Boats and Streams Questions in Gujarati

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $x \text{ km/h}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y = 1.5 \text{ km/h}$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x + y) \text{ km/h}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x - y) \text{ km/h}$.
પ્રશ્ન મુજબ,આપેલ સમય $t$ માં,પ્રવાહની દિશામાં કાપેલું અંતર એ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં કાપેલા અંતર કરતા બમણું છે:
$(x + y)t = 2(x - y)t$
$x + 1.5 = 2(x - 1.5)$
$x + 1.5 = 2x - 3$
$x = 4.5 \text{ km/h}$.
આમ,માણસની તરવાની ઝડપ $4 \frac{1}{2} \text{ km/h}$ છે.

(D) પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (9 + 3)\, km/h = 12\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (9 - 3)\, km/h = 6\, km/h$.
ધારો કે અંતર $AB = x\, km$ છે.
આવતા-જતા લાગતો કુલ સમય એ પ્રવાહની વિરુદ્ધ અને પ્રવાહની દિશામાં લાગતા સમયનો સરવાળો છે.
સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
તેથી,$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} = 3$.
$12$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $2x + x = 36$.
$3x = 36$.
$x = 12$.
આમ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $12\, km$ છે.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની હોડી હંકારવાની ઝડપ $x \text{ km/h}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \text{ km/h}$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x - y) \text{ km/h}$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x + y) \text{ km/h}$.
બંને મુસાફરી માટે લાગતો સમય $5 \text{ કલાક}$ આપેલ છે,તેથી:
$x - y = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ km/h}$ (સમીકરણ $1$)
$x + y = \frac{28}{5} = 5.6 \text{ km/h}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(x + y) - (x - y) = 5.6 - 2.4$
$2y = 3.2$
$y = 1.6 \text{ km/h}$.
$1.6$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} = 1 \frac{3}{5} \text{ km/h}$.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં ઝડપ $x \text{ km/h}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \text{ km/h}$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(x + y) \text{ km/h}$ થાય.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $(x - y) \text{ km/h}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહની દિશામાં ઝડપના બમણા એ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપના ત્રણ ગણા બરાબર છે:
$2(x + y) = 3(x - y)$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$2x + 2y = 3x - 3y$
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2x - 3x = -3y - 2y$
$-x = -5y$
$x = 5y$
તેથી,સ્થિર પાણીમાં ઝડપ અને પ્રવાહની ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{x}{y} = \frac{5}{1}$,એટલે કે $5:1$ થાય.

(D) પ્રવાહની સામેની દિશામાં ઝડપ (upstream speed) $= (3 - 2) \text{ km/h} = 1 \text{ km/h}$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ (downstream speed) $= (3 + 2) \text{ km/h} = 5 \text{ km/h}$.
$10 \text{ km}$ પ્રવાહની સામેની દિશામાં કાપતા લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{પ્રવાહની સામેની ઝડપ}} = \frac{10}{1} = 10 \text{ કલાક}$.
$10 \text{ km}$ પ્રવાહની દિશામાં કાપતા લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ}} = \frac{10}{5} = 2 \text{ કલાક}$.
કુલ લાગતો સમય $= 10 + 2 = 12 \text{ કલાક}$.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u \text{ km/h}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v \text{ km/h}$ છે.
તેથી,પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (u - v) \text{ km/h}$ અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (u + v) \text{ km/h}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{24}{u-v} + \frac{36}{u+v} = 6$ --- $(1)$
$\frac{36}{u-v} + \frac{24}{u+v} = 6.5 = \frac{13}{2}$ --- $(2)$
ધારો કે $X = \frac{1}{u-v}$ અને $Y = \frac{1}{u+v}$.
$24X + 36Y = 6 \Rightarrow 4X + 6Y = 1$ --- $(3)$
$36X + 24Y = \frac{13}{2} \Rightarrow 72X + 48Y = 13$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $8$ વડે ગુણતા: $32X + 48Y = 8$ --- $(5)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(5)$ બાદ કરતા: $40X = 5 \Rightarrow X = \frac{1}{8}$.
$X$ ની કિંમત $(3)$ માં મુકતા: $4(\frac{1}{8}) + 6Y = 1 \Rightarrow 0.5 + 6Y = 1 \Rightarrow 6Y = 0.5 \Rightarrow Y = \frac{1}{12}$.
તેથી,$u - v = 8$ અને $u + v = 12$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2u = 20 \Rightarrow u = 10 \text{ km/h}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2v = 4 \Rightarrow v = 2 \text{ km/h}$.
આમ,પ્રવાહનો વેગ $2 \text{ km/h}$ છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v\, km/h$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ (Upstream) $= u - v = \frac{2\, km}{1\, h} = 2\, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ (Downstream) $= u + v = \frac{1\, km}{10\, min} = \frac{1\, km}{1/6\, h} = 6\, km/h$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(u - v) + (u + v) = 2 + 6 \implies 2u = 8 \implies u = 4\, km/h$.
આમ, સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $4\, km/h$ છે.
સ્થિર પાણીમાં $5\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{5}{4}\, \text{કલાક}$.
$\frac{5}{4}\, \text{કલાક} = 1\, \text{કલાક } 15\, \text{મિનિટ}$.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $x \, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x+y) \, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x-y) \, km/h$.
ધારો કે નદી $P$ થી $R$ તરફ વહે છે અને $PQ = QR = a$. તેથી $PR = 2a$.
આપેલ છે કે માણસ $P$ થી $Q$ સુધી જાય છે અને પાછો ફરે છે,જેમાં $10 \, h$ લાગે છે:
$\frac{a}{x+y} + \frac{a}{x-y} = 10$ ---$(1)$
આપેલ છે કે તે $P$ થી $R$ સુધી $4 \, h$ માં જાય છે (પ્રવાહની દિશામાં):
$\frac{2a}{x+y} = 4 \implies \frac{a}{x+y} = 2$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2 + \frac{a}{x-y} = 10 \implies \frac{a}{x-y} = 8$ ---$(3)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(3)$ વડે ભાગતા:
$\frac{x-y}{x+y} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$4x - 4y = x + y$
$3x = 5y$
$\frac{x}{y} = \frac{5}{3}$
આમ,ગુણોત્તર $5:3$ છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં મોટરબોટની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
પ્રવાહની સામે ઝડપ $(x - 2) \, km/h$ અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(x + 2) \, km/h$ થશે.
કુલ સમય $55 \, min = \frac{55}{60} \, \text{કલાક }= \frac{11}{12} \, \text{કલાક}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{10}{x - 2} + \frac{10}{x + 2} = \frac{11}{12}$
$10 \left( \frac{x + 2 + x - 2}{x^2 - 4} \right) = \frac{11}{12}$
$10 \left( \frac{2x}{x^2 - 4} \right) = \frac{11}{12}$
$20x \times 12 = 11(x^2 - 4)$
$240x = 11x^2 - 44$
$11x^2 - 240x - 44 = 0$
$11x^2 - 242x + 2x - 44 = 0$
$11x(x - 22) + 2(x - 22) = 0$
$(11x + 2)(x - 22) = 0$
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 22 \, km/h$.

(A) ધારો કે પ્રવાહની સામેની ઝડપ $x \text{ km/h}$ અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $y \text{ km/h}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણી પાસે સમીકરણો છે:
$\frac{30}{x} + \frac{44}{y} = 10$ --- $(1)$
$\frac{40}{x} + \frac{55}{y} = 13$ --- $(2)$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. તો સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$30u + 44v = 10$ --- $(3)$
$40u + 55v = 13$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$120u + 176v = 40$
$120u + 165v = 39$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $11v = 1 \implies v = \frac{1}{11}$.
$v = \frac{1}{11}$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા: $30u + 44(\frac{1}{11}) = 10 \implies 30u + 4 = 10 \implies 30u = 6 \implies u = \frac{1}{5}$.
આમ,$x = 5 \text{ km/h}$ અને $y = 11 \text{ km/h}$.
સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $= \frac{y + x}{2} = \frac{11 + 5}{2} = 8 \text{ km/h}$.
પ્રવાહની ઝડપ $= \frac{y - x}{2} = \frac{11 - 5}{2} = 3 \text{ km/h}$.

(B) જ્યારે બંને દિશામાં કાપેલું અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\text{Average Speed} = \frac{2xy}{x+y}$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ બે દિશાઓમાં ઝડપ છે.
અહીં,$x = 21\, km/h$ અને $y = 28\, km/h$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Average Speed} = \frac{2 \times 21 \times 28}{21 + 28}$
$\text{Average Speed} = \frac{1176}{49}$
$\text{Average Speed} = 24\, km/h$.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x\, km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, km/hr$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $(x - y)\, km/hr$ અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $(x + y)\, km/hr$.
આપેલ છે,સમય = $\text{અંતર} / \text{ઝડપ}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{2}{x-y} + \frac{3}{x+y} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \implies \frac{6}{x-y} + \frac{9}{x+y} = 1$ ---$(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{7}{x-y} + \frac{2}{x+y} = \frac{53}{60}$ ---$(2)$
ધારો કે $u = \frac{1}{x-y}$ અને $v = \frac{1}{x+y}$.
$6u + 9v = 1$ ---$(3)$
$7u + 2v = \frac{53}{60}$ ---$(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $2$ વડે અને $(4)$ ને $9$ વડે ગુણતા:
$12u + 18v = 2$
$63u + 18v = \frac{477}{60} = 7.95$
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $51u = 5.95 \implies u = \frac{5.95}{51} = \frac{7}{60}$.
તેથી,$x - y = \frac{60}{7}$.
$u$ ની કિંમત $(3)$ માં મુકતા: $6(\frac{7}{60}) + 9v = 1 \implies \frac{7}{10} + 9v = 1 \implies 9v = \frac{3}{10} \implies v = \frac{1}{30}$.
તેથી,$x + y = 30$.
$x - y = \frac{60}{7}$ અને $x + y = 30$ નો સરવાળો કરતા:
$2x = \frac{60}{7} + 30 = \frac{270}{7}$.
$x = \frac{135}{7}\, km/hr$.

(C) ધારો કે શાંત પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \ km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \ km/hr$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(D_s)$ = $x + y = \frac{32 \ km}{4 \ hours} = 8 \ km/hr$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $(U_s)$ = $x - y = \frac{24 \ km}{6 \ hours} = 4 \ km/hr$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x + y) + (x - y) = 8 + 4$.
$2x = 12$.
$x = 6 \ km/hr$.
આમ,શાંત પાણીમાં હોડીની ઝડપ $6 \ km/hr$ છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \text{ km/hr}$ અને પ્રવાહની ઝડપ $y \text{ km/hr}$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x+y) \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= (x-y) \text{ km/hr}$.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{60}{x+y} + \frac{20}{x-y} = 4$ --- $(i)$
$\frac{40}{x+y} + \frac{40}{x-y} = 6$ --- $(ii)$
ધારો કે $u = \frac{1}{x+y}$ અને $v = \frac{1}{x-y}$.
$60u + 20v = 4 \Rightarrow 15u + 5v = 1$ --- $(iii)$
$40u + 40v = 6 \Rightarrow 20u + 20v = 3$ --- $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $4$ વડે ગુણતા: $60u + 20v = 4$.
આમાંથી $(iv)$ બાદ કરતા: $(60u + 20v) - (40u + 40v) = 4 - 6 \Rightarrow 20u - 20v = -2 \Rightarrow 10u - 10v = -1$.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $u = \frac{1}{40}$ અને $v = \frac{1}{8}$ મળે છે.
તેથી,$x+y = 40$ અને $x-y = 8$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2x = 48 \Rightarrow x = 24$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $2y = 32 \Rightarrow y = 16$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $16 \text{ km/hr}$ છે.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \ km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \ km/hr$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપ (ડાઉનસ્ટ્રીમ ઝડપ) $D_s = x + y = 10 \ km/hr$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં હોડીની ઝડપ (અપસ્ટ્રીમ ઝડપ) $U_s = x - y = 8 \ km/hr$ છે.
પ્રવાહની ઝડપ $(y)$ શોધવા માટે,આપણે ડાઉનસ્ટ્રીમ સમીકરણમાંથી અપસ્ટ્રીમ સમીકરણ બાદ કરીશું:
$(x + y) - (x - y) = 10 - 8$
$2y = 2$
$y = 1 \ km/hr$.
તેથી,પ્રવાહની ઝડપ $1 \ km/hr$ છે.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \, km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \, km/hr$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં (downstream) હોડીની ઝડપ $D_s = x + y = 14 \, km/hr$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (upstream) હોડીની ઝડપ $U_s = x - y = 8 \, km/hr$ છે.
પ્રવાહની ઝડપ $(y)$ શોધવા માટે,આપણે પ્રવાહની દિશાની ઝડપમાંથી પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશાની ઝડપ બાદ કરીશું:
$(x + y) - (x - y) = 14 - 8$
$2y = 6$
$y = 3 \, km/hr$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $3 \, km/hr$ છે.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u$ કિમી/કલાક છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v$ કિમી/કલાક છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $d$ કિમી છે. તેથી $PQ = QR = d$ કિમી અને $PR = 2d$ કિમી.
$P$ થી $Q$ સુધી જઈને પાછા આવવા માટે લાગતો સમય:
$\frac{d}{u-v} + \frac{d}{u+v} = 12$ કલાક ---$(1)$
$P$ થી $R$ સુધી (પ્રવાહની દિશામાં) જતા લાગતો સમય:
$\frac{2d}{u+v} = 16$ કલાક $40$ મિનિટ $= 16 + \frac{40}{60} = 16 + \frac{2}{3} = \frac{50}{3}$ કલાક ---$(2)$
$(2)$ પરથી,આપણને $\frac{d}{u+v} = \frac{25}{3}$ કલાક મળે છે.
આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{d}{u-v} + \frac{25}{3} = 12$
$\frac{d}{u-v} = 12 - \frac{25}{3} = \frac{36-25}{3} = \frac{11}{3}$ કલાક.
આપણે $R$ થી $P$ સુધી (પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં) જતા લાગતો સમય શોધવાનો છે,જે $\frac{2d}{u-v}$ છે:
$\frac{2d}{u-v} = 2 \times \frac{11}{3} = \frac{22}{3} = 7 \frac{1}{3}$ કલાક.

(C) સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u = 20\, km/hr$ છે.
પ્રવાહની ઝડપ $v = 5\, km/hr$ છે.
જ્યારે હોડી પ્રવાહની દિશામાં (downstream) મુસાફરી કરે છે,ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $u + v = 20 + 5 = 25\, km/hr$ થાય છે.
કાપવાનું અંતર $d = 100\, km$ છે.
લાગતો સમય $\text{Time} = \frac{\text{Distance}}{\text{Speed}} = \frac{100}{25} = 4\, hours$ થાય.

(A) પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપ $= \frac{1 \text{ km}}{7.5 \text{ મિનિટ}} = \frac{1 \text{ km}}{(7.5 / 60) \text{ કલાક}} = \frac{60}{7.5} \text{ km/h} = 8 \text{ km/h}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં હોડીની ઝડપ $= 5 \text{ km/h}$.
સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $= \frac{1}{2} (\text{પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ} + \text{પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ})$.
સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $= \frac{1}{2} (8 + 5) = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ km/h}$ અથવા $6 \frac{1}{2} \text{ km/h}$.

(D) આપેલ છે: શાંત પાણીમાં હોડીની ઝડપ $(S_B)$ = $13 \text{ km/hr}$.
પ્રવાહની ઝડપ $(S_C)$ = $4 \text{ km/hr}$.
જ્યારે હોડી વિરુદ્ધ દિશામાં (સામા પ્રવાહે) મુસાફરી કરે છે,ત્યારે અસરકારક ઝડપ એ હોડીની ઝડપ અને પ્રવાહની ઝડપનો તફાવત હોય છે.
સામા પ્રવાહની ઝડપ = $S_B - S_C = 13 - 4 = 9 \text{ km/hr}$.
કાપવાનું અંતર = $63 \text{ km}$.
લાગતો સમય = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સામા પ્રવાહની ઝડપ}} = \frac{63}{9} = 7 \text{ કલાક}$.

(B) સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ,$S_B = 6\, km/hr$.
પ્રવાહની ઝડપ,$S_S = 1.5\, km/hr$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ (Downstream),$D_S = S_B + S_S = 6 + 1.5 = 7.5\, km/hr$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ (Upstream),$U_S = S_B - S_S = 6 - 1.5 = 4.5\, km/hr$.
સ્થળનું અંતર,$D = 22.5\, km$.
પ્રવાહની દિશામાં જવા માટે લાગતો સમય,$T_1 = \frac{D}{D_S} = \frac{22.5}{7.5} = 3\, \text{કલાક}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય,$T_2 = \frac{D}{U_S} = \frac{22.5}{4.5} = 5\, \text{કલાક}$.
કુલ સમય = $T_1 + T_2 = 3 + 5 = 8\, \text{કલાક}$.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u = 6\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v = 1.5\, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં (Downstream) ઝડપ $u + v = 6 + 1.5 = 7.5\, km/h$ થાય.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (Upstream) ઝડપ $u - v = 6 - 1.5 = 4.5\, km/h$ થાય.
સ્થળનું અંતર $d = 22.5\, km$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં મુસાફરી માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{u+v} = \frac{22.5}{7.5} = 3\, \text{કલાક}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{u-v} = \frac{22.5}{4.5} = 5\, \text{કલાક}$.
કુલ લાગતો સમય $t_1 + t_2 = 3 + 5 = 8\, \text{કલાક}$ થાય.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \text{ km/h}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \text{ km/h}$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $D_S = (x + y) \text{ km/h}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $U_S = (x - y) \text{ km/h}$.
ધારો કે અંતર $d$ છે અને પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય $t$ છે. તો પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય $2t$ થશે.
$\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ હોવાથી:
$d = (x + y) \times t$ અને $d = (x - y) \times 2t$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(x + y) \times t = (x - y) \times 2t$
$x + y = 2x - 2y$
$3y = x$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{x}{y} = \frac{3}{1}$ એટલે કે $3:1$ છે.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \, km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \, km/hr$ છે.
પ્રવાહની સામે ઝડપ $= (x - y) \, km/hr$ અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= (x + y) \, km/hr$.
પ્રશ્ન મુજબ:
$1) \frac{24}{x-y} + \frac{28}{x+y} = 6$
$2) \frac{30}{x-y} + \frac{21}{x+y} = 6.5 = \frac{13}{2}$
ધારો કે $u = \frac{1}{x-y}$ અને $v = \frac{1}{x+y}$.
$24u + 28v = 6 \implies 12u + 14v = 3$ (સમીકરણ $i$)
$30u + 21v = \frac{13}{2} \implies 60u + 42v = 13$ (સમીકરણ $ii$)
સમીકરણ $i$ ને $3$ વડે ગુણતા: $36u + 42v = 9$ (સમીકરણ $iii$)
સમીકરણ $ii$ માંથી $iii$ બાદ કરતા: $(60u - 36u) = 13 - 9 \implies 24u = 4 \implies u = \frac{1}{6}$.
$u = \frac{1}{6}$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા: $12(\frac{1}{6}) + 14v = 3 \implies 2 + 14v = 3 \implies 14v = 1 \implies v = \frac{1}{14}$.
તેથી,$x - y = 6$ અને $x + y = 14$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x = 20 \implies x = 10 \, km/hr$.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $u$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપ $u + v = \frac{12 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 6 \text{ km/h}$ છે (વિધાન $I$ પરથી).
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં હોડીની ઝડપ $u - v = \frac{12 \text{ km}}{4 \text{ h}} = 3 \text{ km/h}$ છે (વિધાન $II$ પરથી).
વિધાન $III$ પરથી,$v = \frac{u}{3}$.
$u$ શોધવા માટે,આપણે વિધાન $I$ અને $II$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$u + v = 6$ અને $u - v = 3$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2u = 9 \implies u = 4.5 \text{ km/h}$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે વિધાન $I$ અને $III$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$u + v = 6$ અને $v = \frac{u}{3}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $u + \frac{u}{3} = 6 \implies \frac{4u}{3} = 6 \implies u = \frac{18}{4} = 4.5 \text{ km/h}$.
આમ,વિધાન $I$ અને $II$ અથવા $III$ માંથી કોઈ પણ એક પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે પૂરતું છે.

(B) વિધાન $I$ પરથી,ટ્રેનની લંબાઈ $240 \ m$ છે,પરંતુ લીધેલ સમય આપેલ નથી.
તેથી,માત્ર વિધાન $I$ પૂરતું નથી.
વિધાન $II$ પરથી,ટ્રેન દ્વારા થાંભલાને પસાર કરવા માટે લીધેલ સમય $24 \ s$ છે,પરંતુ ટ્રેનની લંબાઈ આપેલ નથી.
તેથી,માત્ર વિધાન $II$ પૂરતું નથી.
વિધાન $III$ પરથી,ટ્રેન દ્વારા પ્લેટફોર્મને પસાર કરવા માટે લીધેલ સમય $48 \ s$ છે,પરંતુ ટ્રેન અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈ આપેલ નથી.
તેથી,માત્ર વિધાન $III$ પૂરતું નથી.
હવે,વિધાન $I$ અને $II$ ને જોડતા,આપણી પાસે અંતર (ટ્રેનની લંબાઈ) $= 240 \ m$ અને થાંભલાને પસાર કરવા માટે લીધેલ સમય $= 24 \ s$ છે.
ટ્રેનની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{240 \ m}{24 \ s} = 10 \ m/s$.
તેથી,પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે $I$ અને $II$ બંને સાથે મળીને પૂરતા છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, km/h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{12}{x-y} + \frac{18}{x+y} = 3$ $...(1)$
$\frac{36}{x-y} + \frac{24}{x+y} = \frac{13}{2}$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$\frac{36}{x-y} + \frac{54}{x+y} = 9$ $...(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(\frac{36}{x-y} - \frac{36}{x-y}) + (\frac{54}{x+y} - \frac{24}{x+y}) = 9 - \frac{13}{2}$
$\frac{30}{x+y} = \frac{5}{2}$
$x+y = 12$ $...(4)$
$x+y = 12$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{12}{x-y} + \frac{18}{12} = 3$
$\frac{12}{x-y} + 1.5 = 3$
$\frac{12}{x-y} = 1.5$
$x-y = \frac{12}{1.5} = 8$ $...(5)$
પ્રવાહની ઝડપ $(y)$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(5)$ બાદ કરતા:
$(x+y) - (x-y) = 12 - 8$
$2y = 4$
$y = 2\, km/h$.

(B) ધારો કે જરૂરી અંતર $x\, km$ છે.
સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $6\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $2\, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં (downstream) ઝડપ = $(6 + 2) = 8\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (upstream) ઝડપ = $(6 - 2) = 4\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય = $\frac{x}{4}$ કલાક.
પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય = $\frac{x}{8}$ કલાક.
પ્રશ્ન મુજબ,સમયનો તફાવત $3$ કલાક છે:
$\frac{x}{4} - \frac{x}{8} = 3$
$\frac{2x - x}{8} = 3$
$\frac{x}{8} = 3$
$x = 24\, km$.
તેથી,અંતર $24\, km$ છે.

(A) ધારો કે નદીના પ્રવાહની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $(10 + x) \, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $(10 - x) \, km/h$.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ મુસાફરીનો સમય $20 \, hours$ છે:
$\frac{91}{10 + x} + \frac{91}{10 - x} = 20$
$91$ સામાન્ય લેતા:
$91 \left( \frac{10 - x + 10 + x}{(10 + x)(10 - x)} \right) = 20$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$91 \left( \frac{20}{100 - x^2} \right) = 20$
બંને બાજુ $20$ વડે ભાગતા:
$\frac{91}{100 - x^2} = 1$
$100 - x^2 = 91$
$x^2 = 100 - 91 = 9$
$x = \sqrt{9} = 3 \, km/h$.
આમ,નદીના પ્રવાહની ઝડપ $3 \, km/h$ છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં મોટર-બોટની ઝડપ $x\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, km/h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{25}{x-y} + \frac{39}{x+y} = 8$ $...(1)$
$\frac{35}{x-y} + \frac{52}{x+y} = 11$ $...(2)$
ધારો કે $u = \frac{1}{x-y}$ અને $v = \frac{1}{x+y}$.
સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$25u + 39v = 8$ $...(3)$
$35u + 52v = 11$ $...(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$100u + 156v = 32$ $...(5)$
$105u + 156v = 33$ $...(6)$
સમીકરણ $(6)$ માંથી $(5)$ બાદ કરતા:
$5u = 1 \Rightarrow u = \frac{1}{5}$.
$u = \frac{1}{x-y}$ હોવાથી,$x-y = 5$ મળે.
$u = \frac{1}{5}$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$25(\frac{1}{5}) + 39v = 8$
$5 + 39v = 8 \Rightarrow 39v = 3 \Rightarrow v = \frac{1}{13}$.
$v = \frac{1}{x+y}$ હોવાથી,$x+y = 13$ મળે.
$x-y = 5$ અને $x+y = 13$ ને ઉકેલતા:
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x = 18 \Rightarrow x = 9$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2y = 8 \Rightarrow y = 4$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $4\, km/h$ છે.

(D) ધારો કે શાંત પાણીમાં માણસની ઝડપ $u$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $(u - v) = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{3/4 \text{ કિમી}}{15/60 \text{ કલાક}} = \frac{3}{4} \times 4 = 3 \text{ કિમી/કલાક}$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(u + v) = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{3/4 \text{ કિમી}}{10/60 \text{ કલાક}} = \frac{3}{4} \times 6 = 4.5 \text{ કિમી/કલાક}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(u - v) + (u + v) = 3 + 4.5 \implies 2u = 7.5 \implies u = 3.75 \text{ કિમી/કલાક}$.
બીજા સમીકરણમાંથી પહેલું બાદ કરતા: $(u + v) - (u - v) = 4.5 - 3 \implies 2v = 1.5 \implies v = 0.75 \text{ કિમી/કલાક}$.
તેની ઝડપ અને પ્રવાહની ઝડપનો ગુણોત્તર $u : v = 3.75 : 0.75 = 5 : 1$ છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં બોટની ઝડપ $x\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, km/h$ છે.
પ્રવાહની સામે ઝડપ $(x-y)\, km/h$ અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(x+y)\, km/h$ થાય.
આપેલ શરતો મુજબ:
$\frac{25}{x-y} + \frac{39}{x+y} = 8$ $...(i)$
$\frac{35}{x-y} + \frac{52}{x+y} = 11$ $...(ii)$
ધારો કે $\frac{1}{x-y} = A$ અને $\frac{1}{x+y} = B$.
તેથી,$25A + 39B = 8$ $...(iii)$
$35A + 52B = 11$ $...(iv)$
$A$ અને $B$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(iii)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(iv)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$100A + 156B = 32$ $...(v)$
$105A + 156B = 33$ $...(vi)$
સમીકરણ $(vi)$ માંથી $(v)$ બાદ કરતા:
$5A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$.
$A = \frac{1}{5}$ ને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$25(\frac{1}{5}) + 39B = 8$
$5 + 39B = 8 \Rightarrow 39B = 3 \Rightarrow B = \frac{1}{13}$.
હવે,$x-y = 5$ અને $x+y = 13$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x = 18 \Rightarrow x = 9$.
બીજામાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા: $2y = 8 \Rightarrow y = 4$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $4\, km/h$ છે.

(B) ધારો કે બે બિંદુઓ વચ્ચેનું કુલ અંતર $d\, km$ છે.
સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ = $8\, km/h$.
પ્રવાહની ઝડપ = $2\, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $8 + 2 = 10\, km/h$.
સામાન્ય રીતે $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય = $\frac{d}{10}$.
વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં,માણસ અડધું અંતર $(d/2)$ $10\, km/h$ ની ઝડપે અને બાકીનું અડધું અંતર $(d/2)$ પ્રવાહની ઝડપે $(2\, km/h)$ કાપે છે કારણ કે મોટર બંધ થઈ ગઈ હતી.
વાસ્તવિક સમય = $\frac{d/2}{10} + \frac{d/2}{2} = \frac{d}{20} + \frac{d}{4} = \frac{d + 5d}{20} = \frac{6d}{20} = \frac{3d}{10}$.
આપેલ છે કે વાસ્તવિક સમય સામાન્ય સમય કરતાં $6\, \text{કલાક}$ વધુ છે:
$\frac{3d}{10} - \frac{d}{10} = 6$
$\frac{2d}{10} = 6$
$\frac{d}{5} = 6$
$d = 30\, km$.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$,તથા $B$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. ધારો કે સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાની ઝડપ $x$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેની આવવા-જવાની મુસાફરી માટે: $\frac{d}{x+y} + \frac{d}{x-y} = 10 \dots (1)$
પ્રવાહની દિશામાં $A$ થી $C$ સુધીની મુસાફરી માટે (કુલ અંતર $2d$): $\frac{2d}{x+y} = 8 \Rightarrow d = 4(x+y) \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $d$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{4(x+y)}{x+y} + \frac{4(x+y)}{x-y} = 10$
$4 + \frac{4(x+y)}{x-y} = 10$
$\frac{4(x+y)}{x-y} = 6 \Rightarrow \frac{x+y}{x-y} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$2(x+y) = 3(x-y)$
$2x + 2y = 3x - 3y$
$x = 5y$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{x}{y} = \frac{5}{1}$ છે.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(x + y)$ છે અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $(x - y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(x + y) = \frac{16}{9}(x - y)$.
બંને બાજુ $9$ વડે ગુણતા,$9(x + y) = 16(x - y)$,જેનું સાદું રૂપ $9x + 9y = 16x - 16y$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,$16x - 9x = 9y + 16y$,જે આપણને $7x = 25y$ આપે છે.
તેથી,$x$ ના સંદર્ભમાં પ્રવાહની ઝડપ $y = \frac{7x}{25}$ થાય.
જરૂરી ટકાવારી $\frac{y}{x} \times 100 = \frac{7x/25}{x} \times 100 = \frac{7}{25} \times 100 = 28 \%$ છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $u = 20\, km/h$ છે અને નદીના પ્રવાહની ઝડપ $v = 5\, km/h$ છે.
જ્યારે પ્રવાહની દિશામાં (ડાઉનસ્ટ્રીમ) તરતા હોય,ત્યારે અસરકારક ઝડપ $u + v = 20 + 5 = 25\, km/h$ થાય છે.
$A$ થી $B$ સુધી મુસાફરી કરવામાં લાગતો સમય $t_1 = \frac{30}{25} = 1.2\, \text{કલાક}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (અપસ્ટ્રીમ) તરતા હોય,ત્યારે અસરકારક ઝડપ $u - v = 20 - 5 = 15\, km/h$ થાય છે.
$B$ થી $A$ પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{30}{15} = 2\, \text{કલાક}$ છે.
કુલ લાગતો સમય $T = t_1 + t_2 = 1.2 + 2 = 3.2\, \text{કલાક}$ છે.
$0.2\, \text{કલાક}$ ને મિનિટમાં ફેરવતા: $0.2 \times 60 = 12\, \text{મિનિટ}$.
આમ,કુલ સમય $3\, h\, 12\, min$ થાય છે.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x$ $kmph$ છે અને અંતર $d$ $km$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રવાહની ઝડપ = $2$ $kmph$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $(x + 2)$ $kmph$ અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $(x - 2)$ $kmph$.
પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય = $45$ $\text{મિનિટ }= \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ $\text{કલાક}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય = $1$ $\text{કલાક}$ $15$ $\text{મિનિટ }= \frac{75}{60} = \frac{5}{4}$ $\text{કલાક}$.
અંતર સમાન હોવાથી,$d = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
$d = (x + 2) \times \frac{3}{4} = (x - 2) \times \frac{5}{4}$.
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા,$3(x + 2) = 5(x - 2)$.
$3x + 6 = 5x - 10$.
$2x = 16 \Rightarrow x = 8$ $kmph$.
આમ,સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $8$ $kmph$ છે.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં વોટર સ્કૂટરની ઝડપ $x \, km/hr$ છે. નદીના પ્રવાહની ઝડપ $y = 2 \, km/hr$ આપેલ છે.
પ્રવાહની સામેની ઝડપ $(x - 2) \, km/hr$ અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(x + 2) \, km/hr$ થશે.
આવતા-જતા કુલ સમય $55 \, minutes$ છે,જે $\frac{55}{60} = \frac{11}{12} \, hours$ થાય.
કુલ સમય માટેનું સમીકરણ: $\frac{10}{x - 2} + \frac{10}{x + 2} = \frac{11}{12}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $10 \left( \frac{x + 2 + x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \right) = \frac{11}{12} \Rightarrow \frac{20x}{x^2 - 4} = \frac{11}{12}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $240x = 11(x^2 - 4) \Rightarrow 11x^2 - 240x - 44 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $11x^2 - 242x + 2x - 44 = 0 \Rightarrow 11x(x - 22) + 2(x - 22) = 0$.
આથી $(11x + 2)(x - 22) = 0$ મળે. ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 22 \, km/hr$.

(A) ધારો કે શાંત પાણીમાં માણસની ઝડપ $x\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(x+y)\, km/h$ અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $(x-y)\, km/h$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{55}{x+y} + \frac{40}{x-y} = 13 \quad ...(1)$
$\frac{44}{x+y} + \frac{30}{x-y} = 10 \quad ...(2)$
ધારો કે $v = x+y$ અને $u = x-y$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$\frac{55}{v} + \frac{40}{u} = 13 \quad ...(3)$
$\frac{44}{v} + \frac{30}{u} = 10 \quad ...(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(4)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$\frac{165}{v} + \frac{120}{u} = 39 \quad ...(5)$
$\frac{176}{v} + \frac{120}{u} = 40 \quad ...(6)$
સમીકરણ $(6)$ માંથી $(5)$ બાદ કરતા:
$\frac{11}{v} = 1 \Rightarrow v = 11$.
$v=11$ ને સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા:
$\frac{44}{11} + \frac{30}{u} = 10 \Rightarrow 4 + \frac{30}{u} = 10 \Rightarrow \frac{30}{u} = 6 \Rightarrow u = 5$.
હવે,$x+y = 11$ અને $x-y = 5$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2x = 16 \Rightarrow x = 8$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $2y = 6 \Rightarrow y = 3$.
આમ,શાંત પાણીમાં માણસની ઝડપ $8\, km/h$ અને પ્રવાહની ઝડપ $3\, km/h$ છે.

(C) ધારો કે ગંતવ્ય સ્થાનનું અંતર $d \text{ km}$ છે.
સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $= 10 \text{ km/h}$.
પ્રવાહની ઝડપ $= 4 \text{ km/h}$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= 10 + 4 = 14 \text{ km/h}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= 10 - 4 = 6 \text{ km/h}$.
કુલ સમય એ પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા સમયનો સરવાળો છે: $\frac{d}{14} + \frac{d}{6} = 5$.
$14$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $42$ લેતા:
$\frac{3d + 7d}{42} = 5$
$\frac{10d}{42} = 5$
$10d = 5 \times 42$
$10d = 210$
$d = 21 \text{ km}$.

(A) ધારો કે પ્રવાહની સામેની ઝડપ $u$ અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $v$ છે ($\text{km/h}$ માં).
આપેલ માહિતી મુજબ:
$\frac{24}{u} + \frac{36}{v} = 6 \quad \dots (i)$
$\frac{36}{u} + \frac{24}{v} = \frac{13}{2} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{72}{u} + \frac{108}{v} = 18 \quad \dots (iii)$
$\frac{72}{u} + \frac{48}{v} = 13 \quad \dots (iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$\frac{60}{v} = 5 \implies v = 12 \text{ km/h}$.
$v = 12$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા:
$\frac{24}{u} + \frac{36}{12} = 6 \implies \frac{24}{u} + 3 = 6 \implies \frac{24}{u} = 3 \implies u = 8 \text{ km/h}$.
ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x$ અને પ્રવાહનો વેગ $y$ છે.
$x - y = 8$ અને $x + y = 12$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x = 20 \implies x = 10 \text{ km/h}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2y = 4 \implies y = 2 \text{ km/h}$.
આમ,પ્રવાહનો વેગ $2 \text{ km/h}$ છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x = 10\, km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, km/hr$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(x + y)\, km/hr$ અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $(x - y)\, km/hr$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહની દિશામાં $26\, km$ કાપવા માટે લાગતો સમય અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $14\, km$ કાપવા માટે લાગતો સમય સમાન છે:
$\frac{26}{x + y} = \frac{14}{x - y}$
$x = 10$ મૂકતા:
$\frac{26}{10 + y} = \frac{14}{10 - y}$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$26(10 - y) = 14(10 + y)$
$260 - 26y = 140 + 14y$
$260 - 140 = 14y + 26y$
$120 = 40y$
$y = \frac{120}{40} = 3\, km/hr$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $3\, km/hr$ છે.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં મોટરબોટની ઝડપ $x \ km/h$ છે.
નદીના પ્રવાહની ઝડપ $y = 2 \ km/h$ આપેલ છે.
પ્રવાહની સામેની ઝડપ $(x - 2) \ km/h$ અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(x + 2) \ km/h$ થશે.
કુલ સમય $33 \ \text{મિનિટ }= \frac{33}{60} \ \text{કલાક }= \frac{11}{20} \ \text{કલાક}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ: $\frac{6}{x-2} + \frac{6}{x+2} = \frac{11}{20}$.
$6 \left( \frac{x+2+x-2}{x^2-4} \right) = \frac{11}{20} \Rightarrow 6 \left( \frac{2x}{x^2-4} \right) = \frac{11}{20}$.
$12x \times 20 = 11(x^2 - 4) \Rightarrow 240x = 11x^2 - 44$.
$11x^2 - 240x - 44 = 0$.
$11x^2 - 242x + 2x - 44 = 0 \Rightarrow 11x(x - 22) + 2(x - 22) = 0$.
$(x - 22)(11x + 2) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 22 \ km/h$.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $x = 9 \frac{1}{3} = \frac{28}{3} \text{ km/h}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \text{ km/h}$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $(x - y) \text{ km/h}$ અને પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(x + y) \text{ km/h}$ થાય.
ધારો કે અંતર $d$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય એ પ્રવાહની દિશામાં લાગતા સમય કરતાં ત્રણ ગણો છે:
$\frac{d}{x - y} = 3 \times \frac{d}{x + y}$
બંને બાજુથી $d$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{x - y} = \frac{3}{x + y}$
$x + y = 3(x - y)$
$x + y = 3x - 3y$
$4y = 2x$
$y = \frac{x}{2}$
$x = \frac{28}{3}$ કિંમત મૂકતા:
$y = \frac{28/3}{2} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3} \text{ km/h}$.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $x = 18 \ km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y \ km/h$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $(18 + y) \ km/h$ થશે અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $(18 - y) \ km/h$ થશે.
ધારો કે અંતર $d$ છે. પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{18 + y}$ અને પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{18 - y}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય એ પ્રવાહની દિશામાં લાગતા સમય કરતાં ત્રણ ગણો છે:
$t_2 = 3 \times t_1$
$\frac{d}{18 - y} = 3 \times \frac{d}{18 + y}$
બંને બાજુથી $d$ દૂર કરતા:
$\frac{1}{18 - y} = \frac{3}{18 + y}$
$18 + y = 3(18 - y)$
$18 + y = 54 - 3y$
$4y = 36$
$y = 9 \ km/h$.
આમ,પ્રવાહની ઝડપ $9 \ km/h$ છે.

(D) ધારો કે શાંત પાણીમાં રોહિતની ઝડપ $x$ $km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y = 5$ $km/hr$ છે.
ધારો કે અંતર $d$ $km$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = $(x + y)$ $km/hr$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ = $(x - y)$ $km/hr$.
પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય $8$ કલાક છે: $d = 8(x + 5) = 8x + 40$ $...(i)$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય $12$ કલાક છે: $d = 12(x - 5) = 12x - 60$ $...(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$8x + 40 = 12x - 60$
$4x = 100$
$x = 25$ $km/hr$.
આમ,શાંત પાણીમાં રોહિતની ઝડપ $25$ $km/hr$ છે.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x \; km/hr$ છે અને નદીના પ્રવાહની ઝડપ $y \; km/hr$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= x + y$.
પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય $= 3 \; \text{કલાક }\; 45 \; \text{મિનિટ }= 3 + \frac{45}{60} = 3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4} \; \text{કલાક}$.
અંતર $= 15 \; km$.
$\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x + y = \frac{15}{15/4} = 4 \; km/hr \; \dots (i)$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= x - y$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય $= 2 \; \text{કલાક }\; 30 \; \text{મિનિટ }= 2 + \frac{30}{60} = 2.5 = \frac{5}{2} \; \text{કલાક}$.
અંતર $= 5 \; km$.
$\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x - y = \frac{5}{5/2} = 2 \; km/hr \; \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(x + y) - (x - y) = 4 - 2$
$2y = 2$
$y = 1 \; km/hr$.
આમ,નદીના પ્રવાહની ઝડપ $1 \; km/hr$ છે.

(C) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x\, km/hr$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y = 4\, km/hr$ છે.
પ્રવાહની સામે મુસાફરી કરવામાં લાગતો સમય $\frac{6}{x-4}$ કલાક છે અને પ્રવાહની દિશામાં મુસાફરી કરવામાં લાગતો સમય $\frac{6}{x+4}$ કલાક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ સમય $2\, \text{કલાક}$ છે:
$\frac{6}{x-4} + \frac{6}{x+4} = 2$
$2$ વડે ભાગતા:
$\frac{3}{x-4} + \frac{3}{x+4} = 1$
$\frac{3(x+4) + 3(x-4)}{(x-4)(x+4)} = 1$
$\frac{3x + 12 + 3x - 12}{x^2 - 16} = 1$
$\frac{6x}{x^2 - 16} = 1$
$x^2 - 6x - 16 = 0$
$(x - 8)(x + 2) = 0$
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 8\, km/hr$.

(D) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x = 9 \text{ km/h}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y = 1.5 \text{ km/h}$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં (downstream) ઝડપ $(x + y) = 9 + 1.5 = 10.5 \text{ km/h}$ થાય.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (upstream) ઝડપ $(x - y) = 9 - 1.5 = 7.5 \text{ km/h}$ થાય.
પ્રવાહની દિશામાં $105 \text{ km}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T_1 = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{105}{10.5} = 10 \text{ કલાક}$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં $105 \text{ km}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T_2 = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{105}{7.5} = 14 \text{ કલાક}$ છે.
કુલ સમય $T = T_1 + T_2 = 10 + 14 = 24 \text{ કલાક}$ થાય.

$(A)$ આપેલ છે: સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $(u) = 9\, km/h$, પ્રવાહની ઝડપ $(v) = 1.5\, km/h$.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $= u + v = 9 + 1.5 = 10.5\, km/h$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $= u - v = 9 - 1.5 = 7.5\, km/h$.
અંતર $(d) = 105\, km$.
પ્રવાહની દિશામાં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{d}{u+v} = \frac{105}{10.5} = 10\, \text{કલાક}$.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{d}{u-v} = \frac{105}{7.5} = 14\, \text{કલાક}$.
કુલ લાગતો સમય $= 10 + 14 = 24\, \text{કલાક}$.