AIIMS 2001 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिए गए युग्मों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$1$. प्रतिबल और दाब: दोनों की विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}]$ होती हैं।
$2$. कोण और विकृति: दोनों विमाहीन राशियाँ $[M^0L^0T^0]$ हैं।
$3$. तनाव और पृष्ठ तनाव: तनाव एक बल है जिसकी विमा $[MLT^{-2}]$ है,जबकि पृष्ठ तनाव प्रति इकाई लंबाई बल है जिसकी विमा $[MT^{-2}]$ है। अतः,इनकी विमाएँ समान नहीं हैं।
$4$. प्लांक नियतांक और कोणीय संवेग: दोनों की विमाएँ $[ML^2T^{-1}]$ होती हैं।
इसलिए,वह युग्म जिसकी विमाएँ समान नहीं हैं,वह तनाव और पृष्ठ तनाव है।

(A) $n$वें सेकंड में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
पिंड $A$ के लिए,$5$वें सेकंड में तय की गई दूरी $S_{A,5} = 0 + \frac{a_1}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{9a_1}{2}$ है।
पिंड $B$,$A$ के $2$ सेकंड बाद चलना शुरू करता है। इसलिए,$A$ के चलने के $5$वें सेकंड का समय पिंड $B$ की गति के $(5 - 2) = 3$रे सेकंड के बराबर है।
पिंड $B$ द्वारा अपने $3$रे सेकंड में तय की गई दूरी $S_{B,3} = 0 + \frac{a_2}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{5a_2}{2}$ है।
यह दिया गया है कि ये दूरियाँ समान हैं: $\frac{9a_1}{2} = \frac{5a_2}{2}$।
इसे सरल करने पर,हमें $9a_1 = 5a_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{9}$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 200\,m/s$,अंतिम वेग $v = 100\,m/s$,विस्थापन $s = 10\,cm = 0.1\,m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$.
मान रखने पर: $(100)^2 = (200)^2 + 2 \times a \times 0.1$.
$10000 = 40000 + 0.2a$.
$0.2a = 10000 - 40000 = -30000$.
$a = -30000 / 0.2 = -150000\,m/s^2 = -15 \times 10^4\,m/s^2$.
मंदन ऋणात्मक त्वरण का परिमाण है,जो $15 \times 10^4\,m/s^2$ है।

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर,द्रव्यमान $m$ पर दो बल कार्य करते हैं: केंद्र की ओर ऊपर की दिशा में तनाव बल $T$ और नीचे की दिशा में भार बल $mg$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करने वाला परिणामी बल $T - mg = \frac{mv^2}{r}$ है।
इस समीकरण को तनाव $T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = \frac{mv^2}{r} + mg$ प्राप्त होता है।

(B) जब दो सतहों के बीच स्नेहक लगाया जाता है,तो यह एक पतली परत बनाता है जो सतहों की अनियमितताओं को भर देता है।
यह सतहों के बीच सीधे संपर्क को कम करता है और घर्षण गुणांक को घटा देता है।
परिणामस्वरूप,सतहें न्यूनतम प्रतिरोध के साथ एक-दूसरे पर आसानी से फिसल सकती हैं।

(D) विस्थापन $\overrightarrow{s}$ के दौरान एक स्थिर बल $\overrightarrow{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s}$
दिया गया है:
$\overrightarrow{F} = (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j}) \, N$
$\overrightarrow{s} = (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j}) \, m$
मान रखने पर:
$W = (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j}) \cdot (3\,\hat{i} + 4\,\hat{j})$
अदिश गुणनफल के गुण $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,और $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ का उपयोग करते हुए:
$W = (3 \times 3) + (4 \times 4)$
$W = 9 + 16$
$W = 25 \, J$

(C) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली दागने से पहले का कुल संवेग और गोली दागने के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग (बंदूक + गोली) = $0$.
अंतिम संवेग = $m_G v_G + m_B v_B = 0$.
इसलिए,बंदूक के संवेग का परिमाण गोली के संवेग के परिमाण के बराबर होता है: $m_G v_G = m_B v_B$.
दिया गया है:
गोली का द्रव्यमान $(m_B)$ = $50 \, g = 0.05 \, kg$.
गोली का वेग $(v_B)$ = $30 \, m/s$.
बंदूक का वेग $(v_G)$ = $1 \, m/s$.
$m_G = \frac{m_B v_B}{v_G} = \frac{0.05 \times 30}{1} = 1.5 \, kg$.

(B) पहली गेंद का प्रारंभिक वेग,$u_1 = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
दूसरी गेंद का प्रारंभिक वेग,$u_2 = 0 \,m/s$.
द्रव्यमान $m_1 = 2 \,kg$ और $m_2 = 3 \,kg$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)V$,जहाँ $V$ टक्कर के बाद का सामान्य वेग है।
$2 \times 10 + 3 \times 0 = (2 + 3)V \implies 20 = 5V \implies V = 4 \,m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,$K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 + 0 = 100 \,J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा,$K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \,J$.
गतिज ऊर्जा में हानि,$\Delta K = K_i - K_f = 100 - 40 = 60 \,J$.

(A) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ होता है,इसलिए हम $M$ को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$v_e = \sqrt{\frac{2G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho} \cdot R$.
यह दिया गया है कि औसत घनत्व $\rho$ स्थिर है,इसलिए $v_e \propto R$ प्राप्त होता है।
यदि ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से दोगुनी $(R' = 2R)$ है,तो नया पलायन वेग $v_e'$ होगा:
$v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11 \, km/s = 22 \, km/s$.

(D) खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $(u)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain}$
चूंकि यंग मापांक $y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$,इसलिए $\text{Stress} = y \times \text{Strain}$ होता है।
दी गई विकृति $x$ को समीकरण में रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (y \times x) \times x$
$u = \frac{1}{2} y x^2$

(C) गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ का सूत्र $\Delta P = \frac{2T}{R}$ होता है।
दिया गया है:
पृष्ठ तनाव $T = 70 \times 10^{-3}\, N/m$
त्रिज्या $R = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
मान रखने पर:
$\Delta P = \frac{2 \times 70 \times 10^{-3}}{1 \times 10^{-3}}$
$\Delta P = 2 \times 70 = 140\, N/m^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) ऊष्मागतिक निर्देशांक वे चर हैं जो एक ऊष्मागतिक निकाय की अवस्था को परिभाषित करते हैं,जैसे कि दाब $(P)$,आयतन $(V)$,और तापमान $(T)$।
$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,जो एक मौलिक भौतिक नियतांक है और निकाय की अवस्था का परिवर्तनीय निर्देशांक नहीं है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ वस्तु के परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $\lambda_m T = b$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है। चूंकि तारे का रंग उस प्रकाश की तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करता है जिसे वह सबसे अधिक तीव्रता से उत्सर्जित करता है,इसलिए देखा गया रंग तारे के सतही तापमान का सीधा संकेत है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $T \propto \sqrt{l}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक लंबाई $l_1 = 100$ इकाई है। तो नई लंबाई $l_2 = 100 + 21 = 121$ इकाई होगी।
आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{11}{10} = 1.1$ है।
अतः,$T_2 = 1.1 T_1$.
आवर्तकाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = \frac{1.1 T_1 - T_1}{T_1} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$ है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिए गए चित्र में,$K_1$ और $K_2$ स्प्रिंग नियतांक वाली दो स्प्रिंगें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं।
श्रेणीक्रम में जुड़ी स्प्रिंगों के लिए,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
इसलिए,$K_{eq} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eq}}{m}}$
इस सूत्र में $K_{eq}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_1 K_2}{m(K_1 + K_2)}}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) एक ज्यावक्रीय तरंग में,अधिकतम विस्थापन (आयाम) से शून्य विस्थापन तक की गति कुल आवर्तकाल $(T)$ के एक-चौथाई के बराबर होती है।
अतः,लगा समय $t = \frac{T}{4}$ है।
चूंकि आवृत्ति ($n$ या $f$) आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है,इसलिए $T = \frac{1}{n}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $t = \frac{1}{4n}$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$n = \frac{1}{4t}$।
यहाँ $t = 0.170\,s$ दिया गया है,इसलिए $n = \frac{1}{4 \times 0.170} = \frac{1}{0.680} \approx 1.47\,Hz$ होगा।

(C) पथ अंतर $(\Delta x)$ और कलांतर $(\phi)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$.
दिया गया कलांतर $\phi = 60^{\circ}$ है।
कलांतर को रेडियन में बदलने पर: $\phi = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$.
सूत्र में $\phi$ का मान रखने पर: $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{3}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$.
अतः,पथ अंतर $\lambda / 6$ है।

(C) एक तने हुए तार की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $l$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
दिया गया है कि $n_1 = n$,$n_2 = 2n$,और $T_1 = 10 \ N$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{n}{2n} = \sqrt{\frac{10}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{10}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{10}{T_2}$.
इस प्रकार,$T_2 = 40 \ N$।

(D) ध्वनि तरंग की ऊर्जा $E$ को संबंध $E \propto a^2 n^2$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $n$ आवृत्ति है।
चूँकि दोनों ध्वनियों की ऊर्जा समान है,इसलिए $E_A = E_B$ है।
अतः,$a_A^2 n_A^2 = a_B^2 n_B^2$ होगा।
दिया गया है कि $B$ की आवृत्ति $A$ की आवृत्ति की एक-आठवीं है,इसलिए $n_B = \frac{1}{8} n_A$,या $\frac{n_A}{n_B} = 8$ है।
ऊर्जा समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{a_B^2}{a_A^2} = \frac{n_A^2}{n_B^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{a_B}{a_A} = \frac{n_A}{n_B} = 8$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$a_B = 8 a_A$ है।
अतः,$B$ के स्वर का आयाम $A$ के आयाम का आठ गुना है।

(D) $Wien$ के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\max} T = \text{नियतांक}$.
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T$ है और अंतिम तापमान $T'$ है।
दिया गया है कि $\lambda_{\max, 1} = \lambda_0$ और $\lambda_{\max, 2} = \frac{3}{4}\lambda_0$.
नियम का उपयोग करने पर: $\lambda_0 T = \left(\frac{3}{4}\lambda_0\right) T' \Rightarrow T' = \frac{4}{3}T$.
$Stefan-Boltzmann$ नियम के अनुसार,कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = A \sigma T^4$ होती है,जिसका अर्थ है कि $P \propto T^4$.
अतः,$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T'}{T}\right)^4$.
मान रखने पर: $n = \left(\frac{4/3 T}{T}\right)^4 = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}$.

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{स्थिरांक}$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P^{1-\gamma} \propto T^{-\gamma}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $P \propto T^{-\frac{\gamma}{1-\gamma}}$ या $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$।
इसे दिए गए संबंध $P \propto T^C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $C = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ होता है।
$\gamma$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$C = \frac{5/3}{5/3 - 1} = \frac{5/3}{2/3} = 5/2$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$.
सेल्सियस में दिए गए तापमान: $T_1 = 27^oC$ और $T_2 = 127^oC$.
इन्हें केल्विन में बदलने पर: $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$.
उत्सर्जित ऊर्जाओं का अनुपात: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{300}{400} \right)^4 = \left( \frac{3}{4} \right)^4 = \frac{81}{256}$.
अतः,अनुपात $81:256$ है।

(D) $Assertion$ गलत है क्योंकि रॉकेट को आगे बढ़ने के लिए आसपास की हवा की आवश्यकता नहीं होती है। वास्तव में,रॉकेट अंतरिक्ष के निर्वात $(vacuum)$ में भी कुशलतापूर्वक काम करते हैं।
रॉकेट अपने ईंधन के दहन से उत्पन्न गैसों को उच्च वेग से पीछे की ओर फेंककर आगे बढ़ता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,रॉकेट गैसों पर बल लगाता है और गैसें रॉकेट पर समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल लगाती हैं,जिससे आवश्यक प्रणोद $(thrust)$ मिलता है।
अतः,$Assertion$ गलत है और $Reason$ रॉकेट प्रणोदन के सिद्धांत के लिए एक सही कथन है।

(D) बल आघूर्ण $(\tau)$,जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय त्वरण $(\alpha)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = I \alpha$.
दिया गया है:
बल आघूर्ण $(\tau)$ = $31.4 \, Nm$
कोणीय त्वरण $(\alpha)$ = $4\pi \, rad/s^2$
$\pi \approx 3.14$ का मान लेने पर,$\alpha = 4 \times 3.14 = 12.56 \, rad/s^2$ प्राप्त होता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$31.4 = I \times 12.56$
$I = \frac{31.4}{12.56} = 2.5 \, kg \cdot m^2$.

(B) बर्नौली का सिद्धांत बहते हुए तरल पदार्थ के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय से व्युत्पन्न होता है।
यह बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और स्थिर प्रवाह वाले तरल के लिए,धारा रेखा के साथ प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
इसलिए,यह ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक होता है,जिसका अर्थ है $dQ = 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$।
रुद्धोष्म संपीड़न के लिए,निकाय पर कार्य किया जाता है,इसलिए $dW < 0$।
इसका तात्पर्य है कि $dU = -dW > 0$,जिसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा $U$ में वृद्धि होती है।
चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा तापमान का फलन होती है $(U \propto T)$,इसलिए निकाय का तापमान भी बढ़ जाता है।
अतः,$Assertion$ गलत है।
रुद्धोष्म प्रक्रियाएं आमतौर पर तीव्र प्रक्रियाएं होती हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि परिवेश के साथ कोई ऊष्मा विनिमय न हो।
इसलिए,$Reason$ भी गलत है।
इस प्रकार,$Assertion$ और $Reason$ दोनों गलत हैं।

(D) Assertion गलत है। अलग-अलग तापमानों के लिए दो समतापीय वक्र एक-दूसरे को कभी नहीं काट सकते। यदि वे किसी बिंदु पर काटते हैं,तो इसका अर्थ यह होगा कि उस विशिष्ट $(P, V)$ अवस्था पर निकाय का तापमान एक साथ दो अलग-अलग मानों का है,जो असंभव है।
Reason सही है। समतापीय प्रक्रिया एक धीमी प्रक्रिया है जो निकाय को अपने परिवेश के साथ तापीय संतुलन में रहने की अनुमति देती है। $P-V$ आरेख पर समतापीय वक्र का ढाल $-\frac{dP}{dV} = \frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $P$ और $V$ धनात्मक हैं,इसलिए ढाल सीमित है और रुद्धोष्म (adiabatic) वक्रों की तुलना में अपेक्षाकृत कम है (जिनका ढाल $\gamma \frac{P}{V}$ होता है)।

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
चूंकि दोनों प्रक्षेप्यों को समान चाल $u$ से प्रक्षेपित किया गया है,इसलिए उनकी अधिकतम ऊंचाइयों $H_1$ और $H_2$ का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2}$ होगा।
यहाँ $\theta_1 = 30^{\circ}$ और $\theta_2 = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{(\sin 30^{\circ})^2}{(\sin 60^{\circ})^2} = \frac{(1/2)^2}{(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $1:3$ है।

(B) हुक ने $1679$ में प्रयोगात्मक रूप से दिखाया कि यदि विकृति कम है,तो प्रतिबल विकृति के समानुपाती होता है।
प्रतिबल और विकृति का अनुपात दिए गए पदार्थ के लिए स्थिर होता है और इसे प्रत्यास्थता गुणांक $E$ कहा जाता है।
अतः,$E = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \text{constant}$.
इसलिए,यदि प्रतिबल को बढ़ाया जाता है (प्रत्यास्थ सीमा के भीतर),तो प्रतिबल और विकृति का अनुपात स्थिर रहता है।

(A) गॉस के प्रमेय के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{net} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश $q$ घन के केंद्र में स्थित है,इसलिए फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होगा।
अतः,घन के एक फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{\phi_{net}}{6} = \frac{q}{6\varepsilon_0}$ होगा।

(B) दी गई व्यवस्था को समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ और प्लेटों के बीच की दूरी $t$ है।
परावैद्युतांक $k_1$ वाले पहले संधारित्र के लिए,धारिता $C_1 = \frac{k_1 \varepsilon_0 (A/2)}{t} = \frac{k_1 \varepsilon_0 A}{2t}$ है।
परावैद्युतांक $k_2$ वाले दूसरे संधारित्र के लिए,धारिता $C_2 = \frac{k_2 \varepsilon_0 (A/2)}{t} = \frac{k_2 \varepsilon_0 A}{2t}$ है।
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C = C_1 + C_2$ होगी।
$C = \frac{k_1 \varepsilon_0 A}{2t} + \frac{k_2 \varepsilon_0 A}{2t} = \frac{\varepsilon_0 A}{2t}(k_1 + k_2) = \frac{\varepsilon_0 A}{t} \cdot \frac{k_1 + k_2}{2}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सेल का विद्युत वाहक बल $(E)$ $2\, V$ है।
सेल का आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ $0.1\,\Omega$ है।
जुड़ा हुआ बाहरी प्रतिरोध $(R)$ $3.9\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r = 3.9\,\Omega + 0.1\,\Omega = 4.0\,\Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में बहने वाली धारा $(I)$: $I = \frac{E}{R + r} = \frac{2\, V}{4.0\,\Omega} = 0.5\, A$ है।
सेल के टर्मिनल पर वोल्टेज $(V)$ $V = I \times R$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = 0.5\, A \times 3.9\,\Omega = 1.95\, V$।

(C) एक सेल का आंतरिक प्रतिरोध,सेल के माध्यम से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा के मार्ग में इलेक्ट्रोलाइट और इलेक्ट्रोड द्वारा उत्पन्न बाधा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हालाँकि,आंतरिक प्रतिरोध में मुख्य योगदान दोनों इलेक्ट्रोड के बीच मौजूद इलेक्ट्रोलाइट का होता है।
इसलिए,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) थर्मो e.m.f. $E$ संबंध $E = AT - \frac{1}{2}BT^2$ द्वारा दिया गया है।
व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ पर,थर्मो e.m.f. शून्य हो जाता है।
$E = 0$ रखने पर:
$0 = AT_i - \frac{1}{2}BT_i^2$
$AT_i = \frac{1}{2}BT_i^2$
$T_i = \frac{2A}{B}$
यहाँ $A = 16$ और $B = 0.08$ दिया गया है:
$T_i = \frac{2 \times 16}{0.08} = \frac{32}{0.08} = \frac{3200}{8} = 400\,^oC$.
अतः,व्युत्क्रमण का तापमान $400\,^oC$ है।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 n i}{2r}$।
दिया गया है:
फेरों की संख्या $n = 25$।
व्यास $D = 10\, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 5\, cm = 5 \times 10^{-2}\, m$।
धारा $i = 4\, A$।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$।
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 25 \times 4}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{10 \times 10^{-2}}$
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^3 = 4\pi \times 10^{-4}\, T$
$B \approx 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} = 12.566 \times 10^{-4} = 1.257 \times 10^{-3}\, T$।

(C) साइक्लोट्रॉन एक उपकरण है जिसका उपयोग प्रोटॉन,ड्यूटेरॉन और अल्फा कणों जैसे धनावेशित कणों को त्वरित करने के लिए किया जाता है।
यह इस सिद्धांत पर कार्य करता है कि एक धनावेशित कण को एक शक्तिशाली चुंबकीय क्षेत्र की सहायता से वृत्ताकार पथ में घुमाकर,बार-बार दोलनशील विद्युत क्षेत्र से गुजारकर पर्याप्त उच्च ऊर्जा तक त्वरित किया जा सकता है।
इलेक्ट्रॉनों को साइक्लोट्रॉन में त्वरित नहीं किया जाता है क्योंकि उनका द्रव्यमान बहुत कम होता है,जिससे वे बहुत जल्दी आपेक्षिक (relativistic) गति प्राप्त कर लेते हैं,जो दोलनशील विद्युत क्षेत्र के साथ उनके तालमेल को बिगाड़ देता है।

(B) सही उत्तर $(b)$ है।
$AC$ परिपथ में,चोक कुंडली अनिवार्य रूप से उच्च प्रेरकत्व और नगण्य प्रतिरोध वाला एक प्रेरक है।
इसका उपयोग विद्युत ऊर्जा के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना परिपथ में धारा को सीमित करने या घटाने के लिए किया जाता है।
एक प्रतिरोधक के विपरीत,जो ऊर्जा को ऊष्मा ($I^2R$ हानि) के रूप में नष्ट करता है,एक आदर्श चोक कुंडली कोई शक्ति व्यय नहीं करती है क्योंकि वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $90^{\circ}$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप शक्ति गुणांक $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है।

(A) परमाणु बम में,ऊर्जा न्यूट्रॉन और $_{92}U^{235}$ की अनियंत्रित श्रृंखला अभिक्रिया (chain reaction) के कारण मुक्त होती है।
होने वाली परमाणु विखंडन अभिक्रिया इस प्रकार है:
$_{92}U^{235} + _{0}n^{1} \rightarrow _{56}Ba^{141} + _{36}Kr^{92} + 3_{0}n^{1} + Q \text{ (लगभग } 200 \text{ MeV ऊर्जा)}$.
प्रत्येक विखंडन घटना में उत्पन्न तीन न्यूट्रॉन अन्य तीन $_{92}U^{235}$ नाभिकों के साथ अभिक्रिया कर सकते हैं,जो एक स्व-स्थायी श्रृंखला अभिक्रिया की ओर ले जाते हैं,जिससे बहुत कम समय में भारी मात्रा में ऊर्जा मुक्त होती है।

(B) जब एक रेडियोधर्मी नाभिक एक $\alpha$-कण $(_{2}He^{4})$ उत्सर्जित करता है,तो नाभिक की परमाणु संख्या $Z$,$2$ से कम हो जाती है और द्रव्यमान संख्या $A$,$4$ से कम हो जाती है।
क्षय समीकरण इस प्रकार है: $_{Z}X^{A} \rightarrow _{Z-2}Y^{A-4} + _{2}He^{4}$.
चूंकि परमाणु संख्या $Z$ में $2$ की कमी होती है,इसलिए आवर्त सारणी में तत्व दो स्थान बाईं ओर खिसक जाता है।

(A) फ्रॉनहोफर रेखाएं सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाती हैं।
ये रेखाएं तब बनती हैं जब सूर्य की ठंडी बाहरी परतों (वर्णमंडल) में मौजूद परमाणु,गर्म आंतरिक परतों (प्रकाशमंडल) द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित करते हैं।
चूंकि ये परमाणु विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित करते हैं,इसलिए वे सूर्य के निरंतर स्पेक्ट्रम में काली रेखाएं उत्पन्न करते हैं।
अतः,फ्रॉनहोफर स्पेक्ट्रम एक रेखीय अवशोषण स्पेक्ट्रम है।

(A) एक स्वस्थ मानव आँख की विभेदन सीमा वह न्यूनतम कोण है जो दो अलग-अलग बिंदुओं को आँख पर बनाना चाहिए ताकि वे अलग-अलग दिखाई दे सकें। एक स्वस्थ मानव आँख के लिए,यह सीमा लगभग $1$ मिनट होती है,जिसे $1'$ के रूप में दर्शाया जाता है।
चूँकि $60' = 1^\circ$,इसलिए $1' = \left( \frac{1}{60} \right)^\circ$ होता है।

(A) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी का आवर्धन $M$ सूत्र $M = -\frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eye-piece) की फोकस दूरी है।
सबसे बड़ा आवर्धन $M$ प्राप्त करने के लिए,अनुपात $\frac{f_o}{f_e}$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि दिए गए अभिदृश्यक लेंस के लिए,नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e$ सबसे कम होनी चाहिए।
दी गई फोकस दूरियों $(+ 15\, cm, + 20\, cm, + 150\, cm, + 250\, cm)$ में से,सबसे छोटा मान $+ 15\, cm$ है।
अतः,नेत्रिका की फोकस दूरी $+ 15\, cm$ होनी चाहिए।

(D) प्रकाश की द्वैत प्रकृति का अर्थ है कि प्रकाश तरंग और कण दोनों के गुण प्रदर्शित करता है।
विवर्तन एक ऐसी घटना है जो प्रकाश की तरंग प्रकृति को दर्शाती है।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव एक ऐसी घटना है जो प्रकाश की कण प्रकृति (फोटॉन) को दर्शाती है।
इसलिए,विवर्तन और प्रकाश-विद्युत प्रभाव का संयोजन प्रकाश की द्वैत प्रकृति को प्रदर्शित करता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब प्रकाश का स्रोत किसी प्रेक्षक से दूर जाता है,तो उत्सर्जित प्रकाश की आवृत्ति कम हो जाती है,जो तरंगदैर्ध्य में वृद्धि के अनुरूप होती है।
तरंगदैर्ध्य में इस बदलाव (दृश्य स्पेक्ट्रम के लाल सिरे की ओर) को रेड शिफ्ट के रूप में जाना जाता है।
चूंकि दूर की आकाशगंगाओं से देखा गया प्रकाश लगातार रेड शिफ्ट दिखाता है,यह इंगित करता है कि ये आकाशगंगाएं हमसे दूर जा रही हैं।
यह अवलोकन इस बात का पुख्ता प्रमाण देता है कि ब्रह्मांड का विस्तार हो रहा है।

(D) सही उत्तर $D$ है। फ्रौनहोफर रेखाएँ सूर्य के वायुमंडल में मौजूद गैसों और वाष्प द्वारा सूर्य की किरणों के अवशोषण से उत्पन्न होती हैं। जब प्रकाशमंडल (photosphere) से सफेद प्रकाश ठंडे वर्णमंडल (chromosphere) से होकर गुजरता है,तो उसमें मौजूद परमाणु और अणु प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित कर लेते हैं। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप सूर्य के सतत स्पेक्ट्रम में काली रेखाएँ बन जाती हैं,जिन्हें फ्रौनहोफर रेखाएँ कहा जाता है। इसलिए,ये रेखीय अवशोषण स्पेक्ट्रम का उदाहरण हैं।

(A) स्थिर विद्युत परिरक्षण (electrostatic shielding) के सिद्धांत के अनुसार,एक बंद धात्विक चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है,चाहे बाहरी विद्युत क्षेत्र कुछ भी हो।
यह घटना इसलिए होती है क्योंकि धातु में मौजूद मुक्त इलेक्ट्रॉन बाहरी क्षेत्र के प्रभाव को रद्द करने के लिए सतह पर पुनर्वितरित हो जाते हैं।
चूंकि खोखले खोल के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए यह बाहरी विद्युत क्षेत्रों को आंतरिक क्षेत्र में प्रवेश करने से प्रभावी ढंग से रोकता है।
इसलिए,कथन सही है,और कारण यह सही भौतिक व्याख्या प्रदान करता है कि ऐसा कवच क्यों काम करता है।

(A) सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें निर्वात में प्रकाश की गति $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ से यात्रा करती हैं।
चूंकि $X-$किरणें विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम का एक हिस्सा हैं,इसलिए वे विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं।
अतः,कथन सही है क्योंकि कारण उनकी विद्युत चुम्बकीय तरंग प्रकृति की सही पहचान करता है,जो उनकी गति को निर्धारित करती है।

(C) वह घटना जिसमें उत्तेजना हटाए जाने के बाद भी रेटिना पर छवि बनी रहती है, उसे दृष्टि का स्थायित्व (persistence of vision) कहा जाता है।
यह दृष्टि का स्थायित्व लगभग $\frac{1}{16} \, s$ तक रहता है।
फिल्म में गति का अनुभव करने के लिए, फ्रेम दर स्थायित्व समय के व्युत्क्रम से अधिक होनी चाहिए, जो कि $16 \, \text{frames per second}$ है।
चूंकि $24 \, \text{frames per second}$, $16 \, \text{frames per second}$ से अधिक है, इसलिए गति सुचारू दिखाई देती है।
दिए गए कारण में कहा गया है कि स्थायित्व समय $1/10 \, s$ है, जो तथ्यात्मक रूप से गलत है क्योंकि यह लगभग $1/16 \, s$ होता है।
इसलिए, कथन सही है, लेकिन कारण गलत है।

(A) रेले के प्रकीर्णन नियम के अनुसार, प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता उसकी तरंगदैर्ध्य की चतुर्थ घात के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(I \propto 1/\lambda^4)$।
चूंकि दृश्य स्पेक्ट्रम में अन्य रंगों की तुलना में नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य कम होती है, इसलिए वायुमंडल में मौजूद अणुओं और सूक्ष्म कणों द्वारा इसका प्रकीर्णन सबसे अधिक होता है।
इसलिए, आकाश से नीला रंग आता हुआ प्रतीत होता है। कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण, कथन की सही व्याख्या है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि फ्रिंज चौड़ाई केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$,स्लिट्स के बीच की दूरी $d$,और पर्दे तक की दूरी $D$ पर निर्भर करती है,इसलिए अदीप्त और दीप्त फ्रिंजों के लिए फ्रिंज चौड़ाई समान होती है। अतः,कथन गलत है।
जब श्वेत प्रकाश का उपयोग स्रोत के रूप में किया जाता है,तो केंद्रीय फ्रिंज सफेद होती है और बाद की फ्रिंजें रंगीन होती हैं क्योंकि अलग-अलग तरंगदैर्ध्य की फ्रिंज चौड़ाई अलग-अलग होती है। एकवर्णी प्रकाश की तरह केवल काली और दीप्त फ्रिंजें ही दिखाई नहीं देती हैं। अतः,कारण भी गलत है।

(A) आइए जनक नाभिक ${}_{Z}{X^{A}}$ के लिए क्षय प्रक्रिया का विश्लेषण करें:
$1$. $2\alpha$-क्षय के बाद: प्रत्येक $\alpha$-क्षय द्रव्यमान संख्या में $4$ की कमी और परमाणु क्रमांक में $2$ की कमी करता है। अतः,$2\alpha$-क्षय के परिणामस्वरूप $\Delta A = -8$ और $\Delta Z = -4$ होता है। उत्पाद ${}_{Z-4}{X^{A-8}}$ है।
$2$. $2\beta$-क्षय के बाद: प्रत्येक $\beta^-$-क्षय परमाणु क्रमांक में $1$ की वृद्धि करता है जबकि द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है। अतः,$2\beta$-क्षय के परिणामस्वरूप $\Delta Z = +2$ होता है। अंतिम उत्पाद ${}_{(Z-4)+2}{X^{A-8}} = {}_{Z-2}{X^{A-8}}$ है।
$3$. $\gamma$-क्षय द्रव्यमान संख्या या परमाणु क्रमांक में कोई परिवर्तन नहीं करता है।
अतः,अंतिम उत्पाद वास्तव में ${}_{Z-2}{X^{A-8}}$ है। कथन सही है।
कारण द्रव्यमान और परमाणु क्रमांक पर $\alpha$ और $\beta$ क्षय के प्रभावों का सही वर्णन करता है। इसलिए,कारण कथन की सही व्याख्या है।

(D) प्रत्यावर्ती धारा परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कला संबंध परिपथ में मौजूद घटकों पर निर्भर करता है।
शुद्ध प्रेरक परिपथ (जिसमें केवल प्रेरक $L$ हो) के लिए,वोल्टेज धारा से $\pi / 2$ $(90^{\circ})$ के कला कोण से आगे रहता है,जिसका अर्थ है कि धारा वोल्टेज से $\pi / 2$ पीछे रहती है।
शुद्ध संधारित्र परिपथ (जिसमें केवल संधारित्र $C$ हो) के लिए,धारा वोल्टेज से $\pi / 2$ $(90^{\circ})$ के कला कोण से आगे रहती है।
शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ (जिसमें केवल प्रतिरोध $R$ हो) के लिए,धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं (कलांतर $0$ होता है)।
इसलिए,चूंकि धारा वोल्टेज से $\pi / 2$ पीछे रहती है,इसलिए परिपथ में केवल प्रेरक $L$ होना चाहिए।

(A) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे समानुपाती होती है $(I \propto w)$।
दिया गया है कि स्लिट की चौड़ाई का अनुपात $w_1 / w_2 = 1 / 9$ है,इसलिए दोनों स्रोतों की तीव्रता का अनुपात $I_1 / I_2 = 1 / 9$ होगा।
चूंकि तीव्रता $I \propto a^2$ (जहाँ $a$ आयाम है),आयामों का अनुपात $a_1 / a_2 = \sqrt{I_1 / I_2} = \sqrt{1 / 9} = 1 / 3$ होगा।
मान लीजिए $a_1 = a$ और $a_2 = 3a$ है।
न्यूनतम तीव्रता और अधिकतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\text{min}}}{I_{\text{max}}} = \left( \frac{a_1 - a_2}{a_1 + a_2} \right)^2$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\text{min}}}{I_{\text{max}}} = \left( \frac{a - 3a}{a + 3a} \right)^2 = \left( \frac{-2a}{4a} \right)^2 = \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।