Ratio and Proportion Questions in Hindi

(D) माना कि चतुर्थ समानुपाती $x$ है।
समानुपात की परिभाषा के अनुसार,$286 : 78 = 1342 : x$ है।
इसे $\frac{286}{78} = \frac{1342}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें $286 \times x = 78 \times 1342$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान ज्ञात करने पर,$x = \frac{78 \times 1342}{286}$।
$x = \frac{104676}{286} = 366$।
अतः,चतुर्थ समानुपाती $366$ है।

(A) माना एक रुपये के सिक्कों,$50$-पैसे के सिक्कों और $25$-पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः $5x, 7x$ और $12x$ है।
एक रुपये के सिक्कों का मूल्य $= 5x \times 1 = 5x$ रुपये।
$50$-पैसे के सिक्कों का मूल्य $= 7x \times 0.5 = 3.5x$ रुपये।
$25$-पैसे के सिक्कों का मूल्य $= 12x \times 0.25 = 3x$ रुपये।
कुल मूल्य $= 5x + 3.5x + 3x = 11.5x$।
दिया गया है कि कुल मूल्य $₹ 115$ है,इसलिए:
$11.5x = 115$
$x = \frac{115}{11.5} = 10$।
अतः,सिक्कों की संख्या इस प्रकार है:
एक रुपये के सिक्के $= 5 \times 10 = 50$।
$50$-पैसे के सिक्के $= 7 \times 10 = 70$।
$25$-पैसे के सिक्के $= 12 \times 10 = 120$।

(B) माना कि दो संख्याएँ $3k$ और $5k$ हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक में से $9$ घटाया जाता है,तो अनुपात $12: 23$ हो जाता है।
अतः,$\frac{3k - 9}{5k - 9} = \frac{12}{23}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiply) करने पर: $23(3k - 9) = 12(5k - 9)$.
पदों का विस्तार करने पर: $69k - 207 = 60k - 108$.
$k$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $69k - 60k = 207 - 108$.
$9k = 99$.
$k = 11$.
छोटी संख्या $3k = 3 \times 11 = 33$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $k$ और $2k$ हैं जो $1:2$ के अनुपात में हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि दोनों संख्याओं में $7$ जोड़ा जाता है,तो नया अनुपात $3:5$ हो जाता है:
$\frac{k+7}{2k+7} = \frac{3}{5}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$5(k+7) = 3(2k+7)$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$5k + 35 = 6k + 21$
$k$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$35 - 21 = 6k - 5k$
$k = 14$
अतः,दो संख्याएँ $k = 14$ और $2k = 2(14) = 28$ हैं।
इसलिए,सबसे बड़ी संख्या $28$ है।

(B) दिया गया अनुपात $0.75 : x :: 5 : 8$ है।
समानुपात के नियम के अनुसार,बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल,अर्थात $a \times d = b \times c$ होता है।
दिए गए समीकरण में इसे लागू करने पर:
$0.75 \times 8 = x \times 5$
$6 = 5x$
$x = \frac{6}{5}$
$x = 1.20$

(C) दिया गया अनुपात $x: y = 5: 2$ है,इसलिए हम मान सकते हैं कि $x = 5k$ और $y = 2k,$ जहाँ $k \neq 0$ एक स्थिरांक है।
इन मानों को व्यंजक $\frac{8x + 9y}{8x + 2y}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{8(5k) + 9(2k)}{8(5k) + 2(2k)} = \frac{40k + 18k}{40k + 4k}$
$= \frac{58k}{44k}$
$= \frac{58}{44} = \frac{29}{22}$
अतः,अनुपात $29: 22$ है।

(D) माना रवि और सुमित का प्रारंभिक वेतन क्रमशः $2x$ और $3x$ है।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक वेतन में $₹4000$ की वृद्धि की जाती है,तो नया अनुपात $40:57$ हो जाता है।
अतः,$\frac{2x + 4000}{3x + 4000} = \frac{40}{57}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $57(2x + 4000) = 40(3x + 4000)$.
$114x + 228000 = 120x + 160000$.
$120x - 114x = 228000 - 160000$.
$6x = 68000$.
$x = \frac{68000}{6} = \frac{34000}{3}$.
सुमित का वर्तमान वेतन $3x = 3 \times \frac{34000}{3} = ₹34000$ है।

(B) दिया गया है कि $x$ का $10 \% = y$ का $20 \%$ है।
इसे $\frac{10}{100} \times x = \frac{20}{100} \times y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $10x = 20y$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अनुपात $\frac{x}{y} = \frac{20}{10} = \frac{2}{1}$ है।
अतः,$x : y = 2 : 1$ है।

(D) माना $A$ की प्रारंभिक आय $4k$ और $B$ की $7k$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$A$ की आय में $50\%$ की वृद्धि के बाद,$A$ की नई आय $= 4k \times (1 + 0.50) = 4k \times 1.5 = 6k$ होगी।
$B$ की आय में $25\%$ की कमी के बाद,$B$ की नई आय $= 7k \times (1 - 0.25) = 7k \times 0.75 = 5.25k$ होगी।
नया अनुपात $\frac{6k}{5.25k} = \frac{6}{5.25} = \frac{600}{525} = \frac{8}{7}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह अनुपात $k$ के किसी भी मान के लिए सत्य है,इसलिए $k$ का विशिष्ट मान दी गई जानकारी से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
अतः,$A$ की वास्तविक आय की गणना नहीं की जा सकती। आंकड़े अपर्याप्त हैं।

(B) $A: D$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए अनुपातों का गुणा कर सकते हैं:
$A: D = (A/B) \times (B/C) \times (C/D)$
$A: D = (8/15) \times (5/8) \times (4/5)$
उभयनिष्ठ पदों को काटने पर:
$A: D = (8 \times 5 \times 4) / (15 \times 8 \times 5)$
$A: D = 4 / 15$
अतः,$A: D = 4: 15$ है।

(C) दिए गए अनुपात $A: B = 2: 3$,$B: C = 4: 5$ और $C: D = 6: 7$ हैं।
$A: B: C: D$ ज्ञात करने के लिए,हम उभयनिष्ठ पदों को समान करेंगे।
सबसे पहले $A: B: C$ ज्ञात करें,जिसमें $B$ को समान बनाते हुए:
$A: B = 2: 3 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8: 12$
$B: C = 4: 5 = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12: 15$
अतः,$A: B: C = 8: 12: 15$ है।
अब,$C: D = 6: 7$ का उपयोग करके $D$ को शामिल करें:
$C$ को समान करने के लिए,$15$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $30$ है।
$A: B: C = (8 \times 2) : (12 \times 2) : (15 \times 2) = 16: 24: 30$
$C: D = (6 \times 5) : (7 \times 5) = 30: 35$
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $A: B: C: D = 16: 24: 30: 35$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि $A, B$ और $C$ का प्रारंभिक वेतन क्रमशः $2k, 3k$ और $5k$ है।
$15\%$ की वृद्धि के बाद,$A$ का नया वेतन $2k \times (1 + 0.15) = 2k \times 1.15 = 2.3k$ होगा।
$10\%$ की वृद्धि के बाद,$B$ का नया वेतन $3k \times (1 + 0.10) = 3k \times 1.10 = 3.3k$ होगा।
$20\%$ की वृद्धि के बाद,$C$ का नया वेतन $5k \times (1 + 0.20) = 5k \times 1.20 = 6k$ होगा।
उनके नए वेतन का अनुपात $2.3k : 3.3k : 6k$ है।
इसे सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को $10$ से गुणा करने पर: $23 : 33 : 60$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अनुपात $\frac{1}{2}: \frac{2}{3}: \frac{3}{4}$ है।
अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को हरों $(2, 3, 4)$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $12$ से गुणा करें।
अनुपात $= (12 \times \frac{1}{2}) : (12 \times \frac{2}{3}) : (12 \times \frac{3}{4}) = 6 : 8 : 9$.
अनुपात के पदों का योग $6 + 8 + 9 = 23$ है।
पहला भाग $\frac{6}{23} \times 782$ के रूप में निकाला जाता है।
$782 \div 23 = 34$.
पहला भाग $= 6 \times 34 = ₹ 204$.

(D) सबसे पहले,दिए गए अनुपातों को सरल करें:
$A: B = \frac{1}{2}: \frac{3}{8} = \frac{4}{8}: \frac{3}{8} = 4: 3$
$B: C = \frac{1}{3}: \frac{5}{9} = \frac{3}{9}: \frac{5}{9} = 3: 5$
$C: D = \frac{5}{6}: \frac{3}{4} = \frac{10}{12}: \frac{9}{12} = 10: 9$
अब,हमारे पास $A: B = 4: 3$ और $B: C = 3: 5$ है। चूँकि $B$ का मान दोनों में समान है,इसलिए हम इन्हें $A: B: C = 4: 3: 5$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,हमारे पास $A: B: C = 4: 3: 5$ और $C: D = 10: 9$ है।
इन्हें संयोजित करने के लिए,$C$ के मान को समान करना होगा। $A: B: C$ को $2$ से गुणा करने पर $C = 10$ प्राप्त होगा:
$A: B: C = (4 \times 2): (3 \times 2): (5 \times 2) = 8: 6: 10$।
अब,$C: D = 10: 9$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $A: B: C: D = 8: 6: 10: 9$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि तीन संख्याएँ $x, y$ और $z$ हैं।
दिया गया है कि $x + y + z = 98$ है।
हमें अनुपात $x:y = 2:3$ और $y:z = 5:8$ दिए गए हैं।
संयुक्त अनुपात $x:y:z$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों में $y$ पद को समान करते हैं। $3$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $15$ है।
पहले अनुपात को $5$ से गुणा करने पर: $x:y = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10:15$।
दूसरे अनुपात को $3$ से गुणा करने पर: $y:z = (5 \times 3) : (8 \times 3) = 15:24$।
अतः,संयुक्त अनुपात $x:y:z = 10:15:24$ है।
अनुपातों का योग $10 + 15 + 24 = 49$ है।
दूसरी संख्या $y$ की गणना इस प्रकार है:
$y = \frac{15}{49} \times 98 = 15 \times 2 = 30$।

(B) दिया गया है कि हिस्सों का अनुपात $P:Q = 2:3$,$Q:R = 2:3$,और $R:S = 2:3$ है।
संयुक्त अनुपात $P:Q:R:S$ ज्ञात करने के लिए,हम उभयनिष्ठ पदों को समान करते हैं:
$P:Q = 2:3 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8:12$
$Q:R = 2:3 = (2 \times 6) : (3 \times 6) = 12:18$
$R:S = 2:3 = (2 \times 9) : (3 \times 9) = 18:27$
अतः,$P:Q:R:S = 8:12:18:27$ है।
अनुपात के भागों का योग $8 + 12 + 18 + 27 = 65$ है।
$P$ का हिस्सा = $\frac{8}{65} \times 1300 = 8 \times 20 = ₹ 160$।

(B) माना $B$ के पास राशि $x$ है और $A$ के पास राशि $y$ है।
दिया गया है कि $A + B = 1210$,अतः $x + y = 1210$ $(1)$.
साथ ही,$\frac{4}{15} y = \frac{2}{5} x$.
दोनों पक्षों को $15$ से गुणा करने पर,हमें $4y = 6x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $y = \frac{6x}{4} = 1.5x$ मिलता है।
समीकरण $(1)$ में $y = 1.5x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 1.5x = 1210$
$2.5x = 1210$
$x = \frac{1210}{2.5} = 484$.
अतः,$B$ के पास ₹ $484$ हैं।

(C) माना कि तीसरी संख्या $x$ है।
तब,पहली संख्या $= x + 0.20x = 1.2x$ होगी।
दूसरी संख्या $= x + 0.50x = 1.5x$ होगी।
पहली संख्या और दूसरी संख्या का अनुपात $\frac{1.2x}{1.5x} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ होगा।
अतः,अभीष्ट अनुपात $4:5$ है।

(C) माना लड़कों की संख्या $7k$ है और लड़कियों की संख्या $8k$ है।
लड़कों की संख्या में $20\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए लड़कों की नई संख्या $= 7k \times (1 + 0.20) = 7k \times 1.2 = 8.4k$ होगी।
लड़कियों की संख्या में $10\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए लड़कियों की नई संख्या $= 8k \times (1 + 0.10) = 8k \times 1.1 = 8.8k$ होगी।
लड़कों और लड़कियों का नया अनुपात $= 8.4k : 8.8k$ होगा।
दोनों पक्षों को $0.4k$ से विभाजित करने पर,हमें अनुपात $= 21 : 22$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि $A, B, C$ और $D$ के हिस्से क्रमशः $5x, 2x, 4x$ और $3x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$C$ को $D$ से ₹ $1000$ अधिक मिलते हैं।
अतः,$4x - 3x = 1000$।
इससे हमें $x = 1000$ प्राप्त होता है।
हमें $B$ का हिस्सा ज्ञात करना है,जो $2x$ है।
इसलिए,$B$ का हिस्सा = $2 \times 1000 = 2000$ ₹।

(B) माना कि $5, 8, 15$ का चतुर्थ समानुपाती $x$ है।
समानुपात की परिभाषा के अनुसार,$5 : 8 :: 15 : x$ होगा।
इसका अर्थ है $\frac{5}{8} = \frac{15}{x}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$5x = 8 \times 15$ प्राप्त होता है।
$5x = 120$।
$x = \frac{120}{5} = 24$।
अतः,चतुर्थ समानुपाती $24$ है।

(C) माना कि पहली संख्या $x$ है और दूसरी संख्या $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ का $40 \% = y$ का $\frac{2}{3}$ भाग।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $0.4x = \frac{2}{3}y$.
अनुपात $\frac{x}{y}$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण को व्यवस्थित करें:
$\frac{x}{y} = \frac{2}{3 \times 0.4}$.
चूंकि $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{x}{y} = \frac{2}{3 \times (2/5)} = \frac{2}{6/5} = 2 \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
अतः,पहली संख्या और दूसरी संख्या का अनुपात $5: 3$ है।

(D) दिया गया है कि $x$,$y$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए हम संबंध को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x \propto \frac{1}{y^2}$ या $x = \frac{k}{y^2}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिया गया है कि $y=2$ होने पर $x=1$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$1 = \frac{k}{2^2} \implies 1 = \frac{k}{4} \implies k = 4$.
अब,$k=4$ का उपयोग करके $y=6$ होने पर $x$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x = \frac{4}{6^2} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
अतः,$x$ का मान $\frac{1}{9}$ होगा।

(C) कई अनुपातों का मिश्र अनुपात ज्ञात करने के लिए,सभी पूर्व पदों (antecedents) का गुणनफल और सभी उत्तर पदों (consequents) का गुणनफल किया जाता है।
दिए गए अनुपातों $(2: 5)$,$(6: 11)$ और $(11: 3)$ के लिए:
मिश्र अनुपात $= \frac{2 \times 6 \times 11}{5 \times 11 \times 3}$
$= \frac{132}{165}$
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $(GCD)$,जो कि $33$ है,से विभाजित करने पर:
$= \frac{132 \div 33}{165 \div 33} = \frac{4}{5}$
अतः,मिश्र अनुपात $4: 5$ है।

(A) माना कि अनुपात के पद $4$ और $5$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि दोनों पदों से $x$ घटाया जाए,तो नया अनुपात $3:4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{4-x}{5-x} = \frac{3}{4}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$4(4-x) = 3(5-x)$
$16 - 4x = 15 - 3x$
$16 - 15 = 4x - 3x$
$x = 1$
अतः,सही उत्तर $1$ है।

(B) माना अनुपात के लिए सामान्य गुणक $x$ है।
तब,$P$ का हिस्सा $= 5x$ और $Q$ का हिस्सा $= 6x$ होगा।
दिया गया है कि $Q$ का हिस्सा ₹ $2400$ है,इसलिए $6x = 2400$ होगा।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 2400 / 6 = 400$ प्राप्त होता है।
कुल राशि $P$ और $Q$ के हिस्सों का योग है,जो $5x + 6x = 11x$ है।
$x$ का मान रखने पर,कुल राशि $= 11 \times 400 = ₹ 4400$ होगी।

(C) भुजाओं का अनुपात $a : b : c = 1/2 : 1/3 : 1/4$ दिया गया है।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,हरों $(2, 3, 4)$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $12$ से प्रत्येक पद को गुणा करें।
$a : b : c = (1/2 \times 12) : (1/3 \times 12) : (1/4 \times 12) = 6 : 4 : 3$.
मान लीजिए भुजाएँ $6x, 4x$ और $3x$ हैं।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है: $6x + 4x + 3x = 156$.
$13x = 156$.
$x = 156 / 13 = 12$.
सबसे बड़ी भुजा अनुपात के सबसे बड़े भाग के अनुरूप है,जो $6x$ है।
सबसे बड़ी भुजा $= 6 \times 12 = 72 \text{ cm}$.

(D) माना $P$ और $Q$ की आय क्रमशः $3x$ और $4x$ है।
माना $P$ और $Q$ का व्यय क्रमशः $2y$ और $3y$ है।
हम जानते हैं कि $\text{आय} - \text{व्यय} = \text{बचत}$.
$P$ के लिए: $3x - 2y = 2000$ --- (समीकरण $1$)
$Q$ के लिए: $4x - 3y = 2000$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$2y = 3x - 2000$,इसलिए $y = (3x - 2000) / 2$.
$y$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$4x - 3((3x - 2000) / 2) = 2000$
$2$ से गुणा करने पर: $8x - 3(3x - 2000) = 4000$
$8x - 9x + 6000 = 4000$
$-x = -2000$,इसलिए $x = 2000$.
$P$ की आय $3x = 3 \times 2000 = ₹ 6000$ है।

(C) माना लड़कों की संख्या $6k$ और लड़कियों की संख्या $5k$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
छात्रों की कुल संख्या लड़कों और लड़कियों का योग है: $6k + 5k = 11k$.
यह दिया गया है कि लड़कों की संख्या $192$ है,इसलिए:
$6k = 192$
$k$ का मान ज्ञात करने पर:
$k = \frac{192}{6} = 32$
अब,$k$ का मान छात्रों की कुल संख्या के व्यंजक में रखने पर:
कुल छात्र $= 11k = 11 \times 32 = 352$.
अतः,संस्थान में छात्रों की कुल संख्या $352$ है।

(A) माना कि अभीष्ट भिन्न $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ का $\frac{1}{27}$ के साथ अनुपात,$\frac{3}{11}$ का $\frac{5}{9}$ के साथ अनुपात के बराबर है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{x}{1/27} = \frac{3/11}{5/9}$.
समीकरण को सरल करने पर: $x \times 27 = \frac{3}{11} \times \frac{9}{5}$.
$x \times 27 = \frac{27}{55}$.
दोनों पक्षों को $27$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x = \frac{27}{55} \times \frac{1}{27} = \frac{1}{55}$.
अतः,अभीष्ट भिन्न $\frac{1}{55}$ है।

(D) दिया गया अनुपात $A : B : C = 2 : 3 : 4$ है।
हमें $\frac{A}{B} : \frac{B}{C} : \frac{C}{A}$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक में $A = 2, B = 3$ और $C = 4$ रखने पर:
$\frac{A}{B} : \frac{B}{C} : \frac{C}{A} = \frac{2}{3} : \frac{3}{4} : \frac{4}{2}.$
अंतिम पद को सरल करने पर:
$\frac{4}{2} = 2.$
अतः,अनुपात $\frac{2}{3} : \frac{3}{4} : 2$ हो जाता है।
हरों को हटाने के लिए,प्रत्येक पद को $3$ और $4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $12$ से गुणा करने पर:
$\left(\frac{2}{3} \times 12\right) : \left(\frac{3}{4} \times 12\right) : (2 \times 12) = 8 : 9 : 24.$
इस प्रकार,सही अनुपात $8 : 9 : 24$ है।

(B) माना कि $60, 48$ और $30$ का चतुर्थ समानुपाती $x$ है।
समानुपात की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास $60 : 48 = 30 : x$ है।
इसे $\frac{60}{48} = \frac{30}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
तिर्यक गुणा करने पर $60 \times x = 30 \times 48$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान ज्ञात करने पर,हमें $x = \frac{30 \times 48}{60}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1440}{60} = 24$.
अतः,चतुर्थ समानुपाती $24$ है।

(C) दिया गया अनुपात $27: 72 :: x: 8$ है।
अनुपात $a: b :: c: d$ में,मध्य पदों का गुणनफल चरम पदों के गुणनफल के बराबर होता है,जिसका अर्थ है $a \times d = b \times c$.
वैकल्पिक रूप से,हम इसे भिन्न के रूप में लिख सकते हैं: $\frac{27}{72} = \frac{x}{8}$.
भिन्न $\frac{27}{72}$ के अंश और हर को $9$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{3}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{3}{8} = \frac{x}{8}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए तीसरा समानुपाती $x$ ज्ञात करने हेतु,हम $a:b :: b:x$ संबंध का उपयोग करते हैं।
यहाँ $a = 4$ और $b = 42$ दिया गया है,अतः अनुपात $4:42 :: 42:x$ होगा।
इसे समीकरण $\frac{4}{42} = \frac{42}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{42 \times 42}{4}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1764}{4} = 441$.
अतः,तीसरा समानुपाती $441$ है।

(A) दिया गया अनुपात $18: x = x: 8$ है।
इसे भिन्न रूप में $\frac{18}{x} = \frac{x}{8}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें $x^2 = 18 \times 8$ प्राप्त होता है।
गुणनफल की गणना करने पर,$x^2 = 144$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x = \sqrt{144} = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का मान $12$ है।

(B) माना कि $0.8$ और $0.2$ का तीसरा समानुपाती $x$ है।
तीसरे समानुपाती की परिभाषा के अनुसार,$0.8, 0.2, x$ निरंतर अनुपात में हैं।
इसका अर्थ है कि $0.8 : 0.2 :: 0.2 : x$ है।
इसे हम $\frac{0.8}{0.2} = \frac{0.2}{x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें $0.8 \times x = 0.2 \times 0.2$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{0.2 \times 0.2}{0.8}$.
$x = \frac{0.04}{0.8} = \frac{0.4}{8} = 0.05$.
अतः,तीसरा समानुपाती $0.05$ है।

(C) माना कि $0.2, 0.12$ और $0.3$ का चतुर्थ समानुपाती $x$ है।
समानुपात की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास है:
$0.2 : 0.12 = 0.3 : x$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{0.2}{0.12} = \frac{0.3}{x}$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$0.2 \times x = 0.3 \times 0.12$
$x = \frac{0.3 \times 0.12}{0.2}$
$x = \frac{0.036}{0.2}$
$x = 0.18$
अतः,चतुर्थ समानुपाती $0.18$ है।

(A) अनुपात को $\frac{\text{पूर्वपद}}{\text{उत्तरपद}}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
दिया गया अनुपात $11: 14$ है और पूर्वपद $55$ है।
माना कि उत्तरपद $x$ है।
तब,$\frac{11}{14} = \frac{55}{x}$ होगा।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$11x = 55 \times 14$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{55 \times 14}{11}$.
$x = 5 \times 14 = 70$.
अतः,उत्तरपद $70$ है।

(C) माना $64$ और $81$ के बीच का मध्यानुपाती $x$ है।
परिभाषा के अनुसार,$64 : x :: x : 81$ है।
इसे $\frac{64}{x} = \frac{x}{81}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
तिर्यक गुणा करने पर,$x^2 = 64 \times 81$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x = \sqrt{64 \times 81} = \sqrt{64} \times \sqrt{81}$।
$x = 8 \times 9 = 72$।
अतः,मध्यानुपाती $72$ है।

(B) माना कि $0.25$ और $0.04$ का मध्यानुपाती $x$ है।
परिभाषा के अनुसार,दो संख्याओं $a$ और $b$ का मध्यानुपाती $x = \sqrt{a \times b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x = \sqrt{0.25 \times 0.04}$.
$x = \sqrt{0.01}$.
$x = 0.1$.
अतः,मध्यानुपाती $0.1$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $3x$ और $4x$ हैं,जहाँ $x$ एक उभयनिष्ठ गुणक है।
प्रश्न के अनुसार,दोनों संख्याओं का योग $420$ है।
अतः,$3x + 4x = 420$.
$7x = 420$.
$x = \frac{420}{7} = 60$.
पहली संख्या $3x = 3 \times 60 = 180$ है।
दूसरी संख्या $4x = 4 \times 60 = 240$ है।
चूँकि $240 > 180$,इसलिए बड़ी संख्या $240$ है।

(C) दिया गया है कि लड़कों और लड़कियों का अनुपात $9:5$ है।
माना लड़कों की संख्या $9x$ है और लड़कियों की संख्या $5x$ है।
कुल छात्रों की संख्या $9x + 5x = 14x$ है।
प्रश्न के अनुसार,कुल छात्रों की संख्या $1050$ है।
अतः,$14x = 1050$.
$x = \frac{1050}{14} = 75$.
इसलिए,लड़कों की संख्या $9x = 9 \times 75 = 675$ है।

(A) कुल राशि ₹ $1200$ है और अनुपात $5: 7: 13$ है।
माना कि शेयर $5x, 7x$ और $13x$ हैं।
शेयरों का योग $5x + 7x + 13x = 25x$ है।
दिया गया है कि $25x = 1200$,इसलिए $x = \frac{1200}{25} = 48$ प्राप्त होता है।
$B$ का शेयर = $7x = 7 \times 48 = 336$।
$C$ का शेयर = $13x = 13 \times 48 = 624$।
$C$ और $B$ के शेयरों के बीच का अंतर = $624 - 336 = 288$।

(B) कुल राशि $= ₹ 660$ दी गई है।
अमित,सुमित और पुनीत के हिस्सों का अनुपात $3: 4: 5$ है।
माना कि उनके हिस्से क्रमशः $3x, 4x$ और $5x$ हैं।
हिस्सों का योग $3x + 4x + 5x = 12x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$12x = 660$ है।
$x$ का मान ज्ञात करने पर: $x = \frac{660}{12} = 55$ है।
पुनीत का हिस्सा $5x = 5 \times 55 = ₹ 275$ है।

(C) माना कि तीन संख्याएँ $12x, 15x,$ और $25x$ हैं।
दिया गया है कि इन संख्याओं का योग $312$ है,इसलिए $12x + 15x + 25x = 312$ है।
$52x = 312$,जिससे हमें $x = \frac{312}{52} = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,संख्याएँ $A = 12 \times 6 = 72$,$B = 15 \times 6 = 90$,और $C = 25 \times 6 = 150$ हैं।
$B$ और $A$ के बीच का अंतर $B - A = 90 - 72 = 18$ है।
$C$ और $B$ के बीच का अंतर $C - B = 150 - 90 = 60$ है।
अभीष्ट अनुपात $(B - A) : (C - B) = 18 : 60$ है।
दोनों पदों को $6$ से विभाजित करने पर,हमें $3 : 10$ प्राप्त होता है।

(B) माना स्कूटर की कीमत $3x$ है और टेलीविजन सेट की कीमत $2x$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्कूटर की कीमत टेलीविजन सेट से ₹ $600$ अधिक है।
अतः,$3x - 2x = 600$.
$x$ का मान निकालने पर,हमें $x = 600$ प्राप्त होता है।
टेलीविजन सेट की कीमत $2x = 2 \times 600 = ₹ 1200$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $4x$ और $9x$ हैं,जहाँ $x$ एक सामान्य गुणक है।
प्रश्न के अनुसार,बड़ी संख्या छोटी संख्या से $35$ अधिक है:
$9x - 4x = 35$
$5x = 35$
$x = 7$
अब,दोनों संख्याएँ हैं:
पहली संख्या $= 4 \times 7 = 28$
दूसरी संख्या $= 9 \times 7 = 63$
दोनों संख्याओं का गुणनफल है:
$28 \times 63 = 1764$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना कि $A$,$B$ और $C$ की आय क्रमशः $2x$,$5x$ और $11x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$B$ की आय $A$ की आय से ₹ $291$ अधिक है।
अतः,$5x - 2x = 291$.
$3x = 291$.
$x = \frac{291}{3} = 97$.
$C$ की आय $11x$ है।
$C$ की आय = $11 \times 97 = ₹ 1067$.

(B) दिए गए अनुपात $A: B = 7: 5$ और $B: C = 9: 11$ हैं।
$A: B: C$ ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों अनुपातों में $B$ का मान समान बनाना होगा।
पहले अनुपात में $B$ का मान $5$ है और दूसरे अनुपात में $9$ है।
$5$ और $9$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $45$ है।
पहले अनुपात को $9$ से गुणा करने पर: $A: B = (7 \times 9) : (5 \times 9) = 63: 45.$
दूसरे अनुपात को $5$ से गुणा करने पर: $B: C = (9 \times 5) : (11 \times 5) = 45: 55.$
अब,दोनों को मिलाने पर,हमें $A: B: C = 63: 45: 55$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए अनुपात $A/B = 3/4$,$B/C = 4/5$,और $C/D = 5/6$ हैं।
$A: D$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए अनुपातों का गुणा करेंगे:
$A/D = (A/B) \times (B/C) \times (C/D)$
$A/D = (3/4) \times (4/5) \times (5/6)$
अंश और हर में समान पदों को काटने पर:
$A/D = 3/6$
$A/D = 1/2$
अतः,$A: D = 1: 2$ होगा।