Heights and Distances Questions in Hindi

(B) दिया गया है:
$x = a \cos \theta + b \sin \theta$
$y = b \cos \theta - a \sin \theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$x^{2} = (a \cos \theta + b \sin \theta)^{2} = a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta$
$y^{2} = (b \cos \theta - a \sin \theta)^{2} = b^{2} \cos^{2} \theta + a^{2} \sin^{2} \theta - 2ab \cos \theta \sin \theta$
$x^{2}$ और $y^{2}$ को जोड़ने पर:
$x^{2} + y^{2} = (a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta) + (b^{2} \cos^{2} \theta + a^{2} \sin^{2} \theta - 2ab \cos \theta \sin \theta)$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + b^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)$
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए:
$x^{2} + y^{2} = a^{2}(1) + b^{2}(1) = a^{2} + b^{2}$

(A) मान लीजिए कि दो खंभों की ऊँचाई $h_1 = 12 \ m$ और $h_2 = 7 \ m$ है। उनके आधारों के बीच की दूरी $d = 12 \ m$ है।
जब हम छोटे खंभे के शीर्ष से ऊँचे खंभे तक एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं,तो एक समकोण त्रिभुज बनता है।
इस त्रिभुज का आधार खंभों के बीच की दूरी के बराबर है,जो कि $12 \ m$ है।
इस त्रिभुज की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई दोनों खंभों की ऊँचाई का अंतर है: $12 \ m - 7 \ m = 5 \ m$।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,शीर्षों के बीच की दूरी $(AC)$ है:
$AC^2 = (12)^2 + (5)^2$
$AC^2 = 144 + 25 = 169$
$AC = \sqrt{169} = 13 \ m$.

(C) मान लीजिए सीढ़ी $AC$ है,जहाँ $AC = 10 \ m$ है। मान लीजिए दीवार $AB$ है और जमीन $BC$ है। सीढ़ी जमीन के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए $\angle C = 30^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,हमें सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी ज्ञात करनी है,जो $BC$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 30^{\circ} = \frac{BC}{AC}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{10}$
$BC = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \times \sqrt{3}$
दिया गया है कि $\sqrt{3} = 1.732$,इसलिए:
$BC = 5 \times 1.732 = 8.66 \ m$.

(D) माना मीनार की ऊँचाई $h$ मीटर है।
दिया गया है कि मीनार के पाद से दूरी $100 \ m$ है और उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज में,$\tan(\theta) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$.
यहाँ,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{100}$.
हम जानते हैं कि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{100}$.
इसलिए,$h = \frac{100}{\sqrt{3}} \ m$.

(D) माना व्यक्ति की ऊँचाई $CD = 6 \ ft$ है।
पेड़ की ऊँचाई $AB = \frac{26}{3} \ ft$ है।
व्यक्ति और पेड़ के बीच की दूरी $BD = \frac{8}{\sqrt{3}} \ ft$ है।
माना $AB$ पर एक बिंदु $E$ है ताकि $CE$,$BD$ के समानांतर हो। अतः,$BE = CD = 6 \ ft$ है।
व्यक्ति की आँखों के स्तर से ऊपर फल की ऊँचाई $AE = AB - BE = \frac{26}{3} - 6 = \frac{26 - 18}{3} = \frac{8}{3} \ ft$ है।
क्षैतिज दूरी $CE = BD = \frac{8}{\sqrt{3}} \ ft$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta AEC$ में,$\tan \theta = \frac{AE}{CE}$ है।
$\tan \theta = \frac{8/3}{8/\sqrt{3}} = \frac{8}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूँकि $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ होगा।

(B) माना जमीन से पतंग की ऊँचाई $AB = 75 \ m$ है।
माना धागे द्वारा जमीन के साथ बनाया गया कोण $\angle ACB = \Theta$ है।
दिया गया है कि $\cot \Theta = 8/15$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,$\cot \Theta = \frac{\text{आधार}}{\text{लंब}} = \frac{BC}{AB}$।
इसलिए,$\frac{BC}{75} = \frac{8}{15}$।
$BC = \frac{8 \times 75}{15} = 8 \times 5 = 40 \ m$।
धागे की लंबाई कर्ण $AC$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$।
$AC = \sqrt{75^2 + 40^2} = \sqrt{5625 + 1600} = \sqrt{7225}$।
$AC = 85 \ m$।

(D) व्यक्ति द्वारा तय किया गया मार्ग एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ आधार $12 \ km$ (पूर्व) है और लंब $5 \ km$ (उत्तर) है।
प्रारंभिक बिंदु $L$ और अंतिम बिंदु $M$ के बीच की न्यूनतम दूरी इस समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$\text{न्यूनतम दूरी} = \sqrt{(\text{आधार})^2 + (\text{लंब})^2}$
$= \sqrt{12^2 + 5^2}$
$= \sqrt{144 + 25}$
$= \sqrt{169}$
$= 13 \ km$

(D) माना इमारत $BC = 10 \ m$ है और ध्वजदंड $AB$ है। माना $P$ जमीन पर स्थित बिंदु है।
$\Delta BCP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{BC}{CP} = \frac{10}{CP}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{CP}$,जिससे $CP = 10\sqrt{3} \ m$.
$\Delta ACP$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AC}{CP} = \frac{AB + BC}{CP}$.
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $1 = \frac{AB + 10}{10\sqrt{3}}$.
अतः,$AC = 10\sqrt{3} \ m$.
ध्वजदंड की लंबाई $AB = AC - BC = 10\sqrt{3} - 10$.
$AB = 10(1.732) - 10 = 17.32 - 10 = 7.32 \ m$.

(D) माना $AD$ ऊँचाई $108 \; m$ वाला टॉवर है,और $B$ तथा $C$ टॉवर के दोनों ओर स्थित दो वस्तुएँ हैं।
दिया है: $AD = 108 \; m$,$\angle ABD = 30^{\circ}$ और $\angle ACD = 45^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABD$ में:
$\tan 30^{\circ} = \frac{AD}{BD}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{108}{BD}$
$BD = 108\sqrt{3} \; m$
समकोण त्रिभुज $\triangle ADC$ में:
$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{DC}$
$1 = \frac{108}{DC}$
$DC = 108 \; m$
वस्तुओं के बीच की दूरी $BC = BD + DC$ है।
$BC = 108\sqrt{3} + 108 = 108(\sqrt{3} + 1) \; m$.

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h \ m$ है।
माना जब सूर्य का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है,तब छाया की लंबाई $x \ m$ है।
मीनार और $60^{\circ}$ के कोण पर बने समकोण त्रिभुज में,$\tan 60^{\circ} = h / x$,अतः $x = h / \sqrt{3}$।
जब सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ होता है,तो छाया की लंबाई $(x + 40) \ m$ हो जाती है।
मीनार और $30^{\circ}$ के कोण पर बने समकोण त्रिभुज में,$\tan 30^{\circ} = h / (x + 40)$,अतः $x + 40 = h / \tan 30^{\circ} = h \sqrt{3}$।
$x = h / \sqrt{3}$ को समीकरण में रखने पर: $h / \sqrt{3} + 40 = h \sqrt{3}$।
$40 = h \sqrt{3} - h / \sqrt{3} = h (\sqrt{3} - 1 / \sqrt{3}) = h ( (3 - 1) / \sqrt{3} ) = 2h / \sqrt{3}$।
$2h = 40 \sqrt{3}$,जिससे $h = 20 \sqrt{3} \ m$ प्राप्त होता है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और छाया की लंबाई $L = 9 \text{ m}$ है।
दिया गया उन्नयन कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
मीनार और उसकी छाया द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$\tan \theta = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{छाया की लंबाई}}$.
मान रखने पर: $\tan 30^{\circ} = \frac{h}{9}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{9}$.
$h$ का मान ज्ञात करने पर: $h = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{3} = 3 \sqrt{3} \text{ m}$.

(B) माना $AB = h$ खंभे की ऊँचाई है।
माना $DE = 169 \; cm$ व्यक्ति की ऊँचाई है।
माना $CD = 130 \; cm$ व्यक्ति की छाया है।
माना $BC = 420 \; cm$ खंभे की छाया है।
चूँकि सूर्य की किरणें समानांतर हैं,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta CED$,$\Delta ABC$ के समरूप है।
इसलिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{BC}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{169}{h} = \frac{130}{420}$
$h = \frac{169 \times 420}{130}$
$h = \frac{169 \times 42}{13}$
$h = 13 \times 42$
$h = 546 \; cm$
अतः,खंभे की ऊँचाई $546 \; cm$ है।

(B) माना $AB$ मीनार की ऊँचाई है और $C$ जमीन पर स्थित बिंदु है।
दिया गया है कि मीनार के पाद $B$ से बिंदु $C$ की दूरी $BC = 20 \; m$ है।
उन्नयन कोण $\angle ACB = 30^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$
चूँकि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{20}$
$AB = \frac{20}{\sqrt{3}} \; m$.
अतः,मीनार की ऊँचाई $\frac{20}{\sqrt{3}} \; m$ है।

(A) माना $AB$ ऊँचाई $h \; m$ का एक टावर है।
माना $C$ प्रारंभिक बिंदु है जहाँ $BC = 160 \; m$ और $\angle ACB = \theta$ है।
टावर की ओर $100 \; m$ चलने के बाद,हम बिंदु $D$ पर पहुँचते हैं,जहाँ $CD = 100 \; m$ है। अतः,$BD = BC - CD = 160 - 100 = 60 \; m$.
बिंदु $D$ पर,अंतरित कोण $2\theta$ है,इसलिए $\angle ADB = 2\theta$.
$\triangle ABC$ में,$\tan \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{160}$.
$\triangle ABD$ में,$\tan 2\theta = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{60}$.
सूत्र $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{h}{60} = \frac{2(h/160)}{1 - (h/160)^2}$.
$\frac{h}{60} = \frac{h/80}{1 - h^2/25600}$.
$h$ से विभाजित करने पर (चूँकि $h \neq 0$):
$\frac{1}{60} = \frac{1/80}{(25600 - h^2)/25600} = \frac{320}{25600 - h^2}$.
$25600 - h^2 = 19200$.
$h^2 = 6400$.
$h = 80 \; m$.

(B) माना $AB$ मीनार की ऊँचाई $h \; m$ है।
माना $C$ मीनार के पाद $B$ से $50 \; m$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु है।
अतः,$BC = 50 \; m$ है।
उन्नयन कोण $\angle ACB = 30^{\circ}$ दिया गया है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\tan 30^{\circ} = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}$
$h = \frac{50}{\sqrt{3}} \; m$ है।
अतः,मीनार की ऊँचाई $\frac{50}{\sqrt{3}} \; m$ है।

(D) मान लीजिए $AB = 3x$ इकाई और $BC = 2x$ इकाई है।
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PB = \frac{AB}{2} = \frac{3x}{2}$ इकाई होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle CPB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$CP = \sqrt{PB^2 + BC^2} = \sqrt{(\frac{3x}{2})^2 + (2x)^2}$
$CP = \sqrt{\frac{9x^2}{4} + 4x^2} = \sqrt{\frac{9x^2 + 16x^2}{4}} = \sqrt{\frac{25x^2}{4}} = \frac{5x}{2}$ इकाई।
अब,$\triangle CPB$ में,$\sin(\angle CPB) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{CP}$.
$\sin(\angle CPB) = \frac{2x}{\frac{5x}{2}} = 2x \cdot \frac{2}{5x} = \frac{4}{5}$.

(A) व्यंजक $\frac{\sin A}{1+\cos A}+\frac{\sin A}{1-\cos A}$ को सरल करने के लिए,हम उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेते हैं:
$= \frac{\sin A(1-\cos A) + \sin A(1+\cos A)}{(1+\cos A)(1-\cos A)}$
$= \frac{\sin A - \sin A \cos A + \sin A + \sin A \cos A}{1 - \cos^2 A}$
$= \frac{2 \sin A}{\sin^2 A}$
$= \frac{2}{\sin A} = 2 \operatorname{cosec} A$

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$r \sin \theta = 1$ --- $(1)$
$r \cos \theta = \sqrt{3}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से भाग देने पर:
$\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
अब,$(\sqrt{3} \tan \theta + 1)$ व्यंजक में $\tan \theta$ का मान रखने पर:
$= \sqrt{3} \times \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 1$
$= 1 + 1 = 2$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) माना $AB$ एक मीनार है जिसकी ऊँचाई $h$ इकाई है।
माना बिंदु $P$ और $Q$ मीनार के आधार $B$ से क्रमशः $PB = a$ और $QB = b$ की दूरी पर स्थित हैं।
दिया गया है कि उन्नयन कोण पूरक हैं,अतः माना $\angle AQB = \theta$ और $\angle APB = 90^{\circ} - \theta$ है।
$\triangle AQB$ में,$\tan \theta = \frac{AB}{QB} = \frac{h}{b}$.
$\triangle APB$ में,$\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{AB}{PB} = \frac{h}{a}$.
चूँकि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$,इसलिए $\cot \theta = \frac{h}{a}$ है।
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{h}{b}\right) \cdot \left(\frac{h}{a}\right)$.
चूँकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,इसलिए $1 = \frac{h^2}{ab}$ प्राप्त होता है।
अतः,$h^2 = ab$,जिसका अर्थ है कि $h = \sqrt{ab}$।

(B) माना $AB$ ऊँचाई $100 \ m$ का एक टॉवर है।
माना $C$ कार की प्रारंभिक स्थिति है और $D$ कुछ समय बाद की अंतिम स्थिति है।
माना कार द्वारा तय की गई दूरी $CD = x \ m$ है।
$\Delta ABD$ में,उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है।
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BD} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{100}{BD} \Rightarrow BD = \frac{100}{\sqrt{3}} \ m$.
$\Delta ABC$ में,उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{BD + CD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{\frac{100}{\sqrt{3}} + x}$.
$\frac{100}{\sqrt{3}} + x = 100 \sqrt{3}$.
$x = 100 \sqrt{3} - \frac{100}{\sqrt{3}} = \frac{300 - 100}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \ m$.
हर का परिमेयकरण करने पर,$x = \frac{200 \sqrt{3}}{3} \ m$.

(A) माना छोटे खंभे की ऊँचाई $h \text{ m}$ है और ऊँचे खंभे की ऊँचाई $2h \text{ m}$ है।
माना खंभे $CD$ और $AB$ हैं,जहाँ $CD = h$ और $AB = 2h$ है।
उनके आधारों $B$ और $D$ के बीच की दूरी $x \text{ m}$ है।
माना $O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $OB = OD = \frac{x}{2} \text{ m}$ है।
$\triangle OCD$ से,$\tan \theta = \frac{CD}{OD} = \frac{h}{x/2} = \frac{2h}{x}$ प्राप्त होता है।
$\triangle OAB$ से,उन्नयन कोण $(90^{\circ} - \theta)$ है,इसलिए $\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{AB}{OB} = \frac{2h}{x/2} = \frac{4h}{x}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$,इसलिए $\cot \theta = \frac{4h}{x}$ है।
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{2h}{x}\right) \cdot \left(\frac{4h}{x}\right)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,इसलिए $1 = \frac{8h^2}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$h^2 = \frac{x^2}{8}$,जिससे $h = \sqrt{\frac{x^2}{8}} = \frac{x}{2\sqrt{2}} \text{ m}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि दो हवाई जहाज बिंदु $A$ और $D$ पर हैं। मान लीजिए जमीन पर बिंदु $C$ है। पहले हवाई जहाज $A$ की ऊँचाई $AB = 5000 \; m$ है।
मान लीजिए दूसरे हवाई जहाज $D$ की ऊँचाई $DB = h$ है।
बिंदु $C$ से बिंदु $B$ (हवाई जहाजों के ठीक नीचे) की दूरी $BC = x$ है।
$\Delta ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} = \frac{5000}{x}$ है।
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $x = \frac{5000}{\sqrt{3}} \; m$ है।
$\Delta DBC$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{DB}{BC} = \frac{h}{x}$ है।
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $h = x = \frac{5000}{\sqrt{3}} \; m$ है।
दोनों हवाई जहाजों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी $AD = AB - DB = 5000 - h$ है।
$AD = 5000 - \frac{5000}{\sqrt{3}} = 5000\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \; m$।

(C) माना $AB$ मीनार है और $BC$ उसकी छाया है।
मीनार की ऊँचाई $AB = x$ मान लीजिए।
प्रश्न के अनुसार,छाया की लंबाई $BC = \frac{1}{\sqrt{3}} \times AB = \frac{x}{\sqrt{3}}$.
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,उन्नयन कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan \theta = \frac{x}{\frac{x}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$।
अतः,सूर्य का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है।