Trigonometry Questions in Hindi

(A) हम जानते हैं कि किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है ($AM$ $\ge$ $GM$)।
$\sqrt{\frac{x}{y}}$ और $\sqrt{\frac{y}{x}}$ पर इसे लागू करने पर:
$\frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right) \ge \sqrt{\sqrt{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{y}{x}}}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right) \ge \sqrt{1} = 1$
चूंकि $\sin \theta$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए यह व्यंजक $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sin \theta = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right) = 1$
यह समानता तभी संभव है जब $\sqrt{\frac{x}{y}} = \sqrt{\frac{y}{x}}$ हो,जिसका अर्थ है $\frac{x}{y} = 1$,अर्थात $x = y$।

(C) दिया गया है कि $\alpha + \beta = \pi$ और $\beta + \gamma = \alpha$.
$\alpha + \beta = \pi$ से,$\alpha = \pi - \beta$,इसलिए $\tan \alpha = \tan(\pi - \beta) = -\tan \beta$.
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ धनात्मक हैं और $\alpha + \beta = \pi$,इसलिए $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में होगा (क्योंकि $\beta > 0$),अतः $\tan \alpha < 0$.
$\beta + \gamma = \alpha$ से,$\tan \alpha = \tan(\beta + \gamma) = \frac{\tan \beta + \tan \gamma}{1 - \tan \beta \tan \gamma}$.
समीकरण में $\tan \beta = -\tan \alpha$ रखने पर:
$\tan \alpha = \frac{-\tan \alpha + \tan \gamma}{1 - (-\tan \alpha) \tan \gamma} = \frac{-\tan \alpha + \tan \gamma}{1 + \tan \alpha \tan \gamma}$.
$\tan \alpha (1 + \tan \alpha \tan \gamma) = -\tan \alpha + \tan \gamma$.
$\tan \alpha + \tan^2 \alpha \tan \gamma = -\tan \alpha + \tan \gamma$.
$\tan^2 \alpha \tan \gamma = -2 \tan \alpha + \tan \gamma$.
यह $\tan \alpha$ में एक द्विघात समीकरण है: $(\tan \gamma) \tan^2 \alpha + (2) \tan \alpha - \tan \gamma = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(\tan \gamma)(-\tan \gamma)}}{2 \tan \gamma} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4 \tan^2 \gamma}}{2 \tan \gamma} = \frac{-2 \pm 2 \sqrt{1 + \tan^2 \gamma}}{2 \tan \gamma} = \frac{-1 \pm \sec \gamma}{\tan \gamma}$.
वैकल्पिक रूप से,$\tan^2 \alpha \tan \gamma = -2 \tan \alpha + \tan \gamma$ से,हमें प्राप्त होता है $\tan^2 \alpha = \frac{-2 \tan \alpha + \tan \gamma}{\tan \gamma}$. चूंकि $\tan \alpha = -\tan \beta$,इसलिए $\tan^2 \alpha = \frac{2 \tan \beta + \tan \gamma}{\tan \gamma}$.
अतः,$\tan \alpha = -\sqrt{\frac{2 \tan \beta + \tan \gamma}{\tan \gamma}}$ (ऋणात्मक वर्गमूल लिया गया है क्योंकि $\tan \alpha < 0$)।

(D) हम जानते हैं कि $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ और $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ होता है।
इनका उपयोग करते हुए,$\tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}$ और $\tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ है।
इन दोनों पदों को जोड़ने पर:
$\frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} + \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} = \frac{(1 + \tan \theta)^2 + (1 - \tan \theta)^2}{(1 - \tan \theta)(1 + \tan \theta)}$
$= \frac{1 + \tan^2 \theta + 2 \tan \theta + 1 + \tan^2 \theta - 2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$
$= \frac{2(1 + \tan^2 \theta)}{1 - \tan^2 \theta}$
चूंकि $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ होता है,इसलिए $\sec 2\theta = \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ होगा।
अतः,व्यंजक $2 \sec 2\theta$ बन जाता है।
इसे $\lambda \sec 2\theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करेंगे।
चरण $1$: पहले दो पदों को सरल करने पर: $\cot 5^o - \tan 5^o = 2 \cot 10^o$.
चरण $2$: अब व्यंजक $2 \cot 10^o - 2 \tan 10^o - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o$ हो जाता है।
चरण $3$: $2$ कॉमन लेने पर: $2(\cot 10^o - \tan 10^o) - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o = 2(2 \cot 20^o) - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o = 4 \cot 20^o - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o$.
चरण $4$: $4$ कॉमन लेने पर: $4(\cot 20^o - \tan 20^o) - 8 \cot 40^o = 4(2 \cot 40^o) - 8 \cot 40^o = 8 \cot 40^o - 8 \cot 40^o = 0$.

(B) दिया गया व्यंजक $E = \frac{25 \sec^4 x - 50 \sec^2 x + 74}{\tan^2 x}$ है।
हम जानते हैं कि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$E = \frac{25(1 + \tan^2 x)^2 - 50(1 + \tan^2 x) + 74}{\tan^2 x}$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan^2 x$. तब $E = \frac{25(1 + t)^2 - 50(1 + t) + 74}{t}$.
$E = \frac{25(1 + 2t + t^2) - 50 - 50t + 74}{t} = \frac{25 + 50t + 25t^2 - 50 - 50t + 74}{t}$.
$E = \frac{25t^2 + 49}{t} = 25t + \frac{49}{t}$.
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ का उपयोग करने पर,$\frac{25t + \frac{49}{t}}{2} \ge \sqrt{25t \cdot \frac{49}{t}}$.
$25t + \frac{49}{t} \ge 2 \sqrt{25 \cdot 49} = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.
अतः,न्यूनतम मान $70$ है।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,हम जानते हैं कि $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
चूंकि $A = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan A = 1$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 + \tan B + \tan C = \tan B \tan C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\tan B \tan C = K$,अतः $\tan B + \tan C = K - 1$ है।
चूंकि $\tan B$ और $\tan C$ द्विघात समीकरण $x^2 - (\tan B + \tan C)x + \tan B \tan C = 0$ के मूल हैं,इसलिए $x^2 - (K - 1)x + K = 0$ होगा।
$\tan B$ और $\tan C$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geqslant 0$ होना चाहिए।
$D = (K - 1)^2 - 4K \geqslant 0$.
$K^2 - 2K + 1 - 4K \geqslant 0$.
$K^2 - 6K + 1 \geqslant 0$.

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है,अर्थात $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{(x+y)^2}{4} \geq xy$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{4xy}{(x+y)^2} \leq 1$।
सभी वास्तविक $\theta$ के लिए $cosec^2 \theta \geq 1$ होता है,इसलिए समीकरण $cosec^2 \theta = \frac{4xy}{(x+y)^2}$ केवल तभी सत्य हो सकता है जब दोनों पक्ष $1$ के बराबर हों।
इसके लिए $\frac{4xy}{(x+y)^2} = 1$ होना आवश्यक है,जो सरल होकर $4xy = (x+y)^2$ या $(x-y)^2 = 0$ देता है,जिसका अर्थ है $x = y$।
इसके अतिरिक्त,चूंकि यदि हर शून्य हो तो $cosec^2 \theta$ अपरिभाषित होता है,इसलिए $x+y \neq 0$ होना चाहिए। $x=y$ होने के कारण,इसका अर्थ है $2x \neq 0$,अर्थात $x \neq 0$।
अतः,सही शर्त $x = y$ और $x \neq 0$ है।

(C) दिया गया है: $\tan 80^{\circ} = a$ और $\tan 47^{\circ} = b$.
हम जानते हैं कि $\tan 80^{\circ} = \cot 10^{\circ} = \frac{1}{\tan 10^{\circ}}$,इसलिए $\tan 10^{\circ} = \frac{1}{a}$.
हमें $\tan 37^{\circ}$ का मान ज्ञात करना है।
हम $\tan 37^{\circ} = \tan(47^{\circ} - 10^{\circ})$ लिख सकते हैं।
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 37^{\circ} = \frac{\tan 47^{\circ} - \tan 10^{\circ}}{1 + \tan 47^{\circ} \tan 10^{\circ}}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan 37^{\circ} = \frac{b - \frac{1}{a}}{1 + b \cdot \frac{1}{a}}$.
अंश और हर को $a$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है:
$\tan 37^{\circ} = \frac{ab - 1}{a + b}$.

(D) दिया गया व्यंजक: $E = \sin \theta + \cos \theta + \sin 2\theta$.
हम जानते हैं कि $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.
मान लीजिए $t = \sin \theta + \cos \theta$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta$.
अतः,$\sin 2\theta = t^2 - 1$.
$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
$E$ में $t$ का मान रखने पर: $E = t + t^2 - 1 = t^2 + t - 1$.
अंतराल $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ पर $E$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात समीकरण $f(t) = t^2 + t - 1$ का सीमाओं पर मान जाँचते हैं।
$t = \sqrt{2}$ के लिए,$E = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$.
$t = -\sqrt{2}$ के लिए,$E = (-\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} - 1 = 2 - \sqrt{2} - 1 = 1 - \sqrt{2}$.
अतः,अधिकतम मान $1 + \sqrt{2}$ है,जो $\tan \frac{3\pi}{8}$ के बराबर है।

(B) हम सर्वसमिका $\cot \alpha - \tan \alpha = 2\cot 2\alpha$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\tan \alpha = \cot \alpha - 2\cot 2\alpha$.
दिया गया व्यंजक: $E = \tan 3^{\circ} + 2\tan 6^{\circ} + 4\tan 12^{\circ} + 8\cot 24^{\circ}$.
$\tan 3^{\circ} = \cot 3^{\circ} - 2\cot 6^{\circ}$ रखने पर:
$E = (\cot 3^{\circ} - 2\cot 6^{\circ}) + 2\tan 6^{\circ} + 4\tan 12^{\circ} + 8\cot 24^{\circ}$.
$2\tan 6^{\circ} = 2(\cot 6^{\circ} - 2\cot 12^{\circ}) = 2\cot 6^{\circ} - 4\cot 12^{\circ}$ रखने पर:
$E = \cot 3^{\circ} - 2\cot 6^{\circ} + 2\cot 6^{\circ} - 4\cot 12^{\circ} + 4\tan 12^{\circ} + 8\cot 24^{\circ}$.
सरल करने पर:
$E = \cot 3^{\circ} - 4\cot 12^{\circ} + 4\tan 12^{\circ} + 8\cot 24^{\circ}$.
$4\tan 12^{\circ} = 4(\cot 12^{\circ} - 2\cot 24^{\circ}) = 4\cot 12^{\circ} - 8\cot 24^{\circ}$ रखने पर:
$E = \cot 3^{\circ} - 4\cot 12^{\circ} + 4\cot 12^{\circ} - 8\cot 24^{\circ} + 8\cot 24^{\circ} = \cot 3^{\circ}$.
अतः,$\cot \theta^{\circ} = \cot 3^{\circ}$,इसलिए $\theta = 3$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $\cot (15 \times 3)^{\circ} = \cot 45^{\circ} = 1$.

(D) माना $f(x) = \tan(e^x)$ और $g(x) = e^x + e^{-x}$ है।
हमें $x > 0$ के लिए $y = \tan(e^x)$ और $y = e^x + e^{-x}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।
ध्यान दें कि $e^x + e^{-x} = 2 \cosh(x)$,जो सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा $\ge 2$ होता है।
जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$e^x$,$1$ से $\infty$ तक बढ़ता है।
फलन $\tan(e^x)$,$e^x$ के सापेक्ष आवर्ती (periodic) है और $e^x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$) पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptotes) रखता है।
चूंकि $x$ के $(0, \infty)$ में होने पर $e^x$,$(1, \infty)$ में सभी मान लेता है,इसलिए फलन $\tan(e^x)$ अनंत बार $-\infty$ और $+\infty$ के बीच दोलन करेगा।
विशेष रूप से,प्रत्येक अंतराल में जहाँ $e^x$ का मान $\pi$ बढ़ता है,$\tan(e^x)$ का मान $(-\infty, \infty)$ के परास को कवर करता है।
चूंकि $e^x + e^{-x} \ge 2$ है,इसलिए $y = e^x + e^{-x}$ का ग्राफ $\tan(e^x)$ की प्रत्येक शाखा को कम से कम एक बार प्रतिच्छेद करेगा,जब तक कि वह शाखा $\ge 2$ मान तक पहुँचती है।
चूंकि $x \to \infty$ होने पर ऐसी अनंत शाखाएँ होती हैं,इसलिए यहाँ अनंत हल प्राप्त होते हैं।
अतः,सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(B) दिया गया है $y = \frac{7 + 6 \tan x - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$.
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,इसलिए $y = (7 + 6 \tan x - \tan^2 x) \cos^2 x$.
$y = 7 \cos^2 x + 6 \sin x \cos x - \sin^2 x$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$,$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$,और $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = 7 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + 6 \left( \frac{\sin 2x}{2} \right) - \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)$.
$y = \frac{7 + 7 \cos 2x + 6 \sin 2x - 1 + \cos 2x}{2} = \frac{6 + 8 \cos 2x + 6 \sin 2x}{2} = 3 + 4 \cos 2x + 3 \sin 2x$.
व्यंजक $a \sin \theta + b \cos \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$3 \sin 2x + 4 \cos 2x$ का अधिकतम मान $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।
अतः,$y$ का अधिकतम मान $\lambda = 3 + 5 = 8$ है।
हमें $\log_{\sqrt{2}}(\lambda) = \log_{\sqrt{2}}(8)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $8 = 2^3 = (\sqrt{2})^6$,इसलिए $\log_{\sqrt{2}}((\sqrt{2})^6) = 6$ प्राप्त होता है।

(C) माना $3\cos \theta + 4\sin \theta = 5$ समीकरण $(1)$ है और $3\sin \theta - 4\cos \theta = x$ समीकरण $(2)$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके उन्हें जोड़ने पर:
$(3\cos \theta + 4\sin \theta)^2 + (3\sin \theta - 4\cos \theta)^2 = 5^2 + x^2$
$(9\cos^2 \theta + 16\sin^2 \theta + 24\sin \theta \cos \theta) + (9\sin^2 \theta + 16\cos^2 \theta - 24\sin \theta \cos \theta) = 25 + x^2$
$9(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25 + x^2$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$9(1) + 16(1) = 25 + x^2$
$25 = 25 + x^2$
$x^2 = 0$
अतः,$x = 0$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \cos A + \cos B = \cos C$
$2) \sin A + \sin B = \sin C$
माना $z_1 = e^{iA}$,$z_2 = e^{iB}$,और $z_3 = e^{iC}$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(\cos A + \cos B) + i(\sin A + \sin B) = \cos C + i\sin C$
इससे $e^{iA} + e^{iB} = e^{iC}$ प्राप्त होता है।
समीकरणों का संयुग्मी (conjugate) लेने पर:
$\cos A + \cos B = \cos C$
$-\sin A - \sin B = -\sin C$
इन्हें जोड़ने पर $e^{-iA} + e^{-iB} = e^{-iC}$ प्राप्त होता है।
$e^{iA} + e^{iB} = e^{iC}$ से,
दोनों संयुग्मी रूपों को विभाजित करने पर:
$\frac{e^{iA} + e^{iB}}{e^{-iA} + e^{-iB}} = \frac{e^{iC}}{e^{-iC}}$
$\frac{e^{iA} + e^{iB}}{e^{-i(A+B)}(e^{iB} + e^{iA})} = e^{2iC}$
$e^{i(A+B)} = e^{2iC}$
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\sin(A + B) = \sin 2C$
अतः,$\frac{\sin(A + B)}{\sin 2C} = 1$।

(A) दिया गया है $3 \tan A - 4 = 0$,इसलिए $\tan A = \frac{4}{3}$।
चूंकि $A$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\sin A$ और $\cos A$ दोनों ऋणात्मक होंगे।
$\tan A = \frac{4}{3}$ का उपयोग करके,कर्ण $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin A = -\frac{4}{5}$ और $\cos A = -\frac{3}{5}$।
अब,इन मानों को व्यंजक $5 \sin 2A + 3 \sin A + 4 \cos A$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(2 \sin A \cos A) + 3 \sin A + 4 \cos A$
$= 10 \left(-\frac{4}{5}\right) \left(-\frac{3}{5}\right) + 3 \left(-\frac{4}{5}\right) + 4 \left(-\frac{3}{5}\right)$
$= 10 \left(\frac{12}{25}\right) - \frac{12}{5} - \frac{12}{5}$
$= \frac{120}{25} - \frac{24}{5} = \frac{24}{5} - \frac{24}{5} = 0$।

(C) $f(x)$ को एक सम फलन होने के लिए, डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x) = f(-x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = Ax^3 - Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$।
चूँकि $\tan(-x) = -\tan x$ और $\text{sgn}(-x) = -\text{sgn}(x)$, इसलिए $\tan(-x) \cdot \text{sgn}(-x) = (-\tan x) \cdot (-\text{sgn}(x)) = \tan x \cdot \text{sgn}(x)$।
अतः, $f(-x) = A(-x)^3 - B(-x) - \tan(-x) \cdot \text{sgn}(-x) = -Ax^3 + Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$।
$f(x) = f(-x)$ के लिए, $Ax^3 - Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x) = -Ax^3 + Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$ होना चाहिए।
इसे सरल करने पर $2Ax^3 - 2Bx = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $A = 0$ और $B = 0$ एक साथ होने चाहिए।
$A = \sin^2 \alpha - \sin \alpha + \frac{1}{4} = (\sin \alpha - \frac{1}{2})^2 = 0 \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$।
$B = \tan^2 \alpha + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan \alpha + \frac{1}{3} = (\tan \alpha + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 0 \implies \tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$।
हमें $\alpha \in [-\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ ज्ञात करना है जहाँ $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ और $\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ दोनों सत्य हों।
$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ के लिए, $\alpha = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}$।
$\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए, $\alpha = \frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}$।
उभयनिष्ठ मान $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ और $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$ हैं।
अतः, कुल $2$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) माना $E = \log_{\frac{1}{8}\csc^2 \frac{\pi}{8}} \sin^2 \frac{3\pi}{8}$ है।
सबसे पहले,आधार को सरल करते हैं: $\csc^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{8}} = \frac{1}{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}} = \frac{2}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 4+2\sqrt{2}$।
अतः,आधार $\frac{1}{8}(4+2\sqrt{2}) = \frac{2+\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}$ है।
अब,पद को सरल करते हैं: $\sin^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1-\cos(3\pi/4)}{2} = \frac{1-(-\frac{1}{\sqrt{2}})}{2} = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,$E = \log_{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}} \left( \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}} \right) = 1$।

(C) माना व्यंजक $E = \frac{4 \sin 9^{\circ} \sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ} \sin 81^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$ है।
सर्वसमिका $\sin \theta \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करते हुए,पदों को समूहित करने पर:
$E = \frac{4}{\sin 54^{\circ}} [(\sin 9^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ}) \cdot (\sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 81^{\circ})]$.
चूंकि $\sin 51^{\circ} = \sin(60^{\circ}-9^{\circ})$ और $\sin 69^{\circ} = \sin(60^{\circ}+9^{\circ})$,इसलिए $\sin 9^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ} = \frac{1}{4} \sin(3 \times 9^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 27^{\circ}$ होगा।
इसी प्रकार,$\sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 81^{\circ} = \sin 21^{\circ} \sin(60^{\circ}-21^{\circ}) \sin(60^{\circ}+21^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(3 \times 21^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 63^{\circ}$ होगा।
इन मानों को $E$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{4}{\sin 54^{\circ}} \cdot \frac{1}{4} \sin 27^{\circ} \cdot \frac{1}{4} \sin 63^{\circ} = \frac{\sin 27^{\circ} \sin 63^{\circ}}{4 \sin 54^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 63^{\circ} = \cos 27^{\circ}$,इसलिए $E = \frac{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}{4 \sin 54^{\circ}} = \frac{2 \sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}{8 \sin 54^{\circ}} = \frac{\sin 54^{\circ}}{8 \sin 54^{\circ}} = \frac{1}{8}$।

(D) दिया गया है $2\cos^2 \theta + \sin \theta \le 2$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2(1 - \sin^2 \theta) + \sin \theta \le 2$.
$2 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta \le 2$.
$-2\sin^2 \theta + \sin \theta \le 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,$2\sin^2 \theta - \sin \theta \ge 0$.
$\sin \theta(2\sin \theta - 1) \ge 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $\sin \theta \le 0$ या $\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ हो।
$\sin \theta \le 0$ के लिए,$\theta \in [\pi, 2\pi]$.
$\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ के लिए,$\theta \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.
अतः,$A = [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] \cup [\pi, 2\pi]$.
दिया गया है $B = [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ लेने पर:
$A \cap B = ([\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] \cup [\pi, 2\pi]) \cap [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
$A \cap B = [\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}] \cup [\pi, \frac{3\pi}{2}]$.

(D) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{\sin 81^\circ + \cos 81^\circ}{\sin 81^\circ - \cos 81^\circ}$
अंश और हर को $\cos 81^\circ$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{\tan 81^\circ + 1}{\tan 81^\circ - 1}$
हम जानते हैं कि $\sin 81^\circ = \cos 9^\circ$ और $\cos 81^\circ = \sin 9^\circ$ होता है।
अतः,$E = \frac{\cos 9^\circ + \sin 9^\circ}{\cos 9^\circ - \sin 9^\circ}$
अब अंश और हर को $\cos 9^\circ$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{1 + \tan 9^\circ}{1 - \tan 9^\circ}$
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$,यह व्यंजक $\tan(45^\circ + 9^\circ)$ के रूप में है।
$E = \tan 54^\circ$

(A) माना $S = \cos 2\theta + \cos \theta$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$S = 2\cos^2 \theta - 1 + \cos \theta$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\cos \theta$ में द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखते हैं:
$S = 2(\cos^2 \theta + \frac{1}{2}\cos \theta) - 1$.
$S = 2(\cos^2 \theta + \frac{1}{2}\cos \theta + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) - 1$.
$S = 2(\cos \theta + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 1$.
$S = 2(\cos \theta + \frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}$.
चूंकि वर्ग पद $2(\cos \theta + \frac{1}{4})^2 \geq 0$ है,इसलिए $S$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \theta = -1/4$ हो।
अतः,न्यूनतम मान $-9/8$ है।

(A) दिया गया है कि $\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{c}{a}$ है।
हम सर्वसमिका $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ जानते हैं।
इसे $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर,हमें $(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = 1$.
$a^2$ से गुणा करने पर,हमें $b^2 - 2ac = a^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $a^2 - b^2 + 2ac = 0$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $A = \sin 45^{\circ} + \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
वैकल्पिक रूप से,$A = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 45^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 45^{\circ}) = \sqrt{2} \sin(45^{\circ} + 45^{\circ}) = \sqrt{2} \sin 90^{\circ} = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
अब,$B = \sin 44^{\circ} + \cos 44^{\circ} = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 44^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 44^{\circ})$.
सूत्र $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर,हमें $B = \sqrt{2} \sin(44^{\circ} + 45^{\circ}) = \sqrt{2} \sin 89^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 89^{\circ} < \sin 90^{\circ}$,इसलिए $\sqrt{2} \sin 89^{\circ} < \sqrt{2} \sin 90^{\circ}$ होता है।
अतः,$B < A$ या $A > B$।

(A) यहाँ हम चार धनात्मक पदों $\sin \theta, \sin \theta, \sin \theta$ और $\csc^3 \theta$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करेंगे।
$\frac{\sin \theta + \sin \theta + \sin \theta + \csc^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{(\sin \theta \cdot \sin \theta \cdot \sin \theta \cdot \csc^3 \theta)}$
$\frac{3\sin \theta + \csc^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{(\sin^3 \theta \cdot \frac{1}{\sin^3 \theta})}$
$\frac{3\sin \theta + \csc^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{1}$
$3\sin \theta + \csc^3 \theta \ge 4 \times 1$
अतः,न्यूनतम मान $4$ है।

(C) माना $P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$ है।
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \right) \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \right) \cos \frac{3\pi}{7}$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \right) \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$
चूंकि $\sin \frac{4\pi}{7} = \sin \left( \pi - \frac{3\pi}{7} \right) = \sin \frac{3\pi}{7}$:
$P = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} \right) = \frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \sin \frac{6\pi}{7}$
चूंकि $\sin \frac{6\pi}{7} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{7} \right) = \sin \frac{\pi}{7}$:
$P = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} = \frac{1}{8}$.

(D) दिया गया है कि $\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3 = 3$ है।
चूंकि $\sin$ फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए तीन $\sin$ पदों का योग $3$ तभी संभव है जब प्रत्येक पद $1$ के बराबर हो।
अतः,$\sin \theta_1 = 1, \sin \theta_2 = 1,$ और $\sin \theta_3 = 1$ है।
इसका अर्थ है कि $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \frac{\pi}{2}$ है।
अब,हम कोसाइन का योग ज्ञात करते हैं: $\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होता है,इसलिए $\cos \theta_1 = 0, \cos \theta_2 = 0,$ और $\cos \theta_3 = 0$ है।
अतः,$0 + 0 + 0 = 0$।

(B) हम जानते हैं कि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$.
इसलिए,$\sin \frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{8}$ और $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8}$.
दी गई व्यंजक इस प्रकार हो जाती है: $2 \sin^2 \frac{\pi}{8} + 2 \sin^2 \frac{3\pi}{8} = 2 [\sin^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{3\pi}{8}]$.
चूंकि $\sin \frac{3\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{8}$,इसलिए $\sin^2 \frac{3\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{8}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $2 [\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8}] = 2(1) = 2$.

(D) दी गई व्यंजक: $E = \frac{3 + \cot 76^{\circ} \cot 16^{\circ}}{\cot 76^{\circ} + \cot 16^{\circ}}$
$\sin$ और $\cos$ में बदलने पर: $E = \frac{3 + \frac{\cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}}{\sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}}}{\frac{\cos 76^{\circ}}{\sin 76^{\circ}} + \frac{\cos 16^{\circ}}{\sin 16^{\circ}}} = \frac{3 \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}}{\cos 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \sin 76^{\circ} \cos 16^{\circ}}$
$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
अंश: $2 \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + (\sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}) = 2 \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \cos(76^{\circ} - 16^{\circ}) = 2 \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \cos 60^{\circ} = 2 \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} + \frac{1}{2}$
हर: $\sin(76^{\circ} + 16^{\circ}) = \sin 92^{\circ}$
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\cos(76^{\circ}-16^{\circ}) - \cos(76^{\circ}+16^{\circ}) + \frac{1}{2}}{\sin 92^{\circ}} = \frac{\cos 60^{\circ} - \cos 92^{\circ} + \frac{1}{2}}{\sin 92^{\circ}} = \frac{\frac{1}{2} - \cos 92^{\circ} + \frac{1}{2}}{\sin 92^{\circ}} = \frac{1 - \cos 92^{\circ}}{\sin 92^{\circ}}$
अर्ध-कोण सूत्रों $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ और $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{2 \sin^2 46^{\circ}}{2 \sin 46^{\circ} \cos 46^{\circ}} = \tan 46^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 46^{\circ}) = \cot 44^{\circ}$

(B) दिया गया व्यंजक: $5 \cos \theta + 3 \cos \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) - 1$
सर्वसमिका $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= 5 \cos \theta + 3 \left( \cos \theta \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{3} \right) - 1$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$= 5 \cos \theta + 3 \left( \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \right) - 1$
$= 5 \cos \theta + \frac{3}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta - 1$
$= \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta - 1$
यह व्यंजक $a \cos \theta + b \sin \theta + c$ के रूप में है,जहाँ अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2} + c$ होता है।
यहाँ,$a = \frac{13}{2}$,$b = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$,और $c = -1$ है।
अधिकतम मान $= \sqrt{\left( \frac{13}{2} \right)^2 + \left( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2} - 1$
$= \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} - 1$
$= \sqrt{\frac{196}{4}} - 1$
$= \sqrt{49} - 1 = 7 - 1 = 6$.

(C) दिया गया है कि $A + B + C = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$ है।
अतः,$A + B = 90^\circ - C$ है।
दोनों पक्षों में टेंजेंट (tangent) लेने पर:
$\tan(A + B) = \tan(90^\circ - C)$
सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ और $\tan(90^\circ - C) = \cot C = \frac{1}{\tan C}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{1}{\tan C}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$\tan C(\tan A + \tan B) = 1 - \tan A \tan B$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$\tan C \tan A + \tan C \tan B = 1 - \tan A \tan B$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1$.

(D) हम जानते हैं कि $1 \text{ रेडियन} \approx 57.296^\circ$ होता है।
$\sin(1 \text{ rad}) = \sin(57.296^\circ)$
$\sin(2 \text{ rad}) = \sin(114.592^\circ) = \sin(180^\circ - 114.592^\circ) = \sin(65.408^\circ)$
$\sin(3 \text{ rad}) = \sin(171.887^\circ) = \sin(180^\circ - 171.887^\circ) = \sin(8.113^\circ)$
चूंकि फलन $y = \sin x$ अंतराल $[0, \pi/2]$ में वर्धमान है,इसलिए हम प्रथम चतुर्थांश में कोणों की तुलना करते हैं:
$8.113^\circ < 57.296^\circ < 65.408^\circ$
अतः,$\sin(8.113^\circ) < \sin(57.296^\circ) < \sin(65.408^\circ)$।
इस प्रकार,$\sin 3 < \sin 1 < \sin 2$।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$,$\sin^2 x + a \sin x + b = 0$ के मूल हैं,अतः $\sin \alpha + \sin \beta = -a$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\cos^2 x + c \cos x + d = 0$ के लिए,$\cos \alpha + \cos \beta = -c$ प्राप्त होता है।
योग को गुणनफल में बदलने वाले सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = -a$ .....$(1)$
$2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = -c$ .....$(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से भाग देने पर:
$\frac{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}} = \frac{-a}{-c} \Rightarrow \tan \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{a}{c}$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \alpha + \beta$:
$\sin(\alpha + \beta) = \frac{2(a/c)}{1 + (a/c)^2} = \frac{2a/c}{(c^2 + a^2)/c^2} = \frac{2ac}{a^2 + c^2}$.

(B) दिया गया है कि $\tan A$ और $\tan B$ द्विघात समीकरण $3x^2 - 10x - 25 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,$\tan A + \tan B = \frac{10}{3}$ और $\tan A \tan B = -\frac{25}{3}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{10/3}{1 - (-25/3)} = \frac{10/3}{28/3} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$ है।
अब,व्यंजक $E = 3 \sin^2 (A + B) - 10 \sin (A + B) \cos (A + B) - 25 \cos^2 (A + B)$ है।
पूरे व्यंजक को $\cos^2 (A + B)$ से विभाजित करने पर,हमें $E = \cos^2 (A + B) [3 \tan^2 (A + B) - 10 \tan (A + B) - 25]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan (A + B) = \frac{5}{14}$,कोष्ठक के अंदर का पद $3(\frac{5}{14})^2 - 10(\frac{5}{14}) - 25 = 3(\frac{25}{196}) - \frac{50}{14} - 25 = \frac{75}{196} - \frac{700}{196} - \frac{4900}{196} = \frac{-5525}{196}$ है।
साथ ही,$\cos^2 (A + B) = \frac{1}{1 + \tan^2 (A + B)} = \frac{1}{1 + (5/14)^2} = \frac{1}{1 + 25/196} = \frac{196}{221}$ है।
अतः,$E = \frac{196}{221} \times \frac{-5525}{196} = -\frac{5525}{221} = -25$।

(A) कथन $p$ के लिए: हम जानते हैं कि $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $2 \sin 120^\circ = \sqrt{3}$।
दाएँ पक्ष में $\theta = 240^\circ$ रखने पर: $\sqrt{1 + \sin 240^\circ} - \sqrt{1 - \sin 240^\circ} = \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} - \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}$।
चूंकि $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \pm 1}{\sqrt{2}}$,यह पद $\frac{\sqrt{3}-1}{2} - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = -1 \neq \sqrt{3}$ हो जाता है। अतः,कथन $p$ असत्य है।
कथन $q$ के लिए: किसी भी चतुर्भुज $ABCD$ में,$A + B + C + D = 360^\circ = 2\pi$। इसलिए,$\frac{A+C}{2} + \frac{B+D}{2} = \pi$। मान लीजिए $\alpha = \frac{A+C}{2}$,तो $\frac{B+D}{2} = \pi - \alpha$। समीकरण $\cos \alpha + \cos(\pi - \alpha) = \cos \alpha - \cos \alpha = 0$ हो जाता है। अतः,कथन $q$ सत्य है।
इसलिए,सत्यता मान $F, T$ हैं।

(A) माना $f(x) = 4 + \frac{1}{2} \sin^2 2x - 2 \cos^4 x$.
$\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x = 4(1 - \cos^2 x) \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 4 + \frac{1}{2} [4(1 - \cos^2 x) \cos^2 x] - 2 \cos^4 x$
$f(x) = 4 + 2 \cos^2 x - 2 \cos^4 x - 2 \cos^4 x$
$f(x) = 4 + 2 \cos^2 x - 4 \cos^4 x$.
माना $t = \cos^2 x$,जहाँ $0 \le t \le 1$.
$f(t) = -4t^2 + 2t + 4$.
यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-4)} = \frac{1}{4}$ पर है।
चूँकि $\frac{1}{4} \in [0, 1]$,अधिकतम मान $M$,$t = \frac{1}{4}$ पर प्राप्त होता है:
$M = f(\frac{1}{4}) = -4(\frac{1}{16}) + 2(\frac{1}{4}) + 4 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 4 = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}$.
न्यूनतम मान $m$,सीमाओं $t=0$ या $t=1$ पर प्राप्त होता है:
$f(0) = 4$.
$f(1) = -4(1)^2 + 2(1) + 4 = 2$.
अतः,$m = 2$.
$M - m = \frac{17}{4} - 2 = \frac{17 - 8}{4} = \frac{9}{4}$.

(B) दिया गया है $A + B = \frac{\pi}{6}$। मान लीजिए $y = \tan A + \tan B$ है।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{y}{1 - \tan A \tan B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,$1 - \tan A \tan B = \sqrt{3}y$,जिसका अर्थ है $\tan A \tan B = 1 - \sqrt{3}y$।
चूंकि $A, B > 0$ और $A+B = \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\tan A$ और $\tan B$ दोनों धनात्मक हैं। समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका के अनुसार:
$\frac{\tan A + \tan B}{2} \ge \sqrt{\tan A \tan B}$
$\frac{y}{2} \ge \sqrt{1 - \sqrt{3}y}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{y^2}{4} \ge 1 - \sqrt{3}y \Rightarrow y^2 + 4\sqrt{3}y - 4 \ge 0$।
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $y^2 + 4\sqrt{3}y - 4 = 0$ को हल करने पर:
$y = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{48 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{64}}{2} = -2\sqrt{3} \pm 4$।
चूंकि $y > 0$,हम $y \ge 4 - 2\sqrt{3}$ लेंगे।
अतः,न्यूनतम मान $4 - 2\sqrt{3}$ है।

(C) दिया गया है कि $f$ एक विषम फलन है,परिभाषा के अनुसार $f(-x) = -f(x)$ होता है।
हमें $x \geq 0$ के लिए $f(x) = 3 \sin x + 4 \cos x$ दिया गया है।
$f\left(-\frac{11\pi}{6}\right)$ ज्ञात करने के लिए,विषम फलन के गुण का उपयोग करते हुए: $f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$.
सबसे पहले,$f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ की गणना करते हैं:
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3 \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) + 4 \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\frac{11\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$,इसलिए:
$\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
$\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}$.
अंत में,$f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\left(-\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}\right) = \frac{3}{2} - 2\sqrt{3}$.

(A) दिया गया है कि $\sec(\theta - \phi)$,$\sec\theta$,और $\sec(\theta + \phi)$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$2 \sec\theta = \sec(\theta - \phi) + \sec(\theta + \phi)$.
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{1}{\cos(\theta - \phi)} + \frac{1}{\cos(\theta + \phi)}$
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{\cos(\theta + \phi) + \cos(\theta - \phi)}{\cos(\theta - \phi) \cos(\theta + \phi)}$
सर्वसमिका $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{2 \cos\theta \cos\phi}{\cos^2\theta - \sin^2\phi}$
$\cos^2\theta - \sin^2\phi = \cos^2\theta \cos\phi$
$\cos^2\theta(1 - \cos\phi) = \sin^2\phi$
$\cos^2\theta(1 - \cos\phi) = 1 - \cos^2\phi = (1 - \cos\phi)(1 + \cos\phi)$
चूंकि $\phi \neq 0$,इसलिए $1 - \cos\phi \neq 0$,अतः हम $(1 - \cos\phi)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\cos^2\theta = 1 + \cos\phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\cos\theta = \pm \sqrt{2} \cos(\frac{\phi}{2})$
इसकी तुलना $\cos\theta = k \cos(\frac{\phi}{2})$ से करने पर,हमें $k = \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई व्यंजक: $\cos 255^o + \sin 195^o$
हम कोणों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\cos 255^o = \cos(270^o - 15^o) = -\sin 15^o$
$\sin 195^o = \sin(180^o + 15^o) = -\sin 15^o$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-\sin 15^o - \sin 15^o = -2 \sin 15^o$
हम जानते हैं कि $\sin 15^o = \sin(45^o - 30^o) = \sin 45^o \cos 30^o - \cos 45^o \sin 30^o = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$
अतः,$-2 \sin 15^o = -2 \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = -\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$

(B) माना व्यंजक $E = 3(\sin \theta - \cos \theta)^4 + 6(\sin \theta + \cos \theta)^2 + 4\sin^6 \theta$ है।
हम जानते हैं कि $(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - \sin 2\theta$ और $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$ होता है।
अतः,$E = 3(1 - \sin 2\theta)^2 + 6(1 + \sin 2\theta) + 4\sin^6 \theta$.
पदों का विस्तार करने पर: $E = 3(1 - 2\sin 2\theta + \sin^2 2\theta) + 6 + 6\sin 2\theta + 4\sin^6 \theta$.
$E = 3 - 6\sin 2\theta + 3\sin^2 2\theta + 6 + 6\sin 2\theta + 4\sin^6 \theta$.
$E = 9 + 3\sin^2 2\theta + 4\sin^6 \theta$.
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $E = 9 + 3(4\sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 4\sin^6 \theta = 9 + 12\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 4\sin^6 \theta$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 9 + 12(1 - \cos^2 \theta)\cos^2 \theta + 4(1 - \cos^2 \theta)^3$.
$E = 9 + 12\cos^2 \theta - 12\cos^4 \theta + 4(1 - 3\cos^2 \theta + 3\cos^4 \theta - \cos^6 \theta)$.
$E = 9 + 12\cos^2 \theta - 12\cos^4 \theta + 4 - 12\cos^2 \theta + 12\cos^4 \theta - 4\cos^6 \theta$.
$E = 13 - 4\cos^6 \theta$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$।
सर्वसमिका $\sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - \cos^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$।
माना $t = \cos^2 2\theta$। तब समीकरण $t^2 - t + 1 = \frac{3}{4}$ हो जाता है,जो सरल होकर $t^2 - t + \frac{1}{4} = 0$ बनता है।
यह $(t - \frac{1}{2})^2 = 0$ है,इसलिए $t = \frac{1}{2}$।
अतः,$\cos^2 2\theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1 = 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0$।
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$4\theta \in (0, 2\pi)$ होगा।
$\cos 4\theta = 0$ का अर्थ है कि $4\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}$।
इन मानों का योग $\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) हम सर्वसमिका $\cos A \cdot \cos 2A \cdot \cos 4A \cdot \dots \cdot \cos 2^{n-1}A = \frac{\sin(2^n A)}{2^n \sin A}$ का उपयोग करेंगे।
माना $A = \frac{\pi}{2^{10}}$. दिया गया व्यंजक $P = \cos \frac{\pi}{2^2} \cdot \cos \frac{\pi}{2^3} \cdot \dots \cdot \cos \frac{\pi}{2^{10}} \cdot \sin \frac{\pi}{2^{10}}$ है।
यहाँ $\frac{\pi}{2^2} = 2^8 \cdot \frac{\pi}{2^{10}}$,$\frac{\pi}{2^3} = 2^7 \cdot \frac{\pi}{2^{10}}$,इत्यादि है।
यह व्यंजक $\cos(2^8 A) \cdot \cos(2^7 A) \cdot \dots \cdot \cos(A) \cdot \sin A$ के बराबर है।
गुणनफल को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\cos A \cdot \cos 2A \cdot \dots \cdot \cos 2^8 A) \cdot \sin A$.
$n=9$ के लिए सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{\sin(2^9 A)}{2^9 \sin A} \cdot \sin A = \frac{\sin(2^9 \cdot \frac{\pi}{2^{10}})}{2^9} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{512} = \frac{1}{512}$.

(A) दिया गया है ${f_k}(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$।
$k=4$ के लिए,${f_4}(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{4}$।
सर्वसमिका $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${f_4}(x) = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$।
$k=6$ के लिए,${f_6}(x) = \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{6}$।
सर्वसमिका $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${f_6}(x) = \frac{1 - 3\sin^2 x \cos^2 x}{6} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$।
अब,${f_4}(x) - {f_6}(x) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$।

(A) माना $f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$.
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{6} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{6} \right)$
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta \right)$
$f(\theta) = \frac{5\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \left( 3 - \frac{5}{2} \right) \cos \theta$
$f(\theta) = \frac{5\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$.
यह व्यंजक $a \sin \theta + b \cos \theta$ के रूप में है,जिसका अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
अधिकतम मान $= \sqrt{\left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2}$
$= \sqrt{\frac{25 \times 3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{75 + 1}{4}} = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19}$.

(C) दिया गया है कि $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ और $-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$ है।
चूंकि $\cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5}$,इसलिए $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{1 - (3/5)^2}}{3/5} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ होगा।
चूंकि $\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$,इसलिए $\tan(\alpha - \beta) = \frac{5/13}{\sqrt{1 - (5/13)^2}} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$ होगा।
अब,$\tan(2\alpha) = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta))$ होगा।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(2\alpha) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{12})} = \frac{\frac{16+5}{12}}{1 - \frac{20}{36}} = \frac{21/12}{16/36} = \frac{21}{12} \cdot \frac{36}{16} = \frac{21 \cdot 3}{16} = \frac{63}{16}$।

(B) माना $E = \cos^2 10^\circ - \cos 10^\circ \cos 50^\circ + \cos^2 50^\circ$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [2 \cos^2 10^\circ - 2 \cos 10^\circ \cos 50^\circ + 2 \cos^2 50^\circ]$
सर्वसमिका $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ और $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [(1 + \cos 20^\circ) - (\cos 60^\circ + \cos(-40^\circ)) + (1 + \cos 100^\circ)]$
$E = \frac{1}{2} [1 + \cos 20^\circ - \frac{1}{2} - \cos 40^\circ + 1 + \cos 100^\circ]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^\circ - (\cos 40^\circ - \cos 100^\circ)]$
$\cos C - \cos D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{D-C}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\cos 40^\circ - \cos 100^\circ = 2 \sin(\frac{140^\circ}{2}) \sin(\frac{60^\circ}{2}) = 2 \sin 70^\circ \sin 30^\circ = 2 \sin 70^\circ (\frac{1}{2}) = \sin 70^\circ = \cos 20^\circ$.
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^\circ - \cos 20^\circ] = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

(D) हम सर्वसमिका $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करेंगे।
दी गई अभिव्यक्ति: $E = \sin 10^\circ \sin 30^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $E = \sin 30^\circ [\sin 10^\circ \sin(60^\circ - 10^\circ) \sin(60^\circ + 10^\circ)]$.
$\theta = 10^\circ$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $E = \sin 30^\circ [\frac{1}{4} \sin(3 \times 10^\circ)]$.
चूंकि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए $E = \frac{1}{2} [\frac{1}{4} \sin 30^\circ]$.
पुनः $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ रखने पर: $E = \frac{1}{2} [\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$.

(B) यह व्यंजक $y = a\,sin\,x + b\,cos\,x$ के रूप में है।
इस व्यंजक का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अतः,अधिकतम मान $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(k+1) \tan^2 x - (\sqrt{2} \lambda) \tan x + (k-1) = 0$ है।
मान लीजिए $t = \tan x$ है। द्विघात समीकरण $(k+1)t^2 - (\sqrt{2} \lambda)t + (k-1) = 0$ के मूल $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}$ और मूलों का गुणनफल $\tan \alpha \tan \beta = \frac{k-1}{k+1}$ है।
टैंजेंट के योग सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ है।
मान रखने पर,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}}{1 - \frac{k-1}{k+1}} = \frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1 - k + 1} = \frac{\sqrt{2} \lambda}{2} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\tan^2(\alpha + \beta) = 50$,इसलिए $\left(\frac{\lambda}{\sqrt{2}}\right)^2 = 50$ है।
$\frac{\lambda^2}{2} = 50 \Rightarrow \lambda^2 = 100 \Rightarrow \lambda = \pm 10$ है।
अतः,$\lambda$ का एक संभावित मान $10$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{1+\cos 2 \alpha}} = \frac{1}{7}$।
सर्वसमिका $1+\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha$ का उपयोग करने पर,$\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2 \cos^2 \alpha}} = \frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = \tan \alpha = \frac{1}{7}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\sqrt{\frac{1-\cos 2 \beta}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
सर्वसमिका $1-\cos 2 \beta = 2 \sin^2 \beta$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{\frac{2 \sin^2 \beta}{2}} = \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$,इसलिए $\cos \beta = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$,अतः $\tan \beta = \frac{1}{3}$ होगा।
अब,$\tan 2 \beta = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} = \frac{2(1/3)}{1 - (1/9)} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{3}{4}$।
अंत में,$\tan (\alpha + 2 \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan 2 \beta}{1 - \tan \alpha \tan 2 \beta} = \frac{1/7 + 3/4}{1 - (1/7)(3/4)} = \frac{(4+21)/28}{(28-3)/28} = \frac{25}{25} = 1$।