Time and Distances Questions in Gujarati

(D) ધારો કે કુલ મુસાફરી $x \ km$ છે.
ટ્રેન દ્વારા કાપેલ મુસાફરીનો ભાગ $\frac{2}{15}x$ છે અને ઘોડાગાડી દ્વારા કાપેલ ભાગ $\frac{9}{20}x$ છે.
બાકી રહેલ અંતર જે ચાલીને કાપ્યું છે તે $10 \ km$ છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{2}{15}x + \frac{9}{20}x + 10 = x$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે,$15$ અને $20$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $60$ છે.
આખા સમીકરણને $60$ વડે ગુણતા: $60 \times (\frac{2}{15}x) + 60 \times (\frac{9}{20}x) + 60 \times 10 = 60 \times x$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $8x + 27x + 600 = 60x$.
$35x + 600 = 60x$.
$600 = 60x - 35x$.
$600 = 25x$.
$x = \frac{600}{25} = 24$.
આમ,કુલ મુસાફરી $24 \ km$ છે.

(D) સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ છે.
અહીં,$\text{કુલ અંતર} = 720 \text{ કિમી}$ અને $\text{કુલ સમય} = 20 \text{ કલાક}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$\text{કિમી/કલાક}$ માં ઝડપ શોધો:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{720 \text{ કિમી}}{20 \text{ કલાક}} = 36 \text{ કિમી/કલાક}$.
$\text{કિમી/કલાક}$ ને $\text{મીટર/સેકન્ડ}$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણાકાર કરો:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = 36 \times \frac{5}{18} \text{ મીટર/સેકન્ડ} = 2 \times 5 \text{ મીટર/સેકન્ડ} = 10 \text{ મીટર/સેકન્ડ}$.

(B) ધારો કે બે શહેરો વચ્ચેનું અંતર $D\, km$ છે.
કાર $A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $T_A = \frac{D}{72}\, hours$ છે.
કાર $B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $T_B = \frac{D}{90}\, hours$ છે.
આપેલ છે કે કાર $B$ ને કાર $A$ કરતા $1\, hour$ ઓછો સમય લાગે છે,તેથી $T_A - T_B = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{D}{72} - \frac{D}{90} = 1$.
$72$ અને $90$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $360$ છે:
$\frac{5D - 4D}{360} = 1$.
$\frac{D}{360} = 1$.
તેથી,$D = 360\, km$.

(B) અંતર શોધવાનું સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ છે.
અહીં,$\text{ઝડપ} = 40 \, km/h$ અને $\text{સમય} = 6 \, hours$ આપેલ છે.
તેથી,$\text{કુલ અંતર} = 40 \times 6 = 240 \, km$.
હવે,આ જ $240 \, km$ નું અંતર $4 \, hours$ માં કાપવા માટે જરૂરી ઝડપ:
$\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{240}{4} = 60 \, km/h$.

(A) જ્યારે બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય,ત્યારે સરેરાશ ઝડપ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2xy}{x+y}$,જ્યાં $x$ અને $y$ એ મુસાફરીના બે ભાગ માટેની ઝડપ છે.
અહીં,$x = 55 \text{ km/hr}$ અને $y = 65 \text{ km/hr}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2 \times 55 \times 65}{55 + 65}$
$= \frac{7150}{120}$
$= 59.5833... \text{ km/hr}$.
દશાંશના બે અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,સરેરાશ ઝડપ $59.58 \text{ km/hr}$ મળે છે.

(C) પ્રથમ માણસ સવારે $11:00$ વાગ્યે શરૂ કરે છે અને $10 \, km/hr$ ની ઝડપે દોડે છે.
તે $2 \, \text{કલાક}$ (સવારે $11:00$ થી બપોરે $1:00$ સુધી) દોડે છે અને $20 \, km$ અંતર કાપે છે.
ત્યારબાદ તે $1 \, \text{કલાક}$ (બપોરે $1:00$ થી $2:00$ સુધી) આરામ કરે છે.
બપોરે $2:00$ વાગ્યે,પ્રથમ માણસ બિંદુ $P$ થી $20 \, km$ ના અંતરે છે.
બપોરે $2:00$ વાગ્યે,બીજો માણસ બિંદુ $P$ થી $15 \, km/hr$ ની ઝડપે શરૂ કરે છે.
બંને માણસો વચ્ચેની સાપેક્ષ ઝડપ $15 - 10 = 5 \, km/hr$ છે.
બીજા માણસને પ્રથમ માણસને પકડવા માટે લાગતો સમય = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{20 \, km}{5 \, km/hr} = 4 \, \text{કલાક}$.
તેથી,પ્રથમ માણસ બપોરે $2:00 + 4 \, \text{કલાક }= 6:00 \, p.m.$ વાગ્યે પકડાઈ જશે.

(C) ધારો કે મોટરસાઇકલ સવારની સામાન્ય ઝડપ $x \, km/h$ છે.
કાપવાનું અંતર $21 \, km$ છે.
સામાન્ય ઝડપે લાગતો સમય $T_1 = \frac{21}{x} \, \text{કલાક}$ છે.
વધારેલી ઝડપે લાગતો સમય $T_2 = \frac{21}{x+12} \, \text{કલાક}$ છે.
વિલંબ $6 \frac{2}{3} \, \text{મિનિટ }= \frac{20}{3} \, \text{મિનિટ }= \frac{20}{3 \times 60} \, \text{કલાક }= \frac{1}{9} \, \text{કલાક}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમયનો તફાવત $\frac{1}{9} \, \text{કલાક}$ છે:
$\frac{21}{x} - \frac{21}{x+12} = \frac{1}{9}$
$21 \left( \frac{x+12-x}{x(x+12)} \right) = \frac{1}{9}$
$21 \left( \frac{12}{x^2+12x} \right) = \frac{1}{9}$
$252 \times 9 = x^2 + 12x$
$x^2 + 12x - 2268 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 4(1)(-2268)}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 9072}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{9216}}{2} = \frac{-12 \pm 96}{2}$
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = \frac{84}{2} = 42 \, km/h$.

(C) પોલીસકર્મી અને ચોર વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $= 400\, m$.
ચોરની સાપેક્ષમાં પોલીસકર્મીની સાપેક્ષ ઝડપ $= 9\, km/h - 5\, km/h = 4\, km/h$.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવતા: $4 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{9}\, m/s$.
પોલીસકર્મીને ચોરને પકડવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{400}{10/9} = 400 \times \frac{9}{10} = 360\, s$.
ચોરની ઝડપ $m/s$ માં $= 5 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{18}\, m/s$.
$360\, s$ માં ચોર દ્વારા કાપેલું અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = \frac{25}{18} \times 360 = 25 \times 20 = 500\, m$.

(D) પોલીસમેન અને ચોર વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $= 150\, m$.
ચોરની સાપેક્ષમાં પોલીસમેનની સાપેક્ષ ઝડપ $= 9\, km/h - 7\, km/h = 2\, km/h$.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવતા: $2 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{9}\, m/s$.
પોલીસમેનને ચોરને પકડવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{150}{5/9} = 150 \times \frac{9}{5} = 270\, s$.
ચોરની ઝડપ $m/s$ માં $= 7 \times \frac{5}{18} = \frac{35}{18}\, m/s$.
$270\, s$ માં ચોરે કાપેલું અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = \frac{35}{18} \times 270 = 35 \times 15 = 525\, m$.

(D) ધારો કે પ્રથમ ટ્રેન ($100\, m$ લંબાઈ) ની ઝડપ $v\, km/h$ છે.
બીજી ટ્રેન ($150\, m$ લંબાઈ) ની ઝડપ $40\, km/h$ છે.
તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $(v + 40)\, km/h$ થશે.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવતા: $(v + 40) \times \frac{5}{18}\, m/s.$
એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $100\, m + 150\, m = 250\, m.$
સૂત્ર $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$9 = \frac{250}{(v + 40) \times \frac{5}{18}}$
$9 = \frac{250 \times 18}{5(v + 40)}$
$9 = \frac{50 \times 18}{v + 40}$
$9(v + 40) = 900$
$v + 40 = 100$
$v = 60\, km/h.$

(C) પુલને પસાર કરવા માટે ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પુલની લંબાઈનો સરવાળો છે.
કુલ અંતર = $200 \, m + 400 \, m = 600 \, m$.
ટ્રેનની ઝડપ $20 \, m/s$ છે.
લાગતો સમય = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
સમય = $\frac{600 \, m}{20 \, m/s} = 30 \, s$.
તેથી, ટ્રેન $30 \, \text{સેકન્ડમાં}$ પુલને પસાર કરશે.

(B) પગલું $1$: ટ્રેનની ઝડપ $km/h$ માં શોધો.
ઝડપ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{12 \, km}{10 \, \text{minutes}} = \frac{12 \, km}{(10/60) \, h} = 12 \times 6 = 72 \, km/h$.
પગલું $2$: ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં રૂપાંતરિત કરો.
$m/s$ માં ઝડપ = $72 \times \frac{5}{18} = 4 \times 5 = 20 \, m/s$.
પગલું $3$: ટ્રેનની લંબાઈની ગણતરી કરો.
જ્યારે ટ્રેન ટેલિગ્રાફના થાંભલાને પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ $(L)$ જેટલું હોય છે.
$L = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 20 \, m/s \times 6 \, s = 120 \, \text{meters}$.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક વૃક્ષો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
$13$ મા વૃક્ષ અને $34$ મા વૃક્ષ વચ્ચેના અંતરાલની સંખ્યા $(34 - 13) = 21$ છે.
$18 \, \text{સેકન્ડ}$ માં કાપેલું અંતર $= 21d$.
કારની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{21d}{18} = \frac{7d}{6} \, \text{એકમ/સેકન્ડ}$.
$1$ લા વૃક્ષ અને $50$ મા વૃક્ષ વચ્ચેના અંતરાલની સંખ્યા $(50 - 1) = 49$ છે.
કાપવાનું કુલ અંતર $= 49d$.
લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{49d}{7d/6} = 49 \times \frac{6}{7} = 7 \times 6 = 42 \, \text{સેકન્ડ}$.

(B) બે ગધેડા વચ્ચેનું અંતર $D = 400 \, m$ છે。
પ્રથમ ગધેડાની ઝડપ $v_1 = 3 \, m/s$ છે。
બીજા ગધેડાની ઝડપ $v_2 = 2 \, m/s$ છે。
તેઓ એકબીજાની તરફ દોડી રહ્યા હોવાથી, તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે:
$v_{rel} = v_1 + v_2 = 3 \, m/s + 2 \, m/s = 5 \, m/s$.
મળવા માટે લાગતો સમય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$t = \frac{D}{v_{rel}} = \frac{400 \, m}{5 \, m/s} = 80 \, \text{સેકન્ડ}$.

(B) સૌ પ્રથમ,માણસની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
ઝડપ $= 3 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{6} \, m/s$.
હવે,$2 \, minutes$ $(120 \, seconds)$ માં કાપેલું અંતર શોધો:
અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = \frac{5}{6} \times 120 = 100 \, m$.
માણસ ચોરસ ખેતરને વિકર્ણ રીતે પાર કરે છે,તેથી ચોરસનો વિકર્ણ $d = 100 \, m$ છે.
ચોરસના વિકર્ણનું સૂત્ર $d = a\sqrt{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
$a\sqrt{2} = 100 \Rightarrow a = \frac{100}{\sqrt{2}}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^2$ થાય:
ક્ષેત્રફળ $= \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{10000}{2} = 5000 \, m^2$.

(D) ધારો કે કારની ઝડપ $v_{car}$ છે.
ટ્રેનની ઝડપ $v_{train} = 1.2 v_{car}$ છે.
કાર દ્વારા $240\, km$ કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{240}{v_{car}}$.
ટ્રેન દ્વારા $240\, km$ કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{240}{1.2 v_{car}} + \frac{48}{60} = \frac{200}{v_{car}} + 0.8$.
બંને એક જ સમયે પહોંચે છે,તેથી $\frac{240}{v_{car}} = \frac{200}{v_{car}} + 0.8$.
$\frac{40}{v_{car}} = 0.8 \implies v_{car} = \frac{40}{0.8} = 50\, km/hr$.

(A) ધારો કે ઓફિસે પહોંચવાનો નિર્ધારિત સમય $T$ છે.
જ્યારે $50 \, km/h$ ની ઝડપે કાર દ્વારા મુસાફરી કરવામાં આવે,ત્યારે લાગતો સમય $T_1 = \frac{25}{50} = 0.5 \, hours = 30 \, minutes$ છે.
તેણી $5 \, minutes$ મોડી પહોંચે છે,તેથી નિર્ધારિત સમય $T = 30 - 5 = 25 \, minutes$ છે.
જ્યારે મોટરબાઈક દ્વારા મુસાફરી કરવામાં આવે,ત્યારે તે $3 \, minutes$ વહેલી પહોંચે છે,તેથી લાગતો સમય $T_2 = 25 - 3 = 22 \, minutes$ છે.
$T_2$ ને કલાકમાં ફેરવતા: $T_2 = \frac{22}{60} \, hours = \frac{11}{30} \, hours$.
મોટરબાઈકની ઝડપ $S = \frac{\text{Distance}}{\text{Time}} = \frac{25}{11/30} = \frac{25 \times 30}{11} = \frac{750}{11} \approx 68.18 \, km/h$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ $68 \, km/h$ થાય છે.

(B) ઝડપનું સૂત્ર $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$ છે.
કારની ઝડપ = $\frac{80 \, \text{km}}{2 \, \text{કલાક}} = 40 \, \text{km/h}$.
ટ્રેનની ઝડપ = $\frac{80 \, \text{km}}{3 \, \text{કલાક}} = \frac{80}{3} \, \text{km/h}$.
કારની ઝડપ અને ટ્રેનની ઝડપનો ગુણોત્તર = $40 : \frac{80}{3}$.
સરળ બનાવવા માટે બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા: $(40 \times 3) : 80 = 120 : 80$.
બંનેને $40$ વડે ભાગતા, આપણને $3 : 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે માલગાડીની ઝડપ $y \text{ km/h}$ છે.
માલગાડી પેસેન્જર ટ્રેન શરૂ થાય તે પહેલાં $6 \text{ કલાક}$ આગળ છે.
આ $6 \text{ કલાકમાં}$ માલગાડી દ્વારા કાપેલું અંતર $= 6y \text{ km}$.
જ્યારે પેસેન્જર ટ્રેન શરૂ થાય છે,ત્યારે બંને ટ્રેનો વચ્ચેની સાપેક્ષ ઝડપ $(80 - y) \text{ km/h}$ થાય છે.
પેસેન્જર ટ્રેન $4 \text{ કલાકમાં}$ માલગાડીને ઓવરટેક કરે છે.
તેથી,$6y = 4 \times (80 - y)$
$6y = 320 - 4y$
$10y = 320$
$y = 32 \text{ km/h}$.
આમ,માલગાડીની ઝડપ $32 \text{ km/h}$ છે.

(B) ધારો કે કારની ઝડપ $x\, km/h$ છે.
માણસની સાપેક્ષમાં કારની સાપેક્ષ ઝડપ $(x - 4)\, km/h$ થશે.
માણસ કારને $3\, \text{મિનિટ}$ સુધી જોઈ શકે છે,જે $\frac{3}{60} = \frac{1}{20}\, \text{કલાક}$ થાય છે.
દૃશ્યતાનું અંતર $130\, m$ છે,જે $\frac{130}{1000} = 0.13\, km$ થાય છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય} = \text{અંતર}$
$(x - 4) \times \frac{1}{20} = \frac{130}{1000}$
$(x - 4) \times \frac{1}{20} = \frac{13}{100}$
$x - 4 = \frac{13}{100} \times 20$
$x - 4 = \frac{13}{5} = 2.6$
$x = 2.6 + 4 = 6.6\, km/h$
$6.6$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $6.6 = 6 \frac{6}{10} = 6 \frac{3}{5}\, km/h$.

(A) પ્લેટફોર્મને પસાર કરવા માટે ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર = ટ્રેનની લંબાઈ + પ્લેટફોર્મની લંબાઈ
કુલ અંતર = $150 \, m + 450 \, m = 600 \, m$
લીધેલ સમય = $20 \, s$
$m/s$ માં ટ્રેનની ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{લીધેલ સમય}} = \frac{600}{20} = 30 \, m/s$
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/h$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણાકાર કરો:
$km/h$ માં ઝડપ = $30 \times \frac{18}{5} = 6 \times 18 = 108 \, km/h$

(B) માણસ ટ્રેનની વિરુદ્ધ દિશામાં દોડી રહ્યો હોવાથી, સાપેક્ષ ઝડપ એ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે।
સાપેક્ષ ઝડપ $= 60 + 6 = 66 \, km/h$.
ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે, $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 66 \times \frac{5}{18} = \frac{11 \times 5}{3} = \frac{55}{3} \, m/s$.
માણસને પસાર કરવા માટે કાપવાનું અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ જેટલું એટલે કે $110 \, m$ છે.
લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{110}{\frac{55}{3}} = 110 \times \frac{3}{55} = 2 \times 3 = 6 \, \text{સેકન્ડ}$.

(B) ધારો કે $A$ ની ઝડપ $x \, km/hr$ છે.
તેમની ઝડપનો સરવાળો $7 \, km/hr$ હોવાથી,$B$ ની ઝડપ $(7 - x) \, km/hr$ થશે.
બંને $24 \, km$ ચાલે છે,તેથી $A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_A = \frac{24}{x}$ અને $B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_B = \frac{24}{7-x}$ છે.
સમયનો સરવાળો $14 \, hours$ છે,તેથી $\frac{24}{x} + \frac{24}{7-x} = 14$.
$2$ વડે ભાગતા,$\frac{12}{x} + \frac{12}{7-x} = 7$ મળે.
$x(7-x)$ વડે ગુણતા,$12(7-x) + 12x = 7x(7-x)$ મળે.
$84 - 12x + 12x = 49x - 7x^2$.
$7x^2 - 49x + 84 = 0$.
$7$ વડે ભાગતા,$x^2 - 7x + 12 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 4)(x - 3) = 0$.
આમ,$x = 4$ અથવા $x = 3$.
$A$ એ $B$ કરતા ઝડપી હોવાથી,$A$ ની ઝડપ $4 \, km/hr$ અને $B$ ની ઝડપ $3 \, km/hr$ થાય.

(A) ધારો કે ફ્લાઇટ $A$ ની ઝડપ $v_A$ છે અને ફ્લાઇટ $B$ ની ઝડપ $v_B$ છે ($\text{km/hr}$ માં).
અંતર $D = 7200 \, \text{km}$.
ધારો કે $T_A$ અને $T_B$ એ ફ્લાઇટ $A$ અને ફ્લાઇટ $B$ દ્વારા લેવાયેલ સામાન્ય સમય છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $T_A = T_B + 1$,જ્યાં $T_A = \frac{7200}{v_A}$ અને $T_B = \frac{7200}{v_B}$.
જ્યારે ફ્લાઇટ $B$ ની ઝડપ $\frac{1}{6}$ ઘટે છે,ત્યારે તેની નવી ઝડપ $v_B' = v_B(1 - \frac{1}{6}) = \frac{5}{6}v_B$ થાય છે.
ફ્લાઇટ $B$ દ્વારા લેવાયેલ નવો સમય $T_B' = \frac{D}{v_B'} = \frac{7200}{\frac{5}{6}v_B} = \frac{6}{5} \times \frac{7200}{v_B} = 1.2 T_B$ છે.
બીજી શરત મુજબ,$T_B' = T_A + 0.6$ (કારણ કે $36 \, \text{minutes} = 0.6 \, \text{hours}$).
સમીકરણમાં $T_A = T_B + 1$ મૂકતા: $1.2 T_B = (T_B + 1) + 0.6$.
$1.2 T_B = T_B + 1.6$.
$0.2 T_B = 1.6 \implies T_B = 8 \, \text{hours}$.
તેથી $T_A = 8 + 1 = 9 \, \text{hours}$.
ફ્લાઇટ $A$ ની ઝડપ = $\frac{7200}{9} = 800 \, \text{km/hr}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $D \, km$ છે અને નિર્ધારિત સમય $T$ કલાક છે.
જ્યારે ઝડપ $5 \, km/h$ હોય,ત્યારે લાગતો સમય $T + \frac{48}{60}$ કલાક છે.
તેથી,$\frac{D}{5} = T + \frac{48}{60} \quad (1)$
જ્યારે ઝડપ $8 \, km/h$ હોય,ત્યારે લાગતો સમય $T - \frac{15}{60}$ કલાક છે.
તેથી,$\frac{D}{8} = T - \frac{15}{60} \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{D}{5} - \frac{D}{8} = (T + \frac{48}{60}) - (T - \frac{15}{60})$
$\frac{8D - 5D}{40} = \frac{48 + 15}{60}$
$\frac{3D}{40} = \frac{63}{60}$
$\frac{3D}{40} = \frac{21}{20}$
$D = \frac{21}{20} \times \frac{40}{3} = 7 \times 2 = 14 \, km$.
આમ,અંતર $14 \, km$ છે.

(B) ધારો કે ચાલીને કાપેલું અંતર $x \, km$ છે.
તેથી,સાયકલ પર કાપેલું અંતર $(61 - x) \, km$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ સમય $9 \, hrs$ લાગે છે:
$\frac{x}{4} + \frac{61 - x}{9} = 9$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $36$ ($4$ અને $9$ નો લ.સા.અ.) વડે ગુણતા:
$9x + 4(61 - x) = 9 \times 36$
$9x + 244 - 4x = 324$
$5x = 324 - 244$
$5x = 80$
$x = 16 \, km$.
આમ,ચાલીને કાપેલું અંતર $16 \, km$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ, સમયને કલાકમાં ફેરવો: $2 \, \text{કલાક} \, 45 \, \text{મિનિટ} = 2 + \frac{45}{60} = 2 + 0.75 = 2.75 \, \text{કલાક}$ અથવા $\frac{11}{4} \, \text{કલાક}$.
અંતર શોધવા માટેનું સૂત્ર વાપરો: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
$\text{અંતર} = 4 \, km/h \times \frac{11}{4} \, \text{કલાક} = 11 \, km$.
હવે, $16.5 \, km/h$ ની નવી ઝડપે લાગતો સમય શોધવા માટેનું સૂત્ર વાપરો: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
$\text{સમય} = \frac{11}{16.5} \, \text{કલાક} = \frac{110}{165} \, \text{કલાક} = \frac{2}{3} \, \text{કલાક}$.
સમયને મિનિટમાં ફેરવો: $\frac{2}{3} \times 60 \, \text{મિનિટ} = 40 \, \text{મિનિટ}$.

(D) ધારો કે $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું કુલ અંતર $D \, km$ છે.
પ્રથમ $\frac{1}{4}$ અંતર $10 \, km/h$ ની ઝડપે કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{D/4}{10} = \frac{D}{40} \, hours$ છે.
બાકી રહેલું અંતર $D - \frac{D}{4} = \frac{3D}{4} \, km$ છે.
બાકીનું અંતર $12 \, km/h$ ની ઝડપે કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{3D/4}{12} = \frac{3D}{48} = \frac{D}{16} \, hours$ છે.
કુલ લાગતો સમય $t_1 + t_2 = 7 \, hours$ છે.
$\frac{D}{40} + \frac{D}{16} = 7$.
$40$ અને $16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $80$ લેતા:
$\frac{2D + 5D}{80} = 7$.
$\frac{7D}{80} = 7$.
$D = 80 \, km$.

(B) ધારો કે દરેક ભાગ માટેનું અંતર $d = 7 \, km$ છે. જ્યારે અંતર સમાન હોય,ત્યારે સરેરાશ ઝડપ માટે આપણે હાર્મોનિક મધ્યકનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ.
ધારો કે ઝડપ $v_1 = 10 \, km/h$,$v_2 = 20 \, km/h$,$v_3 = 30 \, km/h$,અને $v_4 = 60 \, km/h$ છે.
જ્યારે અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $V_{avg} = \frac{n}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} + \frac{1}{v_4}}$ છે,જ્યાં $n = 4$.
$V_{avg} = \frac{4}{\frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60}}$
અપૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય છેદ $60$ છે.
$V_{avg} = \frac{4}{\frac{6+3+2+1}{60}} = \frac{4}{\frac{12}{60}} = \frac{4}{\frac{1}{5}}$
$V_{avg} = 4 \times 5 = 20 \, km/h$.

(D) ધારો કે $Q$ થી નીકળતી ટ્રેનની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
$P$ થી નીકળતી ટ્રેન $8 \, km/h$ વધુ ઝડપી હોવાથી,તેની ઝડપ $(x + 8) \, km/h$ થશે.
જ્યારે બે પદાર્થો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમના વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થાય છે: $(x + 8 + x) = (2x + 8) \, km/h$.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $162 \, km$ છે અને તેઓ $6 \, hours$ માં મળે છે.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$162 = (2x + 8) \times 6$
બંને બાજુ $6$ વડે ભાગતા:
$27 = 2x + 8$
$2x = 27 - 8$
$2x = 19$
$x = 9.5 \, km/h$ અથવા $9 \frac{1}{2} \, km/h$.

(B) ધારો કે સ્ટેશનનું અંતર $D\, km$ છે અને ટ્રેનનો નિર્ધારિત સમય $T\, \text{hours}$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $5\, km/h$ ની ઝડપે ચાલે છે,ત્યારે તે $7\, \text{minutes}$ $(7/60\, \text{hours})$ મોડો પડે છે.
લીધેલ સમય = $D/5 = T + 7/60$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $6\, km/h$ ની ઝડપે ચાલે છે,ત્યારે તે $5\, \text{minutes}$ $(5/60\, \text{hours})$ વહેલો પહોંચે છે.
લીધેલ સમય = $D/6 = T - 5/60$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$(D/5) - (D/6) = (T + 7/60) - (T - 5/60)$.
$(6D - 5D) / 30 = 12/60$.
$D/30 = 1/5$.
$D = 30/5 = 6\, km$.
તેથી,સ્ટેશનનું અંતર $6\, km$ છે.

(A) પૈડાનો પરિઘ $\pi \times d = \frac{22}{7} \times 70 = 220 \, cm$ દ્વારા મળે છે.
$1$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $= 220 \, cm$.
$1$ મિનિટમાં કાપેલું અંતર $= 400 \times 220 = 88,000 \, cm$.
$1$ કલાકમાં કાપેલું અંતર $= 88,000 \times 60 = 5,280,000 \, cm$.
સેન્ટિમીટરને કિલોમીટરમાં ફેરવવા માટે, $100,000$ વડે ભાગો ($100 \, cm = 1 \, m$ અને $1,000 \, m = 1 \, km$):
ઝડપ $= \frac{5,280,000}{100,000} = 52.8 \, km/hr$.

(A) રાજ અને પ્રેમ વિરુદ્ધ દિશામાં ચાલી રહ્યા હોવાથી, તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપના સરવાળા જેટલી થશે。
સાપેક્ષ ઝડપ $= 3 \, km/h + 2 \, km/h = 5 \, km/h$.
$2 \, \text{કલાક}$ માં કાપેલું અંતર $= \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય}$.
અંતર $= 5 \, km/h \times 2 \, h = 10 \, km$.
તેથી, $2 \, \text{કલાક}$ પછી તેઓ એકબીજાથી $10 \, km$ દૂર હશે。

(D) ધારો કે સ્ટેશન $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $D$ છે.
પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા $A$ થી $B$ સુધીનો સમય = $4$ કલાક.
પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ $(v_1)$ = $D/4$.
બીજી ટ્રેન દ્વારા $B$ થી $A$ સુધીનો સમય = $3.5$ કલાક = $7/2$ કલાક.
બીજી ટ્રેનની ઝડપ $(v_2)$ = $D / (7/2) = 2D/7$.
પ્રથમ ટ્રેન સવારે $5$ વાગ્યે ઉપડે છે. સવારે $7$ વાગ્યા સુધીમાં,તેણે $2$ કલાક મુસાફરી કરી હશે.
$2$ કલાકમાં પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર = $(D/4) \times 2 = D/2$.
સવારે $7$ વાગ્યે બાકી રહેલું અંતર = $D - D/2 = D/2$.
બંને ટ્રેન એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ = $v_1 + v_2 = D/4 + 2D/7 = (7D + 8D) / 28 = 15D/28$.
સવારે $7$ વાગ્યા પછી મળવા માટે લાગતો સમય $(t)$ = $\text{બાકી રહેલું અંતર} / \text{સાપેક્ષ ઝડપ} = (D/2) / (15D/28) = (D/2) \times (28/15D) = 14/15$ કલાક.
$14/15$ કલાકને મિનિટમાં ફેરવતા: $(14/15) \times 60 = 56$ મિનિટ.
તેથી,બંને ટ્રેન સવારે $7:56$ વાગ્યે એકબીજાને મળશે.

(C) સમય શોધવાનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
આપેલ છે:
$\text{ઝડપ} = 75\, km/hr$
$\text{અંતર} = 1050\, km$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{સમય} = \frac{1050}{75} = 14\, hrs$.
તેથી, ટ્રેનને અંતર કાપવા માટે $14\, \text{કલાક}$ લાગશે.

(D) ટ્રેનની લંબાઈ $= 180 \, m$.
ટ્રેનની ઝડપ $= 90 \, km/h$.
ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણાકાર કરીશું:
ઝડપ $= 90 \times \frac{5}{18} = 5 \times 5 = 25 \, m/s$.
થાંભલાને પસાર કરવા માટે,ટ્રેને પોતાની લંબાઈ જેટલું અંતર કાપવું પડે.
લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{180}{25} \, s$.
લાગતો સમય $= 7.2 \, s$.

(C) ધારો કે $Q$ થી આવતી ટ્રેનની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
$P$ થી આવતી ટ્રેન $8 \, km/h$ વધુ ઝડપી હોવાથી,તેની ઝડપ $(x + 8) \, km/h$ થશે.
જ્યારે બે પદાર્થો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમના ઝડપનો સરવાળો થાય છે: $(x + x + 8) = (2x + 8) \, km/h$.
તેઓ $6 \, \text{hours}$ પછી મળે છે અને કુલ અંતર $162 \, km$ છે,તેથી સૂત્ર મુજબ: $\text{અંતર} = \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય}$.
$162 = (2x + 8) \times 6$.
બંને બાજુ $6$ વડે ભાગતા: $27 = 2x + 8$.
બંને બાજુથી $8$ બાદ કરતા: $2x = 19$.
$2$ વડે ભાગતા: $x = 9.5 \, km/h$,એટલે કે $9 \frac{1}{2} \, km/h$.

(A) ક્રમિક મિનિટોમાં કાપેલું અંતર નીચે મુજબ છે:
$1^{st}$ મિનિટમાં અંતર $= 50\, m$.
$2^{nd}$ મિનિટમાં અંતર $= 90 - 50 = 40\, m$.
$3^{rd}$ મિનિટમાં અંતર $= 130 - 90 = 40\, m$.
અહીં કુલ અંતર $50, 90, 130, \dots$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 50$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 40$ છે.
$15\, \text{minutes}$ માં કાપેલું કુલ અંતર એ શ્રેણીનું $15\text{-મું}$ પદ છે:
$a_{15} = a + (n - 1)d$
$a_{15} = 50 + (15 - 1)40$
$a_{15} = 50 + 14 \times 40$
$a_{15} = 50 + 560 = 610\, m$.

(C) ત્રણેય માણસો પૂર્ણ ડગલાંમાં જે લઘુત્તમ અંતર કાપી શકે તે શોધવા માટે,આપણે તેમના ડગલાંની લંબાઈનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે: $63 \, cm$,$70 \, cm$ અને $77 \, cm$.
પગલું $1$: સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$63 = 3^2 \times 7$
$70 = 2 \times 5 \times 7$
$77 = 7 \times 11$
પગલું $2$: દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાત લઈને $LCM$ શોધો:
$LCM = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 \times 11^1$
$LCM = 2 \times 9 \times 5 \times 7 \times 11$
$LCM = 10 \times 9 \times 77$
$LCM = 90 \times 77 = 6930$
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $6930 \, cm$ છે.

(A) ધારો કે પગપાળા કાપેલું અંતર $x\, km$ છે.
તેથી,સાયકલ પર કાપેલું અંતર $(80 - x)\, km$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ સમય $7\, \text{કલાક}$ લાગે છે:
$\frac{x}{8} + \frac{80 - x}{16} = 7$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $16$ વડે ગુણતા:
$2x + (80 - x) = 16 \times 7$
$x + 80 = 112$
$x = 112 - 80$
$x = 32\, km$.
આમ,પગપાળા કાપેલું અંતર $32\, km$ છે.

(A) ધારો કે દરેક ટ્રેનની લંબાઈ $x \, m$ છે.
ટ્રેનો એક જ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો તફાવત હશે:
સાપેક્ષ ઝડપ $= (46 - 36) \, km/h = 10 \, km/h$.
સાપેક્ષ ઝડપને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીને $m/s$ માં ફેરવો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 10 \times \frac{5}{18} = \frac{50}{18} = \frac{25}{9} \, m/s$.
જ્યારે ઝડપી ટ્રેન ધીમી ટ્રેનને પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર બંને ટ્રેનોની લંબાઈનો સરવાળો થાય છે,જે $x + x = 2x \, m$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$
$2x = \left( \frac{25}{9} \right) \times 36$
$2x = 25 \times 4$
$2x = 100$
$x = 50 \, m$.
તેથી,દરેક ટ્રેનની લંબાઈ $50 \, m$ છે.

(D) કુલ કાપવાનું અંતર $= 300 \, km$.
ઉપલબ્ધ કુલ સમય $= 12:30 \, pm - 8:30 \, am = 4 \, \text{કલાક}$.
$2 \, \text{કલાકમાં}$ કાપેલું અંતર (સવારે $8:30$ થી $10:30$ સુધી) $= 300 \, km \text{ ના } 40 \% = \frac{40}{100} \times 300 = 120 \, km$.
કારની મૂળ ઝડપ $= \frac{120 \, km}{2 \, \text{કલાક}} = 60 \, km/h$.
બાકી રહેલું અંતર $= 300 \, km - 120 \, km = 180 \, km$.
બાકી રહેલો સમય $= 4 \, \text{કલાક} - 2 \, \text{કલાક} = 2 \, \text{કલાક}$.
બાકીનું અંતર સમયસર કાપવા માટે જરૂરી ઝડપ $= \frac{180 \, km}{2 \, \text{કલાક}} = 90 \, km/h$.
ઝડપમાં જરૂરી વધારો $= 90 \, km/h - 60 \, km/h = 30 \, km/h$.

(A) ટ્રેનની ઝડપ $54 \ km/h$ આપેલી છે.
ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{ઝડપ} = 54 \times \frac{5}{18} = 3 \times 5 = 15 \ m/s$.
જ્યારે ટ્રેન સ્થિર થાંભલાને પસાર કરે છે,ત્યારે કાપેલું અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ જેટલું હોય છે.
$\text{અંતર} = 300 \ m$.
$\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{300}{15} = 20 \ seconds$.

(B) $10 \, km/h$ ની ઝડપે $5 \, km$ નું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય:
સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{5}{10} = 0.5 \, \text{કલાક}$.
$1 \, \text{કલાક} = 60 \, \text{minutes}$ હોવાથી, $0.5 \, \text{કલાક} = 30 \, \text{minutes}$ થાય.
માણસ દર $1 \, km$ પછી આરામ કરે છે. $5 \, km$ કાપવા માટે, તે $1, 2, 3$ અને $4 \, km$ ના અંતે આરામ કરશે. $5 \, km$ પછી તે આરામ કરશે નહીં કારણ કે તે તેના ગંતવ્ય સ્થાને પહોંચી ગયો છે.
કુલ આરામની સંખ્યા $= 4$.
કુલ આરામનો સમય $= 4 \times 5 \, \text{minutes} = 20 \, \text{minutes}$.
કુલ લાગતો સમય $= 30 \, \text{minutes} + 20 \, \text{minutes} = 50 \, \text{minutes}$.

(A) બે ટ્રેનોની સાપેક્ષ ઝડપ $= 93 + 51 = 144 \, km/h$.
$m/s$ માં રૂપાંતર: $144 \times \frac{5}{18} = 40 \, m/s$.
ધારો કે પ્રથમ ટ્રેનની લંબાઈ $L$ છે. બીજી ટ્રેનની લંબાઈ $\frac{L}{2}$ છે.
ઓળંગતી વખતે કાપેલું કુલ અંતર $= L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$.
કુલ અંતર $= \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય} = 40 \times 24 = 960 \, m$.
તેથી,$\frac{3L}{2} = 960 \implies L = 960 \times \frac{2}{3} = 640 \, m$.
પ્રથમ ટ્રેન $93 \, km/h$ ની ઝડપે $x$ લંબાઈના પુલને $66 \, s$ માં ઓળંગે છે.
ટ્રેનની ઝડપ $m/s$ માં $= 93 \times \frac{5}{18} = \frac{155}{6} \, m/s$.
કાપેલું અંતર $= \text{ટ્રેનની લંબાઈ} + \text{પુલની લંબાઈ} = 640 + x$.
$640 + x = \frac{155}{6} \times 66 = 155 \times 11 = 1705$.
$x = 1705 - 640 = 1065 \, m$.

(C) ધારો કે પોલીસકર્મીના એક પગલાનું અંતર $P$ છે અને ચોરના એક પગલાનું અંતર $T$ છે.
આપેલ છે કે $5P = 7T$, તેથી $P/T = 7/5$.
સમાન સમયગાળામાં, પોલીસકર્મી $8$ પગલાં ભરે છે અને ચોર $10$ પગલાં ભરે છે.
પોલીસકર્મી દ્વારા $8$ પગલામાં કાપેલું અંતર $= 8P$.
ચોર દ્વારા $10$ પગલામાં કાપેલું અંતર $= 10T$.
તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર એ સમાન સમયમાં કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર છે:
$\text{ગુણોત્તર} = (8P) / (10T) = (8/10) \times (P/T)$.
$P/T = 7/5$ મૂકતા:
$\text{ગુણોત્તર} = (8/10) \times (7/5) = 56 / 50 = 28 / 25$.
આમ, પોલીસકર્મી અને ચોરની ઝડપનો ગુણોત્તર $28:25$ છે.

(C) અને $B$ વચ્ચેનું કુલ અંતર $20 \text{ km}$ છે.
તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં (એકબીજા તરફ) ચાલી રહ્યા હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપનો સરવાળો થશે: $4 \text{ km/hr} + 6 \text{ km/hr} = 10 \text{ km/hr}$.
મળવા માટે લાગતો સમય શોધવાનું સૂત્ર: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}}$.
$\text{સમય} = \frac{20 \text{ km}}{10 \text{ km/hr}} = 2 \text{ કલાક}$.
તેઓએ સવારે $7$ વાગ્યે ચાલવાનું શરૂ કર્યું હોવાથી,તેઓ $7 + 2 = 9$ વાગ્યે (સવારે) મળશે.

(B) ધારો કે અંતર $d \, km$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $s \, km/h$ છે.
ઝડપ $s$ પર લાગતો સમય $t = \frac{d}{s} \, \text{કલાક}$ છે.
કિસ્સો $1$: જો ઝડપ $10 \, km/h$ વધારવામાં આવે,તો લાગતો સમય $t - 1$ છે.
$\frac{d}{s+10} = \frac{d}{s} - 1 \implies \frac{d}{s} - \frac{d}{s+10} = 1 \implies \frac{10d}{s(s+10)} = 1 \implies 10d = s(s+10) \dots (i)$.
કિસ્સો $2$: જો ઝડપ $20 \, km/h$ વધારવામાં આવે (કુલ વધારો),તો લાગતો સમય $t - 1 - \frac{45}{60} = t - 1.75 = t - \frac{7}{4}$ છે.
$\frac{d}{s+20} = \frac{d}{s} - \frac{7}{4} \implies \frac{d}{s} - \frac{d}{s+20} = \frac{7}{4} \implies \frac{20d}{s(s+20)} = \frac{7}{4} \implies 80d = 7s(s+20) \dots (ii)$.
$(i)$ પરથી,$d = \frac{s(s+10)}{10}$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા:
$80 \left( \frac{s(s+10)}{10} \right) = 7s(s+20) \implies 8s(s+10) = 7s(s+20)$.
$s \neq 0$ હોવાથી,$8s + 80 = 7s + 140 \implies s = 60 \, km/h$.
$s = 60$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$10d = 60(60+10) = 60 \times 70 = 4200 \implies d = 420 \, km$.

(D) પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા લેવાયેલ સમય $= 4 \text{ કલાક}.$
બીજી ટ્રેન દ્વારા લેવાયેલ સમય $= 3.5 \text{ કલાક} = \frac{7}{2} \text{ કલાક}.$
ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $D$ છે.
પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ $(v_1) = \frac{D}{4}.$
બીજી ટ્રેનની ઝડપ $(v_2) = \frac{D}{3.5} = \frac{2D}{7}.$
પ્રથમ ટ્રેન સવારે $7:00$ વાગ્યે અને બીજી ટ્રેન સવારે $8:00$ વાગ્યે ઉપડે છે.
$1 \text{ કલાકમાં}$ (સવારે $7:00$ થી $8:00$ સુધી),પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા કપાયેલ અંતર $= v_1 \times 1 = \frac{D}{4}.$
સવારે $8:00$ વાગ્યે બાકી રહેલું અંતર $= D - \frac{D}{4} = \frac{3D}{4}.$
ટ્રેનો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $= v_1 + v_2 = \frac{D}{4} + \frac{2D}{7} = \frac{7D + 8D}{28} = \frac{15D}{28}.$
સવારે $8:00$ વાગ્યા પછી મળવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{બાકી રહેલું અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{3D/4}{15D/28} = \frac{3}{4} \times \frac{28}{15} = \frac{7}{5} \text{ કલાક}.$
$\frac{7}{5} \text{ કલાક} = 1 \text{ કલાક અને } 24 \text{ મિનિટ}.$
મળવાનો સમય $= 8:00 \text{ am} + 1 \text{ કલાક } 24 \text{ મિનિટ} = 9:24 \text{ am}.$

(A) ધારો કે ઘર અને સ્ટેશન વચ્ચેનું અંતર $D\, km$ છે અને ટ્રેનનો નિર્ધારિત સમય $T\, hours$ છે.
જ્યારે $5\, km/hr$ ની ઝડપે ચાલીએ ત્યારે લાગતો સમય $\frac{D}{5}$ કલાક છે. કારણ કે હું $7\, minutes$ $(7/60\, hours)$ થી ટ્રેન ચૂકી જાઉં છું,તેથી લાગતો સમય $T + 7/60$ છે.
તેથી,$\frac{D}{5} = T + \frac{7}{60} \implies T = \frac{D}{5} - \frac{7}{60} \dots (1)$
જ્યારે $6\, km/hr$ ની ઝડપે ચાલીએ ત્યારે લાગતો સમય $\frac{D}{6}$ કલાક છે. કારણ કે હું $5\, minutes$ $(5/60\, hours)$ વહેલો પહોંચું છું,તેથી લાગતો સમય $T - 5/60$ છે.
તેથી,$\frac{D}{6} = T - \frac{5}{60} \implies T = \frac{D}{6} + \frac{5}{60} \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{D}{5} - \frac{7}{60} = \frac{D}{6} + \frac{5}{60}$
$\frac{D}{5} - \frac{D}{6} = \frac{5}{60} + \frac{7}{60}$
$\frac{6D - 5D}{30} = \frac{12}{60}$
$\frac{D}{30} = \frac{1}{5}$
$D = \frac{30}{5} = 6\, km$
આમ,અંતર $6\, km$ છે.