Time and Distances Questions in Gujarati

(D) ધારો કે મુસાફરીનું કુલ અંતર $2d$ છે.
પ્રથમ અડધું અંતર $(d)$ $30 \text{ km/h}$ ની ઝડપે કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{30}$ છે.
બીજું અડધું અંતર $(d)$ $20 \text{ km/h}$ ની ઝડપે કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{20}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{30} + \frac{d}{20}}$.
છેદમાંથી $d$ સામાન્ય લેતા:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2}{\frac{1}{30} + \frac{1}{20}} = \frac{2}{\frac{2+3}{60}} = \frac{2 \times 60}{5} = \frac{120}{5} = 24 \text{ km/h}$.
ગણતરી કરેલ સરેરાશ ઝડપ $24 \text{ km/h}$ છે,જે આપેલા વિકલ્પો $25, 28, 32$ માં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે કાપેલું અંતર $d$ છે.
બસ દ્વારા મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય,$t_1 = \frac{d}{16}$.
સાયકલ દ્વારા પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય,$t_2 = \frac{d}{9}$.
કુલ કાપેલું અંતર = $d + d = 2d$.
કુલ લાગતો સમય = $t_1 + t_2 = \frac{d}{16} + \frac{d}{9} = \frac{9d + 16d}{144} = \frac{25d}{144}$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{\frac{25d}{144}} = \frac{2 \times 144}{25} = \frac{288}{25} = 11.52 \text{ km/h}$.
વૈકલ્પિક રીતે,જ્યારે અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2s_1s_2}{s_1 + s_2} = \frac{2 \times 16 \times 9}{16 + 9} = \frac{288}{25} = 11.52 \text{ km/h}$.

(C) ધારો કે $A$ થી $B$ સુધીની કારની ઝડપ $v_1 = 64 \, km/h$ છે અને $B$ થી $A$ સુધીની પરત ફરવાની ઝડપ $v_2 = x \, km/h$ છે.
આખી મુસાફરી માટે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $v_{avg} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{avg} = 56 \, km/h$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$56 = \frac{2 \times 64 \times x}{64 + x}$
બંને બાજુને $8$ વડે ભાગતા:
$7 = \frac{2 \times 8 \times x}{64 + x} = \frac{16x}{64 + x}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$7(64 + x) = 16x$
$448 + 7x = 16x$
$16x - 7x = 448$
$9x = 448$
$x = \frac{448}{9} \approx 49.78 \, km/h$.
આમ,પરત ફરવાની ઝડપ $49.78 \, km/h$ છે.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d \text{ km}$ છે.
$A$ થી $B$ સુધીની મુસાફરી માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{10} \text{ કલાક}$ છે.
$B$ થી $A$ સુધીની પરત મુસાફરી માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{8} \text{ કલાક}$ છે.
કુલ લાગતો સમય $t_1 + t_2 = 4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \text{ કલાક}$ છે.
તેથી,$\frac{d}{10} + \frac{d}{8} = \frac{9}{2}$.
$10$ અને $8$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $40$ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{4d + 5d}{40} = \frac{9}{2}$.
$\frac{9d}{40} = \frac{9}{2}$.
$d = \frac{9}{2} \times \frac{40}{9} = 20 \text{ km}$.
સમગ્ર મુસાફરી દરમિયાન કાપેલું કુલ અંતર એ આવવા અને જવાનું અંતરનો સરવાળો છે,જે $d + d = 2d$ થાય.
કુલ અંતર $= 2 \times 20 = 40 \text{ km}$.

(C) જ્યારે બે અલગ-અલગ ઝડપ માટે કાપેલું અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\text{Average Speed} = \frac{2s_1s_2}{s_1 + s_2}$ છે.
અહીં,$s_1 = 64 \text{ km/h}$ અને $s_2 = 80 \text{ km/h}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{Average Speed} = \frac{2 \times 64 \times 80}{64 + 80}$
$\text{Average Speed} = \frac{10240}{144}$
$\text{Average Speed} = 71.11 \text{ km/h}$.

(D) ધારો કે મુસાફરીનું કુલ અંતર $D\, km$ છે.
પ્રથમ અડધું અંતર $(D/2)$ $50\, km/h$ ની ઝડપે કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{D/2}{50} = \frac{D}{100}\, hours$ છે.
બાકીનું અડધું અંતર $(D/2)$ $70\, km/h$ ની ઝડપે કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{D/2}{70} = \frac{D}{140}\, hours$ છે.
કુલ સમય $t_1 + t_2 = 6\, hours$ છે.
તેથી,$\frac{D}{100} + \frac{D}{140} = 6$.
$100$ અને $140$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $700$ લેતા:
$\frac{7D + 5D}{700} = 6$
$\frac{12D}{700} = 6$
$12D = 4200$
$D = \frac{4200}{12} = 350\, km$.
આમ,સાચો જવાબ $350\, km$ છે,જે વિકલ્પોમાં આપેલ નથી. તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે રાકેશની ઝડપ $v_1$ છે અને સુરેશની ઝડપ $v_2$ છે.
તેઓ એકબીજાને મળ્યા પછી લીધેલ સમય $T_1 = 9$ કલાક અને $T_2 = 16$ કલાક છે.
જ્યારે બે વ્યક્તિઓ એકબીજાને મળે અને ત્યારબાદ મુસાફરી પૂર્ણ કરવા માટે $T_1$ અને $T_2$ સમય લે,ત્યારે તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{16}{v_2} = \sqrt{\frac{16}{9}}$.
$\frac{16}{v_2} = \frac{4}{3}$.
$4 \times v_2 = 16 \times 3$.
$4 \times v_2 = 48$.
$v_2 = 12 \, \text{km/h}$.
આમ,સુરેશની ઝડપ $12 \, \text{km/h}$ છે.

(C) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલો સમય.
કુલ અંતર $= 225 \ km + 370 \ km = 595 \ km$.
કુલ સમય $= 3.5 \ \text{કલાક} + 5 \ \text{કલાક} = 8.5 \ \text{કલાક}$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{595}{8.5} \ km/h$.
સરેરાશ ઝડપ $= 70 \ km/h$.

(B) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલો સમય.
કુલ અંતર $D = 6 + 8 + 32 = 46 \, km$.
ચાલવા માટે લીધેલો સમય $t_1 = \frac{6}{1.5} = 4 \, \text{કલાક}$.
દોડવા માટે લીધેલો સમય $t_2 = \frac{8}{2} = 4 \, \text{કલાક}$.
બસ દ્વારા મુસાફરી માટે લીધેલો સમય $t_3 = \frac{32}{8} = 4 \, \text{કલાક}$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 + t_3 = 4 + 4 + 4 = 12 \, \text{કલાક}$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{D}{T} = \frac{46}{12} = \frac{23}{6} = 3 \frac{5}{6} \, km/h$.

(D) સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ છે.
પ્રથમ,બધા સમયના અંતરાલોને કલાકમાં ફેરવો:
$T_1 = 30 \text{ મિનિટ} = 0.5 \text{ કલાક}$
$T_2 = 45 \text{ મિનિટ} = 0.75 \text{ કલાક}$
$T_3 = 2 \text{ કલાક}$
હવે,દરેક અંતરાલમાં કાપેલું અંતર શોધો $(D = \text{ઝડપ} \times \text{સમય})$:
$D_1 = 40 \times 0.5 = 20 \text{ km}$
$D_2 = 60 \times 0.75 = 45 \text{ km}$
$D_3 = 70 \times 2 = 140 \text{ km}$
કુલ અંતર $= 20 + 45 + 140 = 205 \text{ km}$
કુલ સમય $= 0.5 + 0.75 + 2 = 3.25 \text{ કલાક}$
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{205}{3.25} \approx 63.07 \text{ km/h}$.
આથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) ધારો કે સામાન્ય ઝડપ $S$ છે અને સામાન્ય સમય $T$ છે.
અંતર અચળ હોવાથી,$D = S \times T$.
જ્યારે ઝડપ $\frac{3}{4}S$ થાય છે,ત્યારે નવો સમય $T + 20$ લાગે છે.
તેથી,$S \times T = \frac{3}{4}S \times (T + 20)$.
બંને બાજુ $S$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $T = \frac{3}{4}(T + 20)$.
$4T = 3T + 60$.
$T = 60 \text{ મિનિટ}$.
તેથી,સામાન્ય સમય $60 \text{ મિનિટ}$ છે.

(A) ધારો કે અંતર $d \, km$ છે.
પ્રથમ માણસ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= \frac{d}{4} \, \text{કલાક}$.
બીજા માણસ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= \frac{d}{3} \, \text{કલાક}$.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ માણસ બીજા માણસ કરતા અડધો કલાક $(0.5 \, \text{કલાક})$ વહેલો પહોંચે છે.
તેથી,$\frac{d}{3} - \frac{d}{4} = 0.5$.
લસાઅ લેતા,$\frac{4d - 3d}{12} = 0.5$.
$\frac{d}{12} = 0.5$.
$d = 0.5 \times 12 = 6 \, km$.
આમ,અંતર $6 \, km$ છે.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d \, km$ છે.
પ્રથમ કાર દ્વારા $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{20} \, \text{કલાક}$ છે.
બીજી કાર દ્વારા $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{30} \, \text{કલાક}$ છે.
બીજી કાર $1.5 \, \text{કલાક}$ મોડી શરૂ થાય છે અને $2.5 \, \text{કલાક}$ વહેલી પહોંચે છે,તેથી સમયનો તફાવત $t_1 - t_2 = 1.5 + 2.5 = 4 \, \text{કલાક}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{d}{20} - \frac{d}{30} = 4$.
$20$ અને $30$ નો લસાઅ $60$ લેતા: $\frac{3d - 2d}{60} = 4$.
$\frac{d}{60} = 4$.
$d = 240 \, km$.
આમ,$A$ થી $B$ વચ્ચેનું અંતર $240 \, km$ છે.

(D) ધારો કે તિલક નગર અને મોતી નગર વચ્ચેનું અંતર $d \, km$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કુલ સમય $T_1 = \frac{d}{3.5} + \frac{d}{3.5} = \frac{2d}{3.5} = \frac{4d}{7} \, hours$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,કુલ સમય $T_2 = \frac{d}{3} + \frac{d}{4} = \frac{4d + 3d}{12} = \frac{7d}{12} \, hours$ છે.
આપેલ છે કે સમયનો તફાવત $10 \, minutes = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \, hours$ છે.
તેથી,$T_2 - T_1 = \frac{1}{6}$.
$\frac{7d}{12} - \frac{4d}{7} = \frac{1}{6}$.
$12$ અને $7$ નો લસાઅ $84$ લેતા:
$\frac{49d - 48d}{84} = \frac{1}{6}$.
$\frac{d}{84} = \frac{1}{6}$.
$d = \frac{84}{6} = 14 \, km$.
અહીં $14 \, km$ વિકલ્પોમાં આપેલ નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ (આમાંથી કોઈ નહીં) છે.

(B) ધારો કે ટ્રેનની મૂળ ઝડપ $s \, \text{km/h}$ છે.
આ ઝડપે લીધેલ સમય $T_1 = 8 \, \text{કલાક}$ છે.
કાપેલું અંતર $D = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 8s$ થાય.
જો ઝડપમાં $5 \, \text{km/h}$ નો વધારો કરવામાં આવે, તો નવી ઝડપ $(s + 5) \, \text{km/h}$ થાય.
નવો લીધેલ સમય $6 \, \text{કલાક} \, 40 \, \text{મિનિટ} = 6 + \frac{40}{60} = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \, \text{કલાક}$ છે.
અંતર સમાન હોવાથી, આપણે અંતર માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$8s = (s + 5) \times \frac{20}{3}$
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા:
$24s = 20(s + 5)$
$24s = 20s + 100$
$4s = 100$
$s = 25 \, \text{km/h}$.
આમ, ટ્રેનની સૌથી ઓછી ઝડપ $25 \, \text{km/h}$ છે.

(C) ધારો કે રોકાણ વગરની ઝડપ $s_{1} = 42 \, km/h$ છે અને રોકાણ સાથેની ઝડપ $s_{2} = 28 \, km/h$ છે.
દર કલાકે રોકાણનો સમય શોધવાનું સૂત્ર: $\text{રોકાણનો સમય} = \frac{s_{1} - s_{2}}{s_{1}} \times 60 \, \text{મિનિટ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{રોકાણનો સમય} = \frac{42 - 28}{42} \times 60 \, \text{મિનિટ}$.
$= \frac{14}{42} \times 60 \, \text{મિનિટ}$.
$= \frac{1}{3} \times 60 \, \text{મિનિટ} = 20 \, \text{મિનિટ}$.
તેથી, વ્યક્તિ દર કલાકે $20 \, \text{મિનિટ}$ રોકાય છે.

(B) સૌ પ્રથમ,ટ્રેનની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
ઝડપ $= 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \, m/s$.
ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $L \, m$ છે.
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મ પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો હોય છે.
અંતર $= L + 130 \, m$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
$L + 130 = \frac{50}{3} \times 15$.
$L + 130 = 50 \times 5$.
$L + 130 = 250$.
$L = 250 - 130 = 120 \, m$.

(A) ટ્રેનની ઝડપ $54 \, km/h$ આપેલી છે.
ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{ઝડપ} = 54 \times \frac{5}{18} = 3 \times 5 = 15 \, m/s$.
ટેલિગ્રાફ પોસ્ટને પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $9 \, \text{સેકન્ડ}$ છે.
જ્યારે ટ્રેન કોઈ સ્થિર બિંદુ (ટેલિગ્રાફ પોસ્ટ) ને પસાર કરે છે,ત્યારે તે પોતાની લંબાઈ જેટલું અંતર કાપે છે,તેથી ટ્રેનની લંબાઈ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{લંબાઈ} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$
$\text{લંબાઈ} = 15 \, m/s \times 9 \, s = 135 \, m$.
આમ,ટ્રેનની લંબાઈ $135 \, \text{મીટર}$ છે.

(B) ટેલિગ્રાફના થાંભલાને પસાર કરવા માટે,ટ્રેને પોતાની લંબાઈ જેટલું અંતર કાપવું પડે.
આપેલ છે:
ટ્રેનની લંબાઈ $(L)$ = $135\, m$
ટ્રેનની ઝડપ $(v)$ = $54\, km/h$
સૌ પ્રથમ,ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$v = 54 \times \frac{5}{18} = 3 \times 5 = 15\, m/s$
લાગતો સમય $(t)$ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{L}{v}$
$t = \frac{135}{15} = 9\, seconds$
તેથી,ટ્રેન ટેલિગ્રાફના થાંભલાને $9\, seconds$ માં પસાર કરશે.

(C) ટ્રેનની ઝડપ ટ્રેનની લંબાઈને માણસને પસાર કરવા માટે લીધેલા સમય વડે ભાગીને ગણવામાં આવે છે.
ઝડપ $= \frac{\text{ટ્રેનની લંબાઈ}}{\text{લીધેલ સમય}}$
ઝડપ $= \frac{160 \ m}{18 \ s} = \frac{80}{9} \ m/s$.
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/h$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણો.
ઝડપ ($km/h$ માં) $= \frac{80}{9} \times \frac{18}{5} \ km/h$.
ઝડપ $= 16 \times 2 = 32 \ km/h$.

(A) પ્લેટફોર્મને પસાર કરવા માટે,ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે.
કુલ અંતર $= 280\,m + 220\,m = 500\,m$.
ટ્રેનની ઝડપ $60\,km/h$ છે. તેને $m/s$ માં ફેરવતા:
ઝડપ $= 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3}\,m/s$.
લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{500}{50/3} = \frac{500 \times 3}{50} = 10 \times 3 = 30\,seconds$.

(B) ટ્રેનની ઝડપ શોધવા માટે,આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
ઝડપ = (કુલ અંતર) / (લીધેલ સમય)
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મ પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે.
કુલ અંતર = $50\, m + 100\, m = 150\, m$.
લીધેલ સમય = $10\, s$.
ઝડપ = $150\, m / 10\, s = 15\, m/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) પ્રથમ ટ્રેનની લંબાઈ,$L_1 = 300 \text{ m}$.
બીજી ટ્રેનની લંબાઈ,$L_2 = 200 \text{ m}$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર,$D = L_1 + L_2 = 300 + 200 = 500 \text{ m}$.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે.
સાપેક્ષ ઝડપ,$S_{rel} = 90 \text{ km/h} + 60 \text{ km/h} = 150 \text{ km/h}$.
સાપેક્ષ ઝડપને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીને $\text{m/s}$ માં ફેરવો:
$S_{rel} = 150 \times \frac{5}{18} = \frac{750}{18} = \frac{125}{3} \text{ m/s}$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય,$T = \frac{D}{S_{rel}} = \frac{500}{125/3} = \frac{500 \times 3}{125} = 4 \times 3 = 12 \text{ સેકન્ડ}$.

(C) ધારો કે દરેક ટ્રેનની ઝડપ $x \, m/s$ છે.
આપેલ છે: દરેક ટ્રેનની લંબાઈ $L_1 = L_2 = 135 \, m$ અને ઝડપ $s_1 = s_2 = x \, m/s$.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $s_1 + s_2 = x + x = 2x \, m/s$ થશે.
એકબીજાને પસાર કરવા માટે કાપેલું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $D = 135 + 135 = 270 \, m$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}}$
$18 = \frac{270}{2x}$
$2x = \frac{270}{18} = 15 \, m/s$
$x = 7.5 \, m/s$.
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/h$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણાકાર કરો:
$\text{ઝડપ} = 7.5 \times \frac{18}{5} = 1.5 \times 18 = 27 \, km/h$.

(C) ટ્રેનની લંબાઈ $L = 150 \, m$ છે.
ટ્રેનની ઝડપ $v_t = 95 \, km/h$ છે.
માણસની ઝડપ $v_m = 5 \, km/h$ છે.
બંને એક જ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = v_t - v_m = 95 - 5 = 90 \, km/h$ થશે.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવતા: $v_{rel} = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \, m/s$.
માણસને પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{150}{25} = 6 \, seconds$ થાય.

(B) ટ્રેનની લંબાઈ $(L_1)$ = $100 \, m$.
માણસની ઝડપ $(s_2)$ = $6 \, km/h$.
લીધેલ સમય $(t)$ = $3 \frac{3}{5} \, s = \frac{18}{5} \, s$.
ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
ટ્રેન અને માણસ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $(x + 6) \, km/h$ થશે.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવતા: $(x + 6) \times \frac{5}{18} \, m/s$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}}$.
$\frac{18}{5} = \frac{100}{(x + 6) \times \frac{5}{18}}$.
$\frac{18}{5} = \frac{100 \times 18}{(x + 6) \times 5}$.
$18 = \frac{100 \times 18}{x + 6}$.
$1 = \frac{100}{x + 6}$.
$x + 6 = 100$.
$x = 94 \, km/h$.

(C) એક જ દિશામાં ગતિ કરતી બે ટ્રેનોની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની ઝડપનો તફાવત છે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= (50 - 30) \, km/h = 20 \, km/h$.
ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણાકાર કરો.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 20 \times \frac{5}{18} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9} \, m/s$.
ઝડપી ટ્રેન ધીમી ટ્રેનમાં બેઠેલા માણસને ઓળંગે છે,જેનો અર્થ છે કે કાપેલું અંતર એ ઝડપી ટ્રેનની લંબાઈ જેટલું છે.
અંતર $= \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય}$.
અંતર $= \frac{50}{9} \, m/s \times 18 \, s = 50 \times 2 = 100 \, m$.
તેથી,ઝડપી ટ્રેનની લંબાઈ $100 \, m$ છે.

(A) ધારો કે બે ટ્રેનોની ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ $(v_1 > v_2)$ $m/s$ માં છે.
ટ્રેનોની કુલ લંબાઈ $L = 130 + 110 = 240 \,m$ છે.
જ્યારે સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(v_1 - v_2)$ થાય છે. લાગતો સમય $60 \,s$ છે.
$v_1 - v_2 = \frac{240}{60} = 4 \,m/s$ --- (સમીકરણ $1$)
જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(v_1 + v_2)$ થાય છે. લાગતો સમય $3 \,s$ છે.
$v_1 + v_2 = \frac{240}{3} = 80 \,m/s$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$2v_1 = 84 \implies v_1 = 42 \,m/s$.
સમીકરણ $2$ માંથી $1$ બાદ કરતા:
$2v_2 = 76 \implies v_2 = 38 \,m/s$.
આમ,ટ્રેનોની ઝડપ $42 \,m/s$ અને $38 \,m/s$ છે.

(C) ધારો કે ઝડપી ટ્રેનની ઝડપ $v_1$ છે અને ધીમી ટ્રેનની ઝડપ $v_2$ છે ($m/s$ માં).
બંને ટ્રેનોની કુલ લંબાઈ $= 90 + 90 = 180\, m$.
જ્યારે એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $= v_1 - v_2$.
લીધેલ સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} \implies 18 = \frac{180}{v_1 - v_2} \implies v_1 - v_2 = 10\, (i)$.
જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $= v_1 + v_2$.
લીધેલ સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} \implies 9 = \frac{180}{v_1 + v_2} \implies v_1 + v_2 = 20\, (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2v_1 = 30 \implies v_1 = 15\, m/s$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$2v_2 = 10 \implies v_2 = 5\, m/s$.
આમ,ટ્રેનોની ઝડપ $15\, m/s$ અને $5\, m/s$ છે.

$(A)$ બીજી ટ્રેન શરૂ થાય તે પહેલાં પ્રથમ ટ્રેન $1.5$ કલાક ($1 \frac{1}{2}$ કલાક) મુસાફરી કરે છે.
પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા $1.5$ કલાકમાં કાપેલું અંતર $= 60 \times 1.5 = 90 \, km$.
પ્રથમ ટ્રેનની સાપેક્ષમાં બીજી ટ્રેનની સાપેક્ષ ઝડપ $= 75 - 60 = 15 \, km/h$.
બીજી ટ્રેનને પ્રથમ ટ્રેનને પકડવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{90}{15} = 6$ કલાક.
મળવાનો સમય $= 6.30 \, am + 6$ કલાક $= 12.30 \, pm$.
સ્ટેશનથી અંતર $= 75 \, km/h \times 6$ કલાક $= 450 \, km$.

(D) $1$. સ્ટેશન $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $100 \, km$ છે.
$2$. $A$ થી ટ્રેન સવારે $7$ વાગ્યે $20 \, km/h$ ની ઝડપે નીકળે છે. સવારે $8$ વાગ્યા સુધીમાં,તેણે $1$ કલાક મુસાફરી કરી હશે,એટલે કે $20 \, km \times 1 \, h = 20 \, km$ અંતર કાપ્યું હશે.
$3$. સવારે $8$ વાગ્યે,બંને ટ્રેન વચ્ચેનું બાકી રહેલું અંતર $100 \, km - 20 \, km = 80 \, km$ છે.
$4$. બંને ટ્રેન એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $20 \, km/h + 25 \, km/h = 45 \, km/h$ થશે.
$5$. સવારે $8$ વાગ્યા પછી મળવા માટે લાગતો સમય = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{80}{45} = \frac{16}{9}$ કલાક = $1$ કલાક $46$ મિનિટ $40$ સેકન્ડ.
$6$. તેથી,મળવાનો સમય સવારે $8:00 + 1$ કલાક $46$ મિનિટ $40$ સેકન્ડ = $9:46:40 \, am$ થશે.
$7$. આ સમય વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) $1$. પ્રથમ ટ્રેન સવારે $9$ વાગ્યે શરૂ થાય છે અને બીજી ટ્રેન સવારે $11$ વાગ્યે શરૂ થાય ત્યાં સુધી $2$ કલાક મુસાફરી કરે છે.
$2$. પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા $2$ કલાકમાં કાપેલું અંતર $= 50\, km/h \times 2\, h = 100\, km$.
$3$. સવારે $11$ વાગ્યે બંને ટ્રેન વચ્ચેનું બાકી રહેલું અંતર $= 210\, km - 100\, km = 110\, km$.
$4$. ટ્રેનો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $= 50\, km/h + 60\, km/h = 110\, km/h$.
$5$. સવારે $11$ વાગ્યા પછી મળવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{બાકી રહેલું અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{110\, km}{110\, km/h} = 1\, \text{કલાક}$.
$6$. ટ્રેનો બપોરે $12$ વાગ્યે મળશે.
$7$. સ્ટેશન $A$ થી મળવાના બિંદુ સુધીનું કુલ અંતર = (પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા $2$ કલાકમાં કાપેલું અંતર) + ($11$ વાગ્યા પછી $1$ કલાકમાં પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર) = $100\, km + (50\, km/h \times 1\, h) = 150\, km$.

(B) ધારો કે ટ્રેનોને મળવા માટે લાગતો સમય $t$ કલાક છે。
પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર $(d_1)$ = $60t$.
બીજી ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર $(d_2)$ = $40t$.
પ્રશ્ન મુજબ, અંતરનો તફાવત $20\, km$ છે:
$60t - 40t = 20$
$20t = 20$
$t = 1\, \text{કલાક}$.
મુંબઈ અને પુણે વચ્ચેનું કુલ અંતર બંને ટ્રેનો દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરનો સરવાળો છે:
કુલ અંતર = $d_1 + d_2 = 60t + 40t = 100t$.
$t = 1$ મૂકતા, આપણને મળે છે:
કુલ અંતર = $100 \times 1 = 100\, km$.

(B) કુલ કાપેલું અંતર $3 + 3 + 3 + 3 = 12 \, km$ છે.
દરેક અંતર માટે લાગતો સમય $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
સમય $t_1 = \frac{3}{10} \, h$,$t_2 = \frac{3}{20} \, h$,$t_3 = \frac{3}{30} \, h$,અને $t_4 = \frac{3}{60} \, h$.
કુલ સમય $T = \frac{3}{10} + \frac{3}{20} + \frac{3}{30} + \frac{3}{60} = \frac{18 + 9 + 6 + 3}{60} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} \, h$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{12}{3/5} = \frac{12 \times 5}{3} = 20 \, km/h$.

(D) ધારો કે $P$ થી $R$ નું અંતર $x \text{ km}$ છે.
બંને વ્યક્તિઓ એક જ સમયે શરૂઆત કરે છે અને $R$ પર મળે છે,તેથી $A$ ને $R$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ $B$ ને $Q$ સુધી પહોંચવા અને ત્યાંથી પાછા $R$ સુધી આવવા માટે લાગતા સમય જેટલો જ હોય.
$A$ દ્વારા $x \text{ km}$ અંતર $3 \text{ km/h}$ ની ઝડપે કાપતા લાગતો સમય $t_A = \frac{x}{3} \text{ કલાક}$ છે.
$B$ દ્વારા $PQ = 21 \text{ km}$ અને ત્યારબાદ $QR = (21 - x) \text{ km}$ અંતર $4 \text{ km/h}$ ની ઝડપે કાપતા લાગતો સમય $t_B = \frac{21 + (21 - x)}{4} = \frac{42 - x}{4} \text{ કલાક}$ છે.
સમયને સરખાવતા: $\frac{x}{3} = \frac{42 - x}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4x = 3(42 - x)$.
$4x = 126 - 3x$.
$7x = 126$.
$x = \frac{126}{7} = 18 \text{ km}$.

(A) ધારો કે છોકરાની ઝડપ $v_b$ છે અને કારની ઝડપ $v_c$ છે.
કારણ કે બંને માટે લીધેલ સમય $t$ સમાન છે,આપણે સૂત્ર $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
આપેલ છે કે લીધેલ સમય સમાન છે:
$\frac{12}{v_b} = \frac{36}{v_c}$
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_b}{v_c}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{v_b}{v_c} = \frac{12}{36}$
$\frac{v_b}{v_c} = \frac{1}{3}$
તેથી,છોકરા અને કારની ઝડપનો ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(B) ધારો કે $A$ થી $B$ સુધીની ઝડપ $v_1 = 64 \text{ km/h}$ છે અને $B$ થી $A$ સુધીની પરત ફરવાની ઝડપ $v_2 = x \text{ km/h}$ છે.
જ્યારે મુસાફરીના બંને ભાગ માટે અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$
આપેલ છે કે સરેરાશ ઝડપ $56 \text{ km/h}$ છે,તેથી:
$56 = \frac{2 \times 64 \times x}{64 + x}$
બંને બાજુ $(64 + x)$ વડે ગુણતા:
$56(64 + x) = 128x$
$3584 + 56x = 128x$
બંને બાજુથી $56x$ બાદ કરતા:
$3584 = 128x - 56x$
$3584 = 72x$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{3584}{72} \approx 49.77 \text{ km/h}$

(B) થોભ્યા વગર બસની ઝડપ $54 \, km/h$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બસ $60$ મિનિટમાં $54 \, km$ અંતર કાપે છે.
થોભવા સાથે બસની ઝડપ $45 \, km/h$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બસ $60$ મિનિટમાં $45 \, km$ અંતર કાપે છે.
એક કલાકમાં થોભવાને કારણે કપાયેલું ઓછું અંતર $54 \, km - 45 \, km = 9 \, km$ છે.
મૂળ ઝડપ $54 \, km/h$ પર આ $9 \, km$ નું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય:
$\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{9 \, km}{54 \, km/h} = \frac{1}{6} \, \text{કલાક}$.
આને મિનિટમાં ફેરવતા: $\frac{1}{6} \times 60 \, \text{મિનિટ} = 10 \, \text{મિનિટ}$.
તેથી, બસ દર કલાકે $10$ મિનિટ માટે થોભે છે.

(A) ધારો કે તેમને મળવા માટે લાગતો સમય $t$ કલાક છે.
સમય $t$ માં,પ્રથમ છોકરો $200t$ લીટીઓ લખે છે.
બીજો છોકરો $150t$ લીટીઓ લખે છે.
બંને દ્વારા લખાયેલી કુલ લીટીઓની સંખ્યા $817$ છે.
તેથી,$200t + 150t = 817$.
$350t = 817$.
$t = \frac{817}{350} \approx 2.334$ કલાક.
પ્રથમ છોકરા દ્વારા લખાયેલી લીટીઓની સંખ્યા $200 \times \frac{817}{350} = \frac{817 \times 4}{7} = \frac{3268}{7} \approx 466.85$ છે.
પ્રથમ છોકરાએ $466$ લીટીઓ પૂર્ણ કરી છે અને તે હાલમાં $467$ મી લીટી પર કામ કરી રહ્યો છે,તેથી તેઓ $467$ મી લીટી પર મળશે.

(A) પુલની લંબાઈ $1 \, km$ છે.
ટ્રેનની લંબાઈ પુલની લંબાઈ કરતાં અડધી છે,એટલે કે $0.5 \, km$ છે.
પુલને સંપૂર્ણપણે પસાર કરવા માટે,ટ્રેને પુલની લંબાઈ અને ટ્રેનની લંબાઈના સરવાળા જેટલું કુલ અંતર કાપવું પડે.
કુલ અંતર $= 1 \, km + 0.5 \, km = 1.5 \, km$.
લાગતો સમય $2 \, minutes$ છે,જે $\frac{2}{60} \, hours = \frac{1}{30} \, hours$ ની બરાબર છે.
ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{1.5 \, km}{1/30 \, h} = 1.5 \times 30 \, km/h = 45 \, km/h$.

(D) કુલ અંતર $= 80 \text{ km}$.
કુલ સમય $= 10 \text{ કલાક}$.
મુસાફરીનો અડધો ભાગ $= 40 \text{ km}$.
પ્રથમ અડધા ભાગ માટે લીધેલ સમય $= \frac{3}{5} \times 10 = 6 \text{ કલાક}$.
બાકી રહેલું અંતર $= 80 - 40 = 40 \text{ km}$.
બાકી રહેલો સમય $= 10 - 6 = 4 \text{ કલાક}$.
બાકી રહેલા અંતર માટે જરૂરી ઝડપ $= \frac{\text{બાકી રહેલું અંતર}}{\text{બાકી રહેલો સમય}} = \frac{40}{4} = 10 \text{ km/h}$.

(A) ધારો કે ચોરસ ખેતરની બાજુ $a \, km$ છે.
અમિત દ્વારા $A$ થી $C$ સુધી સીમા પર કાપેલું અંતર $AB + BC = a + a = 2a$ છે.
લીધેલ સમય $0.5 \, h$ છે અને ઝડપ $8 \, km/h$ છે.
અંતર = $\text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 8 \times 0.5 = 4 \, km$.
તેથી,$2a = 4 \, km$,જે $a = 2 \, km$ આપે છે.
ચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $a^2 = 2^2 = 4 \, km^2$ છે.

(A) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x\, km/h$ છે.
માણસ સમાન દિશામાં ચાલી રહ્યો હોવાથી,સાપેક્ષ ઝડપ $(x - 6)\, km/h$ થશે.
તેને $m/s$ માં ફેરવતા,સાપેક્ષ ઝડપ $(x - 6) \times \frac{5}{18}\, m/s$ થાય.
ટ્રેન પોતાની લંબાઈ $(100\, m)$ $5\, s$ માં કાપે છે:
$(x - 6) \times \frac{5}{18} \times 5 = 100$
$(x - 6) \times \frac{25}{18} = 100$
$x - 6 = 100 \times \frac{18}{25} = 72$
$x = 78\, km/h$.
હવે,ધારો કે કારની ઝડપ $y\, km/h$ છે. સાપેક્ષ ઝડપ $(78 - y)\, km/h$ થશે.
ટ્રેન કારને $6\, s$ માં પસાર કરે છે:
$(78 - y) \times \frac{5}{18} \times 6 = 100$
$(78 - y) \times \frac{5}{3} = 100$
$78 - y = 100 \times \frac{3}{5} = 60$
$y = 78 - 60 = 18\, km/h$.

(A) $1$. મોટરસાઇકલ સવાર દ્વારા મુંબઈથી પુણે જવા માટે લીધેલ સમય: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{192 \, km}{32 \, km/h} = 6 \, \text{કલાક}$.
$2$. કાર મોટરસાઇકલ સવારના $2.5 \, \text{કલાક}$ પછી શરૂ થાય છે અને મોટરસાઇકલ સવાર કરતાં $0.5 \, \text{કલાક}$ વહેલી પહોંચે છે.
$3$. કાર દ્વારા લેવાયેલ કુલ સમય: $6 \, \text{કલાક }- 2.5 \, \text{કલાક }- 0.5 \, \text{કલાક }= 3 \, \text{કલાક}$.
$4$. કારની ઝડપ: $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{192 \, km}{3 \, \text{કલાક}} = 64 \, km/h$.
$5$. મોટરસાઇકલની ઝડપ અને કારની ઝડપનો ગુણોત્તર: $\frac{32}{64} = \frac{1}{2}$,એટલે કે $1:2$.

(C) ધારો કે બીજી ટ્રેનની લંબાઈ $x \, m$ છે.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે:
સાપેક્ષ ઝડપ $= (62 + 40) \, km/h = 102 \, km/h$.
સાપેક્ષ ઝડપને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીને $m/s$ માં ફેરવો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 102 \times \frac{5}{18} = \frac{510}{18} = \frac{85}{3} \, m/s$.
એકબીજાને ઓળંગતી વખતે કાપેલું કુલ અંતર બંને ટ્રેનોની લંબાઈનો સરવાળો છે,જે $(250 + x) \, m$ છે.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$250 + x = \left(\frac{85}{3}\right) \times 18$
$250 + x = 85 \times 6$
$250 + x = 510$
$x = 510 - 250 = 260 \, m$.
આમ,બીજી ટ્રેનની લંબાઈ $260 \, m$ છે.

(B) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $x \, \text{meters}$ છે અને તેની ઝડપ $y \, \text{meters/second}$ છે.
જ્યારે ટ્રેન થાંભલાને પસાર કરે છે, ત્યારે કાપેલું અંતર તેની પોતાની લંબાઈ જેટલું હોય છે:
$\frac{x}{y} = 15 \implies y = \frac{x}{15} \quad \dots(1)$
જ્યારે ટ્રેન $100 \, \text{meter}$ લાંબા પ્લેટફોર્મને પસાર કરે છે, ત્યારે કુલ કાપેલું અંતર $(x + 100) \, \text{meters}$ થાય છે:
$\frac{x + 100}{y} = 25 \implies x + 100 = 25y \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$x + 100 = 25 \times \left( \frac{x}{15} \right)$
$x + 100 = \frac{5x}{3}$
$3x + 300 = 5x$
$2x = 300$
$x = 150 \, \text{meters}$.
આમ, ટ્રેનની લંબાઈ $150 \, \text{meters}$ છે.

(B) એકબીજાને પસાર કરવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર બંને ટ્રેનોની લંબાઈનો સરવાળો છે: $D = 150 \, m + 100 \, m = 250 \, m$.
લીધેલ સમય $t = 10 \, s$ છે.
સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = \frac{D}{t} = \frac{250 \, m}{10 \, s} = 25 \, m/s$.
સાપેક્ષ ઝડપને $km/h$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણો: $v_{rel} = 25 \times \frac{18}{5} = 90 \, km/h$.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો છે: $v_{rel} = v_1 + v_2$.
આપેલ છે કે $v_1 = 30 \, km/h$,તેથી $30 + v_2 = 90$.
આમ,$v_2 = 90 - 30 = 60 \, km/h$.

(C) કુલ અંતર $= 12 \, km$.
કુલ સમય $= 45 \, \text{મિનિટ }= \frac{45}{60} \, \text{કલાક }= 0.75 \, \text{કલાક}$.
કાપેલું અંતર $= \frac{3}{4} \times 12 \, km = 9 \, km$.
લીધેલો સમય $= \frac{2}{3} \times 45 \, \text{મિનિટ }= 30 \, \text{મિનિટ }= 0.5 \, \text{કલાક}$.
બાકી રહેલું અંતર $= 12 \, km - 9 \, km = 3 \, km$.
બાકી રહેલો સમય $= 45 \, \text{મિનિટ }- 30 \, \text{મિનિટ }= 15 \, \text{મિનિટ }= \frac{15}{60} \, \text{કલાક }= 0.25 \, \text{કલાક}$.
જરૂરી ઝડપ $= \frac{\text{બાકી રહેલું અંતર}}{\text{બાકી રહેલો સમય}} = \frac{3 \, km}{0.25 \, h} = 12 \, km/h$.

(A) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x \text{ km/h}$ છે.
માણસ ટ્રેનની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતો હોવાથી,સાપેક્ષ ઝડપ $(x + 6) \text{ km/h}$ થશે.
સાપેક્ષ ઝડપને $\text{m/s}$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીશું:
સાપેક્ષ ઝડપ $= (x + 6) \times \frac{5}{18} \text{ m/s}$.
ટ્રેન દ્વારા માણસને પસાર કરવા માટે કાપેલું અંતર તેની પોતાની લંબાઈ જેટલું એટલે કે $110 \text{ meters}$ છે.
સૂત્ર $\text{Distance} = \text{Speed} \times \text{Time}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$110 = (x + 6) \times \frac{5}{18} \times 6$.
$110 = (x + 6) \times \frac{30}{18}$.
$110 = (x + 6) \times \frac{5}{3}$.
$x + 6 = 110 \times \frac{3}{5}$.
$x + 6 = 22 \times 3$.
$x + 6 = 66$.
$x = 66 - 6 = 60 \text{ km/h}$.
આમ,ટ્રેનની ઝડપ $60 \text{ km/h}$ છે.

(D) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
જ્યારે ટ્રેન માણસની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(x + 6) \, km/h$ થાય છે.
તેને $m/s$ માં ફેરવતા: $(x + 6) \times \frac{5}{18} \, m/s$.
$\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$110 = (x + 6) \times \frac{5}{18} \times 6$
$110 = (x + 6) \times \frac{5}{3}$
$x + 6 = \frac{110 \times 3}{5} = 66$
$x = 60 \, km/h$.
જ્યારે ટ્રેન માણસની સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(60 - 6) \, km/h = 54 \, km/h$ થાય છે.
તેને $m/s$ માં ફેરવતા: $54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m/s$.
બીજા માણસને પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{ટ્રેનની લંબાઈ}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{110}{15} = \frac{22}{3} = 7 \frac{1}{3} \, s$.