Simplification Questions in Gujarati

(C) સરવાળો શોધવા માટે,દશાંશ ચિહ્નોને એક લાઇનમાં ગોઠવો અને સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો:
$34.950$
$240.016$
$23.980$
----------
$298.946$
આમ,$34.95 + 240.016 + 23.98 = 298.946$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3889 + 12.952 - ? = 3854.002$
$?$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$? = (3889 + 12.952) - 3854.002$
પ્રથમ,સરવાળો કરો:
$3889 + 12.952 = 3901.952$
ત્યારબાદ,આ સરવાળામાંથી $3854.002$ બાદ કરો:
$3901.952 - 3854.002 = 47.95$
તેથી,$?$ ની કિંમત $47.95$ છે.

(C) $337.62 + 8.591 + 34.4$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે દશાંશ ચિહ્નોને એક સીધી રેખામાં ગોઠવીએ છીએ અને સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$337.620$
$+\quad 8.591$
$+\quad 34.400$
. . . . . .
$380.611$
આમ,સરવાળો $380.611$ થાય છે.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1}{(n+4)(n+5)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે તેને $T_n = \frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
પ્રથમ $20$ પદો માટે,સરવાળો $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5} \right)$ થશે.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા: $S_{20} = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{24} - \frac{1}{25} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે.
$S_{20} = \frac{1}{5} - \frac{1}{25}$.
$S_{20} = \frac{5 - 1}{25} = \frac{4}{25}$.
$S_{20} = \frac{16}{100} = 0.16$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{52416}{312} = 168.$
આપણે $x = \frac{52.416}{0.0168}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરળ બનાવવા માટે,આપણે દશાંશને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકીએ:
$x = \frac{52416 / 1000}{168 / 10000}$
$x = \frac{52416}{1000} \times \frac{10000}{168}$
$x = \frac{52416}{168} \times \frac{10000}{1000}$
કારણ કે $\frac{52416}{312} = 168,$ તેથી $\frac{52416}{168} = 312$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા:
$x = 312 \times 10 = 3120.$

(C) અપૂર્ણાંકોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવા માટે,દરેક અપૂર્ણાંકને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{2}{3} = 0.666...$
$\frac{3}{5} = 0.6$
$\frac{7}{9} = 0.777...$
$\frac{9}{11} = 0.8181...$
$\frac{8}{9} = 0.888...$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.6 < 0.666... < 0.777... < 0.8181... < 0.888...$
તેથી,ચડતો ક્રમ આ મુજબ છે: $\frac{3}{5} < \frac{2}{3} < \frac{7}{9} < \frac{9}{11} < \frac{8}{9}$.

(C) આપેલ પદાવલિ છે: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{1}{1024}$
પગલું $1$: દરેક પદની ગણતરી કરો:
$1 = 1.0000$
$\frac{1}{2} = 0.5000$
$\frac{1}{8} = 0.1250$
$\frac{1}{64} = 0.015625$
$\frac{1}{1024} \approx 0.000976$
પગલું $2$: આ મૂલ્યોનો સરવાળો કરો:
$1 + 0.5 + 0.125 + 0.015625 + 0.000976 = 1.641601$
દશાંશના ચાર સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1.6416$ મળે છે.

(A) ધારો કે અંશ $x$ છે અને છેદ $x+3$ છે.
અપૂર્ણાંકને $\frac{x}{x+3}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો અંશ અને છેદ બંનેમાં $4$ ઉમેરવામાં આવે,તો નવો અપૂર્ણાંક $\frac{4}{5}$ બને છે.
તેથી,$\frac{x+4}{(x+3)+4} = \frac{4}{5}$.
$\frac{x+4}{x+7} = \frac{4}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5(x+4) = 4(x+7)$.
$5x + 20 = 4x + 28$.
$5x - 4x = 28 - 20$.
$x = 8$.
તેથી,અંશ $8$ છે અને છેદ $8+3 = 11$ છે.
મૂળ અપૂર્ણાંક $\frac{8}{11}$ છે.

(B) ધારો કે બે અપૂર્ણાંકો $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x > y$ છે.
આપેલ છે:
$x y = \frac{14}{15}$ ............$(1)$
$\frac{x}{y} = \frac{35}{24}$ ............$(2)$
$x$ અને $y$ શોધવા માટે,$(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(x y) \times (\frac{x}{y}) = \frac{14}{15} \times \frac{35}{24}$
$x^2 = \frac{14 \times 35}{15 \times 24} = \frac{2 \times 7 \times 5 \times 7}{3 \times 5 \times 3 \times 8} = \frac{49}{36}$
$x = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}$
હવે,$x = \frac{7}{6}$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$(\frac{7}{6}) y = \frac{14}{15}$
$y = \frac{14}{15} \times \frac{6}{7} = \frac{2 \times 2}{5} = \frac{4}{5}$
$x = \frac{7}{6} \approx 1.166$ અને $y = \frac{4}{5} = 0.8$ ની સરખામણી કરતા,મોટો અપૂર્ણાંક $\frac{7}{6}$ છે.

(A) ધારો કે અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$\frac{x+2}{y+3} = \frac{7}{9}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $9(x+2) = 7(y+3)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $9x + 18 = 7y + 21$ એટલે કે $9x - 7y = 3$ થાય ..........$(1)$
બીજી શરત મુજબ,$\frac{x-1}{y-1} = \frac{4}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $5(x-1) = 4(y-1)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $5x - 5 = 4y - 4$ એટલે કે $5x - 4y = 1$ થાય ..........$(2)$
સમીકરણો ઉકેલવા માટે,$(1)$ ને $4$ વડે અને $(2)$ ને $7$ વડે ગુણતા:
$36x - 28y = 12$ ..........$(3)$
$35x - 28y = 7$ ..........$(4)$
$(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા $x = 5$ મળે છે.
$x = 5$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$5(5) - 4y = 1 \Rightarrow 25 - 4y = 1 \Rightarrow 4y = 24 \Rightarrow y = 6$.
આમ,મૂળ અપૂર્ણાંક $\frac{5}{6}$ છે.

(C) ધારો કે અપૂર્ણાંક $B$ એ $x$ છે અને અપૂર્ણાંક $A$ એ $2x$ છે.
આપેલ છે કે બંને અપૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $\frac{2}{25}$ છે.
તેથી,$x \times 2x = \frac{2}{25}.$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $2x^2 = \frac{2}{25}$ મળે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$x^2 = \frac{1}{25}$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા,$x = \frac{1}{5}$ (ધન અપૂર્ણાંકોને ધ્યાનમાં લેતા).
આમ,અપૂર્ણાંક $A$ ની કિંમત $2x = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ થાય.

(B) ધારો કે અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંશ અને છેદ વચ્ચેનો તફાવત $5$ છે,તેથી $x - y = 5$,જેનો અર્થ છે કે $x = y + 5$.
જ્યારે છેદમાં $5$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y+5}$ બને છે.
આપેલ છે કે અપૂર્ણાંક $1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ જેટલો ઘટે છે,તેથી:
$\frac{x}{y} - \frac{x}{y+5} = \frac{5}{4}$.
સમીકરણમાં $x = y + 5$ મૂકતા:
$\frac{y+5}{y} - \frac{y+5}{y+5} = \frac{5}{4}$
$\frac{y+5}{y} - 1 = \frac{5}{4}$
$\frac{y+5}{y} = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$
$4(y+5) = 9y$
$4y + 20 = 9y$
$5y = 20 \Rightarrow y = 4$.
કારણ કે $x = y + 5$,તેથી $x = 4 + 5 = 9$.
માટે,અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$ છે.

(B) ધારો કે અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,છેદમાં $1$ ઉમેરતા $\frac{x}{y+1} = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2x = y + 1$,અથવા $2x - y = 1$ ........$(1)$.
બીજી શરત મુજબ,અંશમાં $1$ ઉમેરતા $\frac{x+1}{y} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x + 1 = y$,અથવા $y - x = 1$ ........$(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2x - y) + (y - x) = 1 + 1$
$x = 2$.
$x = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$y - 2 = 1$
$y = 3$.
તેથી,માંગેલ અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ છે.