Ratio and Proportion Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि तीनों बर्तनों का आयतन क्रमशः $2x, 3x$ और $5x$ है।
पहले बर्तन में (आयतन $2x$),पानी और दूध का अनुपात $1: 3$ है।
पानी $= 2x \times \frac{1}{4} = 0.5x$,दूध $= 2x \times \frac{3}{4} = 1.5x$.
दूसरे बर्तन में (आयतन $3x$),पानी और दूध का अनुपात $2: 3$ है।
पानी $= 3x \times \frac{2}{5} = 1.2x$,दूध $= 3x \times \frac{3}{5} = 1.8x$.
तीसरे बर्तन में (आयतन $5x$),पानी और दूध का अनुपात $2: 5$ है।
पानी $= 5x \times \frac{2}{7} = \frac{10}{7}x$,दूध $= 5x \times \frac{5}{7} = \frac{25}{7}x$.
कुल पानी $= 0.5x + 1.2x + \frac{10}{7}x = 1.7x + \frac{10}{7}x = \frac{11.9x + 10x}{7} = \frac{21.9x}{7} = \frac{219x}{70}$.
कुल दूध $= 1.5x + 1.8x + \frac{25}{7}x = 3.3x + \frac{25}{7}x = \frac{23.1x + 25x}{7} = \frac{48.1x}{7} = \frac{481x}{70}$.
दूध और पानी का अनुपात $= \frac{481x/70}{219x/70} = 481: 219$.

(C) माना रेफ्रिजरेटर की कीमत $5x$ और टेलीविजन सेट की कीमत $3x$ है।
प्रश्न के अनुसार,रेफ्रिजरेटर की कीमत टेलीविजन सेट से $Rs. 5500$ अधिक है।
अतः,$5x - 3x = 5500$.
$2x = 5500$.
$x = 2750$.
इसलिए,रेफ्रिजरेटर की कीमत $5x = 5 \times 2750 = 13750$ है।

(D) मान लीजिए कि $P, Q$ और $R$ के हिस्से क्रमशः $2x, 7x$ और $9x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$P$ और $Q$ के हिस्से का योग $R$ के हिस्से के बराबर है,जो $2x + 7x = 9x$ अर्थात $9x = 9x$ देता है।
यह शर्त $x$ के किसी भी मान के लिए संतुष्ट होती है।
चूंकि कुल धनराशि नहीं दी गई है,इसलिए हम हिस्सों का सटीक संख्यात्मक मान या उनका अंतर निर्धारित नहीं कर सकते हैं।
अतः,$P$ और $Q$ के हिस्सों के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए दी गई जानकारी अपर्याप्त है।

(B) दिया गया है कि $\frac{2}{3} A = \frac{4}{5} B$.
अनुपात $A : B$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$\frac{A}{B} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2}$.
$\frac{A}{B} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
अतः,$A : B = 6 : 5$.

(C) माना कि तीन संख्याएँ $3x$,$4x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,सबसे बड़ी संख्या $(5x)$ और सबसे छोटी संख्या $(3x)$ का योग,दूसरी संख्या $(4x)$ और $52$ के योग के बराबर है।
अतः,$5x + 3x = 4x + 52$.
$8x = 4x + 52$.
$8x - 4x = 52$.
$4x = 52$.
$x = 13$.
सबसे छोटी संख्या $3x = 3 \times 13 = 39$ है।

(A) दिया गया अनुपात $x : y = 2 : 1$ है,जिसे हम $\frac{x}{y} = \frac{2}{1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश और हर दोनों को $y^{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{(\frac{x}{y})^{2} - 1}{(\frac{x}{y})^{2} + 1}$.
$\frac{x}{y} = 2$ का मान रखने पर:
$\frac{2^{2} - 1}{2^{2} + 1} = \frac{4 - 1}{4 + 1} = \frac{3}{5}$.
अतः,अनुपात $3 : 5$ है।

(A) दिया गया अनुपात $a: b: c = 3: 4: 7$ है।
मान लीजिए कि किसी स्थिरांक $k \neq 0$ के लिए $a = 3k, b = 4k,$ और $c = 7k$ है।
हमें अनुपात $(a+b+c): c$ ज्ञात करना है।
व्यंजक में $a, b,$ और $c$ के मान रखने पर:
$\frac{a+b+c}{c} = \frac{3k + 4k + 7k}{7k}$
$= \frac{14k}{7k}$
$= \frac{2}{1}$
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(D) तीन संख्याओं का दिया गया अनुपात $\frac{1}{2}: \frac{2}{3}: \frac{3}{4}$ है।
अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को हरों $(2, 3, 4)$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $12$ से गुणा करें।
अनुपात $= (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{2}{3} \times 12) : (\frac{3}{4} \times 12) = 6: 8: 9$.
मान लीजिए कि संख्याएँ $6x, 8x,$ और $9x$ हैं।
सबसे बड़ी संख्या $9x$ है और सबसे छोटी संख्या $6x$ है।
प्रश्न के अनुसार,सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या के बीच का अंतर $36$ है:
$9x - 6x = 36$
$3x = 36$
$x = 12$.
अब $x$ का मान रखने पर:
पहली संख्या $= 6 \times 12 = 72$.
दूसरी संख्या $= 8 \times 12 = 96$.
तीसरी संख्या $= 9 \times 12 = 108$.
अतः,वे संख्याएँ $72, 96, 108$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$ है।
हमें $\frac{4m + 5n}{4m - 5n}$ का मान ज्ञात करना है।
अंश और हर दोनों को $n$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4(\frac{m}{n}) + 5}{4(\frac{m}{n}) - 5}$ प्राप्त होता है।
अब $\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$ का मान रखने पर:
$= \frac{4(\frac{3}{2}) + 5}{4(\frac{3}{2}) - 5}$
$= \frac{6 + 5}{6 - 5}$
$= \frac{11}{1} = 11 : 1$।

(A) माना दूध की मात्रा $M$ लीटर है और पानी की मात्रा $W$ लीटर है। $1 \text{ L}$ शुद्ध दूध का क्रय मूल्य $Rs. 10$ है,इसलिए $M$ लीटर दूध का क्रय मूल्य $10M$ होगा।
चूंकि पानी को मुफ्त माना जाता है,इसलिए मिश्रण का कुल क्रय मूल्य $10M$ है।
मिश्रण का कुल आयतन $(M + W)$ लीटर है।
मिश्रण का विक्रय मूल्य $9$ प्रति लीटर है,इसलिए कुल विक्रय मूल्य $9(M + W)$ होगा।
लाभ प्रतिशत $20\%$ दिया गया है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{विक्रय मूल्य} = \text{क्रय मूल्य} \times (1 + \frac{\text{लाभ}\%}{100})$
$9(M + W) = 10M \times (1 + \frac{20}{100})$
$9(M + W) = 10M \times 1.2$
$9M + 9W = 12M$
$9W = 3M$
$\frac{M}{W} = \frac{9}{3} = \frac{3}{1}$
अतः,दूध और पानी का अनुपात $3:1$ है।

(C) दिया गया अनुपात $1: \frac{1}{3}: \frac{1}{6}$ है।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को हरों ($3$ और $6$) के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $6$ से गुणा करें।
अनुपात $= (1 \times 6) : (\frac{1}{3} \times 6) : (\frac{1}{6} \times 6) = 6: 2: 1$.
भागों का योग $6 + 2 + 1 = 9$ है।
मध्य भाग $2$ के मान के अनुरूप है।
अतः,मध्य भाग $= \frac{2}{9} \times 78 = \frac{2 \times 26}{3} = \frac{52}{3} = 17 \frac{1}{3}$ होगा।

(A) मान लीजिए कि दो संख्याएँ क्रमशः $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार:
$x + y = 25$ (समीकरण $1$)
$x - y = 20$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 25 + 20$
$2x = 45$
$x = 22.5$ या $\frac{45}{2}$
समीकरण $1$ में $x$ का मान रखने पर:
$22.5 + y = 25$
$y = 25 - 22.5 = 2.5$ या $\frac{5}{2}$
अतः,दोनों संख्याओं का अनुपात $\frac{x}{y} = \frac{45/2}{5/2} = \frac{45}{5} = 9:1$ है।

(A) माना कि पहला भाग $x$ है। तो दूसरा भाग $(94 - x)$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,पहले भाग का पाँचवाँ हिस्सा और दूसरे भाग का आठवाँ हिस्सा $3:4$ के अनुपात में है।
$\frac{x/5}{(94 - x)/8} = \frac{3}{4}$
$\frac{x}{5} \times \frac{8}{94 - x} = \frac{3}{4}$
$\frac{8x}{5(94 - x)} = \frac{3}{4}$
$32x = 15(94 - x)$
$32x = 1410 - 15x$
$47x = 1410$
$x = \frac{1410}{47} = 30$
अतः,पहला भाग $30$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $4x$ और $7x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक संख्या में $4$ जोड़ा जाता है,तो अनुपात $3:5$ हो जाता है।
अतः,समीकरण है: $\frac{4x + 4}{7x + 4} = \frac{3}{5}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $5(4x + 4) = 3(7x + 4)$.
$20x + 20 = 21x + 12$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $20 - 12 = 21x - 20x$.
$x = 8$.
अतः,दो संख्याएँ $4 \times 8 = 32$ और $7 \times 8 = 56$ हैं।
बड़ी संख्या $56$ है।

(C) माना कि तीन संख्याएँ क्रमशः $5x$,$6x$ और $7x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन संख्याओं का गुणनफल $5670$ है।
अतः,$(5x) \times (6x) \times (7x) = 5670$.
$210x^3 = 5670$.
$x^3 = \frac{5670}{210} = 27$.
$x = \sqrt[3]{27} = 3$.
सबसे बड़ी संख्या $7x = 7 \times 3 = 21$ है।

(C) माना कि तीन संख्याएँ $3x$,$2x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $1862$ है।
$(3x)^2 + (2x)^2 + (5x)^2 = 1862$
$9x^2 + 4x^2 + 25x^2 = 1862$
$38x^2 = 1862$
$x^2 = \frac{1862}{38} = 49$
$x = 7$
चूंकि संख्याएँ $3x$,$2x$ और $5x$ हैं,इसलिए सबसे छोटी संख्या $2x$ है।
सबसे छोटी संख्या $= 2 \times 7 = 14$.

(A) माना कि दो संख्याएँ क्रमशः $10x$ और $7x$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं के बीच का अंतर $105$ है।
अतः,$10x - 7x = 105$.
$3x = 105$.
$x = 105 / 3 = 35$.
दोनों संख्याओं का योग $10x + 7x = 17x$ है।
$x$ का मान रखने पर,हमें $17 \times 35 = 595$ प्राप्त होता है।
इसलिए,संख्याओं का योग $595$ है।

(D) माना कुल राशि $A + B + C + D = 60$ है।
दिया गया है:
$A = \frac{1}{2}(B + C + D) \Rightarrow 2A = B + C + D$. दोनों पक्षों में $A$ जोड़ने पर,$3A = A + B + C + D = 60 \Rightarrow A = 20$.
$B = \frac{1}{3}(A + C + D) \Rightarrow 3B = A + C + D$. दोनों पक्षों में $B$ जोड़ने पर,$4B = A + B + C + D = 60 \Rightarrow B = 15$.
$C = \frac{1}{4}(A + B + D) \Rightarrow 4C = A + B + D$. दोनों पक्षों में $C$ जोड़ने पर,$5C = A + B + C + D = 60 \Rightarrow C = 12$.
अब,$D = 60 - (A + B + C) = 60 - (20 + 15 + 12) = 60 - 47 = 13$.
अतः,$D$ द्वारा भुगतान की गई राशि $Rs. 13$ है।

(D) माना अमित और वरुण की वार्षिक आय क्रमशः $3x$ और $2x$ है।
माना अमित और वरुण का वार्षिक व्यय क्रमशः $5y$ और $3y$ है।
हम जानते हैं कि $\text{आय} - \text{व्यय} = \text{बचत}.$
अमित के लिए: $3x - 5y = 1000$ (समीकरण $1$)
वरुण के लिए: $2x - 3y = 1000$ (समीकरण $2$)
चूंकि दोनों समान राशि की बचत करते हैं,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर कर सकते हैं:
$3x - 5y = 2x - 3y$
$3x - 2x = 5y - 3y$
$x = 2y$
समीकरण $1$ में $x = 2y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(2y) - 5y = 1000$
$6y - 5y = 1000$
$y = 1000$
अब,$x$ का मान ज्ञात करें:
$x = 2(1000) = 2000$
अमित की वार्षिक आय $3x = 3 \times 2000 = Rs. 6000$ है।

(B) माना कि $A$,$B$ और $C$ की वार्षिक आय क्रमशः $x$,$3x$ और $7x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$A$ और $C$ की कुल वार्षिक आय $Rs. 800,000$ है।
अतः,$x + 7x = 800,000$.
$8x = 800,000$.
$x = 100,000$.
इसलिए,$B$ की वार्षिक आय $3x = 3 \times 100,000 = Rs. 300,000$ है।
$B$ का मासिक वेतन वार्षिक आय को $12$ से विभाजित करने पर प्राप्त होगा:
$B$ का मासिक वेतन $= \frac{300,000}{12} = Rs. 25,000$.

(B) माना $A, B$ और $C$ के मासिक वेतन क्रमशः $2x, 3x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$C$ का मासिक वेतन $A$ के मासिक वेतन से $Rs. 12000$ अधिक है।
अतः,$5x - 2x = 12000$.
$3x = 12000$.
$x = 4000$.
अब,$B$ का मासिक वेतन $3x = 3 \times 4000 = 12000$ है।
चूंकि एक वर्ष में $12$ महीने होते हैं,इसलिए $B$ का वार्षिक वेतन $12 \times 12000 = 144000$ होगा।

(D) माना कि $A, B$ और $C$ की आय क्रमशः $7x, 9x$ और $12x$ है।
माना कि $A, B$ और $C$ का खर्च क्रमशः $8y, 9y$ और $15y$ है।
दिया गया है कि $A$ अपनी आय का $\frac{1}{4}$ भाग बचाता है,इसलिए उसकी बचत $\frac{7x}{4}$ है।
चूंकि बचत $=$ आय $-$ खर्च,$A$ के लिए: $7x - 8y = \frac{7x}{4}$।
$28x - 32y = 7x \Rightarrow 21x = 32y \Rightarrow y = \frac{21x}{32}$।
अब,$B$ और $C$ की बचत की गणना करें:
$B$ की बचत $= 9x - 9y = 9x - 9(\frac{21x}{32}) = 9x - \frac{189x}{32} = \frac{288x - 189x}{32} = \frac{99x}{32}$।
$C$ की बचत $= 12x - 15y = 12x - 15(\frac{21x}{32}) = 12x - \frac{315x}{32} = \frac{384x - 315x}{32} = \frac{69x}{32}$।
$A, B$ और $C$ की बचत का अनुपात $= \frac{7x}{4} : \frac{99x}{32} : \frac{69x}{32}$।
सरल बनाने के लिए $32$ से गुणा करने पर: $(\frac{7x}{4} \times 32) : (\frac{99x}{32} \times 32) : (\frac{69x}{32} \times 32) = 56x : 99x : 69x$।
अतः,अनुपात $56: 99: 69$ है।

(A) माना कि आय $10x$ है और व्यय $7x$ है।
दिया गया है कि व्यय $Rs. 10500$ है।
अतः,$7x = 10500$.
$x = 10500 / 7 = 1500$.
बचत = आय - व्यय।
बचत $= 10x - 7x = 3x$.
$x$ का मान रखने पर,बचत $= 3 \times 1500 = 4500$.
अतः,परिवार की बचत $Rs. 4500$ है।

(C) मान लीजिए कि $P$ और $Q$ की आय क्रमशः $3x$ और $4x$ है।
मान लीजिए कि $P$ और $Q$ का व्यय क्रमशः $2y$ और $3y$ है।
हम जानते हैं कि $\text{आय} - \text{व्यय} = \text{बचत}$.
$P$ के लिए: $3x - 2y = 6000$ (समीकरण $1$)
$Q$ के लिए: $4x - 3y = 6000$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$2y = 3x - 6000$,इसलिए $y = 1.5x - 3000$.
$y$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $4x - 3(1.5x - 3000) = 6000$.
$4x - 4.5x + 9000 = 6000$.
$-0.5x = -3000$.
$x = 6000$.
$P$ की आय $3x = 3 \times 6000 = 18000$ $Rs.$ है।

(C) माना कि तीन कक्षाओं में छात्रों की संख्या क्रमशः $2x$,$3x$ और $5x$ है।
प्रश्न के अनुसार,जब प्रत्येक कक्षा में $20$ छात्र जोड़े जाते हैं,तो नया अनुपात $4:5:7$ हो जाता है।
पहली दो कक्षाओं को लेने पर:
$\frac{2x + 20}{3x + 20} = \frac{4}{5}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$5(2x + 20) = 4(3x + 20)$
$10x + 100 = 12x + 80$
$100 - 80 = 12x - 10x$
$20 = 2x$
$x = 10$
वृद्धि से पहले छात्रों की कुल संख्या प्रारंभिक अनुपातों का योग है:
कुल $= 2x + 3x + 5x = 10x$
$x = 10$ का मान रखने पर:
कुल $= 10 \times 10 = 100$.

(D) माना कि जोड़ी या घटाई जाने वाली संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संक्रिया के बाद अनुपात $1: 2$ हो जाता है:
$\frac{17 + x}{24 + x} = \frac{1}{2}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$2(17 + x) = 1(24 + x)$
$34 + 2x = 24 + x$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2x - x = 24 - 34$
$x = -10$
चूंकि परिणाम $-10$ है,इसका अर्थ है कि प्रत्येक पद से $10$ घटाया जाना चाहिए।

(A) मान लीजिए कि तीनों कक्षाओं में छात्रों की प्रारंभिक संख्या क्रमशः $2x$,$3x$ और $4x$ है।
प्रश्न के अनुसार,जब प्रत्येक कक्षा में $12$ छात्र जोड़े जाते हैं,तो नया अनुपात $8:11:14$ हो जाता है।
हम पहली दो कक्षाओं का उपयोग करके समीकरण बना सकते हैं: $\frac{2x + 12}{3x + 12} = \frac{8}{11}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiply) करने पर: $11(2x + 12) = 8(3x + 12)$.
$22x + 132 = 24x + 96$.
$2x = 36$,जिसका अर्थ है $x = 18$.
शुरुआत में छात्रों की कुल संख्या $2x + 3x + 4x = 9x$ थी।
$x = 18$ का मान रखने पर,हमें $9 \times 18 = 162$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $3x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक में से $9$ घटाया जाता है,तो अनुपात $12:23$ हो जाता है।
अतः,$\frac{3x - 9}{5x - 9} = \frac{12}{23}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $23(3x - 9) = 12(5x - 9)$.
$69x - 207 = 60x - 108$.
$69x - 60x = 207 - 108$.
$9x = 99$.
$x = 11$.
छोटी संख्या $3x = 3 \times 11 = 33$ है।

(A) कुल छात्रों की संख्या $= 504$.
लड़कों और लड़कियों का अनुपात $= 13: 11$.
अनुपात के पदों का योग $= 13 + 11 = 24$.
लड़कों की संख्या $= \frac{13}{24} \times 504 = 13 \times 21 = 273$.
लड़कियों की संख्या $= \frac{11}{24} \times 504 = 11 \times 21 = 231$.
यदि $12$ और लड़कियों को प्रवेश दिया जाता है,तो लड़कियों की नई संख्या $= 231 + 12 = 243$.
लड़कों की संख्या $273$ ही रहेगी।
लड़कों और लड़कियों का नया अनुपात $= 273: 243$.
दोनों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{273}{3} : \frac{243}{3} = 91: 81$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $A$ को मिलने वाले प्रत्येक $100$ पैसे ($1$ रुपया) के लिए $B$ को $90$ पैसे मिलते हैं।
अतः,अनुपात $A:B = 100:90 = 10:9$ है।
साथ ही,$B$ को मिलने वाले प्रत्येक $100$ पैसे ($1$ रुपया) के लिए $C$ को $110$ पैसे मिलते हैं।
अतः,अनुपात $B:C = 100:110 = 10:11$ है।
संयुक्त अनुपात $A:B:C$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों में $B$ के पद को समान करते हैं।
$A:B$ को $10$ से और $B:C$ को $9$ से गुणा करने पर:
$A:B = 100:90$
$B:C = 90:99$
इस प्रकार,$A:B:C = 100:90:99$ है।
अनुपात के भागों का योग $100 + 90 + 99 = 289$ है।
$B$ का हिस्सा $= \frac{90}{289} \times 86700$ है।
चूंकि $86700 / 289 = 300$,
$B$ का हिस्सा $= 90 \times 300 = 27000$ है।

(A) माना कि $N$ द्वारा प्राप्त राशि $x$ है।
दिया गया है कि $L$ को $N$ से $Rs. 5.72$ अधिक मिलते हैं,इसलिए $L = x + 5.72$ है।
दिया गया है कि $M$ को $L$ से $Rs. 2.24$ अधिक मिलते हैं,इसलिए $M = (x + 5.72) + 2.24 = x + 7.96$ है।
कुल राशि $Rs. 340.68$ है,इसलिए $L + M + N = 340.68$ है।
$x$ के पदों में समीकरण रखने पर: $(x + 5.72) + (x + 7.96) + x = 340.68$ है।
$3x + 13.68 = 340.68$ है।
$3x = 340.68 - 13.68 = 327$ है।
$x = 327 / 3 = 109$ है।
अतः,$N$ को $Rs. 109$ प्राप्त होते हैं।

(D) माना कि $Rs. 1$ के सिक्कों का कुल मूल्य $13x$ है और $50$ पैसे के सिक्कों का कुल मूल्य $11x$ है।
$Rs. 1$ के सिक्कों की संख्या $= \frac{13x}{1} = 13x$.
$50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $= \frac{11x}{0.5} = 22x$.
सिक्कों की कुल संख्या $= 13x + 22x = 35x$.
दिया गया है कि सिक्कों की कुल संख्या $210$ है,इसलिए $35x = 210$,जिससे $x = 6$ प्राप्त होता है।
$Rs. 1$ के सिक्कों की संख्या $= 13x = 13 \times 6 = 78$.

(A) माना कि $Rs. 1$,$50$ पैसे और $25$ पैसे के सिक्कों का मूल्य क्रमशः $13x$,$11x$ और $7x$ है।
$Rs. 1$ के सिक्कों की संख्या $= 13x / 1 = 13x$ है।
$50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $= 11x / 0.5 = 22x$ है।
$25$ पैसे के सिक्कों की संख्या $= 7x / 0.25 = 28x$ है।
सिक्कों की कुल संख्या $= 13x + 22x + 28x = 63x$ है।
दिया गया है कि सिक्कों की कुल संख्या $378$ है,इसलिए $63x = 378$,जिससे $x = 378 / 63 = 6$ प्राप्त होता है।
$50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $= 22x = 22 \times 6 = 132$ होगी।

(D) माना सुमित की वर्तमान आयु $2x$ है और प्रकाश की वर्तमान आयु $3x$ है।
प्रश्न के अनुसार,सुमित प्रकाश से $6 \text{ yr}$ छोटा है,इसलिए $3x - 2x = 6$,जिससे $x = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,सुमित की वर्तमान आयु $2 \times 6 = 12 \text{ yr}$ है और प्रकाश की वर्तमान आयु $3 \times 6 = 18 \text{ yr}$ है।
$6 \text{ yr}$ बाद,सुमित की आयु $12 + 6 = 18 \text{ yr}$ होगी और प्रकाश की आयु $18 + 6 = 24 \text{ yr}$ होगी।
$6 \text{ yr}$ बाद उनकी आयु का अभीष्ट अनुपात $18:24$ है,जिसे सरल करने पर $3:4$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि $10$ वर्ष पहले राम और रहीम की आयु क्रमशः $x$ और $3x$ वर्ष थी।
उनकी वर्तमान आयु $(x+10)$ और $(3x+10)$ वर्ष है।
अब से $5$ वर्ष बाद,उनकी आयु $(x+10+5)$ और $(3x+10+5)$ यानी $(x+15)$ और $(3x+15)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$5$ वर्ष बाद का अनुपात $2:3$ है:
$\frac{x+15}{3x+15} = \frac{2}{3}$
$3(x+15) = 2(3x+15)$
$3x + 45 = 6x + 30$
$45 - 30 = 6x - 3x$
$3x = 15 \Rightarrow x = 5$
अब,उनकी वर्तमान आयु की गणना करें:
राम की वर्तमान आयु $= x + 10 = 5 + 10 = 15$ वर्ष।
रहीम की वर्तमान आयु $= 3x + 10 = 3(5) + 10 = 25$ वर्ष।
उनकी वर्तमान आयु का अनुपात $= 15:25 = 3:5$।

(C) पेन का अनुपात $\frac{1}{3}: \frac{1}{4}: \frac{1}{5}: \frac{1}{6}$ दिया गया है।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,हर $3, 4, 5$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करें।
$3, 4, 5$ और $6$ का $LCM$ $60$ है।
प्रत्येक पद को $60$ से गुणा करने पर:
$\frac{60}{3}: \frac{60}{4}: \frac{60}{5}: \frac{60}{6} = 20: 15: 12: 10$.
चूंकि पेन की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए पेन की न्यूनतम संख्या अनुपात के भागों का योग है:
$20 + 15 + 12 + 10 = 57$.

(B) दिया गया है कि $A = \frac{4}{5} B$,जिसका अर्थ है $\frac{A}{B} = \frac{4}{5}$.
साथ ही,$B = \frac{5}{2} C$,जिसका अर्थ है $\frac{B}{C} = \frac{5}{2}$.
$A : C$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों का गुणा करेंगे:
$\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{2}$.
$\frac{A}{C} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$.
अतः,$A : C$ का अनुपात $2 : 1$ है।

(B) दिए गए अनुपात $\frac{A}{B} = \frac{3}{4}$ और $\frac{B}{C} = \frac{12}{13}$ हैं।
$A:C$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों का गुणा करेंगे:
$\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C}$
$\frac{A}{C} = \frac{3}{4} \times \frac{12}{13}$
$\frac{A}{C} = \frac{3 \times 3}{1 \times 13} = \frac{9}{13}$
अतः,$A:C$ का अनुपात $9: 13$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $2x$ और $3x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि पहली संख्या में से $2$ घटाया जाए और दूसरी संख्या में $2$ जोड़ा जाए,तो अनुपात $1:2$ हो जाता है।
अतः,$\frac{2x - 2}{3x + 2} = \frac{1}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(2x - 2) = 1(3x + 2)$.
$4x - 4 = 3x + 2$.
$4x - 3x = 2 + 4$.
$x = 6$.
अतः संख्याएँ $2(6) = 12$ और $3(6) = 18$ हैं।
संख्याओं का योग $12 + 18 = 30$ है।

(B) सबसे पहले,दिए गए अनुपातों को सरल करें:
$a:b = \frac{2}{9} : \frac{1}{3} = \frac{2}{9} : \frac{3}{9} = 2:3$
$b:c = \frac{2}{7} : \frac{5}{14} = \frac{4}{14} : \frac{5}{14} = 4:5$
$d:c = \frac{7}{10} : \frac{3}{5} = \frac{7}{10} : \frac{6}{10} = 7:6$,जिसका अर्थ है कि $c:d = 6:7$
अब,$a:b:c:d$ ज्ञात करने के लिए,उभयनिष्ठ पदों को समान करें:
$a:b = 2:3 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8:12$
$b:c = 4:5 = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12:15$
अतः,$a:b:c = 8:12:15$
अब,$c:d = 6:7$ के साथ मिलाएं:
$a:b:c = 8:12:15 = (8 \times 2) : (12 \times 2) : (15 \times 2) = 16:24:30$
$c:d = 6:7 = (6 \times 5) : (7 \times 5) = 30:35$
इसलिए,$a:b:c:d = 16:24:30:35$.

(A) माना बेटे का हिस्सा $S$,पत्नी का हिस्सा $W$ और बेटी का हिस्सा $D$ है।
दिए गए अनुपात: $S:W = 3:1$ और $W:D = 3:1$ हैं।
संयुक्त अनुपात $S:W:D$ ज्ञात करने के लिए,हम $W$ को समान करने के लिए पदों का गुणा करते हैं:
$S:W = 3:1 = 9:3$
$W:D = 3:1$
अतः,$S:W:D = 9:3:1$ है।
माना हिस्से क्रमशः $9x, 3x$ और $x$ हैं।
बेटे के हिस्से और बेटी के हिस्से के बीच का अंतर $9x - x = 8x$ है।
दिया गया है कि $8x = 10000$,इसलिए $x = 10000 / 8 = 1250$ है।
कुल संपत्ति का मूल्य $9x + 3x + x = 13x$ है।
कुल मूल्य $= 13 \times 1250 = 16250$।

(B) दिया गया है कि $A : B = 7 : 9$ और $B : C = 8 : 11$ है।
$A : B : C$ ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों अनुपातों में $B$ का मान समान बनाना होगा।
पहले अनुपात में $B$ का मान $9$ है और दूसरे अनुपात में $8$ है।
$9$ और $8$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $72$ है।
पहले अनुपात को $8$ से गुणा करने पर:
$A : B = (7 \times 8) : (9 \times 8) = 56 : 72$
दूसरे अनुपात को $9$ से गुणा करने पर:
$B : C = (8 \times 9) : (11 \times 9) = 72 : 99$
अब,दोनों अनुपातों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A : B : C = 56 : 72 : 99$.

(C) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि $a + b = 25$ और $a - b = 7 \frac{1}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$.
हमें अनुपात $a:b$ ज्ञात करना है।
योगानुपात और अंतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{a+b}{a-b} = \frac{25}{7.5} = \frac{250}{75} = \frac{10}{3}$.
नियम $\frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)} = \frac{10+3}{10-3}$ लागू करने पर।
यह सरल होकर $\frac{2a}{2b} = \frac{13}{7}$ हो जाता है।
अतः,अनुपात $\frac{a}{b} = \frac{13}{7}$ है।

(D) माना कि एक लड़के का हिस्सा $x$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$1$ पुरुष का हिस्सा $= 2x$.
$2$ महिलाओं का हिस्सा $= 3x$, इसलिए $1$ महिला का हिस्सा $= 1.5x$.
कुल राशि $= 6(\text{पुरुष}) + 8(\text{महिलाएं}) + 6(\text{लड़के}) = 120$.
$x$ के पदों में मान रखने पर:
$6(2x) + 8(1.5x) + 6(x) = 120$.
$12x + 12x + 6x = 120$.
$30x = 120$.
$x = 120 / 30 = 4$.
अतः, एक लड़के का हिस्सा ₹ $4$ है।

(A) माना कि प्रत्येक पद से घटाई जाने वाली संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास समीकरण है:
$\frac{19 - x}{23 - x} = \frac{3}{4}$
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर:
$4(19 - x) = 3(23 - x)$
$76 - 4x = 69 - 3x$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$76 - 69 = 4x - 3x$
$x = 7$
अतः,घटाई जाने वाली संख्या $7$ है।

(B) माना कर्मचारियों की प्रारंभिक संख्या $9x$ है और प्रति कर्मचारी प्रारंभिक वेतन $14y$ है।
प्रारंभिक कुल वेतन बिल $= 9x \times 14y = 126xy$.
कर्मचारियों की नई संख्या $= 7x$.
प्रति कर्मचारी नया वेतन $= 15y$.
नया कुल वेतन बिल $= 7x \times 15y = 105xy$.
नए वेतन बिल और प्रारंभिक वेतन बिल का अनुपात $105xy : 126xy$ है।
दोनों को $21xy$ से विभाजित करने पर,हमें $5:6$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल वेतन बिल $6:5$ से घटकर $5:6$ के अनुपात में हो जाता है,जो कि एक कमी है।

(C) मान लीजिए कुल लागत $C$ है। गेहूं की लागत खपत की गई मात्रा के समानुपाती होती है।
पहले मामले में,$75$ पुरुषों के लिए $15$ दिनों की लागत $C = 75 \times 15 \times 13$ है।
दूसरे मामले में,मान लीजिए पुरुषों की संख्या $x$ है। $x$ पुरुषों के लिए $45$ दिनों की ₹ $1$ प्रति $kg$ की दर से लागत $C = x \times 45 \times 1$ है।
चूंकि लागत समान है,हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$75 \times 15 \times 13 = x \times 45 \times 1$
$x = \frac{75 \times 15 \times 13}{45}$
$x = \frac{1125 \times 13}{45}$
$x = 25 \times 13 = 325$
अतः,$325$ पुरुषों को खिलाया जा सकता है।

(B) माना कि आवश्यक कागज के रीम की संख्या $x$ है।
कागज की मात्रा प्रतियों की संख्या और प्रति पुस्तक शीट की संख्या के सीधे समानुपाती होती है।
हम इस अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{\text{प्रतियाँ}_1 \times \text{शीट}_1}{\text{रीम}_1} = \frac{\text{प्रतियाँ}_2 \times \text{शीट}_2}{\text{रीम}_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{1000 \times 25}{50} = \frac{5000 \times 32}{x}$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{5000 \times 32 \times 50}{1000 \times 25}$
$x = 5 \times 32 \times 2$
$x = 320$
अतः,$320$ रीम कागज की आवश्यकता होगी।

(C) माना कि $Q$ का हिस्सा $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P$ का हिस्सा $\frac{2}{3}x$ है और $R$ का हिस्सा $\frac{5}{3}x$ है।
कुल राशि ₹ $1,000$ है,इसलिए:
$\frac{2}{3}x + x + \frac{5}{3}x = 1000$
पदों को जोड़ने पर:
$\frac{2x + 3x + 5x}{3} = 1000$
$\frac{10x}{3} = 1000$
$x$ के लिए हल करने पर:
$10x = 3000$
$x = 300$
अतः,$Q$ का हिस्सा ₹ $300$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$0.6x = 0.025y$ है।
अनुपात $x/y$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$\frac{x}{y} = \frac{0.025}{0.6}$
दशमलव हटाने के लिए अंश और हर दोनों को $1000$ से गुणा करने पर:
$\frac{x}{y} = \frac{25}{600}$
अंश और हर दोनों को $25$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{y} = \frac{1}{24}$
अतः,दोनों संख्याओं का अनुपात $1:24$ है।