AP EAMCET 2008 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $E = \sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$ है।
$E = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$E = 2 \left( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$E = 2 \left( \frac{\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = 2 \left( \frac{\sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right) = 2 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$E = 4 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right) = 4 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} \right) = 4$.

(B) दिया गया है कि $\alpha+\beta+\gamma=2 \theta$,इसलिए $\theta = \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}$.
माना $S = \cos \theta + \cos (\theta-\alpha) + \cos (\theta-\beta) + \cos (\theta-\gamma)$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = [\cos \theta + \cos (\theta-\gamma)] + [\cos (\theta-\alpha) + \cos (\theta-\beta)]$
$S = 2 \cos \frac{2\theta-\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} + 2 \cos \frac{2\theta-\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2}$
चूंकि $2\theta = \alpha+\beta+\gamma$,इसलिए $2\theta-\gamma = \alpha+\beta$ और $2\theta-\alpha-\beta = \gamma$.
$S = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} + 2 \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2}$
$S = 2 \cos \frac{\gamma}{2} [\cos \frac{\alpha+\beta}{2} + \cos \frac{\beta-\alpha}{2}]$
पुनः $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$S = 2 \cos \frac{\gamma}{2} [2 \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2}]$
$S = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$.

(B) दिया गया है,$A=35^{\circ}, B=15^{\circ}$ और $C=40^{\circ}$।
चूंकि $A+B+C = 35^{\circ}+15^{\circ}+40^{\circ} = 90^{\circ}$,हम $\tan(A+B+C)$ के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$\tan(A+B+C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)}$।
चूंकि $A+B+C = 90^{\circ}$,$\tan(90^{\circ})$ अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A) = 0$।
अतः,$\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1$।

(B) दिया गया समीकरण $\cos 2x + 2 \cos^2 x = 2$ है।
सर्वसमिका $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$(2 \cos^2 x - 1) + 2 \cos^2 x = 2$
$4 \cos^2 x - 1 = 2$
$4 \cos^2 x = 3$
$\cos^2 x = \frac{3}{4}$
$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6}$।
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x = 2n\pi \pm \frac{5\pi}{6}$।
इन दोनों को मिलाने पर,व्यापक हल $x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in Z$।

(B) चूँकि अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया गया है,हम $(x, y)$ को $(x \cos 45^{\circ} - y \sin 45^{\circ}, x \sin 45^{\circ} + y \cos 45^{\circ})$ अर्थात $(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}})$ से प्रतिस्थापित करते हैं। दिए गए समीकरण $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2$ में इन मानों को रखने पर:
$3(\frac{x-y}{\sqrt{2}})^2 + 3(\frac{x+y}{\sqrt{2}})^2 + 2(\frac{x-y}{\sqrt{2}})(\frac{x+y}{\sqrt{2}}) = 2$
$\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{2}{2}(x^2 - y^2) = 2$
$\frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + (x^2 - y^2) = 2$
$3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 = 2$
$4x^2 + 2y^2 = 2$
$2$ से भाग देने पर,हमें $2x^2 + y^2 = 1$ प्राप्त होता है।

(B) चूँकि रेखाएँ $2x - 3y + k = 0$,$3x - 4y - 13 = 0$ और $8x - 11y - 33 = 0$ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2 & -3 & k \\ 3 & -4 & -13 \\ 8 & -11 & -33 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(132 - 143) + 3(-99 + 104) + k(-33 + 32) = 0$
$2(-11) + 3(5) + k(-1) = 0$
$-22 + 15 - k = 0$
$-7 - k = 0$
$k = -7$

(A) दिए गए वक्रों $x^2+y^2=4$ और $x+y=a$ को समघात बनाने के लिए,मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण इस प्रकार है:
$x^2+y^2-4\left(\frac{x+y}{a}\right)^2=0$
$a^2$ से गुणा करने पर:
$a^2(x^2+y^2)-4(x^2+y^2+2xy)=0$
$(a^2-4)x^2-8xy+(a^2-4)y^2=0$
चूंकि रेखाओं का युग्म लंबवत है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(a^2-4)+(a^2-4)=0$
$2(a^2-4)=0$
$a^2=4$
$a=\pm 2$
अतः,$a$ का आवश्यक समुच्चय $\{-2, 2\}$ है।

(C) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $\lambda x^2 - 10xy + 12y^2 + 5x - 16y - 3 = 0$ की तुलना करने पर:
$a = \lambda, h = -5, b = 12, g = \frac{5}{2}, f = -8, c = -3$.
रेखाओं के युग्म को निरूपित करने की शर्त $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर:
$\lambda(12)(-3) + 2(-8)(\frac{5}{2})(-5) - \lambda(-8)^2 - 12(\frac{5}{2})^2 - (-3)(-5)^2 = 0$.
$-36\lambda + 200 - 64\lambda - 75 + 75 = 0$.
$-100\lambda + 200 = 0$.
$100\lambda = 200$.
$\lambda = 2$.

(C) चूंकि रेखाएँ $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ वृत्त के व्यास हैं,इसलिए उनका प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2x - 3y = 5$ $(i)$
$3x - 4y = 7$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से और $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$6x - 9y = 15$
$6x - 8y = 14$
घटाने पर: $-y = 1 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ को $(i)$ में रखने पर: $2x - 3(-1) = 5$ $\Rightarrow 2x + 3 = 5$ $\Rightarrow x = 1$.
अतः,केंद्र $(1, -1)$ और त्रिज्या $r = 7$ है।
वृत्त का समीकरण: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(A) बिंदु $P(x_1, y_1)$ से वृत्त $S=0$ पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{r}{\sqrt{S_1}}$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $S_1$ बिंदु की शक्ति (power) है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-5x+4y-2=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (-2)^2 - (-2)} = \sqrt{\frac{25}{4} + 4 + 2} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$ है।
बिंदु $(-1, 0)$ के लिए $S_1 = (-1)^2 + (0)^2 - 5(-1) + 4(0) - 2 = 1 + 5 - 2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{7/2}{\sqrt{4}} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$ है।
इस प्रकार,$\frac{\theta}{2} = \tan^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)$,जिसका अर्थ है $\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)$।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(1, 2)$ की ध्रुवीय रेखा (polar) का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$x(1) + y(2) - 2(x + 1) - 3(y + 2) + 9 = 0$
$x + 2y - 2x - 2 - 3y - 6 + 9 = 0$
$-x - y + 1 = 0 \Rightarrow x + y - 1 = 0$.
प्रतिलोम बिंदु $(\alpha, \beta)$ बिंदु $(1, 2)$ से रेखा $x + y - 1 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद (foot of perpendicular) है।
सूत्र $\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{1(1) + 1(2) - 1}{1^2 + 1^2}$
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{2}{2} = -1$.
अतः,$\alpha - 1 = -1 \Rightarrow \alpha = 0$ और $\beta - 2 = -1 \Rightarrow \beta = 1$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0, 1)$ है।

(B) वृत्त का दिया गया ध्रुवीय समीकरण $r^2-8r(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)+15=0$ है।
संबंधों $x=r\cos\theta$,$y=r\sin\theta$ और $r^2=x^2+y^2$ का उपयोग करके,हम इसे कार्तीय रूप में परिवर्तित करते हैं:
$x^2+y^2-8(\sqrt{3}x+y)+15=0$
$x^2+y^2-8\sqrt{3}x-8y+15=0$
इसे मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g=-4\sqrt{3}$,$f=-4$ और $c=15$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $R = \sqrt{g^2+f^2-c}$ द्वारा दी जाती है:
$R = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2+(-4)^2-15}$
$R = \sqrt{48+16-15}$
$R = \sqrt{49} = 7$.

(D) दो रेखाओं $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ और $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ के परवलय $y^2 = 4ax$ के सापेक्ष संयुग्मी होने की शर्त $l_1n_2 + l_2n_1 = 2am_1m_2$ है।
दी गई रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ और $x - y + 4\lambda = 0$ हैं और परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$ अर्थात $a = 2$ है।
यहाँ,$l_1 = 2, m_1 = 3, n_1 = 12$ और $l_2 = 1, m_2 = -1, n_2 = 4\lambda$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(4\lambda) + 1(12) = 2(2)(3)(-1)$
$8\lambda + 12 = -12$
$8\lambda = -24$
$\lambda = -3$.

(C) दिया गया है,$(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$.
इस व्यंजक को $(1+x)^5(1+x^2)^5$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $f(x) = (1+x)^5(1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$.
हमें $\sum_{k=0}^7 a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14}$ का मान ज्ञात करना है।
$f(1) = \sum_{k=0}^{15} a_k = (1+1)^5(1+1^2)^5 = 2^5 \times 2^5 = 1024$.
और $f(-1) = \sum_{k=0}^{15} a_k (-1)^k = (1-1)^5(1+(-1)^2)^5 = 0$.
अतः,$f(1) + f(-1) = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{14}) = 1024$.
इस प्रकार,$a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14} = \frac{1024}{2} = 512$.

(B) दी गई श्रेणी $\alpha = \frac{5}{2! 3} + \frac{5 \cdot 7}{3! 3^2} + \frac{5 \cdot 7 \cdot 9}{4! 3^3} + \ldots$ है।
द्विपद विस्तार $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ का उपयोग करने पर,हमें $\alpha = 3^{3/2} - 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2 = 3^{3/2}$।
अब,$\alpha^2 + 4\alpha = (\alpha+2)^2 - 4 = (3^{3/2})^2 - 4 = 27 - 4 = 23$।

(B) दिया गया है कि,उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है और नियता का समीकरण $\frac{a}{e} = 4$ है।
चूंकि $e = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\frac{a}{1/2} = 4$,जिसका अर्थ है $a = 2$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b^2 = 4(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
$12$ से गुणा करने पर,$3x^2 + 4y^2 = 12$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 3y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x^2 - 4x) - 3(y^2 + 2y) = 11$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x^2 - 4x + 4) - 3(y^2 + 2y + 1) = 11 + 4 - 3$ प्राप्त होता है।
यह $(x - 2)^2 - 3(y + 1)^2 = 12$ में सरल हो जाता है।
$12$ से भाग देने पर,$\frac{(x - 2)^2}{12} - \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 12$ और $b^2 = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2 \times \sqrt{12} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2}, & \text{for } x \neq 0 \\ \lambda, & \text{for } x = 0 \end{cases}$ है।
चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = \lambda$ होना चाहिए।
सूत्र $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करके सीमा का मूल्यांकन करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2}}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin 2x \sin x}{x^2}$.
मानक सीमा $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} -2 \left( \frac{\sin 2x}{x} \right) \left( \frac{\sin x}{x} \right) = -2 \times 2 \times 1 = -4$.
अतः,$\lambda = -4$।

(C) दिया गया है कि $f(2)=4$ और $f^{\prime}(2)=1$ है।
हमें सीमा का मान ज्ञात करना है:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x f(2)-2 f(x)}{x-2}$
अंश में $2f(2)$ जोड़ने और घटाने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x f(2)-2 f(2)+2 f(2)-2 f(x)}{x-2}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(2)(x-2) - 2(f(x)-f(2))}{x-2}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} f(2) - 2 \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$
$L = f(2) - 2 f^{\prime}(2)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = 4 - 2(1) = 2$.

(C) दिया गया है कि $f(x) = [x-3] + |x-4|$.
$x \rightarrow 3^{-}$ के रूप में वाम-पक्ष सीमा (left-hand limit) ज्ञात करने के लिए,हम $x = 3 - h$ प्रतिस्थापित करते हैं जहाँ $h > 0$ और $h \rightarrow 0$ है।
$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} ([3 - h - 3] + |3 - h - 4|)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} ([-h] + |-1 - h|)$
चूंकि $h$ एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है,$-h$ एक छोटी ऋणात्मक संख्या है,इसलिए $[-h] = -1$ होगा।
साथ ही,$|-1 - h| = |-(1 + h)| = 1 + h$ होगा।
अतः,$\lim_{h \rightarrow 0} (-1 + 1 + h) = -1 + 1 + 0 = 0$।

(A) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-e^x) \sin x}{x^2+x^3}$
हर से $x^2$ कॉमन लेने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-e^x) \sin x}{x^2(1+x)}$
व्यंजक को इस प्रकार लिखें: $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{1-e^x}{x} \right) \times \left( \frac{\sin x}{x} \right) \times \left( \frac{1}{1+x} \right)$
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
व्यंजक का मान: $(-1) \times (1) \times \left( \frac{1}{1+0} \right) = -1 \times 1 \times 1 = -1$

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$.
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(b+c) + (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{3}{a+b+c}$.
$\frac{a+b+2c}{ab+ac+bc+c^2} = \frac{3}{a+b+c}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(ab+ac+bc+c^2)$.
$(a+b)^2 + 3c(a+b) + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$.
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$.
$a^2 + b^2 - ab = c^2$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $a^2 + b^2 - ab = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
$-ab = -2ab \cos C$.
$\cos C = \frac{1}{2}$.
अतः,$\angle C = 60^{\circ}$.

(B) दिया गया है,$\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$।
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$\frac{(c+a) + (b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\frac{a+b+2c}{bc + ab + c^2 + ac} = \frac{3}{a+b+c}$
वज्र-गुणन करने पर:
$(a+b+2c)(a+b+c) = 3(bc + ab + c^2 + ac)$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
दोनों पक्षों से $3ac + 3bc$ घटाने पर:
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$:
$\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
अतः,$C = 60^{\circ}$।

(B) कथन $(I)$ के लिए:
$b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2} = b \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-b)}{ac}$
$= \frac{s}{a}(s-c) + \frac{s}{a}(s-b) = \frac{s}{a}(2s - b - c)$
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s - (b+c) = a$.
अतः,$\frac{s}{a} \cdot a = s$. इसलिए,कथन $(I)$ सही है।
कथन $(II)$ के लिए:
दिया है $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$. ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A}$.
$\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{2 \sin((B+C)/2) \cos((B-C)/2)}{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}$.
चूंकि $\sin((B+C)/2) = \cos(A/2)$,हमें $\cos(A/2) = \cos((B-C)/2)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $A = B-C$ या $A = C-B$.
यदि $A = B-C$,तो $A+C = B$. चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,$2B = 180^{\circ} \Rightarrow B = 90^{\circ}$.
प्रश्न में दिया गया कथन $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{2}$ है,जो विमीय रूप से गलत है और जैसा लिखा गया है वैसा $B=90^{\circ}$ की ओर नहीं ले जाता है। इसलिए,कथन $(II)$ गलत है।

(D) दिया गया है कि $r_1 = 2r_2 = 3r_3$।
अतः,$s-a = k, s-b = 2k, s-c = 3k$।
$3s - (a+b+c) = 6k \Rightarrow s = 6k$।
इसलिए,$a = 5k, b = 4k, c = 3k$।
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75 + 80 + 36}{60} = \frac{191}{60}$।

(B) दिया गया है,$A=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ और $f(t)=t^2-3t+7$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+(-2)(4) & 1(-2)+(-2)(5) \\ 4(1)+5(4) & 4(-2)+5(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix}$.
अब,$f(A) = A^2 - 3A + 7I$ की गणना करें:
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -7-3+7 & -12-(-6)+0 \\ 24-12+0 & 17-15+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix}$.
अंत में,दिए गए आव्यूह को जोड़ें:
$f(A) + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$.
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 7(1 - 0) - (-3)(-1 - 0) + (-3)(0 - (-1)) = 7(1) + 3(-1) - 3(1) = 7 - 3 - 3 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम का अस्तित्व है।
अब,आव्यूह $A$ के सहखंड (cofactors) $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = 1, C_{12} = 1, C_{13} = 1$.
$C_{21} = 3, C_{22} = 4, C_{23} = 3$.
$C_{31} = 3, C_{32} = 3, C_{33} = 4$.
एडजॉइंट आव्यूह $\operatorname{adj}(A)$,सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$\operatorname{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 4 \end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$.
$R_1$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a+b+c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a+b+c) [1 \cdot (-(a+b+c)) \cdot (-(a+b+c)) - 0]$
$\Delta = (a+b+c) (a+b+c)^2 = (a+b+c)^3$.

(B) हम जानते हैं कि $\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{e^{\theta} + e^{-\theta}}$ होता है।
$\theta = \frac{x}{2}$ रखने पर,हमें $\tanh \frac{x}{2} = \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\frac{1+\tanh \frac{x}{2}}{1-\tanh \frac{x}{2}}$ पर विचार करें:
$= \frac{1 + \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}{1 - \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}$
$= \frac{\frac{e^{x/2} + e^{-x/2} + e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}{\frac{e^{x/2} + e^{-x/2} - (e^{x/2} - e^{-x/2})}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}$
$= \frac{2e^{x/2}}{2e^{-x/2}}$
$= \frac{e^{x/2}}{e^{-x/2}} = e^{x/2 + x/2} = e^x$.

(B) दिया गया है कि,$\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(\theta) + \cos ^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
माना $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \theta$,तो $\sin \theta = \frac{3}{x}$,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{x}\right)^2} = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x}$.
$\cos \theta = \frac{4}{x}$ की तुलना करने पर,हमें $\frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x} = \frac{4}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 - 9 = 16$,जिससे $x^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 5$ (क्योंकि $x = -5$ मूल समीकरण में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के प्रांत को संतुष्ट नहीं करता है)।

(C) दिया गया है कि,$f(x) = |x|$ और $g(x) = [x - 3]$ है।
अंतराल $-\frac{8}{5} < x < \frac{8}{5}$ के लिए,$f(x) = |x|$ का परिसर $0 \leq f(x) < \frac{8}{5}$ (अर्थात $0 \leq f(x) < 1.6$) है।
हमें $g(f(x)) = [f(x) - 3]$ के लिए मानों का समुच्चय ज्ञात करना है।
स्थिति $1$: यदि $0 \leq f(x) < 1$ है,तो $-3 \leq f(x) - 3 < -2$ होगा। अतः,$g(f(x)) = [f(x) - 3] = -3$ होगा।
स्थिति $2$: यदि $1 \leq f(x) < 1.6$ है,तो $-2 \leq f(x) - 3 < -1.4$ होगा। अतः,$g(f(x)) = [f(x) - 3] = -2$ होगा।
इन स्थितियों को मिलाने पर,मानों का समुच्चय $\{-3, -2\}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$f(x)=x^2-3$।
सबसे पहले,हम प्रत्येक पद के लिए मान ज्ञात करते हैं:
$x=-1$ के लिए:
$f(-1) = (-1)^2-3 = -2$
$f(f(-1)) = f(-2) = (-2)^2-3 = 1$
$f(f(f(-1))) = f(1) = 1^2-3 = -2$
$x=0$ के लिए:
$f(0) = 0^2-3 = -3$
$f(f(0)) = f(-3) = (-3)^2-3 = 6$
$f(f(f(0))) = f(6) = 6^2-3 = 33$
$x=1$ के लिए:
$f(1) = 1^2-3 = -2$
$f(f(1)) = f(-2) = (-2)^2-3 = 1$
$f(f(f(1))) = f(1) = 1^2-3 = -2$
अब,इन मानों को जोड़ने पर:
$(f \circ f \circ f)(-1) + (f \circ f \circ f)(0) + (f \circ f \circ f)(1) = -2 + 33 - 2 = 29$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$f(4 \sqrt{2}) = (4 \sqrt{2})^2 - 3 = 32 - 3 = 29$।
अतः,व्यंजक $f(4 \sqrt{2})$ के बराबर है।

(C) दिया गया है कि $\left(a+\frac{b}{10}\right)^x = \left(\frac{a}{10}+\frac{b}{100}\right)^y = 1000$.
दूसरे पद को $\left(\frac{1}{10}(a+\frac{b}{10})\right)^y = 1000$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $K = a+\frac{b}{10}$. तो $K^x = 1000$ और $(\frac{K}{10})^y = 1000$.
$K^x = 1000$ से,$K = 1000^{1/x} = 10^{3/x}$ प्राप्त होता है।
$(\frac{K}{10})^y = 1000$ से,$\frac{K}{10} = 1000^{1/y} = 10^{3/y}$ प्राप्त होता है।
अतः,$K = 10 \times 10^{3/y} = 10^{1 + 3/y}$.
$K$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $10^{3/x} = 10^{1 + 3/y}$.
इसलिए,$\frac{3}{x} = 1 + \frac{3}{y}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 1$ प्राप्त होता है।
$3$ से भाग देने पर,$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$x=a\left(\cos \theta+\log \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ और $y=a \sin \theta$।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right)$
यहाँ $\frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \frac{1}{\sin \theta}$।
अतः,$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right) = a \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} \right) = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta}$।
साथ ही,$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$।
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$।

(B) दिया गया है $x=a[\cos \theta+\log (\tan (\theta/2))]$ और $y=a \sin \theta$.
सबसे पहले,$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right]$
सर्वसमिका $\tan(\theta/2) = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$ और $\sec^2(\theta/2) = \frac{1}{\cos^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} \right]$
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)} \right]$
चूंकि $2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) = \sin \theta$,इसलिए:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right] = a \left[ \frac{1-\sin^2 \theta}{\sin \theta} \right] = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta} \quad \dots(i)$
अब,$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta \quad \dots(ii)$
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(B) माना $u = \sec z = \frac{x^4+y^4-8x^2y^2}{x^2+y^2}$ है।
यहाँ,$u$,$x$ और $y$ का $n = 2$ घात वाला एक समघातीय फलन है।
समघातीय फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = n \cdot u$ होता है।
चूँकि $u = \sec z$,इसलिए $\frac{\partial u}{\partial x} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}$ और $\frac{\partial u}{\partial y} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}$ होगा।
इन मानों को यूलर प्रमेय में रखने पर:
$x (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}) + y (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}) = 2 \sec z$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sec z \tan z$ से विभाजित करने पर:
$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 \sec z}{\sec z \tan z} = 2 \cot z$।

(D) दिया गया है,$y=\sin (\log _e x)$ $(i)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x} = \cos (\log _e x) \cdot \frac{1}{x} \implies x \frac{d y}{d x} = \cos (\log _e x)$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (बाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = -\sin (\log _e x) \cdot \frac{1}{x}$।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} + x \frac{d y}{d x} = -\sin (\log _e x)$।
चूंकि $y = \sin (\log _e x)$,इसलिए:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} + x \frac{d y}{d x} = -y$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = (x-1)^2 + 3$ है,जो अंतराल $x \in [-3, 1]$ पर परिभाषित है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 2(x-1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$2(x-1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$.
चूंकि $x = 1$ दिए गए अंतराल $[-3, 1]$ का एक अंतिम बिंदु है,इसलिए हम क्रांतिक बिंदु और अंतराल की सीमाओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$x = 1$ पर: $f(1) = (1-1)^2 + 3 = 3$.
$x = -3$ पर: $f(-3) = (-3-1)^2 + 3 = (-4)^2 + 3 = 16 + 3 = 19$.
इन मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $m = 3$ और अधिकतम मान $M = 19$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(m, M)$ का मान $(3, 19)$ है।

(A) माना $AB$ एक $h$ मीटर ऊँची पहाड़ी है और $CD$ एक $h'$ मीटर ऊँचा स्तंभ है। माना $E$,$AB$ पर एक बिंदु है ताकि $ED$ क्षैतिज हो।
$\triangle BED$ में,$\tan \alpha = \frac{BE}{ED} = \frac{h-h'}{ED} \implies ED = \frac{h-h'}{\tan \alpha}$.
$\triangle BAC$ में,$\tan \beta = \frac{AB}{AC} = \frac{h}{ED} \implies ED = \frac{h}{\tan \beta}$.
$ED$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{h-h'}{\tan \alpha} = \frac{h}{\tan \beta}$
$h-h' = \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta}$
$h' = h - \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta} = h \left(1 - \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}\right) = \frac{h(\tan \beta - \tan \alpha)}{\tan \beta}$.

(A) दिया गया है कि,$I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = x^n$ और $dv = e^{cx} \, dx$ है।
तब $du = n x^{n-1} \, dx$ और $v = \frac{e^{cx}}{c}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$I_n = x^n \cdot \frac{e^{cx}}{c} - \int \frac{e^{cx}}{c} \cdot n x^{n-1} \, dx$.
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$.
चूंकि $I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$,इसलिए:
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} I_{n-1}$.
दोनों पक्षों को $c$ से गुणा करने पर:
$c I_n = x^n e^{cx} - n I_{n-1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$c I_n + n I_{n-1} = x^n e^{cx}$.

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1-\sin x}{1-\cos x} \right) dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$
माना $g(x) = -\cot \frac{x}{2}$ है। तब $g'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$ होगा।
चूंकि समाकलन $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$ के रूप में है,इसलिए:
$I = e^x \left( -\cot \frac{x}{2} \right) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$.
अतः,$f(x) = -e^x \cot \left( \frac{x}{2} \right)$ है।

(B) दिया गया वक्र $2x = y^2 - 1$ है,जिसे $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र $x = 0$ $y$-अक्ष को दर्शाता है।
वक्र $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ और $x = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $\frac{y^2 - 1}{2} = 0$ रखने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $y^2 = 1$ मिलता है,अतः $y = \pm 1$।
वक्र और $y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $y = -1$ से $y = 1$ तक $|x|$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{1} |x| \, dy = \int_{-1}^{1} \left| \frac{y^2 - 1}{2} \right| \, dy$।
चूंकि क्षेत्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{1} \left| \frac{y^2 - 1}{2} \right| \, dy$ होगा।
अंतराल $[0, 1]$ में,$y^2 - 1 \leq 0$ है,इसलिए $|\frac{y^2 - 1}{2}| = -\frac{y^2 - 1}{2} = \frac{1 - y^2}{2}$।
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 - y^2}{2} \, dy = \int_{0}^{1} (1 - y^2) \, dy$।
$= [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) लेंस द्वारा सफेद प्रकाश में बना प्रतिबिंब आमतौर पर रंगीन और धुंधला होता है। इस दोष को वर्ण विपथन (chromatic aberration) कहा जाता है और यह इस तथ्य के कारण उत्पन्न होता है कि लेंस की फोकस दूरी अलग-अलग रंगों के लिए अलग-अलग होती है।
लेंसों का अवर्णक संयोजन इस वर्ण विपथन को कम करने या समाप्त करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
विभिन्न सामग्रियों (जैसे क्राउन ग्लास और फ्लिंट ग्लास) के दो लेंसों को इस तरह जोड़कर कि उनकी विक्षेपण क्षमता (dispersive power) एक-दूसरे की भरपाई करे,परिणामी प्रतिबिंब रंगीन किनारों से मुक्त हो जाता है।
इसलिए,एक अवर्णक संयोजन द्वारा निर्मित प्रतिबिंब तरंगदैर्ध्य के साथ अपवर्तनांक में परिवर्तन से अप्रभावित रहते हैं।

(A) एक समतल-अवतल लेंस के लिए,एक सतह समतल $(R_1 = \infty)$ होती है और दूसरी सतह अवतल $(R_2 = 0.3 ~m)$ होती है। चिह्न परिपाटी के अनुसार,अवतल सतह के लिए $R_2 = 0.3 ~m$ लिया जाता है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
यहाँ $R_1 = \infty$ और $R_2 = 0.3 ~m$ रखने पर:
$\frac{1}{f} = (\frac{5}{3} - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{0.3} \right)$.
$\frac{1}{f} = (\frac{2}{3}) \times (0 - \frac{1}{0.3}) = -\frac{2}{0.9} = -\frac{20}{9}$.
अतः,$f = -\frac{9}{20} ~m = -0.45 ~m$.

(B) $(i)$ क्षार धातु सुपरऑक्साइड में $O_2^{-}$ आयन होता है,जिसमें एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होता है,इसलिए वे अनुचुंबकीय होते हैं। यह कथन सही है।
$(ii)$ क्षार धातु हाइड्रॉक्साइड का क्षारीय गुण समूह में नीचे जाने पर बढ़ता है। यह कथन सही है।
$(iii)$ क्षार धातु क्लोराइड की जलीय घोल में चालकता समूह में नीचे जाने पर बढ़ती है क्योंकि जलयोजन (hydration) की मात्रा घटती है। यह कथन गलत है।
$(iv)$ कार्बोनेट की क्षारीय प्रकृति $CO_3^{2-}$ आयन के ऋणायनिक जल-अपघटन (anionic hydrolysis) के कारण होती है। यह कथन गलत है।

(D) जब एक जंक्शन डायोड फॉरवर्ड बायस में होता है,तो बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $p$-साइड से और ऋणात्मक टर्मिनल $n$-साइड से जुड़ा होता है। इसके कारण बहुसंख्यक आवेश वाहक ($p$-क्षेत्र में होल और $n$-क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन) जंक्शन की ओर धकेले जाते हैं। परिणामस्वरूप,अवक्षय परत की चौड़ाई कम हो जाती है और विभव प्राचीर (potential barrier) कम हो जाता है। इसलिए,यह कथन कि इलेक्ट्रॉन और होल जंक्शन से दूर जाते हैं,गलत है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy+y}{xy+x}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x+1)}{x(y+1)}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{1+y}{y} dy = \frac{1+x}{x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (\frac{1}{y} + 1) dy = \int (\frac{1}{x} + 1) dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\log |y| + y = \log |x| + x + C$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y - x = \log |x| - \log |y| + C$ प्राप्त होता है।
$y - x = \log \left|\frac{x}{y}\right| + C$.
माना $C = \log c$,तब $y - x = \log \left|\frac{cx}{y}\right|$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x-2y+1}{2(x-2y)}$
माना $z = x-2y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dz}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx})$.
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx}) = \frac{z+1}{2z}$
$1 - \frac{dz}{dx} = \frac{z+1}{z}$
$1 - \frac{dz}{dx} = 1 + \frac{1}{z}$
$-\frac{dz}{dx} = \frac{1}{z}$
$z dz = -dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int z dz = \int -dx$
$\frac{z^2}{2} = -x + C_1$
$z^2 = -2x + 2C_1$
$z = x-2y$ वापस रखने पर:
$(x-2y)^2 = -2x + C$
$(x-2y)^2 + 2x = C$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दी गई दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ और $(l_2, m_2, n_2) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{-\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{4}{16} - \frac{12}{16} \right| = \left| -\frac{8}{16} \right| = \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है। बॉक्स की सामग्री इस प्रकार है:
$B_1: 1R, 2W \implies P(R|B_1) = \frac{1}{3}$
$B_2: 2R, 3W \implies P(R|B_2) = \frac{2}{5}$
$B_3: 3R, 4W \implies P(R|B_3) = \frac{3}{7}$
दिया गया है $P(B_1) = \frac{1}{2}$,$P(B_2) = \frac{1}{3}$,$P(B_3) = \frac{1}{6}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद लाल है तो उसके $B_2$ से आने की प्रायिकता:
$P(B_2|R) = \frac{P(B_2)P(R|B_2)}{P(B_1)P(R|B_1) + P(B_2)P(R|B_2) + P(B_3)P(R|B_3)}$
$P(B_2|R) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{6} \times \frac{3}{7}}$
$P(B_2|R) = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{1}{6} + \frac{2}{15} + \frac{1}{14}}$
हर के लिए लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $LCM(6, 15, 14) = 210$.
$P(B_2|R) = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{35 + 28 + 15}{210}} = \frac{2}{15} \times \frac{210}{78} = \frac{2 \times 14}{78} = \frac{28}{78} = \frac{14}{39}$.