IIT JEE 1966 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ है।
मान लीजिए $a^x = b^y = c^z = m$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें $x \log a = y \log b = z \log c = \log m$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x = \log_a m$,$y = \log_b m$,और $z = \log_c m$ है।
चूंकि $x, y, z$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{\log_b m}{\log_a m} = \frac{\log_c m}{\log_b m}$ प्राप्त होता है।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$\log_b a = \log_c b$ प्राप्त होता है।

(D) माना $G.P.$ के $n$ पद $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ हैं।
योग $S = a + ar + \dots + ar^{n-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ है।
गुणनफल $P = a \cdot ar \cdot ar^2 \dots ar^{n-1} = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$ है।
अतः,$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$ है।
व्युत्क्रमों का योग $R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}} = \frac{1}{a} \left( 1 + \frac{1}{r} + \dots + \frac{1}{r^{n-1}} \right) = \frac{1-r^n}{a r^{n-1} (1-r)}$ है।
अब,$\frac{S}{R} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \div \frac{1-r^n}{a r^{n-1} (1-r)} = a^2 r^{n-1}$ है।
इसलिए,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)} = P^2$ है।

(B) दिया गया है $(1 + x)^{15} = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .... + C_{15}x^{15}$।
$C_0 = 1$ घटाकर $x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(1 + x)^{15} - 1}{x} = C_1 + C_2x + C_3x^2 + .... + C_{15}x^{14}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{(1 + x)^{15} - 1}{x} \right) = C_2 + 2C_3x + 3C_4x^2 + .... + 14C_{15}x^{13}$।
बाईं ओर भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{x \cdot 15(1 + x)^{14} - ((1 + x)^{15} - 1)}{x^2} = C_2 + 2C_3x + 3C_4x^2 + .... + 14C_{15}x^{13}$।
$x = 1$ रखने पर:
$C_2 + 2C_3 + 3C_4 + .... + 14C_{15} = \frac{1 \cdot 15(2)^{14} - (2^{15} - 1)}{1^2}$।
$= 15 \cdot 2^{14} - 2^{15} + 1$।
$= 15 \cdot 2^{14} - 2 \cdot 2^{14} + 1$।
$= (15 - 2) \cdot 2^{14} + 1 = 13 \cdot 2^{14} + 1$।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए,$\sec^2 \theta \ge 1$ होता है।
दिए गए समीकरण $\sec^2 \theta = \frac{4xy}{(x + y)^2}$ के लिए,$\frac{4xy}{(x + y)^2} \ge 1$ होना चाहिए।
चूंकि $(x + y)^2 > 0$ है,इसलिए हमें $4xy \ge (x + y)^2$ प्राप्त होता है।
$4xy \ge x^2 + 2xy + y^2$.
$0 \ge x^2 - 2xy + y^2$.
$0 \ge (x - y)^2$.
चूंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $(x - y)^2$ का मान $0$ होना चाहिए।
अतः,$x - y = 0$,जिसका अर्थ है कि $x = y$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $E = \frac{\sin(B + A) + \cos(B - A)}{\sin(B - A) + \cos(B + A)}$
$\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\sin(B + A) + \sin(90^\circ - (B - A))}{\sin(B - A) + \sin(90^\circ - (B + A))}$
$\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{2 \sin(45^\circ + A) \cos(B - 45^\circ)}{2 \sin(45^\circ - A) \cos(B - 45^\circ)} = \frac{\sin(45^\circ + A)}{\sin(45^\circ - A)}$
$\sin(x \pm y)$ के विस्तार का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\cos A + \sin A}{\cos A - \sin A}$.

(A) दिया गया है,$m \tan (\theta - 30^\circ) = n \tan (\theta + 120^\circ)$.
$\frac{m}{n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ)}{\tan (\theta - 30^\circ)}$.
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ) + \tan (\theta - 30^\circ)}{\tan (\theta + 120^\circ) - \tan (\theta - 30^\circ)}$.
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\sin((\theta + 120^\circ) + (\theta - 30^\circ))}{\sin((\theta + 120^\circ) - (\theta - 30^\circ))} = \frac{\sin(2\theta + 90^\circ)}{\sin(150^\circ)}$.
चूँकि $\sin(2\theta + 90^\circ) = \cos 2\theta$ और $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$ है:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\cos 2\theta}{1/2} = 2 \cos 2\theta$.

(A) हम जानते हैं कि $\cot(A) = \frac{1 + \cos(2A)}{\sin(2A)}$.
माना $A = 7\frac{1}{2}^{\circ}$,अतः $2A = 15^{\circ}$.
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{1 + \cos(15^{\circ})}{\sin(15^{\circ})}$.
$\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ रखने पर,
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,हमें $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2$ प्राप्त होता है,जो कि $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}$ है।

(D) माना $(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ है,जहाँ $r$ बिंदु $(1, 2)$ से दूरी है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(1 + r \cos \theta, 2 + r \sin \theta)$ है।
$r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ दिया गया है,अतः बिंदु $(1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \theta, 2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \sin \theta)$ है।
चूंकि यह बिंदु $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $(1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \theta) + (2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \sin \theta) = 4$ होगा।
$\frac{\sqrt{6}}{3} (\cos \theta + \sin \theta) = 1 \implies \sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$।
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$\sin(\theta + 45^\circ) = \sin 60^\circ$ या $\sin 120^\circ$।
$\theta = 15^\circ$ या $\theta = 75^\circ$।
अतः,सही उत्तर $75^\circ$ है।