AIIMS 2006 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ વેગ $u$ માટે,અવધિ $R$ એ બે પ્રક્ષિપ્ત કોણો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ માટે સમાન હોય છે.
કોણ $\theta$ માટે ઉડ્ડયન સમય $t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
કોણ $(90^\circ - \theta)$ માટે ઉડ્ડયન સમય $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ છે.
બંને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર કરતા:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g^2} = \frac{2(u^2 \sin 2\theta)}{g^2}$.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$.
અહીં $g$ અચળ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $t_1 t_2 \propto R$.

(B) પ્રવાહધારિત ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ એ પ્રવાહ $(I)$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે: $M = I \times A$.
પ્રવાહ $(I)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $(A)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M] = [A][L^2] = [L^2A]$ થાય છે.

(D) જ્યારે પદાર્થોને સમાન ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે.
ગતિના સમીકરણો મુજબ,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ તેના દળ પર આધારિત નથી અને તે ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ જેટલો હોય છે.
બંને ગોળાઓ સમાન ઊંચાઈ પરથી પાડવામાં આવ્યા હોવાથી અને જમીનથી સમાન સ્થાને ($1\, m$ ઉપર) હોવાથી,તેમનો વેગ સમાન હશે.
જોકે,વેગમાન $(p = mv)$,ગતિ ઉર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$,અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U = mgh)$ એ ત્રણેય પદાર્થના દળ પર આધાર રાખે છે.
દળ અલગ-અલગ ($2\, kg$ અને $4\, kg$) હોવાથી,તેમનું વેગમાન,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા અલગ-અલગ હશે.
તેથી,માત્ર પ્રવેગ જ એવી રાશિ છે જે બંને ગોળાઓ માટે સમાન રહેશે,જે $g$ છે.

(A) $m$ દળના લોડને $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર અચળ વેગથી ખસેડવા માટે જરૂરી બળ $F = mg \sin \theta$ છે.
આપેલ $F-x$ આલેખમાં,અંતર $L$ ના પ્રથમ અડધા ભાગ માટે બળ ધન છે અને બીજા અડધા ભાગ માટે ઋણ છે.
આ સૂચવે છે કે પ્રથમ અડધા ભાગ માટે,લોડને ઉપરની તરફ ધકેલવામાં આવે છે (જેના માટે ધન બળ $mg \sin \theta$ જરૂરી છે),અને બીજા અડધા ભાગ માટે,લોડ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે (જ્યાં અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ $-mg \sin \theta$ છે).
જે સપાટી પ્રોફાઇલમાં પહેલા ઉપર તરફનો ઢાળ અને ત્યારબાદ નીચે તરફનો ઢાળ હોય,તે પ્રથમ વિકલ્પની આકૃતિમાં દર્શાવેલ ત્રિકોણાકાર પ્રોફાઇલ છે.

(C) $Assertion$ સાચું છે કારણ કે મશીનોમાં ગતિશીલ ભાગો વચ્ચે ઘર્ષણ ઘટાડવા માટે બોલ બેરિંગનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.
$Reason$ ખોટું છે કારણ કે બોલ બેરિંગનો ઉપયોગ કરવાનો મુખ્ય હેતુ સરકતા ઘર્ષણને (sliding friction) લોટણ ઘર્ષણમાં (rolling friction) રૂપાંતરિત કરવાનો છે,જે સરકતા ઘર્ષણ કરતા ઘણું ઓછું હોય છે. જોકે તે સ્થિરતા પ્રદાન કરી શકે છે,પરંતુ ઘર્ષણ ઘટાડવાના સંદર્ભમાં તેનો મુખ્ય ઉપયોગ કંપનો ઘટાડવા માટે થતો નથી.

(D) કોઈપણ અથડામણ (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક) માં,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય ત્યાં સુધી તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી,પરંતુ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.

(B) ધારો કે સળિયો શરૂઆતમાં $x$-અક્ષ પર છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. સળિયો બે અડધા ભાગનો બનેલો છે,જેનું દળ $m = M/2$ અને લંબાઈ $l = L/2$ છે.
જ્યારે સળિયાને કેન્દ્રમાંથી વાળવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર જ રહે છે. ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $z$-અક્ષ છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને સળિયા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int r^2 dm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ અક્ષથી લંબ અંતર છે.
સળિયાના દરેક અડધા ભાગ માટે,કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુનું અક્ષથી અંતર $r = x \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સળિયા અને પરિભ્રમણની અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે. અહીં,અક્ષ મૂળ સળિયાને લંબ છે,તેથી પ્રથમ અડધા ભાગ માટે $\theta = 90^o$ છે,અને બીજા અડધા ભાગ માટે ખૂણો બદલાય છે.
જો કે,એક સરળ અભિગમ: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int r^2 dm$ છે. જ્યારે સળિયાને તેના કેન્દ્ર પર વાળવામાં આવે છે ત્યારે પરિભ્રમણની અક્ષથી દરેક દળના ઘટક $dm$ નું અંતર $r$ બદલાતું નથી (કેન્દ્રબિંદુ અક્ષ પર છે),તેથી કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન રહે છે.
તેથી,$I = \frac{1}{12} ML^2$.

(A) સ્ટ્રીટ લાઈટના વજનને કારણે ઉદ્ભવતું ટોર્ક ત્રણેય કિસ્સાઓમાં સમાન રહે છે કારણ કે બળ (વજન $Mg$) અને પીવટ (દિવાલના મિજાગરા) થી તેનું લંબ અંતર અચળ છે.
આ ટોર્ક કેબલમાં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્ક દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
ધારો કે $\tau$ એ લેમ્પના વજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક છે,$T$ એ કેબલમાં તણાવ છે અને $d$ એ પરિભ્રમણની ધરી (દિવાલ પરનો મિજાગરો) થી કેબલના જોડાણ બિંદુનું લંબ અંતર છે.
સંતુલનની સ્થિતિ $\tau = T \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેથી $\tau$ અચળ હોવાથી,તણાવ $T$ એ અંતર $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હશે $(T = \tau / d)$.
તેથી,જ્યારે અંતર $d$ સૌથી વધુ હશે ત્યારે તણાવ $T$ સૌથી ઓછું હશે.
પેટર્ન $A$ માં,કેબલ સળિયાના છેડે જોડાયેલ છે,જે દિવાલથી મહત્તમ લંબ અંતર $d$ પ્રદાન કરે છે.
પેટર્ન $A$ માં તણાવ ન્યૂનતમ હોવાથી,તે સૌથી મજબૂત ગોઠવણી છે.

(A) કોઈ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ પરિભ્રમણની ધરીથી દળના ઘટક $m_i$ નું અંતર છે.
પ્રતિસ્પર્ધીને વાળીને તેમના દળને કમર (પરિભ્રમણની ધરી) ની નજીક લાવવાથી,સરેરાશ અંતર $r$ ઘટે છે.
જેમ કે $I \propto r^2$,પ્રતિસ્પર્ધીની જડત્વની ચાકમાત્રા નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે.
ઓછી જડત્વની ચાકમાત્રા માટે ચોક્કસ કોણીય પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે ઓછા ટોર્કની જરૂર પડે છે,જે જુડો ફાઈટર માટે પ્રતિસ્પર્ધીને ફેરવવાનું અને પછાડવાનું સરળ બનાવે છે.
આમ,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) વાતાવરણીય દબાણ $P_{atm} = 760\, mm$ $Hg$ છે.
ફેફસામાં દબાણ $P_{lungs} = 750\, mm$ $Hg$ છે.
ઉત્પન્ન થયેલ દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_{atm} - P_{lungs} = 760\, mm - 750\, mm = 10\, mm$ $Hg$ છે.
આ દબાણનો તફાવત સ્ટ્રોમાં $h$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભને ટેકો આપે છે.
હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સૂત્ર $\Delta P = h_w \rho_w g = h_{Hg} \rho_{Hg} g$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h_w \rho_w = h_{Hg} \rho_{Hg}$
અહીં $h_{Hg} = 10\, mm = 1\, cm$,$\rho_{Hg} = 13.6\, g/cm^3$,અને $\rho_w = 1\, g/cm^3$ આપેલ છે:
$h_w \times 1\, g/cm^3 = 1\, cm \times 13.6\, g/cm^3$
$h_w = 13.6\, cm$.

(B) $Assertion$ સાચું છે કારણ કે પાણીની સપાટીના પૃષ્ઠતાણ (surface tension) ને લીધે પાતળી સ્ટેનલેસ સ્ટીલની સોય સ્થિર પાણી પર તરી શકે છે.
$Reason$ પણ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં એક સાચું વિધાન છે,કારણ કે જ્યારે ઉત્પ્લાવક બળ પદાર્થના વજન જેટલું હોય ત્યારે પદાર્થ તરે છે (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત).
જોકે,$Reason$ એ $Assertion$ માટે સાચી સમજૂતી નથી. સોય ઉત્પ્લાવક બળને કારણે નહીં,પરંતુ પૃષ્ઠતાણ બળને કારણે તરે છે જે સોયના વજનને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,બંને સાચા છે,પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ ની સમજૂતી આપતું નથી.

(B) કિર્ચોફના વિકિરણના નિયમ મુજબ,સારા શોષક એ સારા ઉત્સર્જક પણ હોય છે.
કાળી સપાટીઓ અન્ય રંગોની સરખામણીમાં સૌથી વધુ ઉત્સર્જકતા અને શોષકતા ધરાવે છે.
જ્યારે તમામ વસ્તુઓ $2000\,^oC$ ના સમાન તાપમાને હોય,ત્યારે જે વસ્તુની ઉત્સર્જકતા સૌથી વધુ હશે તે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ મહત્તમ વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરશે.
તેથી,કાળી વસ્તુ સૌથી વધુ તેજસ્વી રીતે ચમકશે.

(B) રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ નક્કી કરે છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર સાથે પદાર્થની લંબાઈમાં કેટલો ફેરફાર થાય છે,જે $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધાતુ $X$ નો રેખીય પ્રસરણાંક ધાતુ $Y$ કરતા વધારે હોવાથી $(\alpha_X > \alpha_Y)$,જ્યારે તાપમાન ઘટે છે (ઠંડુ પાડવામાં આવે છે) ત્યારે ધાતુ $X$ એ ધાતુ $Y$ કરતા વધુ સંકોચાશે.
કારણ કે ધાતુ $X$ ડાબી બાજુએ છે અને તે ધાતુ $Y$ કરતા વધુ સંકોચાય છે,તેથી પટ્ટી જે બાજુ વધુ સંકોચાય છે તે તરફ વળશે.
તેથી,બાયમેટાલિક પટ્ટી ડાબી તરફ વળશે.

(C) પરસેવો થવાથી શરીરની ગરમી આસપાસના વાતાવરણમાં મુક્ત થાય છે.
પાણી શરીર પાસેથી ગુપ્ત ઉષ્મા મેળવીને પ્રવાહીમાંથી વરાળમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયા ત્વચામાંથી ઉષ્મીય ઉર્જા દૂર કરે છે,જેનાથી શરીર ઠંડુ પડે છે.
ઉત્સર્જકતા એ સપાટીના પદાર્થનો ગુણધર્મ છે. ત્વચા પર પાણીનું પાતળું પડ તેની ઉત્સર્જકતામાં વધારો કરતું નથી; વાસ્તવમાં,તે ઠંડકની પ્રક્રિયામાં ઉત્સર્જકતામાં કોઈ નોંધપાત્ર ફેરફાર કરતું નથી.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(C) એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $dS = \frac{dQ}{T}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીને બરફમાં ફેરવવાની પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ દ્વારા આસપાસમાં ઉષ્મા મુક્ત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $dQ$ ઋણ છે.
તાપમાન $T$ ધન હોવાથી,એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $dS$ ઋણ મળે છે.
તેથી,બરફના ટુકડા બનવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન પાણીની એન્ટ્રોપી ઘટે છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમ મુજબ,અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં કોઈપણ સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા માટે,સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી વધવી જોઈએ $(dS > 0)$.
અલગ કરેલી સિસ્ટમ એટલે એવી સિસ્ટમ જે તેની આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉર્જા (ઉષ્મા અથવા કાર્ય) કે દ્રવ્યની આપ-લે કરી શકતી નથી.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી $(dQ = 0)$,તેથી અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં થતી તમામ પ્રક્રિયાઓ ખરેખર એડિયાબેટિક હોય છે.
જોકે,પ્રક્રિયાઓ એડિયાબેટિક છે તે હકીકત સીધી રીતે એ સમજાવતી નથી કે એન્ટ્રોપી કેમ વધવી જોઈએ; એન્ટ્રોપીમાં વધારો એ સ્વયંભૂ પ્રક્રિયાઓ અંગેના થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમનું પરિણામ છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ માટે સાચી સમજૂતી નથી.

(A) કાર્નોટ ચક્ર એ આદર્શ ઉષ્મા એન્જિનની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે,જે ઉષ્મા ઉર્જાનું યાંત્રિક કાર્યમાં રૂપાંતર કરવા માટે મહત્તમ કાર્યક્ષમતા સાથે કાર્ય કરે છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_L$ અને $T_H$ અનુક્રમે સિંક અને સોર્સના તાપમાન છે. આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે મહત્તમ કાર્યક્ષમતા સંપૂર્ણપણે રિઝર્વોયરના તાપમાન પર આધારિત છે. આમ,કારણ સાચું છે અને તે વિધાન માટે યોગ્ય સમજૂતી આપે છે કે શા માટે કાર્નોટ ચક્ર ઉષ્મા એન્જિનના પ્રદર્શનને સમજવા માટે ઉપયોગી છે.

(B) તંત્રની એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $dS = \frac{dQ}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે પદાર્થ ઠંડો થાય છે,ત્યારે તે ઉષ્મા ગુમાવે છે,તેથી $dQ$ ઋણ છે. $T$ ધન હોવાથી,$dS$ ઋણ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે દૂધની એન્ટ્રોપી ઘટે છે. આમ,$Assertion$ સાચું છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા માટે વિશ્વની કુલ એન્ટ્રોપી (તંત્ર + આસપાસ) વધવી જોઈએ. રૂમમાં ગરમ પદાર્થનું ઠંડુ થવું એ આસપાસની એન્ટ્રોપીમાં વધારો કરે છે જે તંત્રની એન્ટ્રોપીમાં થયેલા ઘટાડા કરતા વધારે હોય છે,તેથી તે બીજા નિયમનું ઉલ્લંઘન કરતું નથી. આમ,$Reason$ પણ સાચું છે.
જોકે,$Reason$ એ સમજાવે છે કે પ્રક્રિયા શા માટે શક્ય છે,પરંતુ તે એ નથી સમજાવતું કે દૂધની એન્ટ્રોપી શા માટે ઘટે છે. તેથી,$Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ $\sqrt{3RT/M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને સૌથી સંભવિત ઝડપ $(v_{mp})$ $\sqrt{2RT/M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\sqrt{3} \neq \sqrt{2}$,આ ઝડપ સમાન નથી. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
અણુઓની ઝડપ માટેનું મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ વક્ર જમણી તરફ નમેલું (અસંમિત) છે,જેનો અર્થ છે કે તેની પાસે ઊંચી ઝડપ તરફ લાંબી પૂંછડી છે. તેથી,વિતરણ સંમિત નથી. આમ,કારણ પણ ખોટું છે.

(C) તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ બે ક્રમિક શિખરો વચ્ચેનું અંતર છે,તેથી $\lambda = 100 \ m$.
આપેલ તરંગનો વેગ $v = 25 \ m/s$ છે.
તરંગની આવૃત્તિ $f$ એ સૂત્ર $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $f = \frac{v}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા,$f = \frac{25}{100} = 0.25 \ Hz$.
સમયગાળો $T$ એ એક સંપૂર્ણ ઉછાળા માટે લાગતો સમય છે,જે આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે: $T = \frac{1}{f}$.
તેથી,$T = \frac{1}{0.25} = 4 \ s$.

(A) જ્યારે સ્થિર પાણીમાં પથ્થર ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે ગોળાકાર તરંગો બનાવે છે। જેમ તરંગ બહારની તરફ ફેલાય છે તેમ તેની ઉર્જા $E$ સંરક્ષિત રહે છે.
$dr$ પહોળાઈ અને $h$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા ગોળાકાર તરંગની ઉર્જા તેના દળ અને તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે. તરંગનું દળ તેની પરિઘ $(2 \pi r)$ અને તેની પહોળાઈ $(dr)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ, ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E \propto (2 \pi r) \cdot dr \cdot h^2$
જેમ તરંગ બહારની તરફ પ્રસરણ પામે છે તેમ કુલ ઉર્જા $E$ અચળ રહેતી હોવાથી, આપણને મળે છે:
$r \cdot h^2 \approx \text{અચળ}$
તેથી, $h^2 \propto \frac{1}{r}$, જેનો અર્થ છે કે $h \propto r^{-1/2}$.
આમ, તરંગનો કંપવિસ્તાર $r^{-1/2}$ મુજબ બદલાય છે.

(A) ધારો કે ગિટારના તારની આવૃત્તિ $f_s$ છે.
જ્યારે તેને $440\, Hz$ ના ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે વગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $|f_s - 440| = 5\, Hz$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે $f_s = 445\, Hz$ અથવા $f_s = 435\, Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે તેને $437\, Hz$ ના ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે વગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $|f_s - 437| = 8\, Hz$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે $f_s = 445\, Hz$ અથવા $f_s = 429\, Hz$ હોઈ શકે.
બંને કિસ્સાઓની સરખામણી કરતા,સામાન્ય આવૃત્તિ $f_s = 445\, Hz$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $440\, Hz$ થી ઘટીને $437\, Hz$ થાય છે ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $5\, Hz$ થી વધીને $8\, Hz$ થાય છે,તેથી તારની આવૃત્તિ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા વધારે હોવી જોઈએ. આમ,$f_s = 440 + 5 = 445\, Hz$.

(C) જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે, ત્યારે તેનો વેગ $(v)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ માધ્યમના ગુણધર્મો (જેમ કે વક્રીભવનાંક અથવા ઘનતા) પર આધાર રાખીને બદલાય છે.
જોકે, તરંગની આવૃત્તિ $(f)$ ફક્ત તરંગના ઉદગમ સ્થાન દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે જે માધ્યમમાંથી પ્રસરણ પામે છે તેનાથી સ્વતંત્ર રહે છે.
તેથી, આવૃત્તિ એ માધ્યમના ગુણધર્મોથી સ્વતંત્ર છે, જ્યારે વેગ અને તરંગલંબાઈ તેના પર આધારિત છે.

(C) સમાન અને વિરુદ્ધ સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી બે મોટી સમાંતર પાતળી ધાતુની શીટ્સ વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$
આપેલ છે:
$\sigma = 26.4 \times 10^{-12} \, C/m^2$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{26.4 \times 10^{-12}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$E = \frac{26.4}{8.85} \approx 2.983 \approx 3 \, N/C$
તેથી,શીટ્સની વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $3 \, N/C$ છે.

(A) $1$. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી બહાર નીકળે છે અને ઋણ વિદ્યુતભારમાં દાખલ થાય છે. આકૃતિમાં,રેખાઓ $A$ માંથી બહાર નીકળે છે અને $B$ માં દાખલ થાય છે,તેથી $A$ ધન છે અને $B$ ઋણ છે.
$2$. વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવતી અથવા તેમાં સમાપ્ત થતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા તે વિદ્યુતભારના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે. રેખાઓ ગણતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B$ માં દાખલ થતી રેખાઓ કરતા $A$ માંથી બહાર નીકળતી રેખાઓની સંખ્યા વધારે છે. તેથી,વિદ્યુતભાર $A$ નું મૂલ્ય વિદ્યુતભાર $B$ ના મૂલ્ય કરતા વધારે છે,એટલે કે $|A| > |B|$.

(A) સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 4 \times 10^6 \, V$ છે.
વહન પામેલ વિદ્યુતભાર $Q = 4 \, C$ છે.
સમયગાળો $t = 100 \, ms = 100 \times 10^{-3} \, s = 0.1 \, s$ છે.
જમીન પર પહોંચતી ઉર્જા $E = V \times Q = 4 \times 10^6 \times 4 = 16 \times 10^6 \, J$ છે.
પાવર $P$ એ ઉર્જાના વહનનો દર છે: $P = \frac{E}{t}$.
$P = \frac{16 \times 10^6 \, J}{0.1 \, s} = 160 \times 10^6 \, W$.
$10^6 \, W = 1 \, MW$ હોવાથી,પાવર $160 \, MW$ થાય.

(A) $I_c$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{loop} = \frac{\mu_0 I_c}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_e$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $H$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 I_e}{2\pi H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપના કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,આ બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ અને તેમની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
મૂલ્યોને સરખાવતા:
$\frac{\mu_0 I_c}{2R} = \frac{\mu_0 I_e}{2\pi H}$
$H$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{I_c}{R} = \frac{I_e}{\pi H}$
$H = \frac{I_e R}{\pi I_c}$

(A) $MRI$ એ માનવ શરીરના વિવિધ ભાગોની છબીઓ બનાવવા માટેનું એક ઉપયોગી નિદાન સાધન છે કારણ કે તે શરીરના પાણી અને ચરબીયુક્ત પેશીઓમાં રહેલા પ્રોટોન (હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ) ના ચુંબકીય ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે. જ્યારે મજબૂત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે આ પ્રોટોન ગોઠવાય છે અને પ્રિસેસન કરે છે. રેડિયોફ્રિકવન્સી પલ્સ લાગુ કરીને,આ પ્રોટોનને ઉત્તેજિત કરવામાં આવે છે,અને તેમના રિલેક્સેશન દરમિયાન ઉત્સર્જિત સિગ્નલનો ઉપયોગ વિગતવાર છબીઓ બનાવવા માટે થાય છે. આમ,વિવિધ પેશીઓના પ્રોટોન એ $(MRI)$ ઇમેજિંગનો પાયાનો આધાર છે.

(C) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો લાગુ પડેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્બળ ચુંબકત્વ દર્શાવે છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે.
જોકે,ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો પાસે કાયમી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ હોતી નથી કારણ કે તેમાં બધા ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મિત હોય છે,જેના પરિણામે કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,કારણ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) જ્યારે રીંગ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે, ત્યારે રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે, જે ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ, આ પ્રવાહ તેના ઉત્પાદનના કારણનો વિરોધ કરે છે.
એકવાર રીંગ સંપૂર્ણપણે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર આવી જાય, પછી તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે. ચુંબકીય ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો ન હોવાથી $(\frac{d\phi}{dt} = 0)$, પ્રેરિત $emf$ અને પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે.
જ્યારે રીંગ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવાનું શરૂ કરે છે, ત્યારે તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ ફરીથી બદલાય છે. આ પ્રવેશના તબક્કાની તુલનામાં વિરુદ્ધ દિશામાં $emf$ અને પ્રવાહને પ્રેરિત કરે છે.
તેથી, પ્રવેશ દરમિયાન પ્રવાહ શૂન્ય નથી, અંદર હોય ત્યારે શૂન્ય છે, અને બહાર નીકળતી વખતે (વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે) શૂન્ય નથી. આલેખ $B$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,બંધ લૂપમાં પ્રેરિત $emf$ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ બદલાતું હોવાથી,રેખીય સંકલન $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l}$ શૂન્યતર છે.
જો કોઈ ક્ષેત્રનું બંધ લૂપ પરનું રેખીય સંકલન શૂન્ય હોય,તો તે ક્ષેત્રને સંરક્ષી ક્ષેત્ર કહેવાય છે. અહીં રેખીય સંકલન શૂન્યતર હોવાથી,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ અસંરક્ષી ક્ષેત્ર છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(C) વક્રીભવન એ પ્રકાશ જ્યારે એક પ્રકાશીય માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય ત્યારે તેના વાંકા વળવાની ઘટના છે. આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે બીજા માધ્યમમાં પ્રવેશતી વખતે પ્રકાશની ઝડપ બદલાય છે. વક્રીભવન દરમિયાન પ્રકાશની આવૃત્તિ અચળ રહે છે,પરંતુ ઝડપમાં ફેરફાર થવાને કારણે તરંગલંબાઇ અને પ્રકાશના તરંગના પ્રસરણની દિશામાં ફેરફાર થાય છે.

(A) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
અહીં,વસ્તુ અંતર $u = -8 \, cm$ (ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ) અને બહિર્ગોળ લેન્સ માટે કેન્દ્રલંબાઈ $f = +10 \, cm$ છે.
આ કિંમતોને લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-8} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{8} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{8} = \frac{4 - 5}{40} = -\frac{1}{40}$
આમ,$v = -40 \, cm$.
લેન્સ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ દ્વારા મળે છે.
$m = \frac{-40}{-8} = 5$.
તેથી,લેન્સ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી મોટવણી $5$ છે.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવામાં લેન્સ માટે $(\mu_a = 1)$:
$\frac{1}{f_a} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે $(\mu_l = 1.25)$,ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_l} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2 = \frac{6}{5}$ થાય છે.
પ્રવાહીમાં લેન્સ માટે:
$\frac{1}{f_l} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.2 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5$.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $2.5$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(B) લીલા પાંદડામાં એવા રંગદ્રવ્યો હોય છે જે લીલા પ્રકાશને પરાવર્તિત કરે છે અને દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં અન્ય તરંગલંબાઇઓને શોષી લે છે.
જ્યારે સફેદ પ્રકાશ લીલા પાંદડા પર પડે છે,ત્યારે તે લીલા ઘટકને પરાવર્તિત કરે છે,જેનાથી પાંદડું લીલું દેખાય છે.
લીલા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સામાન્ય રીતે $0.495 \,\mu m$ થી $0.570 \,\mu m$ ની વચ્ચે હોય છે.
આપાત લેસર પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $0.6328 \,\mu m$ છે,જે વર્ણપટના લાલ રંગના વિસ્તારને અનુરૂપ છે.
પાંદડું આ તરંગલંબાઇને પરાવર્તિત કરતું ન હોવાથી,તે આપાત લેસર પ્રકાશને શોષી લે છે.
કોઈપણ પ્રકાશ પરાવર્તિત થઈને પાછો આવતો ન હોવાથી,પાંદડું કાળું દેખાય છે.

(A) વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.
ઓપ્ટિકલ ફાઈબરમાં,કોરનો વ્યાસ નાનો રાખવામાં આવે છે જેથી ફાઈબરમાં પ્રવેશતા પ્રકાશના કિરણો કોર-ક્લેડિંગ ઈન્ટરફેસ પર ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા ખૂણે આપાત થાય.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,નાના વ્યાસવાળા કોર માટે,કોર-ક્લેડિંગ ઈન્ટરફેસ પર આપાતકોણ $\angle A$ પ્રમાણમાં મોટો હોય છે.
મોટા વ્યાસવાળા કોર માટે,આપાતકોણ $\angle B$ નાનો હોય છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત એ છે કે આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,તેથી નાનો કોર વ્યાસ પ્રકાશના કિરણો આ શરતને સંતોષે તેવી શક્યતા વધારે છે,જેનાથી ફાઈબર દ્વારા પ્રકાશનું કાર્યક્ષમ વહન સુનિશ્ચિત થાય છે.

(A) વર્તુળાકાર ધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં, વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ પ્રસરણની દિશાને લંબ સમતલમાં ફરે છે, જ્યારે તેનું મૂલ્ય અચળ રહે છે. તેથી, વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશના મૂલ્ય $|\vec{E}|$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ એક આડી સીધી રેખા છે, જે દર્શાવે છે કે મૂલ્ય સમય સાથે બદલાતું નથી. આ વિકલ્પ $A$ માં આપેલી આકૃતિને અનુરૂપ છે.

(A) વિવર્તન (diffraction) થવા માટે,અવરોધનું કદ અથવા ડિફ્રેક્શન ગ્રેટિંગમાં સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર એ આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઇના ક્રમનું હોવું જોઈએ.
$X-$ કિરણોની તરંગલંબાઇ સામાન્ય રીતે $0.01 \ nm$ થી $10 \ nm$ ની રેન્જમાં હોય છે.
પ્રમાણભૂત ઓપ્ટિકલ ડિફ્રેક્શન ગ્રેટિંગ્સમાં ગ્રેટિંગ સ્પેસિંગ (પાસેની રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર) $10^3 \ nm$ થી $10^4 \ nm$ ના ક્રમનું હોય છે.
કારણ કે ગ્રેટિંગ સ્પેસિંગ એ $X-$ કિરણોની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણું મોટું છે,તેથી વિવર્તનની અસર નહિવત હોય છે,અને આ ગ્રેટિંગ્સનો ઉપયોગ $X-$ કિરણોની તરંગલંબાઇ વચ્ચે ભેદ પાડવા માટે કરી શકાતો નથી.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(B) $X$-રે ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{min}$ માટે,પ્રવેગક વોલ્ટેજ $V$ એ $eV = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,અને $\lambda = 10^{-11} \, m$:
$V = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-11}}$
$V = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-30}} = 12.43 \times 10^4 \, V = 124.3 \, kV$.
આમ,લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે પ્રવેગક વોલ્ટેજ ઓછામાં ઓછો $124.2 \, kV$ હોવો જોઈએ.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,ધાતુની સપાટી પરથી ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ એક ચોક્કસ લઘુત્તમ મૂલ્ય કરતાં વધુ અથવા તેના જેટલી હોય. આ લઘુત્તમ આવૃત્તિને થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જો આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતાં ઓછી હોય,તો પ્રકાશની તીવ્રતા ગમે તેટલી હોય તો પણ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી.

(A) ધાતુની સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોન ગતિઊર્જાની શ્રેણી ધરાવે છે કારણ કે ધાતુની અંદરના ઈલેક્ટ્રોન સતત બેન્ડ સ્ટ્રક્ચરમાં વિવિધ ઊર્જા સ્તરો પર હોય છે. જ્યારે ફોટોન ધાતુ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે પોતાની ઊર્જા ઈલેક્ટ્રોનને આપે છે. ધાતુની સપાટી પરથી ઈલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે જરૂરી ઊર્જાને કાર્યવિધેય કહેવામાં આવે છે. ધાતુની અંદર ઊંડે રહેલા ઈલેક્ટ્રોનને સપાટી સુધી પહોંચવા માટે વધારાની ઊર્જાની જરૂર પડે છે,જે અસરકારક રીતે તેમના માટે ઊર્જા અવરોધ વધારે છે. પરિણામે,વિવિધ ઊંડાઈએથી ઉત્સર્જિત થતા ઈલેક્ટ્રોન અલગ-અલગ ગતિઊર્જા ધરાવે છે. આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) મલ્ટિપ્લિકેશન ફેક્ટર $(K)$ એ ન્યુટ્રોનના ઉત્પાદનનો દર અને ન્યુટ્રોનના વ્યયના દરના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$K = \frac{\text{ન્યુટ્રોન ઉત્પાદનનો દર}}{\text{ન્યુટ્રોન વ્યયનો દર}}$
જ્યારે $K = 1$ હોય,ત્યારે શૃંખલા પ્રક્રિયા અચળ દરે ચાલુ રહે છે અને રિએક્ટર 'ક્રિટિકલ' સ્થિતિમાં છે તેમ કહેવાય છે.
જો $K > 1$ હોય,તો પ્રક્રિયા સુપરક્રિટિકલ છે,જે પાવરમાં ઝડપી વધારો કરે છે (જે વિસ્ફોટનું કારણ બની શકે છે).
જો $K < 1$ હોય,તો પ્રક્રિયા સબક્રિટિકલ છે અને શૃંખલા પ્રક્રિયા ધીમે ધીમે બંધ થઈ જાય છે.
તેથી,ક્રિટિકલ રિએક્ટર માટે $K = 1$ હોવું જોઈએ.

(B) આલ્ફા કણ એ હિલિયમનું ન્યુક્લિયસ છે,જેને ${}_{2}^{4}He$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે ન્યુક્લિયસ આલ્ફા ક્ષય અનુભવે છે,ત્યારે તેનો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ $2$ જેટલો ઘટે છે અને તેનો દળ ક્રમાંક $(A)$ $4$ જેટલો ઘટે છે.
ક્ષયનું સમીકરણ આ મુજબ છે:
${}_{92}^{238}U \longrightarrow {}_{Z}^{A}X + {}_{2}^{4}He$
દળ ક્રમાંકને સરખાવતા: $238 = A + 4 \implies A = 234$.
પરમાણુ ક્રમાંકને સરખાવતા: $92 = Z + 2 \implies Z = 90$.
$90$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતું તત્વ થોરિયમ $(Th)$ છે.
તેથી,મળતું નવું ન્યુક્લિયસ ${}_{90}^{234}Th$ છે.

(C) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાએ દળ સંખ્યા $(A)$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ના સંરક્ષણના નિયમોનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
વિકલ્પ $(A)$ માટે: ${}_5^{10}B + {}_2^4He \longrightarrow {}_7^{13}N + {}_1^1H$. દળ સંખ્યા: $10+4 = 14$ અને $13+1 = 14$ (સંરક્ષિત). પરમાણુ ક્રમાંક: $5+2 = 7$ અને $7+1 = 8$ (સંરક્ષિત નથી).
વિકલ્પ $(B)$ માટે: ${}_{11}^{23}Na + {}_1^1H \longrightarrow {}_{10}^{20}Ne + {}_2^4He$. દળ સંખ્યા: $23+1 = 24$ અને $20+4 = 24$ (સંરક્ષિત). પરમાણુ ક્રમાંક: $11+1 = 12$ અને $10+2 = 12$ (સંરક્ષિત). જોકે,આ પ્રક્રિયા બીટા ક્ષયની તુલનામાં સામાન્ય ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નથી.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: ${}_{93}^{239}Np \longrightarrow {}_{94}^{239}Pu + {\beta ^ - } + \bar \nu$. દળ સંખ્યા: $239 = 239 + 0 + 0 = 239$ (સંરક્ષિત). પરમાણુ ક્રમાંક: $93 = 94 - 1 + 0 = 93$ (સંરક્ષિત). આ નેપ્ચ્યુનિયમ-$239$ નો પ્લુટોનિયમ-$239$ માં થતો $\beta^-$ ક્ષય દર્શાવે છે,જે એક જાણીતી અને ભૌતિક રીતે શક્ય પ્રક્રિયા છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: ${}_7^{11}N + {}_1^1H \longrightarrow {}_6^{12}C + {\beta ^ - } + \nu$. પરમાણુ ક્રમાંક: $7+1 = 8$ અને $6-1 = 5$ (સંરક્ષિત નથી).
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ એ સાચી ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા છે.

(D) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્ર મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ જો $Alpha$,$Beta$ અને $Gamma$ કિરણો સમાન વેગમાન $(p)$ ધરાવતા હોય,તો તેમની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પણ સમાન જ રહેશે.
તેથી,કોઈ પણ કિરણની તરંગલંબાઈ બીજા કરતા વધારે નથી; બધાની તરંગલંબાઈ સમાન છે.

(C) અશ્મિભૂત હાડકામાં ${}^{14}C$ અને ${}^{12}C$ નો ગુણોત્તર $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ આપેલ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
બંનેને સરખાવતા,$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$ મળે છે.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 4$ છે.
અશ્મિની ઉંમર $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T_{1/2} = 5730 \, years$ છે.
$t = 4 \times 5730 = 22920 \, years$.

(C) $A > 100$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઘટે છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળ ટૂંકા ગાળાનું છે,જ્યારે પ્રોટોન વચ્ચેનું કુલંબ અપાકર્ષણ લાંબા ગાળાનું છે.
જેમ જેમ પરમાણુ દળાંક $A$ વધે છે,તેમ ન્યુક્લિયસનું કદ વધે છે. ન્યુક્લિયર બળ માત્ર નજીકના પાડોશીઓ વચ્ચે જ કાર્ય કરતું હોવાથી,કુલ ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા આશરે $A$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
જો કે,કુલંબ અપાકર્ષણ તમામ પ્રોટોન જોડીઓ વચ્ચે કાર્ય કરે છે,અને જોડીઓની સંખ્યા $A^2$ ના પ્રમાણમાં વધે છે. આના કારણે ભારે ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ ચોખ્ખી બંધન ઉર્જા ઘટે છે.
કારણનું વિધાન તકનીકી રીતે ખોટું છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળ પોતે ભારે ન્યુક્લિયસ માટે 'નબળું' બનતું નથી; પરંતુ તેની ટૂંકા ગાળાની પ્રકૃતિને લીધે,જેમ ન્યુક્લિયસ મોટું થાય છે તેમ તે લાંબા ગાળાના કુલંબ અપાકર્ષણને વળતર આપી શકતું નથી.

(A) કોબાલ્ટ-$60$ $(^{60}Co)$ એ કોબાલ્ટનું રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપ છે.
તે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પામે છે અને ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા $\gamma$-વિકિરણોનું ઉત્સર્જન કરે છે.
આ $\gamma$-વિકિરણો ઉચ્ચ ભેદન શક્તિ ધરાવે છે અને તેનો ઉપયોગ રેડિયેશન થેરાપીમાં કેન્સરગ્રસ્ત કોષોને લક્ષ્ય બનાવીને તેનો નાશ કરવા માટે થાય છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે,કારણ સાચું છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) જ્યારે $p-n$ જંકશન રિવર્સ બાયસમાં હોય,ત્યારે બેટરીનો ઋણ છેડો $p$-વિસ્તાર સાથે અને ધન છેડો $n$-વિસ્તાર સાથે જોડવામાં આવે છે.
આના કારણે મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશનથી દૂર જાય છે.
પરિણામે,ડેપ્લેશન વિસ્તારની પહોળાઈ વધે છે.
તેથી,પોટેન્શિયલ બેરિયરની ઊંચાઈ પણ વધે છે,જે મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સના પ્રવાહને અવરોધે છે.

(B) ડેસિબલ $(dB)$ માં વોલ્ટેજ ગેઇનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $Gain (dB) = 20 \log_{10}(A_v)$.
અહીં વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v = 1000$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $Gain (dB) = 20 \log_{10}(1000)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1000 = 10^3$,તેથી $\log_{10}(10^3) = 3$ થાય.
આમ,$Gain (dB) = 20 \times 3 = 60 \ dB$.

(B) આપેલ સર્કિટમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ આઉટપુટ $X$ બીજા $NAND$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે. બીજા $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $X$ સાથે જોડાયેલા હોવાથી, તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ દ્વારા મળે છે.
$X$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ મળે છે.
$Y = A \cdot B$ સમીકરણ $AND$ ગેટનું લોજિક ફંક્શન દર્શાવે છે.
તેથી, આપેલ સર્કિટ $AND$ ગેટનું કાર્ય કરે છે.

(A) એનર્જી ગેપ $(E_g)$ એ વેલેન્સ બેન્ડની ટોચ અને કન્ડક્શન બેન્ડના તળિયા વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત છે.
હીરા માટે, એનર્જી ગેપ આશરે $6.0 \, eV$ છે.
સિલિકોન માટે, એનર્જી ગેપ આશરે $1.1 \, eV$ છે.
જર્મેનિયમ માટે, એનર્જી ગેપ આશરે $0.72 \, eV$ છે.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા, આપણને $6.0 \, eV > 1.1 \, eV > 0.72 \, eV$ મળે છે.
તેથી, સાચો ક્રમ $E_g$ (હીરો) > $E_g$ (સિલિકોન) > $E_g$ (જર્મેનિયમ) છે.

(B) $1$. $P$ અને $R$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{PR})$ શોધવા માટે: $P-Q-R$ માર્ગમાં બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $C/2$ આપે છે. $P-T-S-R$ માર્ગમાં ત્રણ કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $C/3$ આપે છે. આ બંને શાખાઓ સમાંતર છે. તેથી,$C_{PR} = C/2 + C/3 = 5C/6$.
$2$. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{PQ})$ શોધવા માટે: $P-Q$ માર્ગમાં એક કેપેસિટર $C$ છે. $P-T-S-R-Q$ માર્ગમાં ચાર કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $C/4$ આપે છે. આ બંને શાખાઓ સમાંતર છે. તેથી,$C_{PQ} = C + C/4 = 5C/4$.
$3$. ગુણોત્તર $C_{PR} / C_{PQ} = (5C/6) / (5C/4) = 4/6 = 2/3$.