IIT JEE 1974 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना $S_n = 6 + 66 + 666 + \dots$ $n$ पदों तक।
$S_n = 6(1 + 11 + 111 + \dots + n \text{ पद})$
$S_n = \frac{6}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ पद})$
$S_n = \frac{2}{3}((10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1))$
$S_n = \frac{2}{3}((10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ बार}))$
गुणोत्तर श्रेणी के योगफल सूत्र $\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right)$
$S_n = \frac{2(10^{n+1} - 9n - 10)}{27}$.

(D) माना चार संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar, x$ हैं।
चूंकि अंतिम तीन संख्याएँ $a, ar, x$ $A.P.$ में हैं और सार्व अंतर $d = 6$ है,इसलिए $ar - a = 6$ और $x - ar = 6$ है।
अतः,$x = ar + 6$।
चूंकि $ar = a + 6$,इसलिए $x = (a + 6) + 6 = a + 12$।
यह दिया गया है कि पहली और अंतिम संख्या समान है,इसलिए $\frac{a}{r} = x = a + 12$।
$ar - a = 6$ से,हमें $a(r - 1) = 6$ मिलता है,जिसका अर्थ है $r - 1 = \frac{6}{a}$,या $r = 1 + \frac{6}{a} = \frac{a + 6}{a}$।
$\frac{a}{r} = a + 12$ में $r$ का मान रखने पर:
$\frac{a}{(a + 6)/a} = a + 12$
$\frac{a^2}{a + 6} = a + 12$
$a^2 = (a + 12)(a + 6)$
$a^2 = a^2 + 18a + 72$
$18a = -72$
$a = -4$।
पहली संख्या $\frac{a}{r} = a + 12 = -4 + 12 = 8$ है।

(C) माना कि उभयनिष्ठ मूल $y$ है।
अतः,$y^2 + py + q = 0$ और $y^2 + \alpha y + \beta = 0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(y^2 + py + q) - (y^2 + \alpha y + \beta) = 0$
$y(p - \alpha) + (q - \beta) = 0$
$y(p - \alpha) = \beta - q$
$y = \frac{\beta - q}{p - \alpha} = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$।
वैकल्पिक रूप से,वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{y^2}{p\beta - q\alpha} = \frac{y}{q - \beta} = \frac{1}{\alpha - p}$।
दूसरे और तीसरे पद से,$y = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$।
पहले और दूसरे पद से,$y = \frac{p\beta - q\alpha}{q - \beta}$।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\frac{q - \beta}{\alpha - p}$ या $\frac{p\beta - \alpha q}{q - \beta}$ है।

(D) माना $f(x) = x^4 - px^2 + q$ है। चूँकि $x^2 - 3x + 2$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,इसलिए $x^2 - 3x + 2 = 0$ के मूल $f(x) = 0$ के भी मूल होने चाहिए।
$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$,अतः मूल $x = 1$ और $x = 2$ हैं।
$x = 1$ के लिए: $1^4 - p(1)^2 + q = 0$ $\Rightarrow 1 - p + q = 0$ $\Rightarrow p - q = 1$ (समीकरण $i$)।
$x = 2$ के लिए: $2^4 - p(2)^2 + q = 0$ $\Rightarrow 16 - 4p + q = 0$ $\Rightarrow 4p - q = 16$ (समीकरण $ii$)।
(ii) में से $(i)$ को घटाने पर: $(4p - q) - (p - q) = 16 - 1$ $\Rightarrow 3p = 15$ $\Rightarrow p = 5$।
$p = 5$ को $(i)$ में रखने पर: $5 - q = 1 \Rightarrow q = 4$।
अतः,$(p, q) = (5, 4)$।

(B) समूह बनाने के लिए,हमें उपलब्ध गेंदों में से एक उपसमुच्चय चुनना होगा।
$5$ अलग-अलग हरी गेंदों के लिए,कम से कम एक हरी गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $2^5 - 1 = 31$ है।
$4$ अलग-अलग नीली गेंदों के लिए,कम से कम एक नीली गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $2^4 - 1 = 15$ है।
$3$ अलग-अलग लाल गेंदों के लिए,हम प्रत्येक गेंद को चुन सकते हैं या नहीं चुन सकते हैं,जो $2^3 = 8$ तरीके देता है।
चूंकि चयन स्वतंत्र हैं,इसलिए समूह बनाने के तरीकों की कुल संख्या $31 \times 15 \times 8 = 3720$ है।

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}$
$= \frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\frac{1}{2} \cos 10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ और $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2(\sin 30^\circ \cos 10^\circ - \cos 30^\circ \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin(30^\circ - 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$= \frac{2 \sin 20^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{4 \sin 20^\circ}{2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{4 \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 4$.

(C) हम सर्वसमिका $\tan \theta \tan(60^\circ - \theta) \tan(60^\circ + \theta) = \tan 3\theta$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक $E = \tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 60^\circ \tan 80^\circ$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $E = \tan 60^\circ (\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ)$।
ध्यान दें कि $\tan 80^\circ = \tan(60^\circ + 20^\circ)$ और $\tan 40^\circ = \tan(60^\circ - 20^\circ)$ है।
$\theta = 20^\circ$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\tan 20^\circ \tan(60^\circ - 20^\circ) \tan(60^\circ + 20^\circ) = \tan(3 \times 20^\circ) = \tan 60^\circ$।
इस मान को $E$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \tan 60^\circ \times \tan 60^\circ = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$।

(B) माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(2, -1)$ और $C(1, 3)$ हैं।
$1$. $A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें:
$BC$ की ढाल = $\frac{3 - (-1)}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$.
शीर्षलंब $AD$ की ढाल $BC$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी,जो $\frac{1}{4}$ है।
$A(0, 0)$ से गुजरने वाले $AD$ का समीकरण $y - 0 = \frac{1}{4}(x - 0)$ है,जो $x - 4y = 0$ के रूप में सरल होता है ..... $(i)$.
$2$. $B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें:
$AC$ की ढाल = $\frac{3 - 0}{1 - 0} = 3$.
शीर्षलंब $BE$ की ढाल $AC$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी,जो $-\frac{1}{3}$ है।
$B(2, -1)$ से गुजरने वाले $BE$ का समीकरण $y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 2)$ है,जो $3(y + 1) = -(x - 2)$ $\Rightarrow 3y + 3 = -x + 2$ $\Rightarrow x + 3y + 1 = 0$ के रूप में सरल होता है ..... $(ii)$.
$3$. समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करें:
$(i)$ से,$x = 4y$. इस मान को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करें:
$4y + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow 7y = -1$ $\Rightarrow y = -\frac{1}{7}$.
अतः $x = 4(-\frac{1}{7}) = -\frac{4}{7}$.
इस प्रकार,लंबकेंद्र $\left( -\frac{4}{7}, -\frac{1}{7} \right)$ है।

(A) $(3, -2)$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा का समीकरण $y + 2 = m(x - 3)$ है ..... $(i)$
दी गई रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ की ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 60^o$ है,इसलिए $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$.
मान रखने पर,$\tan 60^o = \left| \frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})} \right| \implies \sqrt{3} = \left| \frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} \right|$.
स्थिति $1$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies m + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 3m \implies 4m = 0 \implies m = 0$.
स्थिति $2$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \implies m + \sqrt{3} = -\sqrt{3} + 3m \implies 2m = 2\sqrt{3} \implies m = \sqrt{3}$.
$m = 0$ को $(i)$ में रखने पर: $y + 2 = 0(x - 3) \implies y + 2 = 0$.
$m = \sqrt{3}$ को $(i)$ में रखने पर: $y + 2 = \sqrt{3}(x - 3) \implies y + 2 = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3} \implies \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$.

(A) हमारे पास $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}}$ है।
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \dots$ और $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ के विस्तार का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + \frac{x^3}{3} + \dots) - (x - \frac{x^3}{6} + \dots)}}{{{x^3}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6}}}{{{x^3}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{3x^3}{6}}}{{{x^3}}} = \frac{1}{2}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
वे परिणाम जिनमें अंकों का योग $7$ है,वे हैं: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36}$ है।

(B) $I = \int x^2 \sin 2x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$।
मान लीजिए $u = x^2$ और $dv = \sin 2x \, dx$।
तब $du = 2x \, dx$ और $v = -\frac{\cos 2x}{2}$ प्राप्त होता है।
सूत्र लागू करने पर:
$I = x^2 \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) - \int \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) (2x \, dx)$
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{2} + \int x \cos 2x \, dx$।
अब,$\int x \cos 2x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
मान लीजिए $u = x$ और $dv = \cos 2x \, dx$।
तब $du = dx$ और $v = \frac{\sin 2x}{2}$ प्राप्त होता है।
$\int x \cos 2x \, dx = x \left(\frac{\sin 2x}{2}\right) - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx$
$= \frac{x \sin 2x}{2} - \frac{1}{2} \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) = \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4}$।
इस मान को $I$ के समीकरण में रखने पर:
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{2} + \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} + c$।