x = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + dots inft | vedclass

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Question

(C) दी गई अभिव्यक्ति एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $x = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots \infty$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1$ औ

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$2 \sin 18^\circ$

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(C) दी गई अभिव्यक्ति एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $x = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots \infty$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -x$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|r| मान रखने पर,हमें $x = \frac{1}{1 - (-x)} = \frac{1}{1 + x}$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $x(1 + x) = 1$,अर्थात $x^2 + x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।श्रेणी के अभिसारी होने के लिए $|-x| मान $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618$ को अस्वीकार कर दिया जाता है क्योंकि यह $-1$ से छोटा है।अतः,$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ है।हम जानते हैं कि $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ होता है।इसलिए,$x = 2 \sin 18^\circ$।

$x = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots \infty$ संबंध को संतुष्ट करने वाला $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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