Ratio and Proportion Questions in Hindi

(A) माना कि चतुर्थ आनुपातिक $d$ है।
अनुपात की परिभाषा के अनुसार,यदि चार संख्याएँ $a, b, c, d$ अनुपात में हैं,तो पहली दो संख्याओं का अनुपात अंतिम दो संख्याओं के अनुपात के बराबर होना चाहिए: $a : b :: c : d$.
दी गई संख्याओं को रखने पर: $24 : 120 :: 22 : d$.
इसे समीकरण के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{24}{120} = \frac{22}{d}$.
बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर: $\frac{1}{5} = \frac{22}{d}$.
$d$ का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर: $d = 22 \times 5 = 110$.
अतः,चतुर्थ आनुपातिक $110$ है।

(C) दिए गए अनुपात $B: A = 2: 3$ और $A: C = 5: 7$ हैं।
संयुक्त अनुपात $B: A: C$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों में $A$ का मान समान करते हैं।
उभयनिष्ठ पद $A$ है। पहले अनुपात में $A = 3$ है और दूसरे अनुपात में $A = 5$ है। $3$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $15$ है।
पहले अनुपात को $5$ से गुणा करने पर: $B: A = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10: 15$।
दूसरे अनुपात को $3$ से गुणा करने पर: $A: C = (5 \times 3) : (7 \times 3) = 15: 21$।
अतः,$B: A: C = 10: 15: 21$।
इससे हमें $A = 15$,$B = 10$,और $C = 21$ प्राप्त होता है।
अब,$(A + B) : (B + C) = (15 + 10) : (10 + 21) = 25 : 31$ की गणना करने पर।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) $X$ और $Y$ के अंकों का अनुपात $3: 11$ दिया गया है।
मान लीजिए कि $X$ के अंक $3k$ हैं और $Y$ के अंक $11k$ हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
प्रश्न के अनुसार,$X$ के अंक $9$ हैं,इसलिए $3k = 9$ है।
$k$ का मान ज्ञात करने पर,हमें $k = 9 / 3 = 3$ प्राप्त होता है।
अब,$Y$ के अंक ज्ञात करने के लिए $k$ का मान प्रतिस्थापित करें:
$Y$ के अंक $= 11k = 11 \times 3 = 33$ है।
अतः,$Y$ के अंक $33$ हैं।

(D) दिए गए अनुपात $U: V = 6: 7$ और $V: W = 21: 6$ हैं।
$U: V: W$ ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों अनुपातों में $V$ का मान समान बनाना होगा।
पहले अनुपात में $V$ का मान $7$ है और दूसरे अनुपात में $21$ है।
उन्हें समान बनाने के लिए,पहले अनुपात को $3$ से गुणा करें:
$U: V = (6 \times 3) : (7 \times 3) = 18: 21$।
अब,हमारे पास $U: V = 18: 21$ और $V: W = 21: 6$ है।
इन्हें मिलाने पर,हमें $U: V: W = 18: 21: 6$ प्राप्त होता है।
इस अनुपात को $3$ से विभाजित करके सरल करने पर,हमें $6: 7: 2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया अनुपात $a-b : b-c : c-d = 1 : 2 : 3$ है।
मान लीजिए किसी स्थिरांक $k$ के लिए $a-b = k$,$b-c = 2k$,और $c-d = 3k$ है।
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$(a-b) + (b-c) + (c-d) = k + 2k + 3k$
$a - d = 6k$ प्राप्त होता है।
अब,$(a+d) : c$ ज्ञात करने के लिए हमें $a$ और $d$ को $c$ और $k$ के पदों में व्यक्त करना होगा।
$c-d = 3k$ से,हमें $d = c - 3k$ प्राप्त होता है।
$b-c = 2k$ से,हमें $b = c + 2k$ प्राप्त होता है।
$a-b = k$ से,हमें $a = b + k = (c + 2k) + k = c + 3k$ प्राप्त होता है।
अब $a+d$ की गणना करने पर:
$a + d = (c + 3k) + (c - 3k) = 2c$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $(a+d) : c = 2c : c = 2 : 1$ है।

(C) माना पिता की वर्तमान आयु $F$ और पुत्र की वर्तमान आयु $S$ है।
दिया गया है कि उनकी वर्तमान आयु का योग $90$ वर्ष है: $F + S = 90$ (समीकरण $1$)।
$10$ वर्ष पूर्व,पिता की आयु $(F - 10)$ और पुत्र की आयु $(S - 10)$ थी।
$10$ वर्ष पूर्व उनकी आयु का अनुपात $5:2$ था,अतः: $\frac{F - 10}{S - 10} = \frac{5}{2}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $2(F - 10) = 5(S - 10) \Rightarrow 2F - 20 = 5S - 50 \Rightarrow 2F - 5S = -30$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$S = 90 - F$। इस मान को समीकरण $2$ में रखने पर:
$2F - 5(90 - F) = -30$
$2F - 450 + 5F = -30$
$7F = 420$
$F = 60$।
अतः,पिता की वर्तमान आयु $60$ वर्ष है।

(B) मान लीजिए कि $R$ और $S$ की वर्तमान आयु क्रमशः $11x$ और $17x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$11$ वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात $11:20$ था।
अतः,$\frac{11x - 11}{17x - 11} = \frac{11}{20}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें प्राप्त होता है: $20(11x - 11) = 11(17x - 11)$.
$220x - 220 = 187x - 121$.
$220x - 187x = 220 - 121$.
$33x = 99$.
$x = 3$.
इसलिए,$R$ की वर्तमान आयु $11x = 11 \times 3 = 33$ वर्ष है।

(C) माना सुनील,अनिल और जमील के हिस्से क्रमशः $S, A$ और $J$ हैं।
दिया गया है कि $S + A + J = 15525$ है।
हिस्सों में से ₹ $22$,₹ $35$ और ₹ $48$ घटाने के बाद,शेष राशि का अनुपात $7: 10: 13$ है।
माना शेष राशि $7x, 10x$ और $13x$ है।
अतः,$S - 22 = 7x \implies S = 7x + 22$.
$A - 35 = 10x \implies A = 10x + 35$.
$J - 48 = 13x \implies J = 13x + 48$.
इनका योग करने पर: $(7x + 22) + (10x + 35) + (13x + 48) = 15525$.
$30x + 105 = 15525 \implies 30x = 15420 \implies x = 514$.
मूल हिस्सों की गणना:
$S = 7(514) + 22 = 3598 + 22 = 3620$.
$A = 10(514) + 35 = 5140 + 35 = 5175$.
$J = 13(514) + 48 = 6682 + 48 = 6730$.
अब,उनके मूल हिस्सों में ₹ $16$,₹ $77$ और ₹ $37$ जोड़ें:
नया $S = 3620 + 16 = 3636$.
नया $A = 5175 + 77 = 5252$.
नया $J = 6730 + 37 = 6767$.
अनुपात $3636 : 5252 : 6767$ है।
$101$ से विभाजित करने पर: $3636/101 = 36$,$5252/101 = 52$,$6767/101 = 67$.
अनुपात $36: 52: 67$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{2} A = \frac{1}{3} B = \frac{1}{6} C = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इससे हमें $A = 2k$,$B = 3k$,और $C = 6k$ प्राप्त होता है।
कुल योग $A + B + C = 1980$ है।
मान रखने पर: $2k + 3k + 6k = 1980$.
$11k = 1980$.
$k = \frac{1980}{11} = 180$.
$B$ का भाग $3k = 3 \times 180 = ₹ 540$ है।

(A) माना कि समान मान $x$ है।
अतः,$\frac{2}{5} A + 40 = x \implies A = \frac{5}{2}(x - 40)$.
$\frac{2}{7} B + 20 = x \implies B = \frac{7}{2}(x - 20)$.
$\frac{9}{17} C + 10 = x \implies C = \frac{17}{9}(x - 10)$.
चूंकि $A + B + C = 600$,इसलिए:
$\frac{5}{2}(x - 40) + \frac{7}{2}(x - 20) + \frac{17}{9}(x - 10) = 600$.
$\frac{5x}{2} - 100 + \frac{7x}{2} - 70 + \frac{17x}{9} - \frac{170}{9} = 600$.
$6x - 170 + \frac{17x - 170}{9} = 600$.
$6x + \frac{17x}{9} = 770 + \frac{170}{9}$.
$\frac{54x + 17x}{9} = \frac{6930 + 170}{9}$.
$71x = 7100 \implies x = 100$.
अतः,$A$ का हिस्सा = $\frac{5}{2}(100 - 40) = \frac{5}{2}(60) = 150$.

(A) माना कि $A, B$ और $C$ के हिस्से क्रमशः $a, b$ और $c$ हैं।
दिया गया है कि $a + b + c = 600$.
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{2}{5}a + 40 = \frac{2}{7}b + 20 = \frac{9}{17}c + 10 = k$ (माना कि यह $k$ है)।
अतः,$\frac{2}{5}a = k - 40 \implies a = \frac{5}{2}(k - 40) = 2.5k - 100$.
$\frac{2}{7}b = k - 20 \implies b = \frac{7}{2}(k - 20) = 3.5k - 70$.
$\frac{9}{17}c = k - 10 \implies c = \frac{17}{9}(k - 10) = \frac{17}{9}k - \frac{170}{9}$.
इन मानों को $a + b + c = 600$ में रखने पर:
$(2.5k - 100) + (3.5k - 70) + (\frac{17}{9}k - \frac{170}{9}) = 600$.
$6k - 170 + \frac{17}{9}k - \frac{170}{9} = 600$.
$\frac{54k + 17k}{9} = 770 + \frac{170}{9}$.
$\frac{71k}{9} = \frac{6930 + 170}{9} = \frac{7100}{9}$.
$71k = 7100 \implies k = 100$.
अब,$A$ का हिस्सा $a = 2.5(100) - 100 = 250 - 100 = 150$.

(C) मान लीजिए $A, B$ और $C$ का हिस्सा क्रमशः $6x, 8x$ और $7x$ है।
कुल राशि $= 6x + 8x + 7x = 21x$.
दिया गया है $21x = 8400$,इसलिए $x = 400$.
हिस्से हैं: $A = 6 \times 400 = 2400$,$B = 8 \times 400 = 3200$,$C = 7 \times 400 = 2800$.
मान लीजिए $A, B$ और $C$ की बचत क्रमशः $3y, 2y$ और $4y$ है।
दिया गया है $B$ की बचत $= 2y = 400$,इसलिए $y = 200$.
बचत है: $A = 3 \times 200 = 600$,$B = 2 \times 200 = 400$,$C = 4 \times 200 = 800$.
व्यय = आय - बचत।
$A$ का व्यय $= 2400 - 600 = 1800$.
$B$ का व्यय $= 3200 - 400 = 2800$.
$C$ का व्यय $= 2800 - 800 = 2000$.
व्यय का अनुपात $= 1800 : 2800 : 2000 = 18 : 28 : 20 = 9 : 14 : 10$.

(C) माना $A$ की आय $= 2x$ और $C$ की आय $= 3x$ है।
माना $B$ की आय $= y$ और $D$ की आय $= 2y$ है।
प्रश्न के अनुसार,$A$ की आय $B$ से ₹ $140$ अधिक है: $2x - y = 140$ (समीकरण $1$)।
$C$ की आय $D$ से ₹ $80$ अधिक है: $3x - 2y = 80$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर: $4x - 2y = 280$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(4x - 2y) - (3x - 2y) = 280 - 80$,जिससे $x = 200$ प्राप्त होता है।
$x = 200$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $2(200) - y = 140 \implies 400 - y = 140 \implies y = 260$.
अब,आय की गणना करते हैं:
$A = 2x = 2(200) = ₹ 400$.
$B = y = ₹ 260$.
$C = 3x = 3(200) = ₹ 600$.
$D = 2y = 2(260) = ₹ 520$.
अतः,$A, B, C$ और $D$ की आय क्रमशः ₹ $400, ₹ 260, ₹ 600$ और ₹ $520$ है।

(C) मूल किराए और नए किराए का अनुपात $9:11$ है।
माना मूल किराया $9x$ है और नया किराया $11x$ है।
दिया गया है कि मूल किराया ₹ $18,000$ है,इसलिए:
$9x = 18,000$
$x = 18,000 / 9 = 2,000$
किराए में हुई वृद्धि नए किराए और मूल किराए के बीच का अंतर है:
वृद्धि $= 11x - 9x = 2x$
$x$ का मान रखने पर:
वृद्धि $= 2 \times 2,000 = 4,000$
अतः,किराए में हुई वृद्धि ₹ $4,000$ है।

(C) मान लीजिए कि मूल हीरे का वजन $15x$ है और कीमत $P = k(15x)^2 = 225kx^2$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
हीरे को $3x, 5x$ और $7x$ वजन के तीन टुकड़ों में तोड़ा गया है।
टूटे हुए टुकड़ों की कीमत इस प्रकार होगी:
पहले टुकड़े की कीमत $= k(3x)^2 = 9kx^2$
दूसरे टुकड़े की कीमत $= k(5x)^2 = 25kx^2$
तीसरे टुकड़े की कीमत $= k(7x)^2 = 49kx^2$
टूटे हुए टुकड़ों की कुल कीमत $= 9kx^2 + 25kx^2 + 49kx^2 = 83kx^2$ है।
हुआ नुकसान मूल कीमत और टूटे हुए टुकड़ों की कुल कीमत के बीच का अंतर है:
नुकसान $= 225kx^2 - 83kx^2 = 142kx^2$ है।
यह दिया गया है कि नुकसान ₹ $42600$ है,इसलिए:
$142kx^2 = 42600$
$kx^2 = \frac{42600}{142} = 300$ है।
अतः,हीरे की मूल कीमत $225kx^2 = 225 \times 300 = ₹ 67500$ है।

(A) माना कि प्रक्रिया के लिए आवेदन करने वाले कुल उम्मीदवारों की संख्या $5x$ है।
चयनित और अचयनित उम्मीदवारों का अनुपात $4:1$ है,इसलिए चयनित उम्मीदवारों की संख्या $4x$ और अचयनित उम्मीदवारों की संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,यदि $90$ कम उम्मीदवारों ने आवेदन किया होता,तो नई कुल संख्या $5x - 90$ होती।
यदि $20$ कम उम्मीदवार चयनित होते,तो चयनित उम्मीदवारों की नई संख्या $4x - 20$ होती।
अचयनित उम्मीदवारों की नई संख्या $(5x - 90) - (4x - 20) = x - 70$ होती।
नया अनुपात $5:1$ दिया गया है,इसलिए हमारे पास समीकरण है:
$\frac{4x - 20}{x - 70} = \frac{5}{1}$
$4x - 20 = 5(x - 70)$
$4x - 20 = 5x - 350$
$x = 350 - 20 = 330$
अतः,प्रक्रिया के लिए आवेदन करने वाले कुल उम्मीदवारों की संख्या $5x = 5 \times 330 = 1650$ है।

(B) माना चयनित उम्मीदवारों की संख्या $5x$ है और अचयनित उम्मीदवारों की संख्या $x$ है।
कुल आवेदन करने वाले उम्मीदवार = $5x + x = 6x$।
प्रश्न के अनुसार,यदि $100$ उम्मीदवार कम आवेदन करते,तो कुल उम्मीदवारों की संख्या $6x - 100$ होती।
यदि $20$ उम्मीदवार कम चयनित होते,तो चयनित उम्मीदवारों की संख्या $5x - 20$ होती।
तब अचयनित उम्मीदवारों की संख्या $(6x - 100) - (5x - 20) = x - 80$ होती।
चयनित और अचयनित उम्मीदवारों का नया अनुपात $6:1$ है,इसलिए:
$\frac{5x - 20}{x - 80} = \frac{6}{1}$
$5x - 20 = 6(x - 80)$
$5x - 20 = 6x - 480$
$6x - 5x = 480 - 20$
$x = 460$
कुल आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की संख्या $6x = 6 \times 460 = 2760$ है।

(C) जब दूरी समान होती है,तो गति और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) होते हैं।
दी गई गति का अनुपात $v_1 : v_2 : v_3 = 1 : 3 : 5$ है।
समय $t$ का सूत्र $t = \frac{d}{v}$ होता है।
चूंकि दूरी $d$ तीनों कारों के लिए समान है,इसलिए लिए गए समय का अनुपात $t_1 : t_2 : t_3 = \frac{1}{v_1} : \frac{1}{v_2} : \frac{1}{v_3}$ होगा।
मान रखने पर,$t_1 : t_2 : t_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को $1, 3,$ और $5$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $15$ से गुणा करें।
अनुपात $= (1 \times 15) : (\frac{1}{3} \times 15) : (\frac{1}{5} \times 15) = 15 : 5 : 3$।

(D) हम जानते हैं कि समान दूरी के लिए,गति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\text{Speed} \propto \frac{1}{\text{Time}}$.
अमन,कमल और मानन की गति का अनुपात $4: 5: 6$ दिया गया है।
इसलिए,लिए गए समय का अनुपात गति के अनुपात का व्युत्क्रम होगा: $\frac{1}{4}: \frac{1}{5}: \frac{1}{6}$.
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,हम हर $4, 5$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करते हैं,जो $60$ है।
प्रत्येक पद को $60$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\frac{1}{4} \times 60) : (\frac{1}{5} \times 60) : (\frac{1}{6} \times 60)$.
यह $15: 12: 10$ के बराबर है।
अतः,लिए गए समय का अनुपात $15: 12: 10$ है।

(A) सबसे पहले,मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
$1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
इसके बाद,इन संख्याओं का वर्ग करें:
$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$
$(\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$
अब,इन वर्गों के व्युत्क्रम (reciprocals) ज्ञात करें:
$\frac{9}{4}$ का व्युत्क्रम $= \frac{4}{9}$
$\frac{16}{9}$ का व्युत्क्रम $= \frac{9}{16}$
अंत में,इन व्युत्क्रमों का अनुपात ज्ञात करें:
अनुपात $= \frac{4}{9} : \frac{9}{16} = \frac{4 \times 16}{9 \times 9} = \frac{64}{81}$
अतः,अनुपात $64: 81$ है।

(A) माना $A$ के पास राशि $A$ है और $B$ के पास राशि $B$ है।
दिया गया है कि $A + B = 6300$.
प्रश्न के अनुसार,$\frac{5}{19} A = \frac{2}{5} B$.
तिर्यक गुणा करने पर,$25 A = 38 B$,जिसका अर्थ है $\frac{A}{B} = \frac{38}{25}$.
माना $A = 38x$ और $B = 25x$.
योग में मान रखने पर: $38x + 25x = 6300$.
$63x = 6300$,जिससे $x = 100$ प्राप्त होता है।
अतः,$B$ की राशि $= 25x = 25 \times 100 = 2500$.

(B) माना कि अभीष्ट भिन्न $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ का $\frac{1}{27}$ के साथ अनुपात,$\frac{3}{7}$ के $\frac{5}{9}$ के साथ अनुपात के बराबर है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $x : \frac{1}{27} = \frac{3}{7} : \frac{5}{9}$.
अनुपात के गुणधर्म का उपयोग करते हुए: $\frac{x}{1/27} = \frac{3/7}{5/9}$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर: $\frac{3}{7} \times \frac{9}{5} = \frac{27}{35}$.
अतः,$x \times 27 = \frac{27}{35}$.
$x = \frac{27}{35} \times \frac{1}{27}$.
$x = \frac{1}{35}$.
इस प्रकार,अभीष्ट भिन्न $\frac{1}{35}$ है।

(D) मान लीजिए कि सफल छात्रों की संख्या $9x$ है और असफल छात्रों की संख्या $2x$ है।
यह दिया गया है कि कुल परीक्षार्थियों की संख्या $132$ है,इसलिए:
$9x + 2x = 132$
$11x = 132$
$x = 12$
अतः,सफल छात्रों की संख्या $9 \times 12 = 108$ है और असफल छात्रों की संख्या $2 \times 12 = 24$ है।
यदि $4$ और छात्र उत्तीर्ण हुए होते,तो सफल छात्रों की नई संख्या $108 + 4 = 112$ होती।
असफल छात्रों की संख्या में $4$ की कमी आती,इसलिए यह $24 - 4 = 20$ होती।
सफल और असफल छात्रों का नया अनुपात $112:20$ है।
दोनों पदों को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $28:5$ प्राप्त होता है।

(B) कुल छात्रों की संख्या = $720$ है।
लड़कों और लड़कियों का अनुपात $7: 5$ है।
माना लड़कों की संख्या $7x$ और लड़कियों की संख्या $5x$ है।
अनुपात के भागों का योग = $7 + 5 = 12$ है।
$12x = 720 \implies x = 60$ है।
लड़कों की संख्या = $7 \times 60 = 420$ है।
लड़कियों की संख्या = $5 \times 60 = 300$ है।
अनुपात को $1: 1$ बनाने के लिए,लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
आवश्यक लड़कियों की संख्या = $420$ है।
प्रवेश दी जाने वाली अतिरिक्त लड़कियों की संख्या = $420 - 300 = 120$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं,जहाँ $x > y$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्याओं का योग उनके अंतर का तीन गुना है:
$x + y = 3(x - y)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$x + y = 3x - 3y$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y + 3y = 3x - x$
$4y = 2x$
दोनों पक्षों को $2y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{y} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$
अतः,दो संख्याओं का अनुपात $2: 1$ है।

(D) दिया गया अनुपात: $\frac{x + \frac{1}{x}}{x - \frac{1}{x}} = \frac{5}{5} = 1$.
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर: $x + \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर: $\frac{1}{x} = -\frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों में $\frac{1}{x}$ जोड़ने पर: $\frac{2}{x} = 0$.
इसका अर्थ है $2 = 0$,जो कि एक विरोधाभास है।
अतः,$x$ का कोई ऐसा परिमित मान नहीं है जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करे। इसलिए,कोई हल मौजूद नहीं है।

(B) और $B$ के बीच वितरित मिठाई का अनुपात $3:4$ है।
माना कि $A$ द्वारा प्राप्त मिठाइयों की संख्या $3x$ है और $B$ द्वारा प्राप्त मिठाइयों की संख्या $4x$ है।
यह दिया गया है कि $A$ को $36$ मिठाइयाँ मिलीं,इसलिए $3x = 36$ है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 36 / 3 = 12$ प्राप्त होता है।
अब,$B$ द्वारा प्राप्त मिठाइयों की संख्या $4x = 4 \times 12 = 48$ है।
मिठाइयों की कुल संख्या $A$ और $B$ द्वारा प्राप्त मिठाइयों का योग है,जो $36 + 48 = 84$ है।

(B) माना कि $P$ और $Q$ की वर्तमान आयु क्रमशः $P$ और $Q$ है।
प्रश्न के अनुसार, $4 \, \text{वर्ष}$ पहले उनकी आयु $(P-4)$ और $(Q-4)$ थी।
अनुपात $\frac{P-4}{Q-4} = \frac{5}{6}$ दिया गया है।
तिर्यक गुणा करने पर $6(P-4) = 5(Q-4)$, जो $6P - 24 = 5Q - 20$ या $6P - 5Q = 4 \quad (1)$ में सरल हो जाता है।
हमें यह भी दिया गया है कि उनकी वर्तमान आयु का योग $52$ है, इसलिए $P + Q = 52$, जिसका अर्थ है $P = 52 - Q \quad (2)$।
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $6(52 - Q) - 5Q = 4$।
$312 - 6Q - 5Q = 4$।
$312 - 11Q = 4$।
$11Q = 308$।
$Q = 28$।
अब, $P$ ज्ञात करें: $P = 52 - 28 = 24$।
उनकी वर्तमान आयु का अनुपात $P:Q = 24:28$ है।
दोनों को $4$ से विभाजित करने पर, हमें $6:7$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $A$ और $B$ की वर्तमान आयु क्रमशः $5x$ और $6x$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,सात वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $6:7$ हो जाएगा।
अतः,समीकरण इस प्रकार है: $\frac{5x + 7}{6x + 7} = \frac{6}{7}$.
पदों का वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर हमें प्राप्त होता है: $7(5x + 7) = 6(6x + 7)$.
$35x + 49 = 36x + 42$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $49 - 42 = 36x - 35x$.
$x = 7$.
$A$ की वर्तमान आयु $5x = 5 \times 7 = 35$ वर्ष है।

(B) माना कि सामान्य अनुपात गुणक $x$ है।
तब $A$,$B$ और $C$ के हिस्से क्रमशः $5x$,$6x$ और $9x$ हैं।
दिया गया है कि $A$ को ₹ $450$ प्राप्त हुए,इसलिए $5x = 450$ है।
$x$ का मान ज्ञात करने पर,हमें $x = 450 / 5 = 90$ प्राप्त होता है।
विभाजित की गई कुल धनराशि हिस्सों का योग है: $5x + 6x + 9x = 20x$।
$x$ का मान रखने पर,कुल धनराशि $20 \times 90 = 1800$ है।
अतः,विभाजित की गई कुल धनराशि ₹ $1800$ थी।

(B) मान लीजिए कि तीन भाइयों के हिस्से क्रमशः $A$,$B$ और $C$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,कुल राशि $A + B + C = 1620$ है।
हमें दिया गया है कि दूसरे भाई का हिस्सा $B$,अन्य दो भाइयों के हिस्से के योग का $\frac{5}{13}$ है,अर्थात $B = \frac{5}{13}(A + C)$।
कुल योग के समीकरण से $(A + C)$ का मान रखने पर: $(A + C) = 1620 - B$।
अब,इस मान को दी गई शर्त में रखने पर:
$B = \frac{5}{13}(1620 - B)$
$13B = 5(1620 - B)$
$13B = 8100 - 5B$
$13B + 5B = 8100$
$18B = 8100$
$B = \frac{8100}{18} = 450$।
अतः,दूसरे भाई का हिस्सा ₹ $450$ है।

(A) माना लड़कों की संख्या $8x$ है और लड़कियों की संख्या $12x$ है।
कुल छात्रों की संख्या $= 8x + 12x = 20x$.
छात्रवृत्ति प्राप्त करने वाले लड़कों की संख्या $= 8x$ का $50 \% = 0.5 \times 8x = 4x$.
छात्रवृत्ति प्राप्त करने वाली लड़कियों की संख्या $= 12x$ का $25 \% = 0.25 \times 12x = 3x$.
छात्रवृत्ति प्राप्त करने वाले कुल छात्रों की संख्या $= 4x + 3x = 7x$.
छात्रवृत्ति न प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या $= \text{कुल छात्र} - \text{छात्रवृत्ति प्राप्त करने वाले छात्र} = 20x - 7x = 13x$.
छात्रवृत्ति न प्राप्त करने वाले छात्रों का प्रतिशत $= (13x / 20x) \times 100 = 0.65 \times 100 = 65 \%$.

(B) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं और उनकी ऊँचाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया गया है कि $r_1:r_2 = 2:3$ और $h_1:h_2 = 5:3$ है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{5}{3}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{5}{3} = \frac{20}{27}$।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $20:27$ होगा।

(B) कार्यालय $10 \, AM$ पर खुलता है और $5 \, PM$ पर बंद होता है।
कुल समयावधि $= 5 \, PM - 10 \, AM = 7 \, \text{घंटे}$।
चूंकि $1 \, \text{घंटा} = 60 \, \text{मिनट}$ होता है, इसलिए कार्यालय का कुल समय $= 7 \times 60 = 420 \, \text{मिनट}$।
लंच का समय $30 \, \text{मिनट}$ है।
लंच के समय का कार्यालय के कुल समय से अनुपात $30 : 420$ है।
दोनों पक्षों को $30$ से विभाजित करने पर, हमें $1 : 14$ प्राप्त होता है।

(C) माना एयर-कंडीशन्ड स्लीपर क्लास का किराया $4x$ है और ऑर्डिनरी स्लीपर क्लास का किराया $1x$ है।
माना एयर-कंडीशन्ड स्लीपर क्लास में यात्रियों की संख्या $3y$ है और ऑर्डिनरी स्लीपर क्लास में यात्रियों की संख्या $25y$ है।
कुल संग्रह दोनों वर्गों के लिए (किराया $\times$ यात्रियों की संख्या) के योग द्वारा प्राप्त होता है।
कुल संग्रह $= (4x \times 3y) + (1x \times 25y) = 12xy + 25xy = 37xy$.
यह दिया गया है कि कुल संग्रह ₹ $37,000$ है,इसलिए $37xy = 37,000$,जिसका अर्थ है कि $xy = 1,000$.
एयर-कंडीशन्ड स्लीपर यात्रियों द्वारा भुगतान की गई राशि $4x \times 3y = 12xy$ है।
$xy = 1,000$ रखने पर,हमें $12 \times 1,000 = ₹ 12,000$ प्राप्त होता है।

(D) पुरुष और महिला योग्य उम्मीदवारों का अनुपात $11:7$ है।
माना पुरुष उम्मीदवारों की संख्या $11x$ और महिला उम्मीदवारों की संख्या $7x$ है।
दिया गया है कि योग्य महिला उम्मीदवारों की संख्या $126$ है,
$7x = 126$
$x = \frac{126}{7} = 18$
अब,योग्य उम्मीदवारों की कुल संख्या पुरुष और महिला उम्मीदवारों का योग है:
कुल योग्य उम्मीदवार $= 11x + 7x = 18x$
$x = 18$ का मान रखने पर:
कुल योग्य उम्मीदवार $= 18 \times 18 = 324.$
नोट: यदि योग्य उम्मीदवार कुल उपस्थित उम्मीदवारों का $60\%$ हैं,तो $0.6 \times \text{उपस्थित उम्मीदवार} = 324$,जिससे उपस्थित उम्मीदवार $= 540$ प्राप्त होते हैं। अतः विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(D) दिए गए अनुपात $A: B = 2: 3$ और $B: C = 3: 7$ हैं।
चूंकि $B$ का मान दोनों अनुपातों में समान $(3)$ है,इसलिए हम सीधे संयुक्त अनुपात $A: B: C = 2: 3: 7$ लिख सकते हैं।
मान लीजिए कि किसी स्थिरांक $k$ के लिए $A = 2k$,$B = 3k$,और $C = 7k$ है।
अब,आवश्यक योग की गणना करते हैं:
$A + B = 2k + 3k = 5k$
$B + C = 3k + 7k = 10k$
$C + A = 7k + 2k = 9k$
अतः,अनुपात $A + B : B + C : C + A = 5k : 10k : 9k = 5: 10: 9$ होगा।

(B) माना कि $A$ और $B$ की मासिक आय क्रमशः $8x$ और $5x$ है।
माना कि $A$ और $B$ का मासिक व्यय क्रमशः $5y$ और $3y$ है।
हम जानते हैं कि $\text{आय} - \text{व्यय} = \text{बचत}$।
$A$ के लिए: $8x - 5y = 12,000$ --- (समीकरण $1$)
$B$ के लिए: $5x - 3y = 10,000$ --- (समीकरण $2$)
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $5$ से गुणा करें:
$24x - 15y = 36,000$ --- (समीकरण $3$)
$25x - 15y = 50,000$ --- (समीकरण $4$)
समीकरण $4$ में से समीकरण $3$ को घटाने पर:
$(25x - 24x) - (15y - 15y) = 50,000 - 36,000$
$x = 14,000$
$A$ की मासिक आय $= 8x = 8 \times 14,000 = 1,12,000$.
$B$ की मासिक आय $= 5x = 5 \times 14,000 = 70,000$.
मासिक आय में अंतर $= 1,12,000 - 70,000 = 42,000$.

(D) प्रारंभ में,कुल छात्रों की संख्या $1554$ है और लड़कों और लड़कियों का अनुपात $4:3$ है।
कुल भाग $= 4 + 3 = 7$.
लड़कों की संख्या $= (4/7) \times 1554 = 888$.
लड़कियों की संख्या $= (3/7) \times 1554 = 666$.
$30$ लड़कियों के शामिल होने के बाद,लड़कियों की नई संख्या $= 666 + 30 = 696$.
मान लीजिए कि स्कूल छोड़ने वाले लड़कों की संख्या $x$ है।
तब,लड़कों की नई संख्या $= 888 - x$.
प्रश्न के अनुसार,लड़कों और लड़कियों का नया अनुपात $7:6$ है,इसलिए:
$(888 - x) / 696 = 7 / 6$.
दोनों पक्षों को $696$ से गुणा करने पर:
$888 - x = (7 / 6) \times 696$.
$888 - x = 7 \times 116$.
$888 - x = 812$.
$x = 888 - 812 = 76$.
अतः,$76$ लड़कों ने स्कूल छोड़ दिया।

(B) माना कि दो संख्याएँ $2x$ और $3x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,जब दोनों संख्याओं में $8$ जोड़ा जाता है,तो अनुपात $3:4$ हो जाता है।
अतः,$\frac{2x + 8}{3x + 8} = \frac{3}{4}$।
तिर्यक गुणा करने पर,$4(2x + 8) = 3(3x + 8)$ प्राप्त होता है।
$8x + 32 = 9x + 24$।
$32 - 24 = 9x - 8x$।
$x = 8$।
अतः दोनों संख्याएँ $2x = 2(8) = 16$ और $3x = 3(8) = 24$ हैं।
दोनों संख्याओं का योग $16 + 24 = 40$ है।

(D) माना कि जोड़ी जाने वाली संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,अनुपात $\frac{2+x}{5+x} = \frac{5}{6}$ हो जाता है।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$6(2+x) = 5(5+x)$
$12 + 6x = 25 + 5x$
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर:
$12 + x = 25$
दोनों पक्षों से $12$ घटाने पर:
$x = 25 - 12$
$x = 13$.
अतः,हमें प्रत्येक पद में $13$ जोड़ना चाहिए।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ का अनुपात $4:5$ है।
मान लीजिए $A = 4x$ और $B = 5x$ है।
उनके वर्गों का अंतर $81$ दिया गया है।
$(5x)^2 - (4x)^2 = 81$
$25x^2 - 16x^2 = 81$
$9x^2 = 81$
$x^2 = 9$
$x = 3$
अतः,$A$ का मान $4x = 4 \times 3 = 12$ है।

(A) माना पुत्र,पत्नी और पुत्री के हिस्से क्रमशः $S$,$W$ और $D$ हैं।
दिए गए अनुपात $S:W = 3:1$ और $W:D = 3:1$ हैं।
इन अनुपातों को संयोजित करने के लिए,हम पत्नी के हिस्से $(W)$ को दोनों अनुपातों में समान बनाते हैं।
$S:W = 3:1 = 9:3$ और $W:D = 3:1$ है।
अतः,संयुक्त अनुपात $S:W:D = 9:3:1$ है।
माना हिस्से क्रमशः $9k$,$3k$ और $k$ हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
संपत्ति का कुल मूल्य $9k + 3k + k = 13k$ है।
प्रश्न के अनुसार,पुत्री को पुत्र से ₹ $10,000$ कम मिलते हैं:
$S - D = 10000$
$9k - k = 10000$
$8k = 10000$
$k = 1250$.
संपत्ति का कुल मूल्य $13k = 13 \times 1250 = 16250$ है।
अतः,संपत्ति का कुल मूल्य ₹ $16,250$ है।

(A) समानुपात (proportion) वह कथन है जिसमें दो अनुपात बराबर होते हैं। यह जांचने के लिए कि क्या समानुपात सही है,हम दोनों पक्षों को उनके न्यूनतम पदों (lowest terms) में सरल करते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $12: 9 = (12/3) : (9/3) = 4: 3$ और $16: 12 = (16/4) : (12/4) = 4: 3$। चूंकि $4: 3 = 4: 3$ है,इसलिए यह एक सही समानुपात है।
विकल्प $B$ के लिए: $13: 11$ और $5: 4$ पहले से ही सरलतम रूप में हैं। चूंकि $13/11 \neq 5/4$ है,इसलिए यह गलत है।
विकल्प $C$ के लिए: $30: 45 = (30/15) : (45/15) = 2: 3$,जबकि $13: 24$ सरलतम रूप में है। चूंकि $2/3 \neq 13/24$ है,इसलिए यह गलत है।
विकल्प $D$ के लिए: $3: 5 \neq 2: 5$ है,इसलिए यह गलत है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $3x$ और $4x$ हैं,जहाँ $x$ एक उभयनिष्ठ गुणक है।
$3x$ और $4x$ का ल.स.प. $3 \times 4 \times x = 12x$ होता है।
दिया गया है कि ल.स.प. $180$ है,इसलिए:
$12x = 180$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = 180 / 12 = 15$
दूसरी संख्या $4x = 4 \times 15 = 60$ है।

(C) कक्षा में कुल छात्रों की संख्या $= z$ है।
लड़कों की संख्या $= x$ है।
लड़कियों की संख्या $= z - x$ है।
कक्षा का वह भाग जो लड़कियों से बना है,लड़कियों की संख्या और कुल छात्रों की संख्या का अनुपात है।
लड़कियों का भाग $= \frac{z - x}{z} = \frac{z}{z} - \frac{x}{z} = 1 - \frac{x}{z}$.

(C) माना कि $12$ और $18$ का तीसरा समानुपाती $x$ है।
समानुपात की परिभाषा के अनुसार,यदि $a$ और $b$ समानुपात में हैं,तो $a:b = b:x$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$12:18 = 18:x$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{12}{18} = \frac{18}{x}$
$x$ के लिए हल करने पर:
$12x = 18 \times 18$
$12x = 324$
$x = \frac{324}{12}$
$x = 27$
अतः,तीसरा समानुपाती $27$ है।

(A) माना विज्ञान में प्राप्त अंक $x$ हैं।
चूंकि राम ने विज्ञान की तुलना में अंग्रेजी में दोगुने अंक प्राप्त किए हैं,इसलिए अंग्रेजी में उसके अंक $2x$ हैं।
अंग्रेजी और गणित में उसके अंकों का अनुपात $2:3$ है। अंग्रेजी के अंक $2x$ दिए गए हैं,इसलिए गणित के अंक $3x$ होंगे।
अंग्रेजी,विज्ञान और गणित में कुल अंक $180$ हैं।
अतः,$x + 2x + 3x = 180$.
$6x = 180$.
$x = 30$.
इस प्रकार,विज्ञान में उसके अंक $30$ हैं।

(B) माना कि तीन संख्याएँ $2x, 3x$ और $4x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $1856$ है।
अतः,$(2x)^2 + (3x)^2 + (4x)^2 = 1856$.
वर्गों का विस्तार करने पर,$4x^2 + 9x^2 + 16x^2 = 1856$.
पदों को जोड़ने पर,$29x^2 = 1856$.
$29$ से भाग देने पर,$x^2 = 1856 / 29 = 64$.
वर्गमूल लेने पर,$x = \sqrt{64} = 8$.
अतः,संख्याएँ $2(8) = 16$,$3(8) = 24$ और $4(8) = 32$ हैं।

(B) दिए गए अनुपात $x: y = 3: 2$ और $y: z = 3: 2$ हैं।
इन्हें संयोजित करने के लिए,हम $y$ के मान को दोनों अनुपातों में समान बनाते हैं।
पहले अनुपात को $3$ से और दूसरे अनुपात को $2$ से गुणा करने पर:
$x: y = (3 \times 3): (2 \times 3) = 9: 6$
$y: z = (3 \times 2): (2 \times 2) = 6: 4$
अतः,संयुक्त अनुपात $x: y: z = 9: 6: 4$ है।
माना कि बनाए गए रन $9a, 6a$ और $4a$ हैं।
कुल रन $342$ हैं,इसलिए:
$9a + 6a + 4a = 342$
$19a = 342$
$a = 342 / 19 = 18$
अब,प्रत्येक के लिए रनों की गणना करते हैं:
$A = 9 \times 18 = 162$
$B = 6 \times 18 = 108$
$C = 4 \times 18 = 72$
इस प्रकार,$A, B$ और $C$ द्वारा बनाए गए रन क्रमशः $162, 108$ और $72$ हैं।