यदि (1 + x)^{15} = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .... | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $(1 + x)^{15} = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .... + C_{15}x^{15}$।$C_0 = 1$ घटाकर $x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{(1 + x)^{15}

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$13 \cdot 2^{14} + 1$

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(B) दिया गया है $(1 + x)^{15} = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .... + C_{15}x^{15}$।$C_0 = 1$ घटाकर $x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{(1 + x)^{15} - 1}{x} = C_1 + C_2x + C_3x^2 + .... + C_{15}x^{14}$।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d}{dx} \left( \frac{(1 + x)^{15} - 1}{x} \right) = C_2 + 2C_3x + 3C_4x^2 + .... + 14C_{15}x^{13}$।बाईं ओर भागफल नियम का उपयोग करने पर:$\frac{x \cdot 15(1 + x)^{14} - ((1 + x)^{15} - 1)}{x^2} = C_2 + 2C_3x + 3C_4x^2 + .... + 14C_{15}x^{13}$।$x = 1$ रखने पर:$C_2 + 2C_3 + 3C_4 + .... + 14C_{15} = \frac{1 \cdot 15(2)^{14} - (2^{15} - 1)}{1^2}$।$= 15 \cdot 2^{14} - 2^{15} + 1$।$= 15 \cdot 2^{14} - 2 \cdot 2^{14} + 1$।$= (15 - 2) \cdot 2^{14} + 1 = 13 \cdot 2^{14} + 1$।

यदि $(1 + x)^{15} = C_0 + C_1x + C_2x^2 + ...... + C_{15}x^{15}$ है,तो $C_2 + 2C_3 + 3C_4 + .... + 14C_{15} = $

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$^nC_0 - \frac{1}{2} ^nC_1 + \frac{1}{3} ^nC_2 - \dots + (-1)^n \frac{^nC_n}{n+1} = $

यदि $\frac{1}{n+1} {}^{n}C_{n} + \frac{1}{n} {}^{n}C_{n-1} + \dots + \frac{1}{2} {}^{n}C_{1} + {}^{n}C_{0} = \frac{1023}{10}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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