Boats and Streams Questions in Gujarati

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $u + v = 12 \, km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $u - v = 8 \, km/h$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(u + v) + (u - v) = 12 + 8 \implies 2u = 20 \implies u = 10 \, km/h$.
આમ,સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $10 \, km/h$ છે.
સ્થિર પાણીમાં $24 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{24}{10} = 2.4 \, h$ થાય.

(B) ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $x \text{ km/h}$ છે.
હોડી $A$ પ્રવાહની દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી તેની અસરકારક ઝડપ $(12 + x) \text{ km/h}$ થશે.
હોડી $B$ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી તેની અસરકારક ઝડપ $(15 - x) \text{ km/h}$ થશે.
ધારો કે હોડીઓ $t$ કલાક પછી મળે છે.
જ્યારે તેઓ મળે છે ત્યારે બંને હોડીઓ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર તેમની વચ્ચેના પ્રારંભિક અંતર એટલે કે $108 \text{ km}$ જેટલું હોય છે.
તેથી,$(12 + x)t + (15 - x)t = 108$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $(12 + x + 15 - x)t = 108$.
$27t = 108$.
$t = \frac{108}{27} = 4 \text{ h}$.

(C) ધારો કે મોટરબોટની ઝડપ $36x\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $5x\, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં (downstream) બોટની ઝડપ $36x + 5x = 41x\, km/h$ થાય.
પ્રવાહની દિશામાં મુસાફરી માટે લાગતો સમય $5\, h\, 10\, min = 5 + \frac{10}{60} = 5 + \frac{1}{6} = \frac{31}{6}\, h$ છે.
કાપેલું અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 41x \times \frac{31}{6} = \frac{1271x}{6}\, km$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (upstream) બોટની ઝડપ $36x - 5x = 31x\, km/h$ થાય.
પાછા આવવા માટે લાગતો સમય (upstream) $= \frac{\text{અંતર}}{\text{પ્રવાહની વિરુદ્ધ ઝડપ}} = \frac{1271x / 6}{31x} = \frac{1271}{6 \times 31} = \frac{41}{6}\, h$.
$\frac{41}{6}\, h$ ને કલાક અને મિનિટમાં ફેરવતા: $\frac{41}{6} = 6\, h + \frac{5}{6} \times 60\, min = 6\, h\, 50\, min$.

(D) પ્રવાહની દિશામાં માણસની ઝડપ $= \frac{15\, km}{1\, h} = 15\, km/h$ છે.
ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $v_m$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v_c = 5\, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= v_m + v_c = 15\, km/h$.
તેથી,$v_m + 5 = 15$,જેનો અર્થ છે કે $v_m = 10\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= v_m - v_c = 10 - 5 = 5\, km/h$.
$15\, km$ અંતર પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{પ્રવાહની વિરુદ્ધ ઝડપ}} = \frac{15}{5} = 3\, h$.

(C) ધારો કે તે જગ્યાનું અંતર $x \, km$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપ $(5 + 3) \, km/h = 8 \, km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં હોડીની ઝડપ $(5 - 3) \, km/h = 2 \, km/h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આવવા-જવા માટે લાગતો કુલ સમય $3 \, h$ છે.
તેથી,પ્રવાહની દિશામાં જવાનો સમય અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછા આવવાનો સમયનો સરવાળો $3 \, h$ થાય.
$\frac{x}{8} + \frac{x}{2} = 3$
$8$ વડે ગુણતા:
$x + 4x = 24$
$5x = 24$
$x = \frac{24}{5} = 4.8 \, km$.
આમ,તે જગ્યાનું અંતર $4.8 \, km$ છે.

(C) ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $x\, km/h$ છે.
સ્થિર પાણીમાં મોટરબોટની ઝડપ $45\, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં (ડાઉનસ્ટ્રીમ) ઝડપ $= (45 + x)\, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં $80\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= 1\, h\, 20\, min = 1 + \frac{20}{60} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\, h$.
સૂત્ર $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$45 + x = \frac{80}{4/3} = 80 \times \frac{3}{4} = 60$.
$x = 60 - 45 = 15\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (અપસ્ટ્રીમ) ઝડપ $= (45 - x) = 45 - 15 = 30\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $80\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{80}{30} = \frac{8}{3}\, h$.
$\frac{8}{3}\, h$ ને કલાક અને મિનિટમાં ફેરવતા: $\frac{8}{3}\, h = 2\, h + \frac{2}{3} \times 60\, min = 2\, h\, 40\, min$.

(A) ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $x\, km/h$ છે.
સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $10\, km/h$ છે.
તેથી,પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં હોડીની ઝડપ $(10 - x)\, km/h$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$.
આપેલ છે કે હોડી પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $6\, h$ માં $45\, km$ અંતર કાપે છે,તેથી:
$10 - x = \frac{45}{6}$
$10 - x = 7.5$
$x = 10 - 7.5 = 2.5\, km/h$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $2.5\, km/h$ છે.

(B) ધારો કે અંતર $x \, km$ છે.
સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ = $6 \, km/h$.
પ્રવાહની ઝડપ = $2 \, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં (downstream) ઝડપ = $6 + 2 = 8 \, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (upstream) ઝડપ = $6 - 2 = 4 \, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય = $\frac{x}{4} \, h$.
પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય = $\frac{x}{8} \, h$.
પ્રશ્ન મુજબ,સમયનો તફાવત $3 \, h$ છે:
$\frac{x}{4} - \frac{x}{8} = 3$
$x$ શોધવા માટે $8$ વડે ગુણતા:
$2x - x = 24$
$x = 24 \, km$.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં નાવિકની ઝડપ $x$ $km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y$ $km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $x + y = \frac{12}{48/60} = \frac{12}{0.8} = 15$ $km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $x - y = \frac{12}{80/60} = \frac{12}{4/3} = 9$ $km/h$.
સ્થિર પાણીમાં નાવિકની ઝડપ $(x)$ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરીએ:
$(x + y) + (x - y) = 15 + 9$
$2x = 24$
$x = 12$ $km/h$.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x - y) = \frac{40\, km}{8\, h} = 5\, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x + y) = \frac{36\, km}{6\, h} = 6\, km/h$.
સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $(x)$ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરીએ:
$(x - y) + (x + y) = 5 + 6$
$2x = 11$
$x = \frac{11}{2} = 5.5\, km/h$.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u = 6\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v = 1.5\, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં (ડાઉનસ્ટ્રીમ) ઝડપ $u + v = 6 + 1.5 = 7.5\, km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (અપસ્ટ્રીમ) ઝડપ $u - v = 6 - 1.5 = 4.5\, km/h$ છે.
સ્થળનું અંતર $d = 22.5\, km$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં જવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{u+v} = \frac{22.5}{7.5} = 3\, \text{કલાક}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{u-v} = \frac{22.5}{4.5} = 5\, \text{કલાક}$.
કુલ સમય = $t_1 + t_2 = 3 + 5 = 8\, \text{કલાક}$.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં વ્યક્તિની ઝડપ $x \text{ km/h}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y = 2 \frac{1}{4} = 2.25 \text{ km/h}$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x + y) \text{ km/h}.$
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x - y) \text{ km/h}.$
ધારો કે અંતર $d \text{ km}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$d = (x + y) \times 6$ અને $d = (x - y) \times 9.$
અંતરને સરખાવતા: $6(x + y) = 9(x - y).$
$6x + 6y = 9x - 9y \implies 3x = 15y \implies x = 5y.$
$y = 2.25 \text{ km/h}$ મૂકતા:
$x = 5 \times 2.25 = 11.25 = 11 \frac{1}{4} \text{ km/h}.$

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $x\, km$ છે.
સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $= 9\, km/h$.
પ્રવાહની ઝડપ $= 3\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (\text{હોડીની ઝડપ} - \text{પ્રવાહની ઝડપ}) = 9 - 3 = 6\, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (\text{હોડીની ઝડપ} + \text{પ્રવાહની ઝડપ}) = 9 + 3 = 12\, km/h$.
$B$ થી $A$ સુધી પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{x}{6}$ કલાક.
$A$ થી $B$ સુધી પ્રવાહની દિશામાં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{x}{12}$ કલાક.
પ્રશ્ન મુજબ, કુલ સમય $3$ કલાક લાગે છે:
$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} = 3$
$x$ માટે ઉકેલવા માટે, સામાન્ય છેદ શોધો:
$\frac{2x + x}{12} = 3$
$\frac{3x}{12} = 3$
$\frac{x}{4} = 3$
$x = 12\, km$.
આમ, $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $12\, km$ છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં મોટર બોટની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રવાહની ઝડપ $= 1 \, km/h$.
પ્રવાહની સામેની ઝડપ $= (x - 1) \, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x + 1) \, km/h$.
આવતા-જતા કુલ સમય $12 \, hours$ લાગે છે અને અંતર $35 \, km$ છે.
પ્રવાહની સામે લાગતો સમય $+$ પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય $= 12$.
$\frac{35}{x - 1} + \frac{35}{x + 1} = 12$.
$35 \left( \frac{x + 1 + x - 1}{x^2 - 1} \right) = 12$.
$35 \left( \frac{2x}{x^2 - 1} \right) = 12$.
$70x = 12(x^2 - 1)$.
$12x^2 - 70x - 12 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $6x^2 - 35x - 6 = 0$.
$6x^2 - 36x + x - 6 = 0$.
$6x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$.
$(6x + 1)(x - 6) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 6 \, km/h$.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીનો વેગ $u \, km/h$ છે અને પ્રવાહનો વેગ $x \, km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $(u - x) \, km/h$ છે અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(u + x) \, km/h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{24}{u-x} + \frac{36}{u+x} = 6$ ... $(1)$
$\frac{36}{u-x} + \frac{24}{u+x} = 6.5$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $1.5$ વડે ગુણતા:
$1.5 \times \left( \frac{24}{u-x} + \frac{36}{u+x} \right) = 1.5 \times 6$
$\frac{36}{u-x} + \frac{54}{u+x} = 9$ ... $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$\left( \frac{36}{u-x} + \frac{54}{u+x} \right) - \left( \frac{36}{u-x} + \frac{24}{u+x} \right) = 9 - 6.5$
$\frac{30}{u+x} = 2.5$
$u + x = \frac{30}{2.5} = 12 \, km/h$
$(u + x) = 12$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{24}{u-x} + \frac{36}{12} = 6$
$\frac{24}{u-x} + 3 = 6$
$\frac{24}{u-x} = 3$
$u - x = \frac{24}{3} = 8 \, km/h$
હવે,આપણી પાસે છે:
$u + x = 12$
$u - x = 8$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(u + x) - (u - x) = 12 - 8$
$2x = 4$
$x = 2 \, km/h$
આમ,પ્રવાહનો વેગ $2 \, km/h$ છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $x\, km/h$ છે.
પ્રવાહની સાથે (ડાઉનસ્ટ્રીમ) ઝડપ $x + y = 12\, km/h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $y$ એ પ્રવાહની ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $y = 1.5\, km/h$,તેથી $x + 1.5 = 12$.
તેથી,$x = 12 - 1.5 = 10.5\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (અપસ્ટ્રીમ) માણસની ઝડપ $x - y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= 10.5 - 1.5 = 9\, km/h$ થાય.

(C) ધારો કે તે સ્થળનું અંતર $d \, km$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= 5 + 1 = 6 \, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= 5 - 1 = 4 \, km/h$.
લાગતો કુલ સમય $= \frac{d}{6} + \frac{d}{4} = 1 \, hour$.
$6$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ લેતા:
$\frac{2d + 3d}{12} = 1$
$\frac{5d}{12} = 1$
$d = \frac{12}{5} = 2.4 \, km$.
આમ,તે સ્થળનું અંતર $2.4 \, km$ છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u = 6\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v\, km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં હોડીની ઝડપ $(u - v) = (6 - v)\, km/h$ થાય.
પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપ $(u + v) = (6 + v)\, km/h$ થાય.
ધારો કે અંતર $d$ છે. પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય $T_{up} = \frac{d}{6 - v}$ અને પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય $T_{down} = \frac{d}{6 + v}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય એ પ્રવાહની દિશામાં લાગતા સમય કરતાં બમણો છે:
$T_{up} = 2 \times T_{down}$
$\frac{d}{6 - v} = 2 \times \frac{d}{6 + v}$
બંને બાજુથી $d$ દૂર કરતા:
$\frac{1}{6 - v} = \frac{2}{6 + v}$
$6 + v = 2(6 - v)$
$6 + v = 12 - 2v$
$3v = 6$
$v = 2\, km/h$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $2\, km/h$ છે.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $u \text{ km/h}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v \text{ km/h}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{30}{u-v} + \frac{44}{u+v} = 10$ $...(1)$
$\frac{40}{u-v} + \frac{55}{u+v} = 13$ $...(2)$
ધારો કે $x = \frac{1}{u-v}$ અને $y = \frac{1}{u+v}$.
$30x + 44y = 10$ $...(3)$
$40x + 55y = 13$ $...(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $4$ વડે અને $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$120x + 176y = 40$ $...(5)$
$120x + 165y = 39$ $...(6)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(6)$ બાદ કરતા:
$11y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{11}$.
તેથી,$u+v = 11$.
$y = \frac{1}{11}$ ની કિંમત $(3)$ માં મુકતા:
$30x + 44(\frac{1}{11}) = 10 \Rightarrow 30x + 4 = 10 \Rightarrow 30x = 6 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$.
તેથી,$u-v = 5$.
$u+v = 11$ અને $u-v = 5$ ને ઉકેલતા:
$2u = 16 \Rightarrow u = 8 \text{ km/h}$.
$2v = 6 \Rightarrow v = 3 \text{ km/h}$.
આમ,માણસની ઝડપ $8 \text{ km/h}$ અને પ્રવાહની ઝડપ $3 \text{ km/h}$ છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં વ્યક્તિની ઝડપ $x$ $km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y = 3$ $km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x + 3)$ $km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x - 3)$ $km/h$.
અંતર સમાન હોવાથી: $6(x + 3) = 9(x - 3)$.
$6x + 18 = 9x - 27$.
$3x = 45$.
$x = 15$ $km/h$.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: સ્થિર પાણીમાં ઝડપ $= y \times \frac{(T_2 + T_1)}{(T_2 - T_1)} = 3 \times \frac{(9 + 6)}{(9 - 6)} = 3 \times \frac{15}{3} = 15$ $km/h$.

(A) ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $x$ માઈલ/કલાક છે.
સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ = $10$ માઈલ/કલાક.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $(10 + x)$ માઈલ/કલાક.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $(10 - x)$ માઈલ/કલાક.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $36$ માઈલ કાપવા માટે લાગતો સમય = $\frac{36}{10 - x}$ કલાક.
પ્રવાહની દિશામાં $36$ માઈલ કાપવા માટે લાગતો સમય = $\frac{36}{10 + x}$ કલાક.
આપેલ છે કે સમયનો તફાવત $90$ મિનિટ છે,જે $\frac{90}{60} = 1.5$ કલાક થાય.
તેથી,$\frac{36}{10 - x} - \frac{36}{10 + x} = 1.5$.
$\frac{36(10 + x) - 36(10 - x)}{(10 - x)(10 + x)} = 1.5$.
$\frac{360 + 36x - 360 + 36x}{100 - x^2} = 1.5$.
$\frac{72x}{100 - x^2} = 1.5$.
$72x = 1.5(100 - x^2)$.
$72x = 150 - 1.5x^2$.
$1.5x^2 + 72x - 150 = 0$.
$1.5$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + 48x - 100 = 0$ મળે છે.
$(x + 50)(x - 2) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 2$ માઈલ/કલાક.

(B) ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $x \text{ km/hr}$ છે.
સ્થિર પાણીમાં બોટની ઝડપ = $15 \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $(15 + x) \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $(15 - x) \text{ km/hr}$.
કુલ સમય = $4 \text{ કલાક } 30 \text{ મિનિટ} = 4.5 \text{ કલાક} = \frac{9}{2} \text{ કલાક}$.
પ્રશ્ન મુજબ,આવવા-જવા માટેનો કુલ સમય:
$\frac{30}{15+x} + \frac{30}{15-x} = 4.5$
$\frac{30(15-x) + 30(15+x)}{(15+x)(15-x)} = 4.5$
$\frac{450 - 30x + 450 + 30x}{225 - x^2} = 4.5$
$\frac{900}{225 - x^2} = 4.5$
$900 = 4.5(225 - x^2)$
$200 = 225 - x^2$
$x^2 = 225 - 200 = 25$
$x = 5 \text{ km/hr}$.

(A) ધારો કે તે સ્થળનું અંતર $x \text{ km}$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ (Downstream) $= 5 + 1 = 6 \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ (Upstream) $= 5 - 1 = 4 \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની દિશામાં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $\frac{x}{6} \text{ hours}$ છે અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $\frac{x}{4} \text{ hours}$ છે.
આપેલ છે કે કુલ સમય $1 \text{ hour}$ લાગે છે,તેથી:
$\frac{x}{6} + \frac{x}{4} = 1$
$6$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ લેતા:
$\frac{2x + 3x}{12} = 1$
$\frac{5x}{12} = 1$
$x = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ km}$.
તેથી,તે સ્થળનું અંતર $2.4 \text{ km}$ છે.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \text{ km/hr}$ છે.
પ્રવાહની ઝડપ $3 \text{ km/hr}$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x + 3) \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x - 3) \text{ km/hr}$.
બંને કિસ્સામાં કાપેલું અંતર સમાન હોવાથી:
$\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$
$(x + 3) \times 1 = (x - 3) \times 1.5$
$x + 3 = 1.5x - 4.5$
$1.5x - x = 3 + 4.5$
$0.5x = 7.5$
$x = \frac{7.5}{0.5} = 15 \text{ km/hr}$.
તેથી,સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $15 \text{ km/hr}$ છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u$ $km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v$ $km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $D$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $8$ $\text{કલાક}$ $48$ $\text{મિનિટ }= 8 + \frac{48}{60} = 8.8$ $\text{કલાક}$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= u - v = \frac{D}{8.8} \implies D = 8.8(u - v)$.
પ્રવાહની દિશામાં તે જ અંતર $D$ કાપવા માટે લાગતો સમય $4$ $\text{કલાક}$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= u + v = \frac{D}{4} \implies D = 4(u + v)$.
$D$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$8.8(u - v) = 4(u + v)$
$2.2(u - v) = u + v$
$2.2u - 2.2v = u + v$
$1.2u = 3.2v$
$\frac{u}{v} = \frac{3.2}{1.2} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$.
આમ,હોડીની ઝડપ અને પ્રવાહની ઝડપનો ગુણોત્તર $8:3$ છે.

(C) સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $13\, km/hr$ છે.
પ્રવાહની ઝડપ $4\, km/hr$ છે.
જ્યારે હોડી પ્રવાહની દિશામાં (downstream) ગતિ કરે છે, ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ એ હોડીની ઝડપ અને પ્રવાહની ઝડપનો સરવાળો થાય છે.
$\text{પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ} = 13\, km/hr + 4\, km/hr = 17\, km/hr$.
પ્રવાહની દિશામાં $68\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
$\text{સમય} = \frac{68\, km}{17\, km/hr} = 4\, \text{કલાક}$.

(D) કાપેલું અંતર $= 3/4 \text{ km}$ છે.
લીધેલ સમય $= 11 \frac{1}{4} \text{ મિનિટ} = 45/4 \text{ મિનિટ} = (45/4) / 60 \text{ કલાક} = 3/16 \text{ કલાક}$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= \text{અંતર} / \text{સમય} = (3/4) / (3/16) = (3/4) \times (16/3) = 4 \text{ km/hr}$ થાય.
અહીં પ્રવાહની ઝડપ આપેલી ન હોવાથી,સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $4 \text{ km/hr}$ ગણવામાં આવે છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $u$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ (ડાઉનસ્ટ્રીમ) $= u + v = 15 \, km/hr$.
આપેલ છે કે,પ્રવાહની ઝડપ $v = 2.5 \, km/hr$.
તેથી,સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $u = 15 - 2.5 = 12.5 \, km/hr$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં માણસની ઝડપ (અપસ્ટ્રીમ) $u - v$ દ્વારા મળે છે.
અપસ્ટ્રીમ ઝડપ $= 12.5 - 2.5 = 10 \, km/hr$.

(B) ધારો કે શાંત પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x\, km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, km/hr$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{16}{2} = 8\, km/hr$.
તેથી,$x + y = 8$ --- $(1)$
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{16}{4} = 4\, km/hr$.
તેથી,$x - y = 4$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 8 + 4$
$2x = 12$
$x = 6\, km/hr$.
આમ,શાંત પાણીમાં હોડીની ઝડપ $6\, km/hr$ છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \ km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \ km/hr$ છે.
જ્યારે હોડી પ્રવાહની દિશામાં (ડાઉનસ્ટ્રીમ) જાય છે,ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $(x + y) \ km/hr$ થાય છે.
આપેલ છે કે હોડી એક કલાકમાં પ્રવાહની દિશામાં $11 \ km$ કાપે છે,તેથી: $x + y = 11 \dots (1)$.
જ્યારે હોડી પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (અપસ્ટ્રીમ) જાય છે,ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $(x - y) \ km/hr$ થાય છે.
આપેલ છે કે હોડી એક કલાકમાં પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $5 \ km$ કાપે છે,તેથી: $x - y = 5 \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 11 + 5$
$2x = 16$
$x = 8 \ km/hr$.
તેથી,સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $8 \ km/hr$ છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u$ $km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v$ $km/hr$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(u + v)$ $km/hr$ અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $(u - v)$ $km/hr$ થાય.
ધારો કે અંતર $d$ $km$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય એ પ્રવાહની દિશામાં લાગતા સમય કરતાં બમણો છે:
$\frac{d}{u - v} = 2 \times \frac{d}{u + v}$
બંને બાજુથી $d$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{u - v} = \frac{2}{u + v}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$u + v = 2(u - v)$
$u + v = 2u - 2v$
પદોને ગોઠવતા:
$v + 2v = 2u - u$
$3v = u$
તેથી,હોડીની ઝડપ અને પ્રવાહની ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{u}{v} = \frac{3}{1}$ એટલે કે $3:1$ થાય.

(C) પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= \frac{1\, km}{10/60\, \text{કલાક}} = 6\, km/hr$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= \frac{2\, km}{1\, \text{કલાક}} = 2\, km/hr$.
સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $= \frac{\text{પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ} + \text{પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\, km/hr$.
સ્થિર પાણીમાં $5\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{5}{4} = 1.25\, \text{કલાક}$.
$1.25\, \text{કલાક }= 1\, \text{કલાક }+ 0.25 \times 60\, \text{મિનિટ }= 1\, \text{કલાક}\, 15\, \text{મિનિટ}$.

(D) ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $u \text{ miles/hour}$ છે અને સ્થિર પાણીમાં હલેસાં મારવાની ઝડપ $x \text{ miles/hour}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ:
$\frac{12}{x-u} - \frac{12}{x+u} = 6$
$\frac{12(x+u - (x-u))}{x^2 - u^2} = 6$
$\frac{24u}{x^2 - u^2} = 6 \implies x^2 - u^2 = 4u \implies x^2 = u^2 + 4u \quad (1)$
બીજી શરત મુજબ,જો હલેસાં મારવાની ઝડપ બમણી $(2x)$ કરવામાં આવે:
$\frac{12}{2x-u} - \frac{12}{2x+u} = 1$
$\frac{12(2x+u - (2x-u))}{4x^2 - u^2} = 1$
$\frac{24u}{4x^2 - u^2} = 1 \implies 4x^2 - u^2 = 24u \implies 4x^2 = u^2 + 24u \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $x^2$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$4(u^2 + 4u) = u^2 + 24u$
$4u^2 + 16u = u^2 + 24u$
$3u^2 = 8u$
$u \neq 0$ હોવાથી,$u = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \text{ miles/hour}$.

(B) ધારો કે તે સ્થળનું અંતર $x \, km$ છે.
સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $= 7.5 \, km/hr$.
નદીના પ્રવાહની ઝડપ $= 1.5 \, km/hr$.
સામેની દિશામાં (Upstream) ઝડપ $= 7.5 - 1.5 = 6 \, km/hr$.
પ્રવાહની દિશામાં (Downstream) ઝડપ $= 7.5 + 1.5 = 9 \, km/hr$.
કુલ સમય $50 \, minutes = \frac{50}{60} \, hours = \frac{5}{6} \, hours$ છે.
$\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{6} + \frac{x}{9} = \frac{5}{6}$
$6$ અને $9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $18$ લેતા:
$\frac{3x + 2x}{18} = \frac{5}{6}$
$\frac{5x}{18} = \frac{5}{6}$
બંને બાજુ $18$ વડે ગુણતા:
$5x = \frac{5 \times 18}{6}$
$5x = 15$
$x = 3 \, km$.
તેથી,તે સ્થળ $3 \, km$ દૂર છે.

(A) ધારો કે સ્થળ $A$ અને સ્થળ $B$ વચ્ચેનું અંતર $x$ km છે.
સાયકલ સવાર માટે:
ઝડપ $12$ km/hr છે. કુલ કાપેલું અંતર $2x$ km છે.
સાયકલ સવાર દ્વારા લેવાયેલ સમય $= \frac{2x}{12} = \frac{x}{6}$ કલાક.
હોડી સવાર માટે:
હોડી $A$ થી $B$ સુધી પ્રવાહની દિશામાં અને $B$ થી $A$ સુધી પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરે છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= 10 + 4 = 14$ km/hr.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= 10 - 4 = 6$ km/hr.
હોડી સવાર દ્વારા લેવાયેલ સમય 
$= \frac{x}{14} + \frac{x}{6} = \frac{3x + 7x}{42} = \frac{10x}{42} = \frac{5x}{21}$ કલાક.
સમયની સરખામણી:
$\frac{x}{6}$ અને $\frac{5x}{21}$ ની સરખામણી કરવા માટે સામાન્ય છેદ $42$ લઈએ:
$\frac{x}{6} = \frac{7x}{42}$
$\frac{5x}{21} = \frac{10x}{42}$
કારણ કે $\frac{7x}{42} < \frac{10x}{42}$, સાયકલ સવાર ઓછો સમય લે છે.
તેથી, સાયકલ સવાર પહેલા સ્થળ $A$ પર પાછા ફરશે.

(A) હોડીની પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = અંતર / સમય.
સમય $= 39\, \text{મિનિટ }= \frac{39}{60}\, \text{કલાક }= 0.65\, \text{કલાક}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= \frac{13\, km}{0.65\, h} = 20\, km/h$.
ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x\, km/h$ છે.
પ્રવાહની ઝડપ $3\, km/h$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x - \text{પ્રવાહની ઝડપ})$.
તેથી,$x - 3 = 20$.
$x = 20 + 3 = 23\, km/h$.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u = 8\, km/h$ છે.
ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $v\, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપનું સૂત્ર $u + v$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $15\, km/h$ છે,તેથી:
$u + v = 15$
$u$ ની કિંમત મૂકતા:
$8 + v = 15$
$v = 15 - 8$
$v = 7\, km/h$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $7\, km/h$ છે.

(A) સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $v_m = 10 \text{ km/h}$ છે.
પ્રવાહની ઝડપ $v_c = 3 \text{ km/h}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવામાં આવે,ત્યારે માણસ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં અસરકારક ઝડપ શોધવાનું સૂત્ર: $v_{\text{upstream}} = v_m - v_c$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v_{\text{upstream}} = 10 \text{ km/h} - 3 \text{ km/h} = 7 \text{ km/h}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $u\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v\, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ (Downstream) $= u + v = 7\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ (Upstream) $= u - v = 3\, km/h$.
સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $(u)$ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરીએ:
$(u + v) + (u - v) = 7 + 3$
$2u = 10$
$u = 5\, km/h$.
તેથી,સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $5\, km/h$ છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાની ઝડપ $u\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v\, km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (સામે) તરવૈયાની ઝડપ $= u - v = \frac{28}{4} = 7\, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં તરવૈયાની ઝડપ $= u + v = \frac{40}{4} = 10\, km/h$.
પ્રવાહની ઝડપ $(v)$ શોધવા માટે,આપણે પ્રવાહની દિશાની ઝડપમાંથી પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશાની ઝડપ બાદ કરીને તેને $2$ વડે ભાગીશું:
$v = \frac{(u + v) - (u - v)}{2} = \frac{10 - 7}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\, km/h$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $1.5\, km/h$ છે.

(C) હોડીની પ્રવાહની દિશામાં ઝડપની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{1 \, km}{10/60 \, h} = 6 \, km/h$.
હોડીની પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $4 \, km/h$ આપેલી છે.
ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $v_b$ છે અને પ્રવાહનો વેગ $v_c$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ: $v_b + v_c = 6 \, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ: $v_b - v_c = 4 \, km/h$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(v_b + v_c) - (v_b - v_c) = 6 - 4$.
$2v_c = 2$.
$v_c = 1 \, km/h$.
તેથી,પ્રવાહનો વેગ $1 \, km/h$ છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $u \text{ km/h}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v \text{ km/h}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રવાહ સાથેની ઝડપ (ડાઉનસ્ટ્રીમ ઝડપ) $u + v = 12 \text{ km/h}$ છે.
પ્રવાહની ઝડપ $v = 1 \frac{1}{2} = 1.5 \text{ km/h}$ છે.
સમીકરણ $u + v = 12$ માં $v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $u + 1.5 = 12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $u = 10.5 \text{ km/h}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ (અપસ્ટ્રીમ ઝડપ) $u - v$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,અપસ્ટ્રીમ ઝડપ $= 10.5 - 1.5 = 9 \text{ km/h}$ થાય.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v\, km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (u - v) = \frac{2\, km}{20/60\, h} = 2 \times 3 = 6\, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (u + v) = \frac{2\, km}{18/60\, h} = 2 \times \frac{60}{18} = \frac{20}{3}\, km/h$.
પ્રવાહની ઝડપ $v$ શોધવાનું સૂત્ર: $v = \frac{1}{2} \times (\text{પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ} - \text{પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ})$.
$v = \frac{1}{2} \times (\frac{20}{3} - 6) = \frac{1}{2} \times (\frac{20 - 18}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\, km/h$.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v = 5\, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= u + v = \frac{48\, km}{4\, h} = 12\, km/h$.
તેથી,$u + 5 = 12$,જે આપણને $u = 7\, km/h$ આપે છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= u - v = 7 - 5 = 2\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $8\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ}} = \frac{8\, km}{2\, km/h} = 4\, \text{કલાક}$.

(B) ધારો કે બિંદુ સુધીનું અંતર $d \text{ km}$ છે.
સ્થિર પાણીમાં ઝડપ $(u)$ = $10 \text{ km/h}$.
નદીના પ્રવાહની ઝડપ $(v)$ = $4 \text{ km/h}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ (Upstream) = $u - v = 10 - 4 = 6 \text{ km/h}$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ (Downstream) = $u + v = 10 + 4 = 14 \text{ km/h}$.
ઉપરવાસની મુસાફરી માટે લાગતો સમય $(t_1)$ = $\frac{d}{6} \text{ કલાક}$.
પ્રવાહની દિશામાં મુસાફરી માટે લાગતો સમય $(t_2)$ = $\frac{d}{14} \text{ કલાક}$.
કુલ અંતર = $2d$.
કુલ સમય = $t_1 + t_2 = \frac{d}{6} + \frac{d}{14} = \frac{7d + 3d}{42} = \frac{10d}{42} = \frac{5d}{21} \text{ કલાક}$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{5d/21} = 2d \times \frac{21}{5d} = \frac{42}{5} = 8 \frac{2}{5} \text{ km/h}$.

(A) ધારો કે અંતર $d\, km$ છે.
સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $(u)$ = $6\, km/h$.
પ્રવાહની ઝડપ $(v)$ = $2\, km/h$.
પ્રવાહની સામેની ઝડપ (Upstream speed) = $u - v = 6 - 2 = 4\, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ (Downstream speed) = $u + v = 6 + 2 = 8\, km/h$.
પ્રવાહની સામે મુસાફરી કરવામાં લાગતો સમય = $\frac{d}{4}$.
પ્રવાહની દિશામાં મુસાફરી કરવામાં લાગતો સમય = $\frac{d}{8}$.
પ્રશ્ન મુજબ,સમયનો તફાવત $3\, hours$ છે:
$\frac{d}{4} - \frac{d}{8} = 3$.
બંને બાજુ $8$ વડે ગુણતા: $2d - d = 24$.
તેથી,$d = 24\, km$.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x$ $km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y = 3$ $km/h$ છે.
ધારો કે અંતર $d$ $km$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x + 3)$ $km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x - 3)$ $km/h$.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય $2$ કલાક છે અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $4$ કલાક છે.
અંતર $d = (x + 3) \times 2 = (x - 3) \times 4$.
$2x + 6 = 4x - 12$.
$2x = 18$.
$x = 9$ $km/h$.
આમ,સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $9$ $km/h$ છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u = 6\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v = 2\, km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં હોડીની ઝડપ $(u - v) = 6 - 2 = 4\, km/h$ થશે.
પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપ $(u + v) = 6 + 2 = 8\, km/h$ થશે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $32\, km$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{32}{4} = 8\, \text{કલાક}$.
પ્રવાહની દિશામાં $32\, km$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{32}{8} = 4\, \text{કલાક}$.
મુસાફરીનો કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = 8 + 4 = 12\, \text{કલાક}$ થાય.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d$ $km$ છે.
સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $(x)$ = $9$ $km/h$.
પ્રવાહની ઝડપ $(y)$ = $3$ $km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $x + y = 9 + 3 = 12$ $km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $x - y = 9 - 3 = 6$ $km/h$.
કુલ સમય = પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય + પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય = $3$ કલાક.
$\frac{d}{12} + \frac{d}{6} = 3$.
$12$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $d + 2d = 36$.
$3d = 36$,તેથી $d = 12$ $km$.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y = 3\, km/h$ છે.
સામેની દિશામાં (upstream) ઝડપ $(x - 3)\, km/h$ અને પ્રવાહની દિશામાં (downstream) ઝડપ $(x + 3)\, km/h$ થાય.
કુલ સમય $30\, minutes = 0.5\, hours$ છે.
આવતા-જતા સમયનું સૂત્ર: $\frac{d}{x-y} + \frac{d}{x+y} = t$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{x-3} + \frac{2}{x+3} = 0.5$.
$\frac{2(x+3) + 2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0.5$.
$\frac{2x + 6 + 2x - 6}{x^2 - 9} = 0.5$.
$\frac{4x}{x^2 - 9} = 0.5$.
$4x = 0.5(x^2 - 9) \Rightarrow 8x = x^2 - 9$.
$x^2 - 8x - 9 = 0$.
$(x - 9)(x + 1) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 9\, km/h$.