IIT JEE 1965 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का घनमूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
$1 + \omega^2 = -\omega$ का उपयोग करने पर,पहला पद $(1 - \omega + \omega^2)^5 = (-\omega - \omega)^5 = (-2\omega)^5 = -32\omega^5$ हो जाता है।
चूंकि $\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = \omega^2$ है,यह $-32\omega^2$ में सरल हो जाता है।
$1 + \omega = -\omega^2$ का उपयोग करने पर,दूसरा पद $(1 + \omega - \omega^2)^5 = (-\omega^2 - \omega^2)^5 = (-2\omega^2)^5 = -32\omega^{10}$ हो जाता है।
चूंकि $\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$ है,यह $-32\omega$ में सरल हो जाता है।
दोनों पदों को जोड़ने पर: $-32\omega^2 - 32\omega = -32(\omega^2 + \omega)$।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$ है।
अतः,$-32(-1) = 32$।

(C) दिया गया है कि $x, 1, z$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए मध्य पद समांतर माध्य है: $1 = \frac{x + z}{2}$,जिसका अर्थ है $x + z = 2$......$(i)$
दिया गया है कि $x, 2, z$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,इसलिए मध्य पद गुणोत्तर माध्य है: $2^2 = xz$,जिसका अर्थ है $xz = 4$......$(ii)$
$x, 4, z$ के हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में होने के लिए,मध्य पद $x$ और $z$ का हरात्मक माध्य होना चाहिए,जो $\frac{2xz}{x + z}$ है।
$(i)$ और $(ii)$ से मानों को हरात्मक माध्य के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Harmonic Mean} = \frac{2(4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
चूंकि मध्य पद $4$ है,इसलिए $x, 4, z$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(B) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = (x/3)^{1/2}$,$b = 3/(2x^2)$,और $n = 10$ है।
$T_{r+1} = ^{10}C_{r} (x/3)^{(10-r)/2} (3/(2x^2))^r$
$T_{r+1} = ^{10}C_{r} (1/3)^{(10-r)/2} (3/2)^r x^{(10-r)/2 - 2r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$(10-r)/2 - 2r = 0$
$5 - r/2 - 2r = 0$
$5 = 5r/2 \Rightarrow r = 2$
$r = 2$ का मान रखने पर:
$T_{3} = ^{10}C_{2} (1/3)^{(10-2)/2} (3/2)^2$
$T_{3} = 45 \times (1/3)^4 \times (9/4)$
$T_{3} = 45 \times (1/81) \times (9/4) = 45/36 = 5/4$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin 108^\circ = \sin 72^\circ$ और $\sin 144^\circ = \sin 36^\circ$ होता है।
अतः,व्यंजक $\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ = \left(\frac{1 - \cos 72^\circ}{2}\right) \left(\frac{1 - \cos 144^\circ}{2}\right)$
$= \frac{1}{4} (1 - \sin 18^\circ)(1 + \cos 36^\circ)$
मान रखने पर $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$:
$= \frac{1}{4} \left(\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right) \left(\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right) = \frac{5}{16}$.

$(B)$ माना हवाई जहाज की ऊँचाई $H = 1 \ km$ है। माना हवाई जहाज द्वारा $10$ सेकंड में तय की गई दूरी $d$ है।
समस्या की ज्यामिति से,हमारे पास है:
$d = H \cot(30^\circ) - H \cot(60^\circ)$
$d = 1 \times \sqrt{3} - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
लिया गया समय $t = 10 \ \text{सेकंड} = \frac{10}{3600} \ \text{घंटे} = \frac{1}{360} \ \text{घंटे}$.
गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2/\sqrt{3}}{1/360} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 360 = \frac{720}{\sqrt{3}} = 240\sqrt{3} \ km/h$.

(D) माना $H = 150 \, m$ दूसरी चिमनी की ऊँचाई है।
माना $d$ दोनों चिमनियों के बीच की दूरी है।
समस्या की ज्यामिति के अनुसार,पहली चिमनी के आधार का अवनमन कोण $\phi$ है,इसलिए $\tan \phi = \frac{H}{d}$।
दिया है $\tan \phi = \frac{5}{2}$,इसलिए $\frac{150}{d} = \frac{5}{2}$,जिससे $d = \frac{150 \times 2}{5} = 60 \, m$ प्राप्त होता है।
माना $h$ पहली चिमनी की ऊँचाई है। पहली चिमनी की चोटी का अवनमन कोण $\theta$ है,इसलिए $\tan \theta = \frac{H - h}{d}$।
दिया है $\tan \theta = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{150 - h}{60} = \frac{4}{3}$।
$150 - h = 60 \times \frac{4}{3} = 80$।
$h = 150 - 80 = 70 \, m$।
चोटियों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी $H - h = 150 - 70 = 80 \, m$ है।
चोटियों के बीच की क्षैतिज दूरी $d = 60 \, m$ है।
चोटियों के बीच की दूरी $\sqrt{(H - h)^2 + d^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \, m$ है।

(B) माना रेखा $x + y - 4 = 0$,बिंदुओं $A(-1, 1)$ और $B(5, 7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{5k - 1}{k + 1}, \frac{7k + 1}{k + 1} \right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए:
$\frac{5k - 1}{k + 1} + \frac{7k + 1}{k + 1} = 4$
$5k - 1 + 7k + 1 = 4(k + 1)$
$12k = 4k + 4$
$8k = 4$
$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
अतः,अनुपात $1 : 2$ है।

(B) रेखा की ढाल $m = \frac{3}{4} = \tan \theta$ है। अतः,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = \frac{3}{5}$ है।
बिंदु $A(x_1, y_1) = (3, 2)$ से $r = 5$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक $(x_1 \pm r \cos \theta, y_1 \pm r \sin \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं।
धनात्मक दिशा के लिए: $(3 + 5 \times \frac{4}{5}, 2 + 5 \times \frac{3}{5}) = (3 + 4, 2 + 3) = (7, 5)$।
ऋणात्मक दिशा के लिए: $(3 - 5 \times \frac{4}{5}, 2 - 5 \times \frac{3}{5}) = (3 - 4, 2 - 3) = (-1, -1)$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(7, 5)$ और $(-1, -1)$ हैं।