MathematicsQ1–8 of 8 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
MathematicsEasyMCQIIT JEE · 1965
જો $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ હોય,તો $(1 - \omega + \omega^2)^5 + (1 + \omega - \omega^2)^5$ ની કિંમત શોધો.
A
$16$
B
$32$
C
$48$
D
$-32$
Solution
(B) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,તેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
$1 + \omega^2 = -\omega$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ પદ $(1 - \omega + \omega^2)^5 = (-\omega - \omega)^5 = (-2\omega)^5 = -32\omega^5$ થાય.
$\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = \omega^2$ હોવાથી,આ $-32\omega^2$ માં પરિણમે છે.
$1 + \omega = -\omega^2$ નો ઉપયોગ કરતા,બીજું પદ $(1 + \omega - \omega^2)^5 = (-\omega^2 - \omega^2)^5 = (-2\omega^2)^5 = -32\omega^{10}$ થાય.
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$ હોવાથી,આ $-32\omega$ માં પરિણમે છે.
બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $-32\omega^2 - 32\omega = -32(\omega^2 + \omega)$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega^2 + \omega = -1$.
તેથી,$-32(-1) = 32$.
$1 + \omega^2 = -\omega$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ પદ $(1 - \omega + \omega^2)^5 = (-\omega - \omega)^5 = (-2\omega)^5 = -32\omega^5$ થાય.
$\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = \omega^2$ હોવાથી,આ $-32\omega^2$ માં પરિણમે છે.
$1 + \omega = -\omega^2$ નો ઉપયોગ કરતા,બીજું પદ $(1 + \omega - \omega^2)^5 = (-\omega^2 - \omega^2)^5 = (-2\omega^2)^5 = -32\omega^{10}$ થાય.
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$ હોવાથી,આ $-32\omega$ માં પરિણમે છે.
બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $-32\omega^2 - 32\omega = -32(\omega^2 + \omega)$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega^2 + \omega = -1$.
તેથી,$-32(-1) = 32$.
0 likesView Solution
2
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1965
જો $x, 1, z$ એ $A.P.$ માં હોય અને $x, 2, z$ એ $G.P.$ માં હોય,તો $x, 4, z$ એ શેમાં હશે?
A
$A.P.$
B
$G.P.$
C
$H.P.$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(C) આપેલ છે કે $x, 1, z$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી મધ્યમ પદ સમાંતર મધ્યક છે: $1 = \frac{x + z}{2}$,જે સૂચવે છે કે $x + z = 2$......$(i)$
આપેલ છે કે $x, 2, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી મધ્યમ પદ સમગુણોત્તર મધ્યક છે: $2^2 = xz$,જે સૂચવે છે કે $xz = 4$......$(ii)$
$x, 4, z$ એ $H.P.$ માં હોવા માટે,મધ્યમ પદ એ $x$ અને $z$ નો હરાત્મક મધ્યક હોવો જોઈએ,જે $\frac{2xz}{x + z}$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ની કિંમતો હરાત્મક મધ્યકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Harmonic Mean} = \frac{2(4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
તેથી,$x, 4, z$ એ $H.P.$ માં છે.
આપેલ છે કે $x, 2, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી મધ્યમ પદ સમગુણોત્તર મધ્યક છે: $2^2 = xz$,જે સૂચવે છે કે $xz = 4$......$(ii)$
$x, 4, z$ એ $H.P.$ માં હોવા માટે,મધ્યમ પદ એ $x$ અને $z$ નો હરાત્મક મધ્યક હોવો જોઈએ,જે $\frac{2xz}{x + z}$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ની કિંમતો હરાત્મક મધ્યકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Harmonic Mean} = \frac{2(4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
તેથી,$x, 4, z$ એ $H.P.$ માં છે.
0 likesView Solution
3
MathematicsEasyMCQIIT JEE · 1965
${\left( {\sqrt {\frac{x}{3}} + \frac{3}{{2{x^2}}}} \right)^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ કયું છે?
A
$3/2$
B
$5/4$
C
$5/2$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(B) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = (x/3)^{1/2}$,$b = 3/(2x^2)$,અને $n = 10$.
$T_{r+1} = ^{10}C_{r} (x/3)^{(10-r)/2} (3/(2x^2))^r$
$T_{r+1} = ^{10}C_{r} (1/3)^{(10-r)/2} (3/2)^r x^{(10-r)/2 - 2r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$(10-r)/2 - 2r = 0$
$5 - r/2 - 2r = 0$
$5 = 5r/2 \Rightarrow r = 2$
$r = 2$ કિંમત મૂકતા:
$T_{3} = ^{10}C_{2} (1/3)^{(10-2)/2} (3/2)^2$
$T_{3} = 45 \times (1/3)^4 \times (9/4)$
$T_{3} = 45 \times (1/81) \times (9/4) = 45/36 = 5/4$.
અહીં,$a = (x/3)^{1/2}$,$b = 3/(2x^2)$,અને $n = 10$.
$T_{r+1} = ^{10}C_{r} (x/3)^{(10-r)/2} (3/(2x^2))^r$
$T_{r+1} = ^{10}C_{r} (1/3)^{(10-r)/2} (3/2)^r x^{(10-r)/2 - 2r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$(10-r)/2 - 2r = 0$
$5 - r/2 - 2r = 0$
$5 = 5r/2 \Rightarrow r = 2$
$r = 2$ કિંમત મૂકતા:
$T_{3} = ^{10}C_{2} (1/3)^{(10-2)/2} (3/2)^2$
$T_{3} = 45 \times (1/3)^4 \times (9/4)$
$T_{3} = 45 \times (1/81) \times (9/4) = 45/36 = 5/4$.
0 likesView Solution
4
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1965
$\sin 36^\circ \sin 72^\circ \sin 108^\circ \sin 144^\circ = $
A
$1/4$
B
$1/16$
C
$3/4$
D
$5/16$
Solution
(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 108^\circ = \sin 72^\circ$ અને $\sin 144^\circ = \sin 36^\circ$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ = \left(\frac{1 - \cos 72^\circ}{2}\right) \left(\frac{1 - \cos 144^\circ}{2}\right)$
$= \frac{1}{4} (1 - \sin 18^\circ)(1 + \cos 36^\circ)$
કિંમતો મૂકતા $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$:
$= \frac{1}{4} \left(\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right) \left(\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right) = \frac{5}{16}$.
તેથી,પદાવલિ $\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ = \left(\frac{1 - \cos 72^\circ}{2}\right) \left(\frac{1 - \cos 144^\circ}{2}\right)$
$= \frac{1}{4} (1 - \sin 18^\circ)(1 + \cos 36^\circ)$
કિંમતો મૂકતા $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$:
$= \frac{1}{4} \left(\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right) \left(\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right) = \frac{5}{16}$.
0 likesView Solution
5
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1965
જમીનથી $1 \ km$ ઊંચાઈએ આડું ઉડી રહેલા એક વિમાનનો ઉત્સેધકોણ $60^\circ$ માપવામાં આવે છે અને $10$ સેકન્ડ પછી આ ઉત્સેધકોણ $30^\circ$ માપવામાં આવે છે। તો વિમાનની સમાન ઝડપ $km/h$ માં શોધો.
A
$240$
B
$240\sqrt{3}$
C
$60\sqrt{3}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
$(B)$ ધારો કે વિમાનની ઊંચાઈ $H = 1 \ km$ છે। ધારો કે વિમાન દ્વારા $10$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d$ છે.
સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે છે:
$d = H \cot(30^\circ) - H \cot(60^\circ)$
$d = 1 \times \sqrt{3} - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
લીધેલ સમય $t = 10 \ \text{સેકન્ડ} = \frac{10}{3600} \ \text{કલાક} = \frac{1}{360} \ \text{કલાક}$.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2/\sqrt{3}}{1/360} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 360 = \frac{720}{\sqrt{3}} = 240\sqrt{3} \ km/h$.
સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે છે:
$d = H \cot(30^\circ) - H \cot(60^\circ)$
$d = 1 \times \sqrt{3} - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
લીધેલ સમય $t = 10 \ \text{સેકન્ડ} = \frac{10}{3600} \ \text{કલાક} = \frac{1}{360} \ \text{કલાક}$.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2/\sqrt{3}}{1/360} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 360 = \frac{720}{\sqrt{3}} = 240\sqrt{3} \ km/h$.
0 likesView Solution
6
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1965
બીજી ચીમનીની ટોચ પરથી જોતા,જે $150 \, m$ ઊંચી છે અને પ્રથમ ચીમનીના સમાન સ્તર પર ઉભી છે,પ્રથમ ચીમનીની ટોચ અને તળિયાના અવસેધકોણ અનુક્રમે $\theta$ અને $\phi$ છે. જો $\tan \theta = \frac{4}{3}$ અને $\tan \phi = \frac{5}{2}$ હોય,તો તેમની ટોચ વચ્ચેનું અંતર .......$m$ છે.
A
$\frac{150}{\sqrt{3}}$
B
$100\sqrt{3}$
C
$150$
D
$100$
Solution
(D) ધારો કે $H = 150 \, m$ એ બીજી ચીમનીની ઊંચાઈ છે.
ધારો કે $d$ એ બે ચીમની વચ્ચેનું અંતર છે.
સમસ્યાની ભૂમિતિ મુજબ,પ્રથમ ચીમનીના તળિયાનો અવસેધકોણ $\phi$ છે,તેથી $\tan \phi = \frac{H}{d}$.
આપેલ છે કે $\tan \phi = \frac{5}{2}$,તેથી $\frac{150}{d} = \frac{5}{2}$,જે $d = \frac{150 \times 2}{5} = 60 \, m$ આપે છે.
ધારો કે $h$ એ પ્રથમ ચીમનીની ઊંચાઈ છે. પ્રથમ ચીમનીની ટોચનો અવસેધકોણ $\theta$ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{H - h}{d}$.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{150 - h}{60} = \frac{4}{3}$.
$150 - h = 60 \times \frac{4}{3} = 80$.
$h = 150 - 80 = 70 \, m$.
ટોચ વચ્ચેનું ઊભું અંતર $H - h = 150 - 70 = 80 \, m$ છે.
ટોચ વચ્ચેનું આડું અંતર $d = 60 \, m$ છે.
ટોચ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(H - h)^2 + d^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \, m$ છે.
ધારો કે $d$ એ બે ચીમની વચ્ચેનું અંતર છે.
સમસ્યાની ભૂમિતિ મુજબ,પ્રથમ ચીમનીના તળિયાનો અવસેધકોણ $\phi$ છે,તેથી $\tan \phi = \frac{H}{d}$.
આપેલ છે કે $\tan \phi = \frac{5}{2}$,તેથી $\frac{150}{d} = \frac{5}{2}$,જે $d = \frac{150 \times 2}{5} = 60 \, m$ આપે છે.
ધારો કે $h$ એ પ્રથમ ચીમનીની ઊંચાઈ છે. પ્રથમ ચીમનીની ટોચનો અવસેધકોણ $\theta$ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{H - h}{d}$.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{150 - h}{60} = \frac{4}{3}$.
$150 - h = 60 \times \frac{4}{3} = 80$.
$h = 150 - 80 = 70 \, m$.
ટોચ વચ્ચેનું ઊભું અંતર $H - h = 150 - 70 = 80 \, m$ છે.
ટોચ વચ્ચેનું આડું અંતર $d = 60 \, m$ છે.
ટોચ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(H - h)^2 + d^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \, m$ છે.
0 likesView Solution
7
MathematicsEasyMCQIIT JEE · 1965
રેખા $x + y = 4$ એ બિંદુઓ $(-1, 1)$ અને $(5, 7)$ ને જોડતી રેખાને કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે?
A
$2 : 1$
B
$1 : 2$
C
$1 : 2$ બાહ્ય રીતે
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(B) ધારો કે રેખા $x + y - 4 = 0$ એ બિંદુઓ $A(-1, 1)$ અને $B(5, 7)$ ને જોડતા રેખાખંડને $k : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ $\left( \frac{5k - 1}{k + 1}, \frac{7k + 1}{k + 1} \right)$ મળે છે.
આ બિંદુ રેખા $x + y = 4$ પર હોવાથી:
$\frac{5k - 1}{k + 1} + \frac{7k + 1}{k + 1} = 4$
$5k - 1 + 7k + 1 = 4(k + 1)$
$12k = 4k + 4$
$8k = 4$
$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ $\left( \frac{5k - 1}{k + 1}, \frac{7k + 1}{k + 1} \right)$ મળે છે.
આ બિંદુ રેખા $x + y = 4$ પર હોવાથી:
$\frac{5k - 1}{k + 1} + \frac{7k + 1}{k + 1} = 4$
$5k - 1 + 7k + 1 = 4(k + 1)$
$12k = 4k + 4$
$8k = 4$
$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.
0 likesView Solution
8
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 1965
જો બિંદુ $A(3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $3/4$ હોય,તો રેખા પરના $A$ થી $5$ એકમ દૂર આવેલા બિંદુઓ કયા છે?
A
$(5, 5), (-1, -1)$
B
$(7, 5), (-1, -1)$
C
$(5, 7), (-1, -1)$
D
$(7, 5), (1, 1)$
Solution
(B) રેખાનો ઢાળ $m = \frac{3}{4} = \tan \theta$ છે. તેથી,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{3}{5}$ થાય.
બિંદુ $A(x_1, y_1) = (3, 2)$ થી $r = 5$ અંતરે આવેલા બિંદુઓના યામ $(x_1 \pm r \cos \theta, y_1 \pm r \sin \theta)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ધન દિશા માટે: $(3 + 5 \times \frac{4}{5}, 2 + 5 \times \frac{3}{5}) = (3 + 4, 2 + 3) = (7, 5)$.
ઋણ દિશા માટે: $(3 - 5 \times \frac{4}{5}, 2 - 5 \times \frac{3}{5}) = (3 - 4, 2 - 3) = (-1, -1)$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(7, 5)$ અને $(-1, -1)$ છે.
બિંદુ $A(x_1, y_1) = (3, 2)$ થી $r = 5$ અંતરે આવેલા બિંદુઓના યામ $(x_1 \pm r \cos \theta, y_1 \pm r \sin \theta)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ધન દિશા માટે: $(3 + 5 \times \frac{4}{5}, 2 + 5 \times \frac{3}{5}) = (3 + 4, 2 + 3) = (7, 5)$.
ઋણ દિશા માટે: $(3 - 5 \times \frac{4}{5}, 2 - 5 \times \frac{3}{5}) = (3 - 4, 2 - 3) = (-1, -1)$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(7, 5)$ અને $(-1, -1)$ છે.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Mathematics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Mathematics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Mathematics questions are in IIT JEE 1965?
There are 8 Mathematics questions from the IIT JEE 1965 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 1965 Mathematics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 1965 Mathematics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Mathematics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Mathematics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Mathematics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Mathematics Paper
Pick IIT JEE 1965 Mathematics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.