AP EAMCET 2011 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) બાષ્પદબાણમાં થતો ઘટાડો એ સંખ્યાત્મક ગુણધર્મ છે,જે દ્રાવ્યના કણોની સંખ્યા (વોન્ટ હોફ અવયવ,$i$) પર આધાર રાખે છે.
$0.1 \ M$ જલીય દ્રાવણો માટે,બાષ્પદબાણમાં થતો સાપેક્ષ ઘટાડો એ વિયોજન પછી ઉત્પન્ન થતા આયનોની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે.
$BaCl_2 \rightarrow Ba^{2+} + 2Cl^-$; $i = 3$
$NaCl \rightarrow Na^+ + Cl^-$; $i = 2$
$Al_2(SO_4)_3 \rightarrow 2Al^{3+} + 3SO_4^{2-}$; $i = 5$
આમ,$BaCl_2 : NaCl : Al_2(SO_4)_3$ માટે બાષ્પદબાણમાં થતા ઘટાડાનો ગુણોત્તર $3 : 2 : 5$ છે.

(D) $NaHCO_3$ ની વિઘટન પ્રક્રિયા: $2NaHCO_3 \rightarrow Na_2CO_3 + H_2O + CO_2$.
ધારો કે $NaHCO_3$ નું દળ $x \ g$ અને $Na_2CO_3$ નું દળ $y \ g$ છે.
આપેલ છે કે $x + y = 19$.
ઉત્પન્ન થયેલ $CO_2$ ના મોલ = $\frac{1.12 \ L}{22.4 \ L/mol} = 0.05 \ mol$.
પ્રક્રિયા મુજબ,$2 \ mol$ $NaHCO_3$ માંથી $1 \ mol$ $CO_2$ ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,$NaHCO_3$ ના મોલ = $2 \times 0.05 = 0.1 \ mol$.
$NaHCO_3$ નું દળ = $0.1 \ mol \times 84 \ g/mol = 8.4 \ g$.
મૂળ મિશ્રણમાં $Na_2CO_3$ નું દળ = $19 \ g - 8.4 \ g = 10.6 \ g$.

(C) આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો અને વાયુના અણુઓના કદને કારણે વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત થાય છે.
$High \text{ temperature}$ (ઊંચા તાપમાને),અણુઓની ગતિજ ઉર્જા વધારે હોય છે,જેથી આંતરઆણ્વિય બળો નહિવત થઈ જાય છે.
$Low \text{ pressure}$ (ઓછા દબાણે),વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નહિવત થઈ જાય છે.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુઓ $High \text{ temperature}$ અને $Low \text{ pressure}$ ની સ્થિતિમાં આદર્શ વાયુ વર્તણૂક દર્શાવે છે.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ ક્વોન્ટાઇઝ્ડ હોય છે અને તે $L = \frac{n h}{2 \pi}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા $(n = 1, 2, 3, \dots)$ છે.
આને $L = n \times (0.5 \frac{h}{\pi})$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલા વિકલ્પો માટે:
$A) 1.25 \frac{h}{\pi} = 2.5 \times \frac{h}{2 \pi}$ (જે $\frac{h}{2 \pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક નથી)
$B) 1 \frac{h}{\pi} = 2 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 2$,માન્ય છે)
$C) 1.5 \frac{h}{\pi} = 3 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 3$,માન્ય છે)
$D) 0.5 \frac{h}{\pi} = 1 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 1$,માન્ય છે)
તેથી,$1.25 \frac{h}{\pi}$ એ માન્ય મૂલ્ય નથી.

(D) આવૃત્તિ $(v)$,પ્રકાશની ગતિ $(c)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \frac{c}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ અને $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{3 \times 10^8}{600 \times 10^{-9}} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^{-7}} = 0.5 \times 10^{15} = 5.0 \times 10^{14} \ Hz$.

(D) સ્પિન-ઓન્લી ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu)$ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $\mu = \sqrt{n(n+2)} \ BM$,જ્યાં $n$ એ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે.
ઇલેક્ટ્રોનિક કોન્ફિગરેશન અને અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન $(n)$:
$I. Fe^{2+}: [Ar] 3d^6 \rightarrow n = 4$
$II. Ti^{2+}: [Ar] 3d^2 \rightarrow n = 2$
$III. Cu^{2+}: [Ar] 3d^9 \rightarrow n = 1$
$IV. V^{2+}: [Ar] 3d^3 \rightarrow n = 3$
ચુંબકીય મોમેન્ટ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા સાથે વધે છે.
$n$ મૂલ્યોની સરખામણી: $1 (III) < 2 (II) < 3 (IV) < 4 (I)$.
તેથી,વધતો ક્રમ $III < II < IV < I$ છે.

(A) ફ્રુન્ડલિચ એડસોર્પ્શન આઈસોથર્મ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{x}{m} = K p^{1/n}$
બંને બાજુ લોગ લેતા:
$\log \frac{x}{m} = \log K + \frac{1}{n} \log p$
આ સમીકરણ સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log \frac{x}{m}$,$x = \log p$,ઢાળ $m = \frac{1}{n}$,અને આંતરછેદ $c = \log K$ છે.
તેથી,$\log \frac{x}{m}$ અને $\log p$ વચ્ચેનો આલેખ દોરતા સીધી રેખા મળે છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા બંને સ્લેબમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હોવો જોઈએ.
$H = \frac{k_1 A (T_1 - T_x)}{L} = \frac{k_2 A (T_x - T_2)}{L}$
બંને સ્લેબ માટે જાડાઈ $(L)$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે:
$k_1 (12 - x) = k_2 (x - 0)$
આપેલ છે કે $k_1 = \frac{k_2}{2}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{k_2}{2} (12 - x) = k_2 x$
$12 - x = 2x$
$3x = 12 \implies x = 4^{\circ} C$
સ્લેબ $A$ ની આજુબાજુનો તાપમાન તફાવત $(12 - x) = 12 - 4 = 8^{\circ} C$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે કે $\eta = \frac{1}{6}$,તેથી $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_1 = 1.2 T_2$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62^{\circ} C$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા બમણી થાય છે,તેથી $\eta' = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,$1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$T_1 = 1.2 T_2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{T_2 - 62}{1.2 T_2} = \frac{2}{3}$.
$3(T_2 - 62) = 2.4 T_2 \implies 3 T_2 - 186 = 2.4 T_2 \implies 0.6 T_2 = 186 \implies T_2 = 310 \ K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા: $T_2 = 310 - 273 = 37^{\circ} C$.
ત્યારબાદ $T_1 = 1.2 \times 310 = 372 \ K$. સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા: $T_1 = 372 - 273 = 99^{\circ} C$.
તેથી,તાપમાન $99^{\circ} C$ અને $37^{\circ} C$ છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $p$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $pV^\gamma = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma = C_p / C_V$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે. $(i)$
આપેલ છે કે $p \propto T^3$,તેથી આપણે લખી શકીએ $p = k' T^3$,જ્યાં $k'$ એક અચળાંક છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $T = \frac{pV}{nR}$.
આ કિંમતને આપેલ સંબંધમાં મૂકતા:
$p = k' \left( \frac{pV}{nR} \right)^3$
$p = \left( \frac{k'}{n^3 R^3} \right) p^3 V^3$
$1 = \left( \frac{k'}{n^3 R^3} \right) p^2 V^3$
$p^2 V^3 = \text{અચળાંક}$
$p V^{3/2} = \text{અચળાંક}$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે $\gamma = 3/2$.
તેથી,$C_p / C_V$ નું મૂલ્ય $3/2$ છે.

(D) પ્રક્રિયાનો એન્થાલ્પી ફેરફાર,$\Delta_r H$,પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_f)$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_b)$ સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $\Delta_r H = E_f - E_b$.
ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર ઋણ હોય છે,એટલે કે $\Delta_r H < 0$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $E_f - E_b < 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $E_f < E_b$.

(D) ફેઝ ટ્રાન્સમિશન માટે એન્ટ્રોપી ફેરફારનું સૂત્ર $\Delta S = \frac{q_{rev}}{T}$ છે.
બરફ ઓગળવા માટે શોષાયેલી ઉષ્મા $q = m \times L_f$ છે,જ્યાં $m = 27.3 \ g$ અને $L_f = 330 \ J g^{-1}$ છે.
$q = 27.3 \ g \times 330 \ J g^{-1} = 9009 \ J$.
બરફનું ગલનબિંદુ $T = 0^{\circ} C = 273 \ K$ છે.
તેથી,$\Delta S = \frac{9009 \ J}{273 \ K} = 33 \ J K^{-1}$.

(C) પદ $\frac{1}{2} \mu_0 H^2$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા દર્શાવે છે.
ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2 T^{-2}]$ છે અને કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1} T^{-2}]$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$\mu_0$ અને $H$ ના પરિમાણોનો ઉપયોગ કરતા:
$[\mu_0] = [MLT^{-2} A^{-2}]$ અને $[H] = [AL^{-1}]$.
આ કિંમતોને પદમાં મૂકતા: $[\mu_0 H^2] = [MLT^{-2} A^{-2}] \times [AL^{-1}]^2 = [MLT^{-2} A^{-2}] \times [A^2 L^{-2}] = [ML^{-1} T^{-2}]$.

(B) ભૌતિક રાશિઓ અને તેમના અનુરૂપ $SI$ એકમો નીચે મુજબ છે:
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(H)$: તેનો એકમ એમ્પીયર પ્રતિ મીટર $(A \cdot m^{-1})$ છે.
$2$. ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$: તેનો એકમ વેબર $(Wb)$ છે.
$3$. ચુંબકીય ધ્રુવની પ્રબળતા $(m)$: તેનો એકમ એમ્પીયર-મીટર $(A \cdot m)$ છે.
$4$. ચુંબકીય પ્રેરણ $(B)$: તેનો એકમ વેબર પ્રતિ ચોરસ મીટર $(Wb \cdot m^{-2})$ છે,જે ટેસ્લા $(T)$ ને સમાન છે.
આ રાશિઓને યાદી સાથે જોડતા:
$(A)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $\rightarrow$ (iv) $A \cdot m^{-1}$
$(B)$ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\rightarrow$ $(i)$ $Wb$
$(C)$ ચુંબકીય ધ્રુવની પ્રબળતા $\rightarrow$ (iii) $A \cdot m$
$(D)$ ચુંબકીય પ્રેરણ $\rightarrow$ (ii) $Wb \cdot m^{-2}$
તેથી,સાચી જોડી $(A)-(iv), (B)-(i), (C)-(iii), (D)-(ii)$ છે. સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર $I_R = I_{\max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I_R = 75 \% \text{ of } I_{\max} = 0.75 I_{\max} = \frac{3}{4} I_{\max}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{3}{4} I_{\max} = I_{\max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
$\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{3}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$.
આમ,કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(A) ધારો કે $v$ એ હવામાં ધ્વનિનો વેગ છે અને $f_0$ એ ત્રીજા ધ્વનિની આવૃત્તિ છે.
બે ધ્વનિની આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{40/195} = \frac{195v}{40}$ અને $f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{40/193} = \frac{193v}{40}$ છે.
દરેક ધ્વનિ ત્રીજા ધ્વનિ સાથે દર સેકન્ડે $9$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી:
$|f_1 - f_0| = 9$ અને $|f_2 - f_0| = 9$.
આનો અર્થ એ છે કે $f_1 - f_0 = 9$ અને $f_0 - f_2 = 9$ (કારણ કે $f_1 > f_2$).
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(f_1 - f_0) + (f_0 - f_2) = 9 + 9$
$f_1 - f_2 = 18$
$f_1$ અને $f_2$ ના મૂલ્યો મુકતા:
$\frac{195v}{40} - \frac{193v}{40} = 18$
$\frac{2v}{40} = 18$
$\frac{v}{20} = 18$
$v = 360 ~m/s$.

(B) ધારો કે $2R$ ત્રિજ્યાવાળી મોટી તકતીનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ધારો કે મોટી તકતીનું દળ $M$ છે. એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = \frac{M}{\pi(2R)^2} = \frac{M}{4\pi R^2}$ છે.
દૂર કરવામાં આવેલી $R$ ત્રિજ્યાવાળી નાની તકતીનું દળ $m = \sigma \cdot \pi R^2 = \frac{M}{4\pi R^2} \cdot \pi R^2 = \frac{M}{4}$ છે.
મોટી તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = 0$ પર છે. દૂર કરેલી નાની તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2 = R$ પર છે (કારણ કે પરિઘ સ્પર્શે છે).
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે:
$x_{CM} = \frac{M x_1 - m x_2}{M - m}$
$x_{CM} = \frac{M(0) - (M/4)(R)}{M - M/4} = \frac{-MR/4}{3M/4} = -\frac{R}{3}$.
મોટી તકતીના કેન્દ્રથી અંતર $|x_{CM}| = \frac{R}{3}$ છે.
આને $\alpha R$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(B) મધ્યસ્થ પરમાણુ પરના અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{Lone pairs} = \frac{1}{2} (V - N - C)$,જ્યાં $V$ એ મધ્યસ્થ પરમાણુના સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે,$N$ એ તેની સાથે જોડાયેલા એકસંયોજક પરમાણુઓની સંખ્યા છે,અને $C$ એ સ્પીસીઝ પરનો વીજભાર છે.
$1$. $XeF_2$ માટે: $V=8, N=2, C=0$. $\text{Lone pairs} = \frac{1}{2}(8-2) = 3$.
$2$. $ICl_2^{-}$ માટે: $V=7, N=2, C=1$. $\text{Lone pairs} = \frac{1}{2}(7-2+1) = 3$.
$XeF_2$ અને $ICl_2^{-}$ બંનેના મધ્યસ્થ પરમાણુઓ પર $3$ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ હોય છે.

(B) ફોર્મલ ચાર્જ $(FC)$ ની ગણતરી આ રીતે કરવામાં આવે છે: $FC = (\text{કુલ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન}) - (\text{બંધ ન બનાવતા ઇલેક્ટ્રોન}) - \frac{1}{2}(\text{બંધ બનાવતા ઇલેક્ટ્રોન})$.
$N_{(1)}$ માટે ($4$ બંધ ન બનાવતા ઇલેક્ટ્રોન અને દ્વિબંધમાંથી $4$ બંધ બનાવતા ઇલેક્ટ્રોન): $FC = 5 - 4 - \frac{1}{2}(4) = -1$.
$N_{(2)}$ માટે ($0$ બંધ ન બનાવતા ઇલેક્ટ્રોન અને બે દ્વિબંધમાંથી $8$ બંધ બનાવતા ઇલેક્ટ્રોન): $FC = 5 - 0 - \frac{1}{2}(8) = +1$.
$O$ માટે ($4$ બંધ ન બનાવતા ઇલેક્ટ્રોન અને દ્વિબંધમાંથી $4$ બંધ બનાવતા ઇલેક્ટ્રોન): $FC = 6 - 4 - \frac{1}{2}(4) = 0$.
આમ,ફોર્મલ ચાર્જ $-1, +1, 0$ છે.

(D) $XeF_6$ માં,મધ્યસ્થ પરમાણુ $Xe$ પાસે $8$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન હોય છે. તે $F$ પરમાણુઓ સાથે $6$ બંધ બનાવે છે,જેનાથી $2$ ઇલેક્ટ્રોન એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ તરીકે બાકી રહે છે.
સ્ટેરિક નંબર = (સિગ્મા બંધની સંખ્યા) + (અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની સંખ્યા) = $6 + 1 = 7$.
$7$ નો સ્ટેરિક નંબર $sp^3d^3$ સંકરણ સૂચવે છે.
આમ,$XeF_6$ માં $sp^3d^3$ સંકરણ અને $1$ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ હોય છે.

(D) ગ્રેફાઇટનું બંધારણ દ્વિ-પરિમાણીય શીટ જેવું હોય છે.
ગ્રેફાઇટમાં દરેક કાર્બન પરમાણુ એક જ સમતલમાં અન્ય ત્રણ કાર્બન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ હોય છે,જે ષટ્કોણીય વલયો બનાવે છે.
તેથી,ગ્રેફાઇટમાં દરેક કાર્બન પરમાણુ $sp^2$ સંકરણ ધરાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,હીરામાં દરેક કાર્બન પરમાણુ ચતુષ્ફલકીય ગોઠવણીમાં અન્ય ચાર કાર્બન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ હોય છે,જે તેને $sp^3$ સંકરણ આપે છે.

(A) પ્રક્રિયા $2AB \rightleftharpoons A_2 + B_2$ માટે,સંતુલન અચળાંક $K_c = 49$ છે.
જ્યારે સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણના સહગુણકોને $n$ અવયવ વડે ગુણવામાં આવે છે,ત્યારે નવો સંતુલન અચળાંક $K'_c = (K_c)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિસ્સામાં,મૂળ સમીકરણને $n = 1/2$ વડે ગુણવામાં આવ્યું છે.
તેથી,$K'_c = (49)^{1/2} = \sqrt{49} = 7$.

(C) $Na^+$,$Ne^+$,$Mg^+$ અને $Al^+$ (પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોન દૂર થયા પછી) ની ઇલેક્ટ્રોન રચના નીચે મુજબ છે:
$Na^+: 1s^2, 2s^2, 2p^6$ (સ્થાયી નિષ્ક્રિય વાયુ જેવી રચના)
$Ne^+: 1s^2, 2s^2, 2p^5$
$Mg^+: 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^1$
$Al^+: 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2$
આયનીકરણ ઉર્જા ઇલેક્ટ્રોન રચનાની સ્થિરતા,અસરકારક કેન્દ્રીય વીજભાર અને પરમાણુ કદ પર આધાર રાખે છે.
$Na^+$ પાસે સ્થાયી નિષ્ક્રિય વાયુ જેવી રચના $(2p^6)$ હોવાથી,બીજો ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવો અત્યંત મુશ્કેલ છે,તેથી તેની $IE_2$ સૌથી વધુ છે.
$Mg^+$ ની $3s^1$ રચના છે,જે અન્યની સરખામણીમાં દૂર કરવી પ્રમાણમાં સરળ છે.
$Al^+$ ની $3s^2$ રચના છે,જે $Mg^+$ કરતા વધુ સ્થાયી છે.
$Ne^+$ ની $2p^5$ રચના છે,જે $Al^+$ કરતા વધુ સ્થાયી છે.
તેથી,$IE_2$ નો સાચો ક્રમ $Mg < Al < Ne < Na$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\tan A$ અને $\tan B$ એ સમીકરણ $x^2-px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી:
$\tan A + \tan B = p$
$\tan A \tan B = q$
$\tan(A+B)$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{p}{1-q}$
હવે,એક કાટકોણ ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લો જ્યાં સામેની બાજુ $p$ અને પાસેની બાજુ $(1-q)$ છે. કર્ણ $\sqrt{p^2 + (1-q)^2}$ થશે.
તેથી,$\sin(A+B) = \frac{p}{\sqrt{p^2 + (1-q)^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\sin^2(A+B) = \frac{p^2}{p^2 + (1-q)^2}$.

(D) આપેલ છે,$\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$
બંને બાજુ $(x-1)(x-2)(x-3)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x^2+x+1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$
$A$ શોધવા માટે,$x=1$ મૂકો:
$1^2+1+1 = A(1-2)(1-3) \Rightarrow 3 = A(-1)(-2) \Rightarrow 3 = 2A \Rightarrow A = \frac{3}{2}$
$C$ શોધવા માટે,$x=3$ મૂકો:
$3^2+3+1 = C(3-1)(3-2) \Rightarrow 13 = C(2)(1) \Rightarrow 13 = 2C \Rightarrow C = \frac{13}{2}$
તેથી,$A+C = \frac{3}{2} + \frac{13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

(B) આપેલ છે,${ }^{15}P_8 = A + 8 \cdot { }^{14}P_7$
આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$.
તેથી,$\frac{15!}{7!} = A + 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$A = \frac{15!}{7!} - 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$A = \frac{15 \cdot 14!}{7!} - 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$A = \frac{14!}{7!} (15 - 8)$
$A = \frac{14!}{7!} (7)$
$A = \frac{14!}{6!} = { }^{14}P_8$

(B) પાંચ અંકની સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેનો એકમનો અંક $0$ અથવા $5$ હોય.
કિસ્સો $I$: જ્યારે એકમના સ્થાને $0$ હોય.
બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5)$ વડે $^5P_4 = 5! = 120$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $II$: જ્યારે એકમના સ્થાને $5$ હોય.
પ્રથમ સ્થાન (દસ હજારનું સ્થાન) $0$ હોઈ શકે નહીં. તેથી,પ્રથમ સ્થાન $4$ અંકો $(1, 2, 3, 4)$ માંથી કોઈ પણ એક વડે ભરી શકાય.
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો ($0$ સહિત) વડે $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ રીતે ભરી શકાય.
તેથી,કિસ્સા $II$ માટે કુલ રીતો $= 4 \times 24 = 96$.
કુલ સંખ્યા $= 120 + 96 = 216$.

(D) આપેલ અસમતા: ${ }^{n-1} C_3+{ }^{n-1} C_4>{ }^n C_3$
પાસ્કલના નિત્યસમ ${ }^{n} C_r+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે ${ }^{n-1} C_3+{ }^{n-1} C_4={ }^n C_4$
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: ${ }^n C_4>{ }^n C_3$
સૂત્ર ${ }^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$
$\frac{1}{4(n-4)!} > \frac{1}{(n-3)(n-4)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$
$n-3 > 4$
$n > 7$
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $8$ છે.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $2n$ છે. આપણે $n$ જોડીઓ એક પછી એક પસંદ કરીએ છીએ.
પ્રથમ જોડી માટે,એક સફેદ અને એક કાળો દડો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = n^2$ છે.
બીજી જોડી માટે,રીતો $\binom{n-1}{1} \times \binom{n-1}{1} = (n-1)^2$ છે.
છેલ્લી જોડી સુધી આ રીતે ગણતરી કરતા,કુલ રીતો $(n^2) \times (n-1)^2 \times \dots \times 1^2 = (n!)^2$ થાય.
આપેલ છે કે $(n!)^2 = 14400$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$n! = \sqrt{14400} = 120$.
$5! = 120$ હોવાથી,$n = 5$ મળે.

(C) ભોપાલ ગેસ દુર્ઘટના,જે $1984$ માં થઈ હતી,તે મિથાઈલ આઈસોસાયનેટ $(CH_3NCO)$ ગેસના આકસ્મિક લીકેજને કારણે થઈ હતી.
મિથાઈલ આઈસોસાયનેટને સામાન્ય રીતે $MIC$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $60^{\circ} 1^{\prime} = 60^{\circ} + \left(\frac{1}{60}\right)^{\circ}$.
$1^{\circ} = \alpha$ રેડિયન હોવાથી,$1^{\prime} = \frac{\alpha}{60}$ રેડિયન થાય.
નાના $B$ માટે $\cos(A + B) \approx \cos A - B \sin A$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(60^{\circ} + 1^{\prime}) \approx \cos(60^{\circ}) - \left(\frac{\alpha}{60}\right) \sin(60^{\circ})$.
$\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ અને $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મુકતા:
$\cos(60^{\circ} 1^{\prime}) \approx \frac{1}{2} - \frac{\alpha \sqrt{3}}{120}$.

(C) આપેલ છે,$f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$.
આપણે તેને $f(x) = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 + b^2 - ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x)$.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી:
$f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x$.
$2\sin^2 x \cos^2 x$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,$f(x) = 1 - \frac{3}{4}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$.
કારણ કે $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,તેથી:
$1 - \frac{3}{4}(1) \leq f(x) \leq 1 - \frac{3}{4}(0)$.
$\frac{1}{4} \leq f(x) \leq 1$.
આમ,$f(x) \in \left[\frac{1}{4}, 1\right]$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $32 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right)$
$= 16 \left[ 2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right) \right]$
સૂત્ર $2 \sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 16 \left[ \cos \left( \frac{5A}{2} - \frac{A}{2} \right) - \cos \left( \frac{5A}{2} + \frac{A}{2} \right) \right]$
$= 16 [ \cos 2A - \cos 3A ]$
$= 16 [ (2 \cos^2 A - 1) - (4 \cos^3 A - 3 \cos A) ]$
$\cos A = \frac{3}{4}$ મુકતા:
$= 16 \left[ 2 \left( \frac{3}{4} \right)^2 - 1 - 4 \left( \frac{3}{4} \right)^3 + 3 \left( \frac{3}{4} \right) \right]$
$= 16 \left[ 2 \left( \frac{9}{16} \right) - 1 - 4 \left( \frac{27}{64} \right) + \frac{9}{4} \right]$
$= 16 \left[ \frac{9}{8} - 1 - \frac{27}{16} + \frac{9}{4} \right]$
$= 16 \left[ \frac{18 - 16 - 27 + 36}{16} \right]$
$= 18 - 16 - 27 + 36 = 11$

(B) આપેલ ત્રિકોણમિતીય સમીકરણો $\tan \theta = -1$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$\tan \theta$ ઋણ છે અને $\cos \theta$ ધન હોવાથી,$\theta$ ચોથા ચરણમાં હોવો જોઈએ.
$\tan \theta = -1$ માટેનો સામાન્ય ઉકેલ $\theta = n \pi + \frac{3 \pi}{4}$ છે.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટેનો સામાન્ય ઉકેલ $\theta = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}$ છે.
બંને સમીકરણોનું સમાધાન થાય તે માટે,ચોથા ચરણમાં ખૂણો $\theta = 2 n \pi + \frac{7 \pi}{4}$ (અથવા $2 n \pi - \frac{\pi}{4}$) મળે છે.

(A) રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{1-0}{3-2} = 1$ છે.
$\tan \theta = 1$ હોવાથી,$AB$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
જ્યારે રેખાને બિંદુ $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં $45^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ધન $x$-અક્ષ સાથેનો નવો ખૂણો $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય છે.
રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ $r = \sqrt{(3-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
ધારો કે $B$ ની નવી સ્થિતિ $C(x, y)$ છે. લંબાઈ સમાન રહેતી હોવાથી,$AC = AB = \sqrt{2}$.
$C$ ના યામ $(x_A + r \cos \phi, y_A + r \sin \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi = 90^{\circ}$.
$x = 2 + \sqrt{2} \cos 90^{\circ} = 2 + \sqrt{2}(0) = 2$.
$y = 0 + \sqrt{2} \sin 90^{\circ} = 0 + \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
આમ,નવા યામ $(2, \sqrt{2})$ છે.

(C) ચતુષ્કોણ $x = 0$ ($y$-અક્ષ),$y = 0$ ($x$-અક્ષ),$2x + y = 2$ અને $x + y = 5$ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યા યામ $(x \geq 1, y \geq 1)$ ધરાવતું બિંદુ $(x, y)$ ચતુષ્કોણની અંદર હોવા માટે નીચેની શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ:
$1) \ x + y < 5$
$2) \ 2x + y > 2$
$x, y \geq 1$ હોવાથી,$2x + y > 2$ શરત તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(x, y)$ માટે હંમેશા સંતોષાય છે.
હવે આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે $x + y < 5$ શરત તપાસીએ:
જો $x = 1$,તો $1 + y < 5 \implies y < 4$. $y$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3$ છે. બિંદુઓ: $(1, 1), (1, 2), (1, 3)$.
જો $x = 2$,તો $2 + y < 5 \implies y < 3$. $y$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2$ છે. બિંદુઓ: $(2, 1), (2, 2)$.
જો $x = 3$,તો $3 + y < 5 \implies y < 2$. $y$ ની શક્ય કિંમત $1$ છે. બિંદુ: $(3, 1)$.
જો $x = 4$,તો $4 + y < 5 \implies y < 1$. કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $y$ શક્ય નથી.
કુલ બિંદુઓ $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)$ છે.
આવા કુલ $6$ બિંદુઓ છે.

(C) રેખા $x + 3y = 7$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x - y + \lambda = 0$ સ્વરૂપનું છે.
આ રેખા $(3, 8)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી: $3(3) - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow 9 - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x - y - 1 = 0$ છે.
$x + 3y = 7$ અને $3x - y - 1 = 0$ નું છેદબિંદુ એ લંબપાદ છે. સમીકરણો ઉકેલતા:
$y = 3x - 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 3(3x - 1) = 7$ $\Rightarrow 10x = 10$ $\Rightarrow x = 1$.
તેથી $y = 3(1) - 1 = 2$. આમ,લંબપાદ $(1, 2)$ છે.
ધારો કે $(3, 8)$ નું પ્રતિબિંબ $(x_1, y_1)$ છે. $(1, 2)$ એ $(3, 8)$ અને $(x_1, y_1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે:
$\frac{3 + x_1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$.
$\frac{8 + y_1}{2} = 2 \Rightarrow y_1 = -4$.
તેથી,બિંદુનું પ્રતિબિંબ $(-1, -4)$ છે.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે. આપેલ શરત મુજબ,$P$ થી $F_1(0, 2)$ અને $F_2(0, -2)$ ના અંતરનો સરવાળો $6$ છે.
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} + \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} = 6$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદુંરૂપ આપતા:
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 6 - \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$x^2 + (y - 2)^2 = 36 + x^2 + (y + 2)^2 - 12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$-8y - 36 = -12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$2y + 9 = 3\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$(2y + 9)^2 = 9(x^2 + y^2 + 4y + 4)$
$4y^2 + 36y + 81 = 9x^2 + 9y^2 + 36y + 36$
$9x^2 + 5y^2 = 45$

(D) સાયક્લોઆલ્કેન્સમાં,સાયક્લોહેક્ઝેન માટે દહન ઉષ્મા $(657.9 \ kJ \ mol^{-1})$ સૌથી ઓછી છે,તેથી તે સૌથી વધુ સ્થાયી સાયક્લોઆલ્કેન છે.
સાયક્લોપ્રોપેન અને સાયક્લોબ્યુટેન એન્ગલ સ્ટ્રેન અને ટોર્સનલ સ્ટ્રેનને કારણે ઓછા સ્થાયી છે,તેથી તેઓ વધુ પ્રતિક્રિયાશીલ છે.
તેથી,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) જો કોઈ સંયોજનમાં ઓછામાં ઓછું એક કાયરલ કેન્દ્ર (અસમપ્રમાણ કાર્બન પરમાણુ,જે ચાર અલગ-અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ હોય) હોય,તો તે સંયોજન એનાન્ટિઓમેરિઝમ દર્શાવે છે.
$CH_3-CH(Br)-CH_2-CH_3$ ($2$-બ્રોમોબ્યુટેન) માં,બીજો કાર્બન પરમાણુ ચાર અલગ-અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ છે: $-H$,$-CH_3$,$-Br$,અને $-CH_2CH_3$.
તેમાં કાયરલ કેન્દ્ર હોવાથી,તે પ્રકાશીય રીતે સક્રિય છે અને એનાન્ટિઓમેરિઝમ દર્શાવે છે.
બાકીના વિકલ્પોમાં કોઈ કાયરલ કાર્બન પરમાણુ નથી.

(A) સલ્ફરની ટકાવારી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\text{સલ્ફરની ટકાવારી} = \frac{32 \times BaSO_4 \text{ નું વજન } \times 100}{233 \times \text{સંયોજનનું વજન}}$
આપેલ છે:
$BaSO_4 \text{ નું વજન } = 0.233 \ g$
$\text{સંયોજનનું વજન} = 0.16 \ g$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{સલ્ફરની ટકાવારી} = \frac{32 \times 0.233 \times 100}{233 \times 0.16} = 20 \%$

(C) બેન્ઝીન $(C_6H_6)$ ની ઓઝોન $(O_3)$ સાથેની પ્રક્રિયા ઓઝોનોલિસિસ પ્રક્રિયા છે.
બેન્ઝીન ત્રણ અણુ ઓઝોન સાથે પ્રક્રિયા કરીને બેન્ઝીન ટ્રાયોઝોનાઇડ $(X)$ બનાવે છે.
બેન્ઝીન ટ્રાયોઝોનાઇડનું $Zn / H_2O$ સાથે રિડક્ટિવ જળવિભાજન કરવાથી ગ્લાયઓક્સાલ $(Y)$ $(CHO-CHO)$ ના ત્રણ અણુઓ મળે છે.
તેથી,$X$ એ ટ્રાયોઝોનાઇડ છે અને $Y$ એ ગ્લાયઓક્સાલ છે.

(D) હાઇડ્રોજન $(H_2)$ અને ડ્યુટેરિયમ $(D_2)$ બંને અણુઓની બંધ લંબાઈ $74 \ pm$ સમાન હોય છે.
જોકે, તેમના આઇસોટોપિક દળમાં તફાવતને કારણે તેમની બંધ ઉર્જા, ગલનબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ જેવા ભૌતિક અને રાસાયણિક ગુણધર્મો અલગ હોય છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
- બંધ લંબાઈ: $74 \ pm$ (સમાન)
- બંધ ઉર્જા: $H_2$ માટે $436 \ kJ \ mol^{-1}$ અને $D_2$ માટે $443.3 \ kJ \ mol^{-1}$
- ગલનબિંદુ: $H_2$ માટે $0.00 \ ^\circ C$ અને $D_2$ માટે $3.81 \ ^\circ C$
- ઉત્કલનબિંદુ: $H_2$ માટે $100.0 \ ^\circ C$ અને $D_2$ માટે $101.42 \ ^\circ C$
તેથી, બંધ લંબાઈ સમાન છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = |x| + |\sin x|$ છે.
$x=0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલન $(LHD)$ શોધવા માટે,આપણે વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h}$
અહીં $f(0) = |0| + |\sin 0| = 0$ હોવાથી:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h| + |\sin(-h)|}{-h}$
નાના $h > 0$ માટે,$|-h| = h$ અને $|\sin(-h)| = |-\sin h| = \sin h$ થાય (કારણ કે $h \in (0, \pi/2)$ માટે $\sin h > 0$ છે).
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{h + \sin h}{-h}$
$LHD = \lim_{h \to 0^+} -\left( \frac{h}{h} + \frac{\sin h}{h} \right)$
$LHD = -(1 + 1) = -2$.

(D) $CH_3COOH \rightleftharpoons H^{+} + CH_3COO^{-}$
$K_a = \frac{[H^{+}][CH_3COO^{-}]}{[CH_3COOH]} = \frac{[H^{+}]^2}{[CH_3COOH]}$
$[H^{+}] = \sqrt{K_a \times [CH_3COOH]}$
$[H^{+}] = \sqrt{2 \times 10^{-5} \times 0.05}$
$[H^{+}] = \sqrt{10^{-6}} = 10^{-3} \ M$
$pH = -\log[H^{+}]$
$pH = -\log(10^{-3}) = 3$

(B) ધારો કે સાંકળની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ છે. સાંકળનું કુલ દળ $M = \lambda L$ છે.
ધારો કે $l'$ એ ધાર પર લટકતી સાંકળની લંબાઈ છે. ટેબલ પર રહેલી સાંકળની લંબાઈ $(L - l')$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m_h = \lambda l'$ છે અને ટેબલ પરના ભાગનું દળ $m_t = \lambda (L - l')$ છે.
સાંકળને નીચે ખેંચતું બળ એ લટકતા ભાગનું વજન છે: $F_g = m_h g = \lambda l' g$.
ટેબલ પરના ભાગ પર લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu m_t g = \mu \lambda (L - l') g$ છે.
સાંકળ સરકવાની તૈયારીમાં હોય ત્યારે,ખેંચતું બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\lambda l' g = \mu \lambda (L - l') g$
$l' = \mu (L - l')$
$l' = \mu L - \mu l'$
$l' (1 + \mu) = \mu L$
$l' = \frac{\mu L}{(1 + \mu)}$

(D) ધારો કે દોરડામાં મહત્તમ તણાવ $T = 60 ~kg-wt = 60g ~N$ છે. બે છોકરાઓના દળ $m_1 = 20 ~kg$ અને $m_2 = 30 ~kg$ છે. ધારો કે તેમના પ્રવેગ અનુક્રમે $a_1$ અને $a_2$ છે.
દોરડા પર લાગતું કુલ બળ એ દરેક છોકરા દ્વારા લગાડવામાં આવેલા બળનો સરવાળો છે: $T = m_1(g + a_1) + m_2(g + a_2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $60g = 20(g + a_1) + 30(g + a_2)$.
$60g = 20g + 20a_1 + 30g + 30a_2$.
$60g = 50g + 20a_1 + 30a_2$.
$10g = 20a_1 + 30a_2$.
$10$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $g = 2a_1 + 3a_2$.
મહત્તમ પ્રવેગનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે વ્યક્તિગત મર્યાદાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. જો છોકરો $1$ મહત્તમ પ્રવેગ $a_1$ સાથે ચઢે,તો $a_2 = 0$,તેથી $g = 2a_1 \Rightarrow a_1 = g/2$. જો છોકરો $2$ મહત્તમ પ્રવેગ $a_2$ સાથે ચઢે,તો $a_1 = 0$,તેથી $g = 3a_2 \Rightarrow a_2 = g/3$.
તેમના મહત્તમ શક્ય પ્રવેગનો ગુણોત્તર $a_1 : a_2 = (g/2) : (g/3) = 3 : 2$ છે.

(C) આપેલ અંતર વિધેય $s = t^2 - 2t + 5$ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 2t + 5) = 2t - 2$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - 2) = 2$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $2$ એકમ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin^8 x - \cos^8 x}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
વળી,$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{(\sin^4 x - \cos^4 x)(1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x)}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} dx$.
$I = \int (\sin^4 x - \cos^4 x) dx$.
કારણ કે $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = -\cos 2x$.
$I = \int -\cos 2x dx = -\frac{\sin 2x}{2} + B$.
આને $I = A \sin 2x + B$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n \theta \, d\theta$.
આપણે $I_{n-1} + I_{n+1}$ શોધવાનું છે.
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta \, d\theta + \int_0^{\pi / 4} \tan^{n+1} \theta \, d\theta$.
$ an^{n-1} \theta$ સામાન્ય લેતા:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta (1 + \tan^2 \theta) \, d\theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,તેથી:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta \sec^2 \theta \, d\theta$.
ધારો કે $u = \tan \theta$,તેથી $du = \sec^2 \theta \, d\theta$.
જ્યારે $\theta = 0$,ત્યારે $u = 0$ અને જ્યારે $\theta = \pi / 4$,ત્યારે $u = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^1 u^{n-1} \, du = \left[ \frac{u^n}{n} \right]_0^1 = \frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n}$.