IIT JEE 1974 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $S_n = 6 + 66 + 666 + \dots$ $n$ પદો સુધી.
$S_n = 6(1 + 11 + 111 + \dots + n \text{ પદો})$
$S_n = \frac{6}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ પદો})$
$S_n = \frac{2}{3}((10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1))$
$S_n = \frac{2}{3}((10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ વખત}))$
ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right)$
$S_n = \frac{2(10^{n+1} - 9n - 10)}{27}$.

(D) ધારો કે ચાર સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar, x$ છે.
છેલ્લી ત્રણ સંખ્યાઓ $a, ar, x$ એ $A.P.$ માં છે અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે,તેથી $ar - a = 6$ અને $x - ar = 6$.
આમ,$x = ar + 6$.
$ar = a + 6$ હોવાથી,$x = (a + 6) + 6 = a + 12$.
પ્રથમ અને છેલ્લી સંખ્યા સમાન હોવાથી,$\frac{a}{r} = x = a + 12$.
$ar - a = 6$ પરથી,$a(r - 1) = 6$,તેથી $r - 1 = \frac{6}{a}$,એટલે કે $r = 1 + \frac{6}{a} = \frac{a + 6}{a}$.
$\frac{a}{r} = a + 12$ માં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{a}{(a + 6)/a} = a + 12$
$\frac{a^2}{a + 6} = a + 12$
$a^2 = (a + 12)(a + 6)$
$a^2 = a^2 + 18a + 72$
$18a = -72$
$a = -4$.
પ્રથમ સંખ્યા $\frac{a}{r} = a + 12 = -4 + 12 = 8$ છે.

(C) ધારો કે સામાન્ય બીજ $y$ છે.
તેથી,$y^2 + py + q = 0$ અને $y^2 + \alpha y + \beta = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(y^2 + py + q) - (y^2 + \alpha y + \beta) = 0$
$y(p - \alpha) + (q - \beta) = 0$
$y(p - \alpha) = \beta - q$
$y = \frac{\beta - q}{p - \alpha} = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{y^2}{p\beta - q\alpha} = \frac{y}{q - \beta} = \frac{1}{\alpha - p}$.
બીજા અને ત્રીજા પદ પરથી,$y = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$.
પ્રથમ અને બીજા પદ પરથી,$y = \frac{p\beta - q\alpha}{q - \beta}$.
આમ,સામાન્ય બીજ $\frac{q - \beta}{\alpha - p}$ અથવા $\frac{p\beta - \alpha q}{q - \beta}$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^4 - px^2 + q$. કારણ કે $x^2 - 3x + 2$ એ $f(x)$ નો અવયવ છે,તેથી $x^2 - 3x + 2 = 0$ ના બીજ એ $f(x) = 0$ ના પણ બીજ હોવા જોઈએ.
$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$,તેથી બીજ $x = 1$ અને $x = 2$ છે.
$x = 1$ માટે: $1^4 - p(1)^2 + q = 0$ $\Rightarrow 1 - p + q = 0$ $\Rightarrow p - q = 1$ (સમીકરણ $i$).
$x = 2$ માટે: $2^4 - p(2)^2 + q = 0$ $\Rightarrow 16 - 4p + q = 0$ $\Rightarrow 4p - q = 16$ (સમીકરણ $ii$).
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(4p - q) - (p - q) = 16 - 1$ $\Rightarrow 3p = 15$ $\Rightarrow p = 5$.
$p = 5$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $5 - q = 1 \Rightarrow q = 4$.
આમ,$(p, q) = (5, 4)$.

(B) જૂથ બનાવવા માટે,આપણે ઉપલબ્ધ દડાઓમાંથી એક સબસેટ પસંદ કરવો આવશ્યક છે.
$5$ અલગ-અલગ લીલા દડાઓ માટે,ઓછામાં ઓછો એક લીલો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^5 - 1 = 31$ છે.
$4$ અલગ-અલગ વાદળી દડાઓ માટે,ઓછામાં ઓછો એક વાદળી દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^4 - 1 = 15$ છે.
$3$ અલગ-અલગ લાલ દડાઓ માટે,આપણે દરેક દડાને પસંદ કરી શકીએ અથવા ન પણ કરી શકીએ,જે $2^3 = 8$ રીતો આપે છે.
આ પસંદગીઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,જૂથ બનાવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $31 \times 15 \times 8 = 3720$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}$
$= \frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(\frac{1}{2} \cos 10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ અને $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2(\sin 30^\circ \cos 10^\circ - \cos 30^\circ \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin(30^\circ - 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$= \frac{2 \sin 20^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{4 \sin 20^\circ}{2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{4 \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 4$.

(C) આપણે નિત્યસમ $\tan \theta \tan(60^\circ - \theta) \tan(60^\circ + \theta) = \tan 3\theta$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ $E = \tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 60^\circ \tan 80^\circ$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $E = \tan 60^\circ (\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ)$.
નોંધો કે $\tan 80^\circ = \tan(60^\circ + 20^\circ)$ અને $\tan 40^\circ = \tan(60^\circ - 20^\circ)$ છે.
$\theta = 20^\circ$ માટે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 20^\circ \tan(60^\circ - 20^\circ) \tan(60^\circ + 20^\circ) = \tan(3 \times 20^\circ) = \tan 60^\circ$.
આ કિંમતને $E$ માં મૂકતા:
$E = \tan 60^\circ \times \tan 60^\circ = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(2, -1)$ અને $C(1, 3)$ છે.
$1$. $A$ માંથી $BC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો:
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{3 - (-1)}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$.
વેધ $AD$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી એટલે કે $\frac{1}{4}$ થશે.
$A(0, 0)$ માંથી પસાર થતા $AD$ નું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1}{4}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 4y = 0$ થાય ..... $(i)$.
$2$. $B$ માંથી $AC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો:
$AC$ નો ઢાળ = $\frac{3 - 0}{1 - 0} = 3$.
વેધ $BE$ નો ઢાળ $AC$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી એટલે કે $-\frac{1}{3}$ થશે.
$B(2, -1)$ માંથી પસાર થતા $BE$ નું સમીકરણ $y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3(y + 1) = -(x - 2)$ $\Rightarrow 3y + 3 = -x + 2$ $\Rightarrow x + 3y + 1 = 0$ થાય ..... $(ii)$.
$3$. સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ નો ઉકેલ મેળવો:
$(i)$ પરથી,$x = 4y$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$4y + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow 7y = -1$ $\Rightarrow y = -\frac{1}{7}$.
તેથી $x = 4(-\frac{1}{7}) = -\frac{4}{7}$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $\left( -\frac{4}{7}, -\frac{1}{7} \right)$ છે.

(A) $(3, -2)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $y + 2 = m(x - 3)$ છે ..... $(i)$
આપેલ રેખા $\sqrt{3}x + y = 1$ નો ઢાળ $m_1 = -\sqrt{3}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^o$ હોવાથી,$\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$.
કિંમતો મૂકતા,$\tan 60^o = \left| \frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})} \right| \implies \sqrt{3} = \left| \frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies m + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 3m \implies 4m = 0 \implies m = 0$.
કિસ્સો $2$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \implies m + \sqrt{3} = -\sqrt{3} + 3m \implies 2m = 2\sqrt{3} \implies m = \sqrt{3}$.
$m = 0$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $y + 2 = 0(x - 3) \implies y + 2 = 0$.
$m = \sqrt{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $y + 2 = \sqrt{3}(x - 3) \implies y + 2 = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3} \implies \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$.

(A) આપણી પાસે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}}$ છે.
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \dots$ અને $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + \frac{x^3}{3} + \dots) - (x - \frac{x^3}{6} + \dots)}}{{{x^3}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6}}}{{{x^3}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{3x^3}{6}}}{{{x^3}}} = \frac{1}{2}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જે પરિણામોમાં અંકોનો સરવાળો $7$ થાય છે તે છે: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{36}$ છે.

(B) $I = \int x^2 \sin 2x \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = x^2$ અને $dv = \sin 2x \, dx$.
તેથી $du = 2x \, dx$ અને $v = -\frac{\cos 2x}{2}$ મળે.
સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$I = x^2 \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) - \int \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) (2x \, dx)$
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{2} + \int x \cos 2x \, dx$.
હવે,$\int x \cos 2x \, dx$ માટે ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = x$ અને $dv = \cos 2x \, dx$.
તેથી $du = dx$ અને $v = \frac{\sin 2x}{2}$ મળે.
$\int x \cos 2x \, dx = x \left(\frac{\sin 2x}{2}\right) - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx$
$= \frac{x \sin 2x}{2} - \frac{1}{2} \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) = \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4}$.
આ કિંમત $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{2} + \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} + c$.