IIT JEE 1966 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $y^2 = xz$.
ધારો કે $a^x = b^y = c^z = m$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $x \log a = y \log b = z \log c = \log m$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \log_a m$,$y = \log_b m$,અને $z = \log_c m$.
$x, y, z$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{\log_b m}{\log_a m} = \frac{\log_c m}{\log_b m}$.
બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log_b a = \log_c b$ મળે છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના $n$ પદો $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ છે.
સરવાળો $S = a + ar + \dots + ar^{n-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$.
ગુણાકાર $P = a \cdot ar \cdot ar^2 \dots ar^{n-1} = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$.
તેથી,$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$.
વ્યસ્તનો સરવાળો $R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}} = \frac{1}{a} \left( 1 + \frac{1}{r} + \dots + \frac{1}{r^{n-1}} \right) = \frac{1-r^n}{a r^{n-1} (1-r)}$.
હવે,$\frac{S}{R} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \div \frac{1-r^n}{a r^{n-1} (1-r)} = a^2 r^{n-1}$.
તેથી,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)} = P^2$.

(B) આપેલ છે $(1 + x)^{15} = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .... + C_{15}x^{15}$.
$C_0 = 1$ બાદ કરીને $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{(1 + x)^{15} - 1}{x} = C_1 + C_2x + C_3x^2 + .... + C_{15}x^{14}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{(1 + x)^{15} - 1}{x} \right) = C_2 + 2C_3x + 3C_4x^2 + .... + 14C_{15}x^{13}$.
ડાબી બાજુ ભાગાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{x \cdot 15(1 + x)^{14} - ((1 + x)^{15} - 1)}{x^2} = C_2 + 2C_3x + 3C_4x^2 + .... + 14C_{15}x^{13}$.
$x = 1$ મુકતા:
$C_2 + 2C_3 + 3C_4 + .... + 14C_{15} = \frac{1 \cdot 15(2)^{14} - (2^{15} - 1)}{1^2}$.
$= 15 \cdot 2^{14} - 2^{15} + 1$.
$= 15 \cdot 2^{14} - 2 \cdot 2^{14} + 1$.
$= (15 - 2) \cdot 2^{14} + 1 = 13 \cdot 2^{14} + 1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે,$\sec^2 \theta \ge 1$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $\sec^2 \theta = \frac{4xy}{(x + y)^2}$ માટે,$\frac{4xy}{(x + y)^2} \ge 1$ હોવું જોઈએ.
$(x + y)^2 > 0$ હોવાથી,આપણને મળે $4xy \ge (x + y)^2$.
$4xy \ge x^2 + 2xy + y^2$.
$0 \ge x^2 - 2xy + y^2$.
$0 \ge (x - y)^2$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $(x - y)^2$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$x - y = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{\sin(B + A) + \cos(B - A)}{\sin(B - A) + \cos(B + A)}$
$\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\sin(B + A) + \sin(90^\circ - (B - A))}{\sin(B - A) + \sin(90^\circ - (B + A))}$
$\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{2 \sin(45^\circ + A) \cos(B - 45^\circ)}{2 \sin(45^\circ - A) \cos(B - 45^\circ)} = \frac{\sin(45^\circ + A)}{\sin(45^\circ - A)}$
$\sin(x \pm y)$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\cos A + \sin A}{\cos A - \sin A}$.

(A) આપેલ છે કે,$m \tan (\theta - 30^\circ) = n \tan (\theta + 120^\circ)$.
$\frac{m}{n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ)}{\tan (\theta - 30^\circ)}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ) + \tan (\theta - 30^\circ)}{\tan (\theta + 120^\circ) - \tan (\theta - 30^\circ)}$.
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\sin((\theta + 120^\circ) + (\theta - 30^\circ))}{\sin((\theta + 120^\circ) - (\theta - 30^\circ))} = \frac{\sin(2\theta + 90^\circ)}{\sin(150^\circ)}$.
$\sin(2\theta + 90^\circ) = \cos 2\theta$ અને $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\cos 2\theta}{1/2} = 2 \cos 2\theta$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot(A) = \frac{1 + \cos(2A)}{\sin(2A)}$.
ધારો કે $A = 7\frac{1}{2}^{\circ}$,તેથી $2A = 15^{\circ}$.
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{1 + \cos(15^{\circ})}{\sin(15^{\circ})}$.
$\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ મૂકતા,
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2$ મળે છે,જે $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}$ છે.

(D) ધારો કે $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ છે,જ્યાં $r$ એ $(1, 2)$ થી અંતર છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1 + r \cos \theta, 2 + r \sin \theta)$ છે.
$r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ આપેલ હોવાથી,બિંદુ $(1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \theta, 2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \sin \theta)$ છે.
આ બિંદુ $x + y = 4$ પર હોવાથી,$(1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \theta) + (2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \sin \theta) = 4$.
$\frac{\sqrt{6}}{3} (\cos \theta + \sin \theta) = 1 \implies \sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin(\theta + 45^\circ) = \sin 60^\circ$ અથવા $\sin 120^\circ$.
$\theta = 15^\circ$ અથવા $\theta = 75^\circ$.
તેથી,સાચો જવાબ $75^\circ$ છે.