AIIMS 2006 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिए गए वेग $u$ के लिए,परास $R$ दो प्रक्षेपण कोणों $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ के लिए समान होता है।
कोण $\theta$ के लिए उड़ान का समय $t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
कोण $(90^\circ - \theta)$ के लिए उड़ान का समय $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ है।
दोनों उड़ान समयों का गुणा करने पर:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g^2} = \frac{2(u^2 \sin 2\theta)}{g^2}$.
चूंकि परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है,हम इस मान को समीकरण में रख सकते हैं:
$t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$.
चूंकि $g$ स्थिर है,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $t_1 t_2 \propto R$.

(B) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $(M)$,धारा $(I)$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ के गुणनफल के बराबर होता है: $M = I \times A$.
धारा $(I)$ की विमा $[A]$ है।
क्षेत्रफल $(A)$ की विमा $[L^2]$ है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण की विमा $[M] = [A][L^2] = [L^2A]$ है।

(D) जब वस्तुओं को समान ऊंचाई से गिराया जाता है,तो वे गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त रूप से गिरती हैं।
गति के समीकरणों के अनुसार,मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु का त्वरण उसके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है और यह गुरुत्वीय त्वरण $g$ के बराबर होता है।
चूंकि दोनों गोलों को समान ऊंचाई से गिराया गया है और वे जमीन से समान स्थिति ($1\, m$ ऊपर) पर हैं,इसलिए उनका वेग समान होगा।
हालाँकि,संवेग $(p = mv)$,गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2}mv^2)$,और स्थितिज ऊर्जा $(U = mgh)$ सभी वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करते हैं।
चूंकि द्रव्यमान अलग-अलग ($2\, kg$ और $4\, kg$) हैं,इसलिए उनका संवेग,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा अलग-अलग होगी।
अतः,केवल त्वरण ही वह राशि है जो दोनों गोलों के लिए समान रहती है,जो कि $g$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान के लोड को $\theta$ कोण वाले झुके हुए तल पर स्थिर वेग से ले जाने के लिए आवश्यक बल $F = mg \sin \theta$ है।
दिए गए $F-x$ ग्राफ में,दूरी $L$ के पहले आधे हिस्से के लिए बल धनात्मक है और दूसरे आधे हिस्से के लिए ऋणात्मक है।
यह इंगित करता है कि पहले आधे हिस्से के लिए,लोड को ऊपर की ओर धकेला जा रहा है (जिसके लिए धनात्मक बल $mg \sin \theta$ की आवश्यकता होती है),और दूसरे आधे हिस्से के लिए,लोड नीचे की ओर गति कर रहा है (जहाँ स्थिर वेग बनाए रखने के लिए आवश्यक बल $-mg \sin \theta$ है)।
वह सतह प्रोफ़ाइल जिसमें पहले ऊपर की ओर झुकाव और उसके बाद नीचे की ओर झुकाव होता है,वह पहले विकल्प की छवि में दिखाई गई त्रिकोणीय प्रोफ़ाइल है।

(C) $Assertion$ सही है क्योंकि मशीनों में गतिशील भागों के बीच घर्षण को कम करने के लिए बॉल बेयरिंग का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
$Reason$ गलत है क्योंकि बॉल बेयरिंग का उपयोग करने का मुख्य उद्देश्य सर्पी घर्षण (sliding friction) को लोटनिक घर्षण (rolling friction) में बदलना है,जो सर्पी घर्षण से काफी कम होता है। हालांकि वे स्थिरता प्रदान कर सकते हैं,लेकिन घर्षण कम करने के संदर्भ में उनका मुख्य उपयोग कंपन को कम करना नहीं है।

(D) किसी भी टक्कर (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में,निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न कर रहा हो।
अप्रत्यास्थ टक्कर में,गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है,लेकिन रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।

(B) मान लीजिए कि छड़ प्रारंभ में $x$-अक्ष पर है और इसका केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है। छड़ दो आधे भागों से बनी है,प्रत्येक का द्रव्यमान $m = M/2$ और लंबाई $l = L/2$ है।
जब छड़ को केंद्र से मोड़ा जाता है,तो छड़ का केंद्र मूल बिंदु पर ही रहता है। मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष मूल बिंदु से गुजरने वाली $z$-अक्ष है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और छड़ के साथ $\theta$ कोण बनाने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ अक्ष से लंबवत दूरी है।
छड़ के प्रत्येक आधे भाग के लिए,केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित एक बिंदु की अक्ष से दूरी $r = x \sin(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ छड़ और घूर्णन अक्ष के बीच का कोण है। यहाँ,अक्ष मूल छड़ के लंबवत है,इसलिए पहले आधे भाग के लिए $\theta = 90^o$ है,और दूसरे आधे भाग के लिए कोण बदल जाता है।
हालाँकि,एक सरल दृष्टिकोण: जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm$ है। चूँकि घूर्णन अक्ष से प्रत्येक द्रव्यमान अवयव $dm$ की दूरी $r$ नहीं बदलती है जब छड़ को उसके केंद्र पर मोड़ा जाता है (केंद्र बिंदु अक्ष पर है),इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण समान रहता है।
अतः,$I = \frac{1}{12} ML^2$।

(A) स्ट्रीट लाइट के वजन के कारण उत्पन्न टॉर्क तीनों मामलों में समान रहता है क्योंकि बल (वजन $Mg$) और धुरी (दीवार के कब्जे) से इसकी लंबवत दूरी स्थिर है।
यह टॉर्क केबल में तनाव $T$ द्वारा उत्पन्न टॉर्क द्वारा संतुलित होता है।
मान लीजिए $\tau$ लैंप के वजन द्वारा उत्पन्न टॉर्क है,$T$ केबल में तनाव है,और $d$ घूर्णन की धुरी (दीवार पर कब्जा) से केबल के जुड़ाव बिंदु की लंबवत दूरी है।
संतुलन की स्थिति $\tau = T \cdot d$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\tau$ स्थिर है,इसलिए तनाव $T$ दूरी $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होगा $(T = \tau / d)$।
इसलिए,जब दूरी $d$ सबसे अधिक होगी तो तनाव $T$ सबसे कम होगा।
पैटर्न $A$ में,केबल छड़ के सिरे पर जुड़ी हुई है,जो दीवार से अधिकतम लंबवत दूरी $d$ प्रदान करती है।
चूंकि पैटर्न $A$ में तनाव न्यूनतम है,इसलिए यह सबसे मजबूत विन्यास है।

(A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान तत्व $m_i$ की दूरी है।
प्रतिद्वंद्वी को झुकाकर और उनके द्रव्यमान को कमर (घूर्णन अक्ष) के करीब लाकर,औसत दूरी $r$ कम हो जाती है।
चूंकि $I \propto r^2$,प्रतिद्वंद्वी का जड़त्व आघूर्ण काफी कम हो जाता है।
कम जड़त्व आघूर्ण के लिए एक निश्चित कोणीय त्वरण उत्पन्न करने हेतु कम टॉर्क की आवश्यकता होती है,जिससे जूडो फाइटर के लिए प्रतिद्वंद्वी को घुमाना और पटकना आसान हो जाता है।
अतः,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं और $Reason$ का $Assertion$ की सही व्याख्या है।

(C) वायुमंडलीय दबाव $P_{atm} = 760\, mm$ $Hg$ है।
फेफड़ों में दबाव $P_{lungs} = 750\, mm$ $Hg$ है।
उत्पन्न दबाव का अंतर $\Delta P = P_{atm} - P_{lungs} = 760\, mm - 750\, mm = 10\, mm$ $Hg$ है।
यह दबाव अंतर स्ट्रॉ में $h$ ऊंचाई के पानी के स्तंभ को सहारा देता है।
हाइड्रोस्टेटिक दबाव सूत्र $\Delta P = h_w \rho_w g = h_{Hg} \rho_{Hg} g$ का उपयोग करने पर:
$h_w \rho_w = h_{Hg} \rho_{Hg}$
यहाँ $h_{Hg} = 10\, mm = 1\, cm$,$\rho_{Hg} = 13.6\, g/cm^3$,और $\rho_w = 1\, g/cm^3$ दिया गया है:
$h_w \times 1\, g/cm^3 = 1\, cm \times 13.6\, g/cm^3$
$h_w = 13.6\, cm$.

(B) $Assertion$ सही है क्योंकि पानी की सतह के पृष्ठ तनाव (surface tension) के कारण एक पतली स्टेनलेस स्टील की सुई स्थिर पानी पर तैर सकती है।
$Reason$ भी भौतिकी में एक सही कथन है,क्योंकि कोई वस्तु तब तैरती है जब उत्प्लावन बल उसके भार के बराबर होता है (आर्किमिडीज का सिद्धांत)।
हालाँकि,$Reason$ का $Assertion$ के लिए सही स्पष्टीकरण नहीं है। सुई उत्प्लावन बल के कारण नहीं,बल्कि पृष्ठ तनाव बल के कारण तैरती है जो सुई के भार को संतुलित करता है।
इसलिए,दोनों सही हैं,लेकिन $Reason$ का $Assertion$ की व्याख्या नहीं करता है।

(B) किरचॉफ के विकिरण के नियम के अनुसार,अच्छे अवशोषक अच्छे उत्सर्जक भी होते हैं।
काली सतहों में अन्य रंगों की तुलना में सबसे अधिक उत्सर्जकता और अवशोषकता होती है।
चूंकि सभी वस्तुएं $2000\,^oC$ के समान तापमान पर हैं,इसलिए जिस वस्तु की उत्सर्जकता सबसे अधिक होगी,वह प्रति इकाई क्षेत्रफल में अधिकतम विकिरण उत्सर्जित करेगी।
इसलिए,काली वस्तु सबसे अधिक चमकेगी।

(B) रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ यह निर्धारित करता है कि तापमान परिवर्तन के साथ कोई पदार्थ अपनी लंबाई में कितना परिवर्तन करता है,जिसे $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धातु $X$ का रेखीय प्रसार गुणांक धातु $Y$ से अधिक है $(\alpha_X > \alpha_Y)$,इसलिए तापमान कम होने (ठंडा करने) पर धातु $X$,धातु $Y$ की तुलना में अधिक सिकुड़ेगी।
चूंकि धातु $X$ बाईं ओर है और यह धातु $Y$ की तुलना में अधिक सिकुड़ती है,इसलिए पट्टी उस तरफ मुड़ जाएगी जो अधिक सिकुड़ती है।
अतः,द्विधात्विक पट्टी बाईं ओर मुड़ जाएगी।

(C) पसीना आने से शरीर से ऊष्मा का आदान-प्रदान वातावरण में होता है।
पानी शरीर से गुप्त ऊष्मा अवशोषित करके द्रव से वाष्प में परिवर्तित हो जाता है।
यह प्रक्रिया त्वचा से ऊष्मीय ऊर्जा को हटा देती है,जिससे शरीर ठंडा हो जाता है।
उत्सर्जकता सतह के पदार्थ का एक गुण है। त्वचा पर पानी की एक पतली परत इसकी उत्सर्जकता को नहीं बढ़ाती है; वास्तव में,यह शीतलन के संदर्भ में उत्सर्जकता में कोई महत्वपूर्ण परिवर्तन नहीं करती है।
अतः,अभिकथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(C) एन्ट्रापी में परिवर्तन $dS = \frac{dQ}{T}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पानी को बर्फ में जमाने की प्रक्रिया में,निकाय द्वारा परिवेश में ऊष्मा छोड़ी जाती है,जिसका अर्थ है कि $dQ$ ऋणात्मक है।
चूंकि तापमान $T$ धनात्मक है,इसलिए एन्ट्रापी में परिवर्तन $dS$ ऋणात्मक होता है।
अतः,बर्फ के टुकड़े बनने के दौरान पानी की एन्ट्रापी घटती है।

(B) ऊष्मागतिकी (Thermodynamics) के दूसरे नियम के अनुसार,एक विलगित निकाय में किसी भी स्वतःप्रवर्तित प्रक्रिया के लिए,निकाय की एन्ट्रॉपी बढ़नी चाहिए $(dS > 0)$।
एक विलगित निकाय को ऐसे निकाय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो अपने परिवेश के साथ ऊर्जा (ऊष्मा या कार्य) या पदार्थ का आदान-प्रदान नहीं कर सकता है।
चूंकि एक रुद्धोष्म प्रक्रिया को ऐसी प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है $(dQ = 0)$,इसलिए एक विलगित निकाय में होने वाली सभी प्रक्रियाएं वास्तव में रुद्धोष्म होती हैं।
हालाँकि,यह तथ्य कि प्रक्रियाएं रुद्धोष्म हैं,सीधे तौर पर यह नहीं समझाता है कि एन्ट्रॉपी क्यों बढ़नी चाहिए; एन्ट्रॉपी में वृद्धि स्वतःप्रवर्तित प्रक्रियाओं के संबंध में ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम का परिणाम है।
इसलिए,दोनों कथन सही हैं,लेकिन $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) कार्नोट चक्र एक आदर्श ऊष्मा इंजन की प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है,जो ऊष्मा ऊर्जा को यांत्रिक कार्य में बदलने के लिए अधिकतम संभव दक्षता के साथ संचालित होता है। इसलिए,अभिकथन सही है।
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_L$ और $T_H$ क्रमशः सिंक और स्रोत के तापमान हैं। यह सूत्र दर्शाता है कि अधिकतम दक्षता पूरी तरह से जलाशयों के तापमान पर निर्भर करती है। अतः,कारण सही है और यह एक वैध व्याख्या प्रदान करता है कि कार्नोट चक्र ऊष्मा इंजन के प्रदर्शन को समझने के लिए क्यों उपयोगी है।

(B) निकाय की एन्ट्रॉपी में परिवर्तन $dS = \frac{dQ}{T}$ द्वारा दिया जाता है। जब कोई वस्तु ठंडी होती है,तो वह ऊष्मा खोती है,इसलिए $dQ$ ऋणात्मक होता है। चूँकि $T$ धनात्मक है,इसलिए $dS$ ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि दूध की एन्ट्रॉपी कम हो जाती है। अतः,$Assertion$ सही है।
ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम बताता है कि किसी भी स्वतःस्फूर्त प्रक्रिया के लिए ब्रह्मांड (निकाय + परिवेश) की कुल एन्ट्रॉपी बढ़नी चाहिए। कमरे में किसी गर्म वस्तु का ठंडा होना परिवेश की एन्ट्रॉपी में ऐसी वृद्धि करता है जो निकाय की एन्ट्रॉपी में कमी से अधिक होती है,इसलिए यह दूसरे नियम का उल्लंघन नहीं करता है। अतः,$Reason$ भी सही है।
हालाँकि,$Reason$ यह बताता है कि प्रक्रिया क्यों संभव है,न कि यह कि दूध की एन्ट्रॉपी क्यों कम होती है। इसलिए,$Reason$ का $Assertion$ के लिए सही स्पष्टीकरण नहीं है।

(D) रूट मीन स्क्वायर गति $(v_{rms})$ $\sqrt{3RT/M}$ द्वारा दी जाती है,और सबसे संभावित गति $(v_{mp})$ $\sqrt{2RT/M}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $\sqrt{3} \neq \sqrt{2}$,ये गतियां समान नहीं हैं। अतः,अभिकथन गलत है।
आणविक गति के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण वक्र दाईं ओर झुका हुआ (असममित) होता है,जिसका अर्थ है कि इसकी उच्च गति की ओर एक लंबी पूंछ होती है। इसलिए,वितरण सममित नहीं है। अतः,कारण भी गलत है।

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ दो क्रमागत शिखरों के बीच की दूरी है,इसलिए $\lambda = 100 \ m$ है।
दिया गया तरंग वेग $v = 25 \ m/s$ है।
तरंग की आवृत्ति $f$ सूत्र $v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f = \frac{v}{\lambda}$।
मान रखने पर,$f = \frac{25}{100} = 0.25 \ Hz$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण उछाल के लिए लिया गया समय है,जो आवृत्ति का व्युत्क्रम है: $T = \frac{1}{f}$।
अतः,$T = \frac{1}{0.25} = 4 \ s$।

(A) जब स्थिर पानी में पत्थर फेंका जाता है, तो यह गोलाकार तरंगें बनाता है। जैसे-जैसे तरंग बाहर की ओर फैलती है, उसकी ऊर्जा $E$ संरक्षित रहती है।
$dr$ चौड़ाई और $h$ आयाम वाली एक गोलाकार तरंग की ऊर्जा उसके द्रव्यमान और उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है। तरंग का द्रव्यमान उसकी परिधि $(2 \pi r)$ और उसकी चौड़ाई $(dr)$ के समानुपाती होता है।
अतः, ऊर्जा $E$ इस प्रकार दी जाती है:
$E \propto (2 \pi r) \cdot dr \cdot h^2$
चूंकि तरंग के बाहर की ओर फैलने पर कुल ऊर्जा $E$ स्थिर रहती है, इसलिए हमारे पास है:
$r \cdot h^2 \approx \text{स्थिरांक}$
इसलिए, $h^2 \propto \frac{1}{r}$, जिसका अर्थ है कि $h \propto r^{-1/2}$।
अतः, तरंग का आयाम $r^{-1/2}$ के अनुसार बदलता है।

(A) मान लीजिए कि गिटार के तार की आवृत्ति $f_s$ है।
जब इसे $440\, Hz$ के ट्यूनिंग फोर्क के साथ बजाया जाता है,तो बीट आवृत्ति $|f_s - 440| = 5\, Hz$ होती है। इसका अर्थ है कि $f_s = 445\, Hz$ या $f_s = 435\, Hz$ हो सकता है।
जब इसे $437\, Hz$ के ट्यूनिंग फोर्क के साथ बजाया जाता है,तो बीट आवृत्ति $|f_s - 437| = 8\, Hz$ होती है। इसका अर्थ है कि $f_s = 445\, Hz$ या $f_s = 429\, Hz$ हो सकता है।
दोनों स्थितियों की तुलना करने पर,सामान्य आवृत्ति $f_s = 445\, Hz$ है।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $440\, Hz$ से घटकर $437\, Hz$ होने पर बीट आवृत्ति $5\, Hz$ से बढ़कर $8\, Hz$ हो जाती है,इसलिए तार की आवृत्ति ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियों से अधिक होनी चाहिए। अतः,$f_s = 440 + 5 = 445\, Hz$।

(C) जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में यात्रा करती है, तो उसका वेग $(v)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ माध्यम के गुणों (जैसे अपवर्तनांक या घनत्व) के आधार पर बदल जाते हैं।
हालाँकि, तरंग की आवृत्ति $(f)$ पूरी तरह से तरंग के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है और माध्यम के बदलने पर भी स्थिर रहती है।
इसलिए, आवृत्ति माध्यम के गुणों से स्वतंत्र है, जबकि वेग और तरंगदैर्ध्य उन पर निर्भर करते हैं।

(C) समान और विपरीत पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाली दो बड़ी समानांतर पतली धातु की शीटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$
दिया गया है:
$\sigma = 26.4 \times 10^{-12} \, C/m^2$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$
मान रखने पर:
$E = \frac{26.4 \times 10^{-12}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$E = \frac{26.4}{8.85} \approx 2.983 \approx 3 \, N/C$
अतः,शीटों के बीच विद्युत क्षेत्र $3 \, N/C$ है।

(A) $1$. विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं। चित्र में,रेखाएं $A$ से निकल रही हैं और $B$ में प्रवेश कर रही हैं,इसलिए $A$ धनात्मक है और $B$ ऋणात्मक है।
$2$. किसी आवेश से निकलने वाली या उस पर समाप्त होने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या आवेश के परिमाण के समानुपाती होती है। रेखाओं को गिनने पर,हम देखते हैं कि $B$ पर समाप्त होने वाली रेखाओं की तुलना में $A$ से निकलने वाली रेखाओं की संख्या अधिक है। इसलिए,आवेश $A$ का परिमाण आवेश $B$ के परिमाण से अधिक है,अर्थात $|A| > |B|$.

(A) विभवांतर $V = 4 \times 10^6 \, V$ है।
स्थानांतरित आवेश $Q = 4 \, C$ है।
समय अवधि $t = 100 \, ms = 100 \times 10^{-3} \, s = 0.1 \, s$ है।
जमीन तक पहुँचने वाली ऊर्जा $E = V \times Q = 4 \times 10^6 \times 4 = 16 \times 10^6 \, J$ है।
शक्ति $P$ ऊर्जा के वितरण की दर है: $P = \frac{E}{t}$.
$P = \frac{16 \times 10^6 \, J}{0.1 \, s} = 160 \times 10^6 \, W$.
चूंकि $10^6 \, W = 1 \, MW$,इसलिए शक्ति $160 \, MW$ है।

(A) $I_c$ धारा ले जाने वाले $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{loop} = \frac{\mu_0 I_c}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_e$ धारा ले जाने वाले लंबे सीधे तार से $H$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 I_e}{2\pi H}$ द्वारा दिया जाता है।
लूप के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,इन दोनों चुंबकीय क्षेत्रों का परिमाण समान होना चाहिए और उनकी दिशाएं विपरीत होनी चाहिए।
परिमाणों की तुलना करने पर:
$\frac{\mu_0 I_c}{2R} = \frac{\mu_0 I_e}{2\pi H}$
$H$ के लिए हल करने पर:
$\frac{I_c}{R} = \frac{I_e}{\pi H}$
$H = \frac{I_e R}{\pi I_c}$

(A) $MRI$ मानव शरीर के विभिन्न अंगों की छवियां बनाने के लिए एक उपयोगी नैदानिक उपकरण है क्योंकि यह शरीर के जल और वसा ऊतकों में मौजूद प्रोटॉन (हाइड्रोजन नाभिक) के चुंबकीय गुणों पर निर्भर करता है। जब एक मजबूत चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो ये प्रोटॉन संरेखित हो जाते हैं और प्रिसिशन (precession) करते हैं। रेडियोफ्रीक्वेंसी पल्स लागू करके,इन प्रोटॉन को उत्तेजित किया जाता है,और उनके रिलैक्सेशन के दौरान उत्सर्जित सिग्नल का उपयोग विस्तृत छवियां बनाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार,विभिन्न ऊतकों के प्रोटॉन $(MRI)$ इमेजिंग का मूलभूत आधार हैं।

(C) प्रतिचुंबकीय पदार्थ आरोपित चुंबकीय क्षेत्र की विपरीत दिशा में एक दुर्बल चुंबकत्व प्रदर्शित करते हैं।
अतः,कथन सही है।
हालाँकि,प्रतिचुंबकीय पदार्थों में स्थायी चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण नहीं होता है क्योंकि सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप कुल चुंबकीय आघूर्ण शून्य होता है।
इसलिए,कारण गलत है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) जब वलय चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करती है, तो वलय से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बदल जाता है, जो एक इलेक्ट्रोमोटिव बल $(emf)$ और परिणामस्वरूप प्रेरित धारा उत्पन्न करता है। लेंज के नियम के अनुसार, यह धारा अपने उत्पादन के कारण का विरोध करती है।
एक बार जब वलय पूरी तरह से एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के अंदर आ जाती है, तो इससे जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है। चूंकि चुंबकीय फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता है $(\frac{d\phi}{dt} = 0)$, इसलिए प्रेरित $emf$ और प्रेरित धारा शून्य हो जाती है।
जब वलय चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलना शुरू करती है, तो इससे जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स फिर से बदल जाता है। यह प्रवेश चरण की तुलना में विपरीत दिशा में $emf$ और धारा को प्रेरित करता है।
इसलिए, प्रवेश के दौरान धारा गैर-शून्य होती है, अंदर होने पर शून्य होती है, और बाहर निकलते समय (विपरीत ध्रुवीयता के साथ) गैर-शून्य होती है। ग्राफ $B$ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,एक बंद लूप में प्रेरित $emf$ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ परिवर्तित हो रहा है,इसलिए रेखीय समाकल $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l}$ अशून्य है।
एक क्षेत्र को संरक्षी तब कहा जाता है यदि किसी बंद लूप के चारों ओर क्षेत्र का रेखीय समाकल शून्य हो। चूंकि यहाँ रेखीय समाकल अशून्य है,इसलिए प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ एक असंरक्षी क्षेत्र है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण कथन की सही व्याख्या करता है।

(C) अपवर्तन वह घटना है जिसमें प्रकाश एक प्रकाशीय माध्यम से दूसरे माध्यम में जाने पर मुड़ जाता है। यह इसलिए होता है क्योंकि दूसरे माध्यम में प्रवेश करते समय प्रकाश की गति बदल जाती है। अपवर्तन के दौरान प्रकाश की आवृत्ति स्थिर रहती है,लेकिन गति में परिवर्तन के कारण तरंगदैर्ध्य और प्रकाश तरंग के संचरण की दिशा में परिवर्तन होता है।

(A) लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वस्तु की दूरी $u = -8 \, cm$ (चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए) और अभिसारी लेंस के लिए फोकस दूरी $f = +10 \, cm$ है।
इन मानों को लेंस सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-8} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{8} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{8} = \frac{4 - 5}{40} = -\frac{1}{40}$
अतः,$v = -40 \, cm$ प्राप्त होता है।
लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
$m = \frac{-40}{-8} = 5$.
इसलिए,लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन $5$ है।

(B) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में लेंस के लिए $(\mu_a = 1)$:
$\frac{1}{f_a} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब द्रव में डुबोया जाता है $(\mu_l = 1.25)$,तो सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_l} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2 = \frac{6}{5}$ होता है।
द्रव में लेंस के लिए:
$\frac{1}{f_l} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.2 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5$.
अतः,फोकस दूरी $2.5$ के गुणक से बढ़ जाती है।

(B) एक हरी पत्ती में ऐसे रंगद्रव्य होते हैं जो हरे प्रकाश को परावर्तित करते हैं और दृश्य स्पेक्ट्रम में अन्य तरंगदैर्ध्य को अवशोषित करते हैं।
जब सफेद प्रकाश एक हरी पत्ती पर पड़ता है,तो यह हरे घटक को परावर्तित करती है,जिससे पत्ती हरी दिखाई देती है।
हरे प्रकाश की तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $0.495 \,\mu m$ से $0.570 \,\mu m$ के बीच होती है।
आपतित लेजर प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $0.6328 \,\mu m$ है,जो स्पेक्ट्रम के लाल क्षेत्र के अनुरूप है।
चूंकि पत्ती इस तरंगदैर्ध्य को परावर्तित नहीं करती है,इसलिए यह आपतित लेजर प्रकाश को अवशोषित कर लेती है।
चूंकि कोई भी प्रकाश परावर्तित होकर वापस नहीं आता है,इसलिए पत्ती काली दिखाई देती है।

(A) कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या प्रदान करता है।
ऑप्टिकल फाइबर में,कोर का व्यास छोटा रखा जाता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि फाइबर में प्रवेश करने वाली प्रकाश किरणें कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर क्रांतिक कोण से अधिक कोण पर आपतित हों।
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,छोटे व्यास वाले कोर के लिए,कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर आपतन कोण $\angle A$ अपेक्षाकृत बड़ा होता है।
बड़े व्यास वाले कोर के लिए,आपतन कोण $\angle B$ छोटा होता है।
चूंकि पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त यह है कि आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक होना चाहिए,इसलिए छोटा कोर व्यास इस संभावना को बढ़ाता है कि प्रकाश किरणें इस शर्त को पूरा करेंगी,जिससे फाइबर के माध्यम से प्रकाश का कुशल संचरण सुनिश्चित होता है।

(A) वृत्ताकार ध्रुवीकृत प्रकाश में, विद्युत क्षेत्र सदिश संचरण की दिशा के लंबवत एक तल में घूमता है जबकि इसका परिमाण स्थिर रहता है। इसलिए, विद्युत क्षेत्र सदिश के परिमाण $|\vec{E}|$ बनाम समय $t$ का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा है, जो यह दर्शाता है कि परिमाण समय के साथ नहीं बदलता है। यह विकल्प $A$ में दिए गए आरेख के अनुरूप है।

(A) विवर्तन (diffraction) होने के लिए,बाधाओं का आकार या विवर्तन ग्रेटिंग में स्लिट्स के बीच की दूरी आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के क्रम की होनी चाहिए।
$X-$ किरणों की तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $0.01 \ nm$ से $10 \ nm$ की सीमा में होती है।
मानक ऑप्टिकल विवर्तन ग्रेटिंग में ग्रेटिंग स्पेसिंग (आसन्न रेखाओं के बीच की दूरी) $10^3 \ nm$ से $10^4 \ nm$ के क्रम की होती है।
चूंकि ग्रेटिंग स्पेसिंग $X-$ किरणों की तरंगदैर्ध्य से बहुत बड़ी है,इसलिए विवर्तन प्रभाव नगण्य है,और इन ग्रेटिंग का उपयोग $X-$ किरणों की तरंगदैर्ध्य के बीच अंतर करने के लिए नहीं किया जा सकता है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण कथन की सही व्याख्या है।

(B) $X$-रे फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{min}$ के लिए,त्वरक वोल्टेज $V$ का मान $eV = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ से प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,और $\lambda = 10^{-11} \, m$:
$V = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-11}}$
$V = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-30}} = 12.43 \times 10^4 \, V = 124.3 \, kV$.
अतः,न्यूनतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए त्वरक वोल्टेज कम से कम $124.2 \, kV$ होना चाहिए।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,धातु की सतह से इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन तभी होता है जब आपतित प्रकाश की आवृत्ति एक निश्चित न्यूनतम मान से अधिक या उसके बराबर हो। इस न्यूनतम आवृत्ति को देहली आवृत्ति (threshold frequency,$\nu_0$) के रूप में जाना जाता है। यदि आपतित प्रकाश की आवृत्ति देहली आवृत्ति से कम है,तो प्रकाश की तीव्रता चाहे कितनी भी हो,कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है।

(A) धातु की सतह से उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन विभिन्न गतिज ऊर्जाओं का प्रदर्शन करते हैं क्योंकि धातु के भीतर इलेक्ट्रॉन एक निरंतर बैंड संरचना के भीतर विभिन्न ऊर्जा स्तरों पर होते हैं। जब एक फोटॉन धातु से टकराता है,तो वह अपनी ऊर्जा एक इलेक्ट्रॉन को स्थानांतरित कर देता है। धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा को कार्य फलन कहा जाता है। धातु के भीतर गहराई में स्थित इलेक्ट्रॉनों को सतह तक पहुँचने के लिए अतिरिक्त ऊर्जा की आवश्यकता होती है,जो प्रभावी रूप से उनके लिए ऊर्जा अवरोध को बढ़ा देती है। परिणामस्वरूप,विभिन्न गहराइयों से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा अलग-अलग होती है। अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या प्रदान करता है।

(A) गुणन कारक $(K)$ को न्यूट्रॉन के उत्पादन की दर और न्यूट्रॉन के नुकसान की दर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$K = \frac{\text{न्यूट्रॉन उत्पादन की दर}}{\text{न्यूट्रॉन नुकसान की दर}}$
जब $K = 1$ होता है,तो श्रृंखला अभिक्रिया एक स्थिर स्तर पर बनी रहती है और रिएक्टर को 'क्रिटिकल' अवस्था में कहा जाता है।
यदि $K > 1$ है,तो अभिक्रिया सुपरक्रिटिकल होती है,जिससे शक्ति में तेजी से वृद्धि होती है (जो संभावित रूप से विस्फोट का कारण बन सकती है)।
यदि $K < 1$ है,तो अभिक्रिया सबक्रिटिकल होती है और श्रृंखला अभिक्रिया अंततः समाप्त हो जाती है।
इसलिए,एक क्रिटिकल रिएक्टर के लिए $K = 1$ होना चाहिए।

(B) एक अल्फा कण हीलियम का नाभिक होता है,जिसे ${}_{2}^{4}He$ के रूप में दर्शाया जाता है।
जब कोई नाभिक अल्फा क्षय से गुजरता है,तो उसकी परमाणु संख्या $(Z)$ $2$ से कम हो जाती है और द्रव्यमान संख्या $(A)$ $4$ से कम हो जाती है।
क्षय का समीकरण इस प्रकार है:
${}_{92}^{238}U \longrightarrow {}_{Z}^{A}X + {}_{2}^{4}He$
द्रव्यमान संख्याओं की तुलना करने पर: $238 = A + 4 \implies A = 234$.
परमाणु संख्याओं की तुलना करने पर: $92 = Z + 2 \implies Z = 90$.
$90$ परमाणु संख्या वाला तत्व थोरियम $(Th)$ है।
अतः,प्राप्त नया नाभिक ${}_{90}^{234}Th$ है।

(C) एक परमाणु अभिक्रिया को द्रव्यमान संख्या $(A)$ और परमाणु क्रमांक $(Z)$ के संरक्षण के नियमों का पालन करना चाहिए।
विकल्प $(A)$ के लिए: ${}_5^{10}B + {}_2^4He \longrightarrow {}_7^{13}N + {}_1^1H$. द्रव्यमान संख्या: $10+4 = 14$ और $13+1 = 14$ (संरक्षित)। परमाणु क्रमांक: $5+2 = 7$ और $7+1 = 8$ (संरक्षित नहीं)।
विकल्प $(B)$ के लिए: ${}_{11}^{23}Na + {}_1^1H \longrightarrow {}_{10}^{20}Ne + {}_2^4He$. द्रव्यमान संख्या: $23+1 = 24$ और $20+4 = 24$ (संरक्षित)। परमाणु क्रमांक: $11+1 = 12$ और $10+2 = 12$ (संरक्षित)। हालाँकि,यह अभिक्रिया बीटा क्षय की तुलना में एक सामान्य परमाणु अभिक्रिया नहीं है।
विकल्प $(C)$ के लिए: ${}_{93}^{239}Np \longrightarrow {}_{94}^{239}Pu + {\beta ^ - } + \bar \nu$. द्रव्यमान संख्या: $239 = 239 + 0 + 0 = 239$ (संरक्षित)। परमाणु क्रमांक: $93 = 94 - 1 + 0 = 93$ (संरक्षित)। यह नेप्चुनियम-$239$ का प्लूटोनियम-$239$ में $\beta^-$ क्षय को दर्शाता है,जो एक ज्ञात और भौतिक रूप से संभव प्रक्रिया है।
विकल्प $(D)$ के लिए: ${}_7^{11}N + {}_1^1H \longrightarrow {}_6^{12}C + {\beta ^ - } + \nu$. परमाणु क्रमांक: $7+1 = 8$ और $6-1 = 5$ (संरक्षित नहीं)।
अतः,विकल्प $(C)$ सही परमाणु अभिक्रिया है।

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ होती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि $Alpha$,$Beta$ और $Gamma$ किरणें समान संवेग $(p)$ ले जाती हैं,इसलिए उन सभी की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ समान होगी।
अतः,किसी की भी तरंगदैर्ध्य दूसरों से अधिक नहीं है; उन सभी की तरंगदैर्ध्य समान है।

(C) जीवाश्म हड्डी में ${}^{14}C$ और ${}^{12}C$ का अनुपात $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ दिया गया है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दोनों की तुलना करने पर,$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$ प्राप्त होता है।
अतः,अर्ध-आयु की संख्या $n = 4$ है।
जीवाश्म की आयु $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{1/2} = 5730 \, years$ है।
$t = 4 \times 5730 = 22920 \, years$.

(C) $A > 100$ वाले नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा घटती है क्योंकि नाभिकीय बल लघु-परास (short-ranged) का होता है,जबकि प्रोटॉन के बीच कूलम्ब प्रतिकर्षण दीर्घ-परास (long-ranged) का होता है।
जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या $A$ बढ़ती है,नाभिक का आकार बढ़ता है। चूंकि नाभिकीय बल केवल निकटतम पड़ोसियों के बीच कार्य करता है,इसलिए कुल नाभिकीय बंधन ऊर्जा लगभग $A$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
हालाँकि,कूलम्ब प्रतिकर्षण सभी प्रोटॉन युग्मों के बीच कार्य करता है,और युग्मों की संख्या $A^2$ के अनुपात में बढ़ती है। इसके कारण भारी नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन शुद्ध बंधन ऊर्जा कम हो जाती है।
कारण कथन तकनीकी रूप से गलत है क्योंकि नाभिकीय बल स्वयं भारी नाभिकों के लिए 'कमजोर' नहीं होता है; बल्कि इसकी लघु-परास प्रकृति का अर्थ है कि जैसे-जैसे नाभिक बड़ा होता है,यह दीर्घ-परास कूलम्ब प्रतिकर्षण की भरपाई नहीं कर पाता है।

(A) कोबाल्ट-$60$ $(^{60}Co)$ कोबाल्ट का एक रेडियोधर्मी समस्थानिक है।
यह रेडियोधर्मी क्षय से गुजरता है और उच्च-ऊर्जा वाले $\gamma$-विकिरणों का उत्सर्जन करता है।
इन $\gamma$-विकिरणों में उच्च भेदन क्षमता होती है और इनका उपयोग विकिरण चिकित्सा (रेडिएशन थेरेपी) में कैंसर कोशिकाओं को लक्षित करने और उन्हें नष्ट करने के लिए किया जाता है।
अतः,कथन सही है,कारण सही है,और कारण कथन की सही व्याख्या करता है।

(B) जब एक $p-n$ जंक्शन रिवर्स बायस में होता है,तो बैटरी का ऋणात्मक टर्मिनल $p$-साइड से और धनात्मक टर्मिनल $n$-साइड से जुड़ा होता है।
इसके कारण बहुसंख्यक आवेश वाहक (majority charge carriers) जंक्शन से दूर चले जाते हैं।
परिणामस्वरूप,अवक्षय परत (depletion region) की चौड़ाई बढ़ जाती है।
अतः,विभव प्राचीर (potential barrier) की ऊँचाई भी बढ़ जाती है,जो बहुसंख्यक आवेश वाहकों के प्रवाह का विरोध करती है।

(B) डेसिबल $(dB)$ में वोल्टेज गेन का सूत्र इस प्रकार है: $Gain (dB) = 20 \log_{10}(A_v)$.
यहाँ वोल्टेज गेन $A_v = 1000$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $Gain (dB) = 20 \log_{10}(1000)$.
चूंकि $1000 = 10^3$,इसलिए $\log_{10}(10^3) = 3$ होता है।
अतः,$Gain (dB) = 20 \times 3 = 60 \ dB$.

(B) दिए गए परिपथ में श्रेणीक्रम में जुड़े दो $NAND$ गेट हैं।
मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $X = \overline{A \cdot B}$ है।
यह आउटपुट $X$ दूसरे $NAND$ गेट के लिए इनपुट के रूप में कार्य करता है। चूंकि दूसरे $NAND$ गेट के दोनों इनपुट $X$ से जुड़े हैं, इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$X$ का मान रखने पर, हमें $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $Y = A \cdot B$ एक $AND$ गेट के लॉजिक फंक्शन को दर्शाता है।
अतः, दिया गया परिपथ $AND$ गेट का कार्य करता है।

(A) ऊर्जा अंतराल $(E_g)$ वैलेंस बैंड के शीर्ष और कंडक्शन बैंड के निचले हिस्से के बीच का ऊर्जा अंतर है।
हीरे के लिए, ऊर्जा अंतराल लगभग $6.0 \, eV$ है।
सिलिकॉन के लिए, ऊर्जा अंतराल लगभग $1.1 \, eV$ है।
जर्मेनियम के लिए, ऊर्जा अंतराल लगभग $0.72 \, eV$ है।
इन मानों की तुलना करने पर, हमें $6.0 \, eV > 1.1 \, eV > 0.72 \, eV$ प्राप्त होता है।
अतः, सही क्रम $E_g$ (हीरा) > $E_g$ (सिलिकॉन) > $E_g$ (जर्मेनियम) है।

(B) $1$. $P$ और $R$ के बीच तुल्य धारिता $(C_{PR})$ ज्ञात करने के लिए: $P-Q-R$ पथ में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जो $C/2$ देते हैं। $P-T-S-R$ पथ में तीन संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जो $C/3$ देते हैं। ये दोनों शाखाएँ समांतर क्रम में हैं। अतः,$C_{PR} = C/2 + C/3 = 5C/6$.
$2$. $P$ और $Q$ के बीच तुल्य धारिता $(C_{PQ})$ ज्ञात करने के लिए: $P-Q$ पथ में एक संधारित्र $C$ है। $P-T-S-R-Q$ पथ में चार संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जो $C/4$ देते हैं। ये दोनों शाखाएँ समांतर क्रम में हैं। अतः,$C_{PQ} = C + C/4 = 5C/4$.
$3$. अनुपात $C_{PR} / C_{PQ} = (5C/6) / (5C/4) = 4/6 = 2/3$.