AIEEE 2006 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) હૂકના નિયમ મુજબ,$L$ લંબાઈ,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ ધરાવતા તારમાં $T$ તણાવ હેઠળ થતું વિસ્તરણ $\Delta L = \frac{TL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,તાર પર $W$ જેટલો ભાર લટકાવવામાં આવે છે. તારમાં તણાવ $T_1 = W$ છે. તેથી,વિસ્તરણ $\Delta L_1 = \frac{WL}{AY} = l$ થાય છે.
બીજા કિસ્સામાં,તાર ગરગડી પરથી પસાર થાય છે અને બંને છેડે $W$ જેટલું વજન લટકાવવામાં આવે છે. તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી તારમાં તણાવ $T_2 = W$ થશે.
તેથી,બીજા કિસ્સામાં વિસ્તરણ $\Delta L_2 = \frac{T_2 L}{AY} = \frac{WL}{AY} = l$ થશે.
આમ,તારમાં થતું વિસ્તરણ $l \, mm$ જ રહેશે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ કુલ ઉર્જા ઘનતા $u_{av}$ એ સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા અને સરેરાશ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$u_{av} = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E_{rms}^{2} + \frac{1}{2} \frac{B_{rms}^{2}}{\mu_{0}}$
$E_{rms} = c B_{rms}$ હોવાથી,$u_{E} = u_{B}$ થાય,તેથી $u_{av} = \epsilon_{0} E_{rms}^{2}$.
અહીં $E_{rms} = 720\, N/C$ અને $\epsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12}\, C^2/(N \cdot m^2)$ આપેલ છે.
$u_{av} = (8.854 \times 10^{-12}) \times (720)^2$
$u_{av} = 8.854 \times 10^{-12} \times 518400$
$u_{av} \approx 4.589 \times 10^{-6}\, J/m^3$.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,તાર પર $W$ જેટલો ભાર લટકાવવામાં આવે છે. તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = W$ છે. લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l = \frac{Tl}{AY} = \frac{Wl}{AY} = l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા કિસ્સામાં,તાર એક ગરગડી પરથી પસાર થાય છે અને બંને છેડે $W$ જેટલા વજન લટકાવવામાં આવે છે. આ સ્થિતિમાં પણ તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = W$ જ રહે છે.
બંને કિસ્સામાં તણાવબળ $T$ સમાન હોવાથી,લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l$ પણ સમાન રહેશે.
તેથી,લંબાઈમાં થતો વધારો $l \, mm$ હશે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $V_T = \frac{2r^2}{9\eta}(\rho - \sigma)g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r$,$\eta$ અને $\sigma$ બંને ગોળાઓ માટે સમાન હોવાથી,$V_T \propto (\rho - \sigma)$ થાય.
સોના માટે: $V_{T1} = 0.2 \, m/s$,$\rho_1 = 19.5 \times 10^3 \, kg/m^3$,$\sigma = 1.5 \times 10^3 \, kg/m^3$.
$V_{T1} \propto (19.5 - 1.5) = 18$.
ચાંદી માટે: $V_{T2} = ?$,$\rho_2 = 10.5 \times 10^3 \, kg/m^3$.
$V_{T2} \propto (10.5 - 1.5) = 9$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \frac{9}{18} = 0.5$.
$V_{T2} = 0.5 \times V_{T1} = 0.5 \times 0.2 = 0.1 \, m/s$.

(C) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાની ટર્મિનલ ઝડપ $V_T$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_T = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
જ્યાં $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
કારણ કે બંને ગોળાઓ માટે ત્રિજ્યા $r$,પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$ અને સ્નિગ્ધતા $\eta$ સમાન છે,તેથી ટર્મિનલ ઝડપ ઘનતાના તફાવતના પ્રમાણમાં હોય છે: $V_T \propto (\rho - \sigma)$.
સોના માટે: $V_{T1} = 0.2 \, m/s$,$\rho_1 = 19.5 \times 10^3 \, kg/m^3$,$\sigma = 1.5 \times 10^3 \, kg/m^3$.
ચાંદી માટે: $V_{T2} = ?$,$\rho_2 = 10.5 \times 10^3 \, kg/m^3$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$
$\frac{V_{T2}}{0.2} = \frac{10.5 - 1.5}{19.5 - 1.5} = \frac{9}{18} = 0.5$
$V_{T2} = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \, m/s$.

(C) સખત બોક્સમાં રહેલા આદર્શ વાયુ માટે,ઉષ્મા વિનિમય $Q = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બોક્સ ઉષ્મીય સંપર્કમાં હોવાથી અને આસપાસના વાતાવરણથી અલગ હોવાથી,ગરમ વાયુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા વાયુ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ એ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી અચળ કદ પર તેની મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{v1} = \frac{5}{2} R$ છે.
હિલિયમ $(He)$ એ એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી અચળ કદ પર તેની મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{v2} = \frac{3}{2} R$ છે.
ધારો કે $n_1 = 1$ મોલ $(N_2)$ અને $n_2 = 1$ મોલ $(He)$.
હિલિયમ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = નાઈટ્રોજન દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા:
$n_2 C_{v2} (T_{initial, He} - T_f) = n_1 C_{v1} (T_f - T_{initial, N2})$
$1 \cdot \frac{3}{2} R \left( \frac{7}{3} T_0 - T_f \right) = 1 \cdot \frac{5}{2} R (T_f - T_0)$
બંને બાજુ $\frac{2}{R}$ વડે ગુણતા:
$3 \left( \frac{7}{3} T_0 - T_f \right) = 5 (T_f - T_0)$
$7 T_0 - 3 T_f = 5 T_f - 5 T_0$
$12 T_0 = 8 T_f$
$T_f = \frac{12}{8} T_0 = \frac{3}{2} T_0$.

(D) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ કોઈપણ સમયે $t$ માટે $\phi = N B A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ નું સમીકરણ મૂકતા,આપણને મળે છે $e = -\frac{d}{dt}(N B A \cos(\omega t))$.
$e = -N B A \frac{d}{dt}(\cos(\omega t)) = -N B A (-\omega \sin(\omega t))$.
$e = N B A \omega \sin(\omega t)$.
$emf$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_{\max})$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ હોય.
તેથી,$e_{\max} = N B A \omega$.

(B) મુક્ત મુલકોની સ્થિરતા અનુનાદ (resonance) અને પ્રેરક અસર (inductive effect) દ્વારા નક્કી થાય છે.
$1$. અનુનાદ સ્થિરીકરણ: ટ્રાયફિનાઇલમિથાઇલ મુક્ત મુલક $(C_6H_5)_3\dot{C}$ એ ડાયફિનાઇલમિથાઇલ મુક્ત મુલક $(C_6H_5)_2\dot{C}H$ કરતા વધુ સ્થિર છે કારણ કે તેમાં અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનના વિસ્થાનિકરણ માટે વધુ ફિનાઇલ જૂથો છે.
$2$. પ્રેરક અસર: આલ્કાઇલ મુક્ત મુલકો આલ્કાઇલ જૂથોની $+I$ અસર દ્વારા સ્થિર થાય છે. તૃતીયક બ્યુટાઇલ મુક્ત મુલક $(CH_3)_3\dot{C}$ એ આઇસોપ્રોપાઇલ મુક્ત મુલક $(CH_3)_2\dot{C}H$ કરતા વધુ સ્થિર છે.
$3$. એકંદરે ક્રમ: અનુનાદ દ્વારા સ્થિર થયેલા મુક્ત મુલકો આલ્કાઇલ મુક્ત મુલકો કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધુ સ્થિર હોય છે.
તેથી,સ્થિરતાનો વધતો ક્રમ છે: $(CH_3)_2\dot{C}H < (CH_3)_3\dot{C} < (C_6H_5)_2\dot{C}H < (C_6H_5)_3\dot{C}$.

(C) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા $a$ ત્રિજ્યાના ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $V_T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_T = \frac{2 a^2}{9 \eta} (\rho - \sigma) g$
જ્યાં $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
ગોળાનું કદ અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી,$a$,$\eta$ અને $g$ અચળ છે.
તેથી,$V_T \propto (\rho - \sigma)$.
સોના માટે: $V_{T1} = 0.2 \,m/s$,$\rho_1 = 19.5 \,kg/m^3$,$\sigma = 1.5 \,kg/m^3$.
ચાંદી માટે: $V_{T2} = V$,$\rho_2 = 10.5 \,kg/m^3$,$\sigma = 1.5 \,kg/m^3$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_{T1}}{V_{T2}} = \frac{\rho_1 - \sigma}{\rho_2 - \sigma}$
$\frac{0.2}{V} = \frac{19.5 - 1.5}{10.5 - 1.5} = \frac{18}{9} = 2$
$V = \frac{0.2}{2} = 0.1 \,m/s$.