ष $(p, q)$ है। चूँकि यह रेखा $y = x + 3$ पर स्थित है,इसलिए $q = p + 3$ $(i)$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $5$ है,अतः:
$\frac{1}{2} |2(-2 - q) + 3(q - 1) + p(1 - (-2))| = 5$
$|q + 3p - 7| = 10$
$q = p + 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|4p - 4| = 10$
$p = \frac{7}{2}$ या $p = -\frac{3}{2}$.
अतः,तीसरा शीर्ष $\left( \frac{7}{2}, \frac{13}{2} \right)$ या $\left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right)$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही विकल्प $D$ है।