Ratio and Proportion Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $3A = 4B = 5C = k$ है (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
अतः,$A = k/3$,$B = k/4$,और $C = k/5$ होगा।
अनुपात $A : B : C$ ज्ञात करने के लिए:
$A : B : C = k/3 : k/4 : k/5$।
$k$ से भाग देने पर,हमें $1/3 : 1/4 : 1/5$ प्राप्त होता है।
इसे सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को $3, 4,$ और $5$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $60$ से गुणा करें।
$A : B : C = (60/3) : (60/4) : (60/5) = 20 : 15 : 12$।

(A) दिए गए समीकरण $3 A = 5 B$ और $2 B = 3 C$ हैं।
$3 A = 5 B$ से,हमें $\frac{A}{B} = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है,अतः $A : B = 5 : 3$ है।
$2 B = 3 C$ से,हमें $\frac{B}{C} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है,अतः $B : C = 3 : 2$ है।
$A : C$ ज्ञात करने के लिए,हम अनुपातों का गुणा करते हैं:
$A : C = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{5}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.
अतः,$A : C = 5 : 2$ है।

(A) मान लीजिए कि अजय,अमन,सुमन और गीता के हिस्से क्रमशः $A, B, C$ और $D$ हैं।
हमें दिया गया है: $A:B = 8:15$,$B:C = 5:8$ और $C:D = 4:5$।
संयुक्त अनुपात $A:B:C:D$ ज्ञात करने के लिए,हम सामान्य पदों को बराबर करते हैं:
$A:B = 8:15$
$B:C = 5:8 = (5 \times 3) : (8 \times 3) = 15:24$
अब हमारे पास $A:B:C = 8:15:24$ है।
आगे,$C:D = 4:5 = (4 \times 6) : (5 \times 6) = 24:30$।
इस प्रकार,संयुक्त अनुपात $A:B:C:D = 8:15:24:30$ है।
किराए के कुल भाग $8 + 15 + 24 + 30 = 77$ हैं।
सुमन का हिस्सा $C$ भाग के अनुरूप है,जो $24$ है।
इसलिए,सुमन द्वारा भुगतान किया गया किराए का हिस्सा $\frac{24}{77}$ है।

(B) दिया गया है कि अंजू $(A)$ और संजू $(S)$ के पास मौजूद धन का अनुपात $A:S = 4:5$ है।
संजू $(S)$ और मंजू $(M)$ के पास मौजूद धन का अनुपात $S:M = 5:6$ है।
चूंकि संजू का हिस्सा दोनों अनुपातों में समान $(5)$ है,इसलिए हम इन्हें सीधे $A:S:M = 4:5:6$ के रूप में जोड़ सकते हैं।
मान लीजिए कि उनके पास मौजूद राशि क्रमशः $4x$,$5x$ और $6x$ है।
चूंकि अंजू के पास $₹280$ हैं,इसलिए $4x = 280$ होगा।
$x$ का मान ज्ञात करने पर,$x = \frac{280}{4} = 70$ प्राप्त होता है।
अतः,मंजू के पास मौजूद धन की राशि $6x = 6 \times 70 = ₹420$ है।

(B) दिया गया है,$A:B = 3:5$ और $B:C = 4:7$ है।
संयुक्त अनुपात $A:B:C$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों में $B$ का मान समान करते हैं।
$5$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $20$ है।
पहले अनुपात को $4$ से गुणा करने पर $A:B = 12:20$ प्राप्त होता है।
दूसरे अनुपात को $5$ से गुणा करने पर $B:C = 20:35$ प्राप्त होता है।
अतः,संयुक्त अनुपात $A:B:C = 12:20:35$ है।
अनुपात के भागों का योग $12 + 20 + 35 = 67$ है।
छात्रों की कुल संख्या $201$ है।
खंड $A$ में छात्रों की संख्या $\frac{12}{67} \times 201 = 12 \times 3 = 36$ है।

(A) मान लीजिए कि तीन संख्याएँ $A, B,$ और $C$ हैं।
हमें अनुपात $A:B = 2:3$ और $B:C = 7:9$ दिए गए हैं।
संयुक्त अनुपात $A:B:C$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों में $B$ का मान समान करेंगे।
$3$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $21$ है।
पहले अनुपात को $7$ से और दूसरे अनुपात को $3$ से गुणा करने पर:
$A:B = (2 \times 7) : (3 \times 7) = 14:21$
$B:C = (7 \times 3) : (9 \times 3) = 21:27$
अतः,$A:B:C = 14:21:27$ है।
मान लीजिए कि संख्याएँ $14x, 21x,$ और $27x$ हैं।
संख्याओं का योग $124$ है,इसलिए $14x + 21x + 27x = 124$ है।
$62x = 124$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
तीसरी संख्या $27x = 27 \times 2 = 54$ है।

(B) दिए गए अनुपात $A:B = 3:2$,$B:C = 5:4$,और $C:D = 3:7$ हैं।
संयुक्त अनुपात $A:B:C:D$ ज्ञात करने के लिए,हम उभयनिष्ठ पदों को समान करते हैं:
$A:B = 3:2 = 15:10$
$B:C = 5:4 = 15:12$
$A:B:C = 15:10:8$ प्राप्त होता है।
अब,$A:B:C = 15:10:8$ और $C:D = 3:7$ है।
$C$ को समान करने के लिए,$A:B:C$ को $3$ से और $C:D$ को $8$ से गुणा करने पर:
$A:B:C = 45:30:24$
$C:D = 24:56$
अतः,$A:B:C:D = 45:30:24:56$ प्राप्त होता है।
अनुपात के भागों का योग $45 + 30 + 24 + 56 = 155$ है।
$B$ का हिस्सा $= (30 / 155) \times 77500 = 30 \times 500 = ₹ 15000$।

(A) माना कि दो संख्याएँ $3x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक संख्या में $10$ जोड़ा जाता है,तो नया अनुपात $5: 7$ हो जाता है।
अतः,$\frac{3x + 10}{5x + 10} = \frac{5}{7}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $7(3x + 10) = 5(5x + 10)$.
$21x + 70 = 25x + 50$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $70 - 50 = 25x - 21x$.
$20 = 4x$,जिससे $x = 5$ प्राप्त होता है।
संख्याएँ $3x = 3 \times 5 = 15$ और $5x = 5 \times 5 = 25$ हैं।
अतः,वे संख्याएँ $15$ और $25$ हैं।

(B) माना कि दो संख्याएँ $2x$ और $3x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक संख्या में $4$ जोड़ा जाता है,तो नया अनुपात $5: 7$ हो जाता है।
अतः,$\frac{2x + 4}{3x + 4} = \frac{5}{7}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $7(2x + 4) = 5(3x + 4)$.
$14x + 28 = 15x + 20$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $28 - 20 = 15x - 14x$.
$x = 8$.
इसलिए,पहली संख्या $2x = 2 \times 8 = 16$ है।
दूसरी संख्या $3x = 3 \times 8 = 24$ है।
अतः,वे संख्याएँ $16$ और $24$ हैं।

(A) माना कि दो संख्याएँ $5x$ और $6x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक में से $5$ घटाया जाता है,तो अनुपात $4:5$ हो जाता है।
अतः,$\frac{5x - 5}{6x - 5} = \frac{4}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $5(5x - 5) = 4(6x - 5)$.
$25x - 25 = 24x - 20$.
$25x - 24x = 25 - 20$.
$x = 5$.
इसलिए,पहली संख्या $5 \times 5 = 25$ है और दूसरी संख्या $6 \times 5 = 30$ है।
अतः,वे संख्याएँ $25$ और $30$ हैं।

(C) माना सुरेश और महेश की वर्तमान आयु क्रमशः $7x$ और $5x$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,$6$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $4:3$ होगा।
अतः,$\frac{7x + 6}{5x + 6} = \frac{4}{3}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $3(7x + 6) = 4(5x + 6)$.
$21x + 18 = 20x + 24$.
$21x - 20x = 24 - 18$.
$x = 6$.
महेश की वर्तमान आयु $5x = 5 \times 6 = 30$ वर्ष है।

(A) माना सीता और गीता की वर्तमान आयु क्रमशः $4x$ और $3x$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,$4$ वर्ष पहले,उनकी आयु क्रमशः $(4x - 4)$ और $(3x - 4)$ थी।
$4$ वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात $2:1$ था।
अतः,$\frac{4x - 4}{3x - 4} = \frac{2}{1}$.
तिर्यक गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $4x - 4 = 2(3x - 4)$.
$4x - 4 = 6x - 8$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $8 - 4 = 6x - 4x$.
$4 = 2x$,जिसका अर्थ है कि $x = 2$.
सीता की वर्तमान आयु $4x = 4 \times 2 = 8$ वर्ष है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $5x$ और $8x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,प्रत्येक में $12$ जोड़ने पर अनुपात $3: 4$ प्राप्त होता है।
$\frac{5x + 12}{8x + 12} = \frac{3}{4}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$4(5x + 12) = 3(8x + 12)$
$20x + 48 = 24x + 36$
$48 - 36 = 24x - 20x$
$12 = 4x$
$x = 3$
अतः,पहली संख्या $5 \times 3 = 15$ और दूसरी संख्या $8 \times 3 = 24$ है।
दोनों संख्याओं का योग $15 + 24 = 39$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $5x$ और $7x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक में से $25$ घटाया जाए,तो अनुपात $35: 59$ हो जाता है।
$\frac{5x - 25}{7x - 25} = \frac{35}{59}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$59(5x - 25) = 35(7x - 25)$
$295x - 1475 = 245x - 875$
$295x - 245x = 1475 - 875$
$50x = 600$
$x = 12$
अतः,पहली संख्या $5 \times 12 = 60$ है और दूसरी संख्या $7 \times 12 = 84$ है।
दोनों संख्याओं के बीच का अंतर $84 - 60 = 24$ है।

(C) दिया गया अनुपात $7: 13$ है। मान लीजिए कि प्रत्येक पद में $x$ जोड़ा जाता है।
प्रश्न के अनुसार,नया अनुपात $\frac{7+x}{13+x} = \frac{2}{3}$ है।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $3(7+x) = 2(13+x)$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $21 + 3x = 26 + 2x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर: $21 + x = 26$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $21$ घटाने पर: $x = 26 - 21 = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का मान $5$ है।

(A) माना कि घटाई जाने वाली संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास समीकरण है:
$\frac{12 - x}{17 - x} = \frac{2}{3}$
पदों का वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$3(12 - x) = 2(17 - x)$
$36 - 3x = 34 - 2x$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$36 - 34 = 3x - 2x$
$x = 2$
अतः,अभीष्ट संख्या $2$ है।

(B) यदि चार संख्याएँ $a, b, c$ और $d$ में एक अचर $k$ जोड़ने के बाद वे समानुपात में हों,तो शर्त $\frac{a+k}{b+k} = \frac{c+k}{d+k}$ होती है।
यहाँ $a=7, b=16, c=43, d=79$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{7+k}{16+k} = \frac{43+k}{79+k}$.
वज्र-गुणन करने पर: $(7+k)(79+k) = (16+k)(43+k)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $553 + 7k + 79k + k^2 = 688 + 16k + 43k + k^2$.
सरल करने पर: $553 + 86k = 688 + 59k$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $86k - 59k = 688 - 553$.
$27k = 135$.
$k = \frac{135}{27} = 5$.
अतः,$k$ का मान $5$ है।

(A) माना कि घटाई जाने वाली संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्याएँ $(15-x), (28-x), (20-x)$ और $(38-x)$ समानुपात में हैं।
अतः,$\frac{15-x}{28-x} = \frac{20-x}{38-x}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $(15-x)(38-x) = (20-x)(28-x)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $570 - 15x - 38x + x^2 = 560 - 20x - 28x + x^2$.
सरल करने पर: $570 - 53x = 560 - 48x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $570 - 560 = 53x - 48x$.
$10 = 5x$.
$x = 2$.
अतः,अभीष्ट संख्या $2$ है।

(A) माना कि जोड़ी जाने वाली संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,पहली दो संख्याओं का अनुपात अंतिम दो संख्याओं के अनुपात के बराबर हो जाता है:
$\frac{8+x}{21+x} = \frac{13+x}{31+x}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$(8+x)(31+x) = (13+x)(21+x)$
$248 + 8x + 31x + x^2 = 273 + 13x + 21x + x^2$
$248 + 39x = 273 + 34x$
दोनों पक्षों से $34x$ घटाने पर:
$248 + 5x = 273$
दोनों पक्षों से $248$ घटाने पर:
$5x = 273 - 248$
$5x = 25$
$x = 5$
अतः,अभीष्ट संख्या $5$ है।

(B) माना $A$ और $B$ की आय क्रमशः $3x$ और $2x$ है।
माना $A$ और $B$ का व्यय क्रमशः $5y$ और $3y$ है।
हम जानते हैं कि $\text{आय} - \text{व्यय} = \text{बचत}$.
$A$ के लिए: $3x - 5y = 1000$ ---$(1)$
$B$ के लिए: $2x - 3y = 1000$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ को $3$ से और समीकरण $(2)$ को $5$ से गुणा करने पर:
$9x - 15y = 3000$ ---$(3)$
$10x - 15y = 5000$ ---$(4)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(10x - 9x) = 5000 - 3000$
$x = 2000$
$A$ की आय $3x = 3 \times 2000 = ₹ 6000$ है।

(A) मान लीजिए कि पुरुष और उसकी पत्नी की आय क्रमशः $5x$ और $3x$ है।
मान लीजिए कि पुरुष और उसकी पत्नी का व्यय क्रमशः $3y$ और $1y$ है।
यह दिया गया है कि वे समान बचत करते हैं,मान लीजिए प्रत्येक की बचत $S$ है। कुल बचत ₹ $4000$ होने के कारण,प्रत्येक की बचत $S = 4000 / 2 = ₹ 2000$ होगी।
पुरुष के लिए: $5x - 3y = 2000$ (समीकरण $1$)
पत्नी के लिए: $3x - y = 2000$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से,$y = 3x - 2000$.
$y$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $5x - 3(3x - 2000) = 2000$.
$5x - 9x + 6000 = 2000$.
$-4x = -4000$,इसलिए $x = 1000$.
पुरुष की आय = $5x = 5 \times 1000 = ₹ 5000$.
पत्नी की आय = $3x = 3 \times 1000 = ₹ 3000$.

(D) माना गुप्ता और वर्मा की आय क्रमशः $9x$ और $4x$ है।
माना गुप्ता और वर्मा का व्यय क्रमशः $7y$ और $3y$ है।
हम जानते हैं कि $\text{आय} - \text{व्यय} = \text{बचत}$.
गुप्ता के लिए: $9x - 7y = 2000$ ---$(1)$
वर्मा के लिए: $4x - 3y = 2000$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ से,$4x = 2000 + 3y$,इसलिए $x = \frac{2000 + 3y}{4}$.
$x$ का मान $(1)$ में रखने पर: $9(\frac{2000 + 3y}{4}) - 7y = 2000$.
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर: $9(2000 + 3y) - 28y = 8000$.
$18000 + 27y - 28y = 8000$.
$-y = 8000 - 18000 = -10000$.
$y = 10000$.
गुप्ता का व्यय $7y = 7 \times 10000 = ₹ 70000$ है।

(C) प्रारंभिक कुल मिश्रण = $60 \, \text{litres}$.
दूध और पानी का अनुपात = $2:1$.
दूध = $\frac{2}{3} \times 60 = 40 \, \text{litres}$.
पानी = $\frac{1}{3} \times 60 = 20 \, \text{litres}$.
माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $x \, \text{litres}$ है।
दूध और पानी का नया अनुपात = $\frac{40}{20 + x} = \frac{1}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $40 \times 2 = 1 \times (20 + x)$.
$80 = 20 + x$.
$x = 80 - 20 = 60 \, \text{litres}$.
अतः,$60 \, \text{litres}$ पानी मिलाया जाना चाहिए।

(D) माना अल्कोहल की मात्रा $12x$ और पानी की मात्रा $5x$ है।
प्रश्न के अनुसार,जब $14 \text{ लीटर}$ पानी मिलाया जाता है,तो अनुपात $4: 3$ हो जाता है।
अतः,$\frac{12x}{5x + 14} = \frac{4}{3}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$3 \times 12x = 4 \times (5x + 14)$.
$36x = 20x + 56$.
$36x - 20x = 56$.
$16x = 56$.
$x = \frac{56}{16} = 3.5$.
अल्कोहल की मात्रा $12x = 12 \times 3.5 = 42 \text{ लीटर}$ है।
चूंकि $42$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ (इनमें से कोई नहीं) है।

(B) तांबे और चांदी का अनुपात $3:7$ है।
मिश्र धातु में कुल भाग $= 3 + 7 = 10$ है।
चांदी की मात्रा कुल $10$ भागों में से $7$ भाग है।
चांदी का प्रतिशत $= (\frac{7}{10}) \times 100 \% = 70 \%$ है।

(C) माना कि दो मिश्र धातुओं को $x:y$ के अनुपात में मिलाया जाता है।
पहली मिश्र धातु में जस्ते का भाग $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ है।
दूसरी मिश्र धातु में जस्ते का भाग $\frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$ है।
अंतिम मिश्र धातु में जस्ते का भाग $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ होना चाहिए।
एलिगेशन (alligation) के नियम का उपयोग करते हुए:
दूसरी मिश्र धातु और अंतिम मिश्र धातु के बीच का अंतर: $\frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{16-15}{20} = \frac{1}{20}$।
अंतिम मिश्र धातु और पहली मिश्र धातु के बीच का अंतर: $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$।
अनुपात $x:y$ इन अंतरों का अनुपात है:
$x:y = \frac{1}{20} : \frac{1}{12} = 12 : 20 = 3 : 5$।
अतः,मिश्र धातुओं को $3:5$ के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

(A) माना पहले बर्तन में दूध और पानी का अनुपात $5:1$ है। दूध का अंश $\frac{5}{6}$ है।
माना दूसरे बर्तन में दूध और पानी का अनुपात $7:2$ है। दूध का अंश $\frac{7}{9}$ है।
माना मिश्रण को $x:y$ के अनुपात में मिलाया जाता है। अंतिम मिश्रण में दूध का अंश $80\% = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$ है।
भारित औसत सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{x(\frac{5}{6}) + y(\frac{7}{9})}{x+y} = \frac{4}{5}$
हर को हटाने के लिए $90(x+y)$ से गुणा करने पर:
$15(5x) + 10(7y) = 72(x+y)$
$75x + 70y = 72x + 72y$
$3x = 2y$
$\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$
अतः,आवश्यक अनुपात $2:3$ है।

(B) दैनिक संग्रह की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{दैनिक संग्रह} = \text{एक टिकट की कीमत} \times \text{आगंतुकों की संख्या}$.
टिकट मूल्य में परिवर्तन का अनुपात $7:9$ है और आगंतुकों की संख्या में परिवर्तन का अनुपात $13:11$ है।
इसलिए,परिवर्तन से पहले और बाद के दैनिक संग्रह का अनुपात $(7 \times 13) : (9 \times 11) = 91 : 99$ होगा।
यह दिया गया है कि मूल्य वृद्धि से पहले दैनिक संग्रह $₹ 2,27,500$ था,इसलिए हम समीकरण बना सकते हैं:
$\frac{\text{पुराना संग्रह}}{\text{नया संग्रह}} = \frac{91}{99}$.
नया दैनिक संग्रह $= 2,27,500 \times \left(\frac{99}{91}\right)$.
सबसे पहले,$2,27,500$ को $91$ से विभाजित करने पर: $2,27,500 / 91 = 2,500$.
इसके बाद,$99$ से गुणा करने पर: $2,500 \times 99 = 2,47,500$.
अतः,नया दैनिक संग्रह $₹ 2,47,500$ है।

(C) माना कि चुने गए उम्मीदवारों की संख्या $2x$ है और न चुने गए उम्मीदवारों की संख्या $x$ है।
कुल आवेदन करने वाले उम्मीदवार = $2x + x = 3x$।
प्रश्न के अनुसार,यदि $50$ कम उम्मीदवारों ने आवेदन किया होता,तो नई कुल संख्या $3x - 50$ होती।
यदि $25$ कम उम्मीदवार चुने गए होते,तो चुने गए उम्मीदवारों की नई संख्या $2x - 25$ होती।
न चुने गए उम्मीदवारों की नई संख्या $(3x - 50) - (2x - 25) = x - 25$ होती।
चुने गए और न चुने गए उम्मीदवारों का अनुपात $9:4$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{2x - 25}{x - 25} = \frac{9}{4}$
$4(2x - 25) = 9(x - 25)$
$8x - 100 = 9x - 225$
$x = 125$।
कुल आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की संख्या $3x = 3 \times 125 = 375$ है।

(A) माना कि टैंकों की प्रारंभिक संख्या $5x$ और विमानों की संख्या $3x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$1000$ टैंक और $800$ विमान नष्ट होने के बाद,अनुपात $2:1$ हो जाता है।
अतः,$\frac{5x - 1000}{3x - 800} = \frac{2}{1}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें प्राप्त होता है: $5x - 1000 = 2(3x - 800)$.
$5x - 1000 = 6x - 1600$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $1600 - 1000 = 6x - 5x$.
$x = 600$.
युद्ध के बाद टैंकों की संख्या $5x - 1000 = 5(600) - 1000 = 3000 - 1000 = 2000$ है।

(B) दिया गया समीकरण $3 A = 6 B = 9 C$ है।
मान लीजिए $3 A = 6 B = 9 C = x$ है।
तब,$A = \frac{x}{3}$,$B = \frac{x}{6}$,और $C = \frac{x}{9}$ होगा।
अनुपात $A : B : C$ ज्ञात करने के लिए:
$A : B : C = \frac{x}{3} : \frac{x}{6} : \frac{x}{9}$.
इसे सरल बनाने के लिए,हर $3, 6,$ और $9$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करते हैं,जो $18$ है।
प्रत्येक पद को $18$ से गुणा करने पर:
$A : B : C = (\frac{x}{3} \times 18) : (\frac{x}{6} \times 18) : (\frac{x}{9} \times 18)$.
$A : B : C = 6x : 3x : 2x$.
सामान्य चर $x$ को हटाने पर,हमें $A : B : C = 6 : 3 : 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $6 A = 4 B = 9 C = k$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः,$A = \frac{k}{6}$,$B = \frac{k}{4}$,और $C = \frac{k}{9}$ होगा।
इसलिए,अनुपात $A : B : C = \frac{k}{6} : \frac{k}{4} : \frac{k}{9}$ प्राप्त होता है।
$k$ से विभाजित करने पर,हमें $A : B : C = \frac{1}{6} : \frac{1}{4} : \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को $6, 4,$ और $9$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $36$ से गुणा करें।
$A : B : C = (\frac{1}{6} \times 36) : (\frac{1}{4} \times 36) : (\frac{1}{9} \times 36)$।
$A : B : C = 6 : 9 : 4$।

(C) माना कि चतुर्थ आनुपातिक $d$ है।
अनुपात की परिभाषा के अनुसार,यदि $a, b, c$ का चतुर्थ आनुपातिक $d$ है,तो $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ होता है।
यहाँ,$a = 189$,$b = 273$,और $c = 153$ है।
अतः,$\frac{189}{273} = \frac{153}{d}$ है।
$\frac{189}{273}$ भिन्न को $21$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{189 \div 21}{273 \div 21} = \frac{9}{13}$ प्राप्त होता है।
अब,समीकरण $\frac{9}{13} = \frac{153}{d}$ हो जाता है।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$9d = 153 \times 13$ प्राप्त होता है।
$d = \frac{153 \times 13}{9}$.
चूंकि $153 \div 9 = 17$ होता है,इसलिए $d = 17 \times 13 = 221$ है।
अतः,चतुर्थ आनुपातिक $221$ है।

(D) माना कि $Z$ को मिलने वाली राशि $z$ है।
तब,$Y$ को मिलने वाली राशि $\frac{2}{3}z$ है।
और $X$ को मिलने वाली राशि $\frac{4}{5} \times (\frac{2}{3}z) = \frac{8}{15}z$ है।
प्रश्न के अनुसार,उनके हिस्सों का योग $11550$ है:
$\frac{8}{15}z + \frac{2}{3}z + z = 11550$
$\frac{8z + 10z + 15z}{15} = 11550$
$\frac{33z}{15} = 11550$
$33z = 11550 \times 15$
$z = \frac{173250}{33} = 5250$.
अतः,$Z = 5250$.
$X = \frac{8}{15} \times 5250 = 8 \times 350 = 2800$.
$Z$ और $X$ के बीच का अंतर $5250 - 2800 = 2450$ है।

(A) माना पुत्र की वर्तमान आयु $S$ वर्ष है।
जब पुत्र का जन्म हुआ था,तब पुत्र की आयु $0$ थी। उस समय पिता की आयु $11x$ और माता की आयु $10x$ मान लीजिए।
चूंकि पुत्र का जन्म $S$ वर्ष पहले हुआ था,इसलिए पिता और माता की वर्तमान आयु क्रमशः $(11x + S)$ और $(10x + S)$ होगी।
जब पुत्र अपनी वर्तमान आयु का दोगुना होगा,तो उसकी आयु $2S$ होगी। यह आज से $S$ वर्ष बाद होगा।
उस समय,पिता की आयु $(11x + S + S) = 11x + 2S$ और माता की आयु $(10x + S + S) = 10x + 2S$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,उस समय अनुपात $19: 18$ है:
$\frac{11x + 2S}{10x + 2S} = \frac{19}{18}$
$18(11x + 2S) = 19(10x + 2S)$
$198x + 36S = 190x + 38S$
$8x = 2S \implies S = 4x$
अब,$S = 4x$ को वर्तमान आयु के व्यंजकों में रखने पर:
पिता की वर्तमान आयु $= 11x + 4x = 15x$
माता की वर्तमान आयु $= 10x + 4x = 14x$
उनकी वर्तमान आयु का अनुपात $\frac{15x}{14x} = 15: 14$ है।

(A) माना $A$,$B$ और $C$ के भाग क्रमशः $A$,$B$ और $C$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{1}{2} A = \frac{1}{3} B = \frac{1}{6} C = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
इसलिए,$A = 2k$,$B = 3k$ और $C = 6k$।
कुल योग $A + B + C = 1980$ है।
मान रखने पर: $2k + 3k + 6k = 1980$।
$11k = 1980$।
$k = \frac{1980}{11} = 180$।
$B$ का भाग $3k = 3 \times 180 = ₹ 540$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $5x$ और $3x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक में से $9$ घटाया जाता है,तो अनुपात $9:5$ हो जाता है।
अतः,समीकरण है: $\frac{5x - 9}{3x - 9} = \frac{9}{5}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $5(5x - 9) = 9(3x - 9)$.
$25x - 45 = 27x - 81$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $81 - 45 = 27x - 25x$.
$36 = 2x$.
$x = 18$.
अतः,वे दो संख्याएँ $5 \times 18 = 90$ और $3 \times 18 = 54$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{2} A = \frac{2}{5} B = \frac{1}{3} C = k$ है।
इससे,हम $A, B,$ और $C$ को $k$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$A = 2k$
$B = \frac{5k}{2}$
$C = 3k$
अब,अनुपात $A : B : C$ ज्ञात करें:
$A : B : C = 2k : \frac{5k}{2} : 3k$
$k$ से विभाजित करने पर:
$A : B : C = 2 : \frac{5}{2} : 3$
अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को $2$ से गुणा करें:
$A : B : C = (2 \times 2) : (\frac{5}{2} \times 2) : (3 \times 2)$
$A : B : C = 4 : 5 : 6$

(D) माना कि दो संख्याएँ $4x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि दोनों संख्याओं में $4$ जोड़ा जाता है,तो नया अनुपात $5:6$ हो जाता है।
अतः,$\frac{4x + 4}{5x + 4} = \frac{5}{6}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $6(4x + 4) = 5(5x + 4)$.
$24x + 24 = 25x + 20$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $24x - 25x = 20 - 24$.
$-x = -4$,जिसका अर्थ है $x = 4$.
अतः दो संख्याएँ $4(4) = 16$ और $5(4) = 20$ हैं।
दोनों संख्याओं का योग $16 + 20 = 36$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $3x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि दोनों संख्याओं में $8$ जोड़ा जाता है,तो अनुपात $13:19$ हो जाता है।
अतः,समीकरण होगा: $\frac{3x + 8}{5x + 8} = \frac{13}{19}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $19(3x + 8) = 13(5x + 8)$.
$57x + 152 = 65x + 104$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $65x - 57x = 152 - 104$.
$8x = 48$.
$x = 6$.
अतः,संख्याएँ $3(6) = 18$ और $5(6) = 30$ हैं।
दोनों संख्याओं का योग $18 + 30 = 48$ है।

(A) मान लीजिए कि तीन संख्याएँ $2x$,$5x$ और $7x$ हैं,जहाँ $x$ एक सामान्य गुणक है।
प्रश्न के अनुसार,सबसे छोटी $(2x)$ और सबसे बड़ी $(7x)$ संख्या का योग दूसरी संख्या $(5x)$ और $16$ के योग के बराबर है।
इसलिए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: $2x + 7x = 5x + 16$.
समीकरण को सरल करने पर: $9x = 5x + 16$.
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर: $4x = 16$.
$4$ से भाग देने पर: $x = 4$.
सबसे छोटी संख्या $2x = 2(4) = 8$ है।

(D) माना कि तीन संख्याएँ $3x$,$6x$ और $8x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनका गुणनफल $9216$ है।
अतः,$(3x) \times (6x) \times (8x) = 9216$.
$144x^3 = 9216$.
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर:
$x^3 = \frac{9216}{144} = 64$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$x = \sqrt[3]{64} = 4$.
अतः तीन संख्याएँ $3(4) = 12$,$6(4) = 24$ और $8(4) = 32$ हैं।
तीनों संख्याओं का योग $12 + 24 + 32 = 68$ है।

(C) माना कि तीन संख्याएँ $2x, 3x$ और $5x$ हैं।
दिया गया है कि इन संख्याओं का योग $275$ है।
अतः,$2x + 3x + 5x = 275$.
$10x = 275$.
$x = 275 / 10 = 27.5$.
सबसे बड़ी संख्या $5x$ है।
सबसे बड़ी संख्या $= 5 \times 27.5 = 137.5$.

(C) दिया गया अनुपात: $\frac{x+y}{x-y} = \frac{11}{1}$ है।
वज्र-गुणन करने पर: $x+y = 11(x-y)$ प्राप्त होता है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x+y = 11x - 11y$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान $y$ के पदों में ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $11y + y = 11x - x$,जो सरल होकर $12y = 10x$ हो जाता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $6y = 5x$ या $x = \frac{6y}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,$x = \frac{6y}{5}$ को व्यंजक $\frac{5x+3y}{x-2y}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
अंश: $5(\frac{6y}{5}) + 3y = 6y + 3y = 9y$ है।
हर: $\frac{6y}{5} - 2y = \frac{6y - 10y}{5} = \frac{-4y}{5}$ है।
अतः,मान $\frac{9y}{-4y/5} = 9y \times (\frac{-5}{4y}) = \frac{-45}{4}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $6 A = 11 B = 7 C = k$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः,$A = k/6$,$B = k/11$,और $C = k/7$ प्राप्त होता है।
अनुपात $A : B : C$ ज्ञात करने के लिए:
$A : B : C = k/6 : k/11 : k/7$
$k$ से भाग देने पर,हमें $1/6 : 1/11 : 1/7$ प्राप्त होता है।
इसे सरल बनाने के लिए,$6, 11,$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करें,जो $6 \times 11 \times 7 = 462$ है।
$A : B : C = (462/6) : (462/11) : (462/7)$
$A : B : C = 77 : 42 : 66$.

(A) दिया गया समीकरण $5A = 12B = 13C = k$ है (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
अतः,$A = k/5$,$B = k/12$,और $C = k/13$ है।
अनुपात $A:B:C$ ज्ञात करने के लिए,हमारे पास $k/5 : k/12 : k/13$ है।
$k$ से भाग देने पर,हमें $1/5 : 1/12 : 1/13$ प्राप्त होता है।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को $5, 12,$ और $13$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ से गुणा करें।
$LCM(5, 12, 13) = 5 \times 12 \times 13 = 780$ है।
प्रत्येक पद को $780$ से गुणा करने पर:
$A = 780 / 5 = 156$
$B = 780 / 12 = 65$
$C = 780 / 13 = 60$
अतः,$A:B:C = 156: 65: 60$।

(D) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि माध्य समानुपात $10$ है,इसलिए $\sqrt{ab} = 10$,जिसका अर्थ है $ab = 100$.
दिया गया है कि तीसरा समानुपात $1024$ है,दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,तीसरा समानुपात $c$ को $a:b = b:c$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए $c = b^2/a = 1024$.
$ab = 100$ से,हमें $a = 100/b$ प्राप्त होता है।
$a$ का मान तीसरे समानुपात के समीकरण में रखने पर: $b^2 / (100/b) = 1024$,जो सरल होकर $b^3 / 100 = 1024$ हो जाता है।
अतः,$b^3 = 102400$। यह मान विकल्पों के साथ मेल नहीं खाता है।
यदि प्रश्न में माध्य समानुपात $16$ और तीसरा समानुपात $128$ हो,तो $\sqrt{ab}=16 \implies ab=256$ और $b^2/a=128 \implies b=32, a=8$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $D$ है।

(B) दिए गए समीकरण $3P = 2Q$ और $2Q = 3R$ हैं।
$3P = 2Q$ से,हमें अनुपात $P:Q = 2:3$ प्राप्त होता है।
$2Q = 3R$ से,हमें अनुपात $Q:R = 3:2$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों अनुपातों में $Q$ का मान $3$ समान है,इसलिए हम उन्हें सीधे जोड़ सकते हैं।
अतः,$P:Q:R = 2:3:2$ होगा।

(C) दिया गया है कि $\frac{A}{3} = \frac{B}{2} = \frac{C}{5} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
इसलिए,$A = 3k$,$B = 2k$,और $C = 5k$ है।
हमें अनुपात $(C+A)^{2} : (A+B)^{2} : (B+C)^{2}$ ज्ञात करना है।
$A, B,$ और $C$ के मान $k$ के पदों में रखने पर:
$(C+A)^{2} = (5k + 3k)^{2} = (8k)^{2} = 64k^{2}$।
$(A+B)^{2} = (3k + 2k)^{2} = (5k)^{2} = 25k^{2}$।
$(B+C)^{2} = (2k + 5k)^{2} = (7k)^{2} = 49k^{2}$।
अतः,अनुपात $64k^{2} : 25k^{2} : 49k^{2}$ है।
$k^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $64 : 25 : 49$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए अनुपात $A: B = 2: 5$,$B: C = 4: 3$ और $C: D = 2: 1$ हैं।
$A: B: C$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों में $B$ का मान समान करते हैं। $A: B$ को $4$ से और $B: C$ को $5$ से गुणा करने पर:
$A: B = (2 \times 4) : (5 \times 4) = 8: 20$
$B: C = (4 \times 5) : (3 \times 5) = 20: 15$
अतः,$A: B: C = 8: 20: 15$ है।
अब,$A: B: C: D$ ज्ञात करने के लिए,हम $C: D = 2: 1$ का उपयोग करते हैं। हम $A: B: C$ में $C$ का मान $(15)$ और $C: D$ में $C$ का मान $(2)$ समान करते हैं। $A: B: C$ को $2$ से और $C: D$ को $15$ से गुणा करने पर:
$A: B: C = (8 \times 2) : (20 \times 2) : (15 \times 2) = 16: 40: 30$
$C: D = (2 \times 15) : (1 \times 15) = 30: 15$
इस प्रकार,$A: B: C: D = 16: 40: 30: 15$ है।
इसलिए,$A: C: D = 16: 30: 15$ है।