Mix Example - FORCE AND LAWS OF MOTION Questions in Gujarati

(B) $1$. બુલેટનું વેગમાન ગણો:
બુલેટનું દળ $(m_1)$ = $10 \, g = 0.01 \, kg$
બુલેટનો વેગ $(v_1)$ = $400 \, m s^{-1}$
વેગમાન $(p_1)$ = $m_1 \times v_1 = 0.01 \, kg \times 400 \, m s^{-1} = 4 \, kg \, m s^{-1}$
$2$. ક્રિકેટના દડાનું વેગમાન ગણો:
ક્રિકેટના દડાનું દળ $(m_2)$ = $400 \, g = 0.4 \, kg$
ક્રિકેટના દડાનો વેગ $(v_2)$ = $90 \, km h^{-1} = 90 \times (5/18) \, m s^{-1} = 25 \, m s^{-1}$
વેગમાન $(p_2)$ = $m_2 \times v_2 = 0.4 \, kg \times 25 \, m s^{-1} = 10 \, kg \, m s^{-1}$
$3$. સરખામણી:
કારણ કે $10 \, kg \, m s^{-1} > 4 \, kg \, m s^{-1}$,તેથી ક્રિકેટના દડાનું વેગમાન વધારે છે.

(N/A) $(i)$ પરિણામી બળ $F_{net}$ એ બે વિરોધી બળો વચ્ચેનો તફાવત છે:
$F_{net} = F_{2} - F_{1} = 30 \, N - 20 \, N = 10 \, N$.
$(ii)$ કારણ કે $F_{2} > F_{1}$,પરિણામી બળ મોટા બળની દિશામાં એટલે કે $F_{2}$ ની દિશામાં (ડાબી તરફ) કાર્ય કરે છે.
$(iii)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જ્યાં $m = 10 \, kg$ અને $F = 10 \, N$ છે:
$a = F / m = 10 \, N / 10 \, kg = 1 \, m \, s^{-2}$.

(N/A) $(i)$ જે ગુણધર્મને કારણે પદાર્થ પોતાની ગતિની અવસ્થામાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે તેને જડત્વ (Inertia) કહેવામાં આવે છે. દળ (Mass) એ જડત્વનું માપ છે.
$(ii)$ આ ઘટના જડત્વના કારણે થાય છે. શરૂઆતમાં,પાંદડા સ્થિર અવસ્થામાં હોય છે. જ્યારે ઝાડની ડાળીને જોરથી હલાવવામાં આવે છે,ત્યારે ડાળી ગતિમાં આવે છે,પરંતુ પાંદડા જડત્વને કારણે પોતાની સ્થિર અવસ્થા જાળવી રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે. પરિણામે,તેઓ આ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,ડાળીથી અલગ થઈ જાય છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચે પડી જાય છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય અસંતુલિત બળ શૂન્ય હોય,ત્યારે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
જો પદાર્થ શરૂઆતમાં ગતિની અવસ્થામાં હોય,તો ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,પદાર્થ તે જ દિશામાં અને તે જ ઝડપથી ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ શૂન્યતર વેગ સાથે ગતિ કરી શકે છે,પરંતુ વેગનું મૂલ્ય અને દિશા બંને સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અપરિવર્તિત અથવા અચળ રહેવા જોઈએ.

(A) $(i)$ પદાર્થનું જડત્વ તેના દળના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,દડા $A$ અને $B$ ના જડત્વનો ગુણોત્તર $m : 2m = 1 : 2$ છે.
$(ii)$ વેગમાન $p$ એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે $(p = mv)$. દડા $A$ માટે,$p_A = m \times 2V = 2mV$. દડા $B$ માટે,$p_B = 2m \times V = 2mV$. આમ,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $2mV : 2mV = 1 : 1$ છે.
$(iii)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આપેલ સમય $t$ માં પદાર્થને અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F = \frac{\Delta p}{t}$ છે. બંને દડાઓનું પ્રારંભિક વેગમાન સમાન છે અને તેમને સમાન સમય $t$ માં સ્થિર કરવામાં આવે છે (અંતિમ વેગમાન $= 0$),તેથી વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ બંને માટે સમાન છે. તેથી,તેમને અટકાવવા માટે જરૂરી બળનો ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(D) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ લાગતું ન હોય,ત્યારે તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ (સંરક્ષિત) રહે છે.
$(b)$ આપેલ છે:
પ્રથમ પદાર્થનું દળ,$m_{1} = 2 \, kg$
પ્રથમ પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ,$u_{1} = 10 \, m s^{-1}$
બીજા પદાર્થનું દળ,$m_{2} = 5 \, kg$
બીજા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ,$u_{2} = 0 \, m s^{-1}$ (સ્થિર)
પ્રથમ પદાર્થનો અંતિમ વેગ,$v_{1} = 1 \, m s^{-1}$
ધારો કે બીજા પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v_{2}$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$(2 \times 10) + (5 \times 0) = (2 \times 1) + (5 \times v_{2})$
$20 + 0 = 2 + 5v_{2}$
$20 - 2 = 5v_{2}$
$18 = 5v_{2}$
$v_{2} = \frac{18}{5} = 3.6 \, m s^{-1}$
આમ,અથડામણ પછી બીજા પદાર્થનો વેગ $3.6 \, m s^{-1}$ છે.

(N/A) વેગમાન એટલે પદાર્થમાં રહેલી ગતિની કુલ માત્રા. તે પદાર્થના દળ અને વેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે. તેનો $SI$ એકમ $kg \ m \ s^{-1}$ છે.
$(b)$ આપેલ છે:
ગોળીનું દળ $(m) = 0.02 \ kg$
બંદૂકનું દળ $(M) = 7.5 \ kg$
ગોળીનો વેગ $(v) = 200 \ m \ s^{-1}$
બંદૂકનો રિકોઈલ વેગ $(V) = ?$
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળી છોડતા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને ગોળી છોડ્યા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે:
$m \times v + M \times V = 0$
$0.02 \times 200 + 7.5 \times V = 0$
$4 + 7.5 \times V = 0$
$7.5 \times V = -4$
$V = -4 / 7.5 = -0.533 \ m \ s^{-1}$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બંદૂક ગોળીની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછળ ધકેલાય છે. બંદૂકની રિકોઈલ ઝડપ $0.533 \ m \ s^{-1}$ છે.

(N/A) અકસ્માતના કિસ્સામાં ઈજાઓથી બચવા માટે કારમાં સીટ બેલ્ટ આપવામાં આવે છે. સીટ બેલ્ટ મુસાફરને આગળ પડવા માટે લાગતો સમય વધારે છે,જેનાથી તેમના પર લાગતું બળ ઘટે છે.
$(b)$ જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલતી બસમાંથી બહાર કૂદે છે,ત્યારે તેનું શરીર જડત્વને કારણે ગતિની અવસ્થામાં હોય છે. જમીન પર પડતાની સાથે જ,શરીરનો નીચેનો ભાગ ઘર્ષણને કારણે અચાનક સ્થિર થઈ જાય છે,જ્યારે ઉપરનો ભાગ આગળ વધવાનું ચાલુ રાખે છે,જેના કારણે વ્યક્તિ પડી શકે છે અને ઈજાગ્રસ્ત થઈ શકે છે.
$(c)$ આનું કારણ એ છે કે વાહનનું વેગમાન $(p = mv)$ તેના વેગના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. વધુ ઝડપે,વેગમાન ઘણું વધારે હોય છે,જે અથડામણ દરમિયાન વધુ આઘાતજનક બળ પેદા કરે છે,જેનાથી વધુ ગંભીર નુકસાન અને ઈજાઓ થાય છે.

$(a-d)$ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, ટ્રક દ્વારા બસ પર લાગતું બળ અને બસ દ્વારા ટ્રક પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન હોય છે. તેથી, બંને વાહનો સમાન આઘાત બળ અનુભવે છે.
$(b)$ વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p)$ એ $m(v - u)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ટ્રકનું દળ વધારે હોવાથી $(M > m)$, વેગમાનમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|M(0 - V)|$ એ મિની બસના વેગમાનમાં ફેરફાર $|m(0 - V)|$ કરતા વધારે હોય છે.
$(c)$ પ્રવેગ $a = F/m$ દ્વારા મળે છે. બંને પર સમાન બળ $(F)$ લાગે છે, પરંતુ મિની બસનું દળ ઓછું હોવાથી, મિની બસ વધુ પ્રવેગ અનુભવે છે.

(N/A) આનું કારણ એ છે કે પૈડું સતત ફરતું રહે છે,પરંતુ પૈડાં પર ચોંટેલી માટી 'inertia of direction' (દિશાના જડત્વ) ને કારણે સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું વલણ ધરાવે છે. પરિણામે,તે સ્પર્શકની દિશામાં ઉડે છે.
$(b)$ હાથ નીચે લઈ જઈને,ક્રિકેટર બોલ પકડવા માટેનો સમય વધારે છે. આનાથી વેગમાનમાં ફેરફારનો દર ઘટે છે,જેનાથી તેના હાથ પર લાગતું બળ ઓછું થાય છે.
$(c)$ કાંકરાનો ઊંચો વેગ ખૂબ જ ટૂંકા સમયગાળામાં શૂન્ય થઈ જાય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આના પરિણામે કાચ પર ખૂબ જ મોટું બળ લાગે છે,જેના કારણે તે તૂટી જાય છે.

(N/A) આ ગતિના $inertia$ (જડત્વ) ને કારણે થાય છે.
જ્યારે ઘોડો ગતિમાં હોય છે,ત્યારે સવારનું આખું શરીર પણ ગતિમાં હોય છે.
જ્યારે ઘોડો અચાનક ઉભો રહી જાય છે,ત્યારે સવારના શરીરનો નીચેનો ભાગ,જે ઘોડાના સંપર્કમાં છે,તે ઘોડાની સાથે સ્થિર થઈ જાય છે.
જોકે,સવારના શરીરનો ઉપરનો ભાગ ગતિના $inertia$ ને કારણે ગતિની અવસ્થામાં જ રહે છે,જેના કારણે સવાર આગળની તરફ પડી જાય છે.

(N/A) આ ઘટના $inertia$ (જડત્વ) ની દિશાને કારણે થાય છે. ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ પોતાની સીધી રેખામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે. જ્યારે કાર અચાનક વળાંક લે છે,ત્યારે કાર તેની દિશા બદલે છે,પરંતુ મુસાફરનું શરીર તેના $inertia$ ને કારણે તેની મૂળ સીધી રેખાની ગતિ જાળવી રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે. પરિણામે,મુસાફરને વળાંકની વિરુદ્ધ દિશામાં ધક્કો અનુભવાય છે.

(N/A) $\text{ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને આ ફેરફાર બળની દિશામાં જ થાય છે.}$
$\text{ગાણિતિક રીતે, ધારો કે } m \text{ દળ ધરાવતા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ } u \text{ છે અને } t \text{ સમય પછી અંતિમ વેગ } v \text{ થાય છે, જ્યારે તેના પર } F \text{ બળ લાગે છે.}$
$\text{પ્રારંભિક વેગમાન } p_1 = mu$
$\text{અંતિમ વેગમાન } p_2 = mv$
$\text{વેગમાનમાં ફેરફાર = } p_2 - p_1 = m(v - u)$
$\text{વેગમાનમાં ફેરફારનો દર = } \frac{m(v - u)}{t}$
$\text{નિયમ મુજબ, } F \propto \frac{m(v - u)}{t}$
$F = k \cdot m \cdot \frac{(v - u)}{t}$
$\text{અહીં } \frac{(v - u)}{t} = a \text{ (પ્રવેગ) હોવાથી, } F = kma \text{ મળે છે.}$
$k = 1 \text{ લેતા, } F = ma \text{ મળે છે.}$
$\text{બળનો } SI \text{ એકમ ન્યૂટન } (N) \text{ છે, જ્યાં } 1 \, N = 1 \, kg \cdot m \cdot s^{-2}.$
$(b)$ $\text{અવલોકન: કાર્ડ દૂર ફેંકાઈ જાય છે અને સિક્કો ગ્લાસમાં પડે છે.}$
$\text{કારણ: આ સ્થિરતાના જડત્વને કારણે થાય છે. સિક્કો શરૂઆતમાં સ્થિર અવસ્થામાં હોય છે અને તેના જડત્વને કારણે તે સ્થિર રહેવાનો પ્રયત્ન કરે છે. જ્યારે કાર્ડને ઝટકા સાથે દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે કાર્ડ ગતિમાં આવે છે, પરંતુ સિક્કો તેના જડત્વને કારણે કાર્ડ સાથે ગતિ કરતો નથી અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે ગ્લાસમાં નીચે પડે છે.}$

(N/A) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે બાહ્ય અસંતુલિત બળની ગેરહાજરીમાં, પદાર્થોની સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પદાર્થના વેગમાનને નક્કી કરતા બે પરિબળો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ પદાર્થનું દળ $(m)$
$(ii)$ પદાર્થનો વેગ $(v)$
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $0.4 \ kg$
પ્રારંભિક વેગ $(u)$ = $10 \ m s^{-1}$
પ્રારંભિક વેગમાન $(p_i)$ = $m \times u = 0.4 \ kg \times 10 \ m s^{-1} = 4 \ kg \ m s^{-1}$.
તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ, દડાનો અંતિમ વેગ $(v)$ $0 \ m s^{-1}$ થાય છે.
તેથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગમાન $(p_f)$ = $m \times v = 0.4 \ kg \times 0 \ m s^{-1} = 0 \ kg \ m s^{-1}$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p)$ = $p_f - p_i = 0 - 4 = -4 \ kg \ m s^{-1}$.
લાગતો સમય $(t)$ = $1 \ s$.
બળ $(F)$ = $\frac{\Delta p}{t} = \frac{-4 \ kg \ m s^{-1}}{1 \ s} = -4 \ N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે (પ્રતિપ્રવેગી બળ).
આમ, દડા પર લાગતું પ્રતિપ્રવેગી બળ $4 \ N$ છે.

(C) વેગમાન એટલે પદાર્થના દળ અને વેગનો ગુણાકાર. તેનો $SI$ એકમ $kg\, m s^{-1}$ છે.
$(b)$ બળ $F = m \times a$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a = (v - u) / t$.
$(i)$ $O$ થી $A$ ના ગાળા માટે: $u = 0\, m s^{-1}$,$v = 40\, m s^{-1}$,$t = 2\, s$. પ્રવેગ $a = (40 - 0) / 2 = 20\, m s^{-2}$. બળ $F = 5\, kg \times 20\, m s^{-2} = 100\, N$.
$(ii)$ $B$ થી $C$ ના ગાળા માટે: $u = 40\, m s^{-1}$,$v = 0\, m s^{-1}$,$t = (10 - 6) = 4\, s$. પ્રવેગ $a = (0 - 40) / 4 = -10\, m s^{-2}$. બળ $F = 5\, kg \times (-10\, m s^{-2}) = -50\, N$ (ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે).
$(c)$ $2\, kg$ ના દળ માટે જરૂરી બળ: $F_1 = 2\, kg \times 5\, m s^{-2} = 10\, N$.
$4\, kg$ ના દળ માટે જરૂરી બળ: $F_2 = 4\, kg \times 2\, m s^{-2} = 8\, N$.
આમ,$10\, N > 8\, N$ હોવાથી,$2\, kg$ ના દળને $5\, m s^{-2}$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે વધુ બળની જરૂર પડશે.

(N/A) $(i)$ વેગમાન એટલે પદાર્થના દળ અને તેના વેગનો ગુણાકાર. તેનો $SI$ એકમ $kg \ m/s$ છે.
$(ii)$ આપેલ છે: દળ $(m) = 50 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $(u) = 4 \ m/s$,અંતિમ વેગ $(v) = 8 \ m/s$,સમય $(t) = 8 \ s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગ $(a)$ શોધીએ:
$a = (v - u) / t = (8 - 4) / 8 = 4 / 8 = 0.5 \ m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરીને:
$F = 50 \ kg \times 0.5 \ m/s^2 = 25 \ N$.
$(b)$ ન્યૂટનનો ગતિનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે જ્યાં સુધી કોઈ પદાર્થ પર બાહ્ય બળ લગાડવામાં ન આવે ત્યાં સુધી તે પદાર્થ પોતાની સ્થિર અવસ્થા અથવા સુરેખ પથ પરની નિયમિત ગતિની અવસ્થા જાળવી રાખે છે.

$(100 \ kg \ m \ s^{-1})$ $(i)$ પદાર્થના દળ અને વેગના ગુણાકારને તેનું વેગમાન કહે છે. વેગમાનનો $SI$ એકમ $kg \ m \ s^{-1}$ છે.
$(ii)$ પદાર્થનું દળ, $m = 10 \ kg$.
ઊંચાઈ, $h = 5 \ m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ, $u = 0$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ, $v^2 - u^2 = 2gh$.
$v^2 - 0^2 = 2 \times 10 \times 5$.
$v^2 = 100$.
$v = 10 \ m \ s^{-1}$.
જમીન પર સ્થાનાંતરિત થતું વેગમાન = વેગમાનમાં ફેરફાર = $mv - mu$.
$= (10 \times 10) - (10 \times 0) = 100 \ kg \ m \ s^{-1}$.
$(iii)$ કરાટેનો ખેલાડી ટાઇલ્સ તોડવા માટે તેના હાથને ખૂબ જ ઝડપથી ફેરવે છે. આમ કરવાથી, તેના હાથનું મોટું વેગમાન ખૂબ જ ટૂંકા સમયગાળામાં શૂન્ય થઈ જાય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$, સમયગાળો $\Delta t$ ખૂબ જ ઓછો હોવાથી, ટાઇલ્સ પર લાગતું બળ $F$ ખૂબ જ વધી જાય છે, જે તેમને તોડવા માટે પૂરતું છે.

(N/A) ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર $F$ જેટલું અસંતુલિત બળ લાગે છે, જે $u \, m s^{-1}$ ના પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરે છે। $t$ સેકન્ડ પછી તેનો વેગ બદલાઈને $v \, m s^{-1}$ થાય છે.
પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $(p_1) = m \times u = mu$.
$t$ સેકન્ડ પછી પદાર્થનું અંતિમ વેગમાન $(p_2) = m \times v = mv$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $= p_2 - p_1 = mv - mu = m(v - u)$.
વેગમાનના ફેરફારનો દર $= \frac{m(v - u)}{t}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, વેગમાનના ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા બળ $F$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$F \propto \frac{m(v - u)}{t}$.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t}$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ:
$F \propto ma$.
$F = kma$, જ્યાં $k$ એ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે.
બળના એકમને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરતા કે $1 \, kg$ દળના પદાર્થમાં $1 \, m s^{-2}$ નો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે $1 \, N$ બળની જરૂર પડે, તો $k = 1$ મળે છે.
તેથી, બળનું ગાણિતિક સૂત્ર $F = ma$ છે.

(N/A) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કણોની કોઈ સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ કાર્ય કરતું ન હોય,તો સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે $m_{1}$ અને $m_{2}$ દળ ધરાવતા બે કણો $A$ અને $B$ એક સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. ધારો કે તેમના પ્રારંભિક વેગ અનુક્રમે $u_{1}$ અને $u_{2}$ છે,જ્યાં $u_{1} > u_{2}$. તેઓ $t$ સમય માટે અથડાય છે. અથડામણ પછી,તેમના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $v_{1}$ અને $v_{2}$ થાય છે.
કણ $A$ નું પ્રારંભિક વેગમાન = $m_{1}u_{1}$
કણ $B$ નું પ્રારંભિક વેગમાન = $m_{2}u_{2}$
કણ $A$ નું અંતિમ વેગમાન = $m_{1}v_{1}$
કણ $B$ નું અંતિમ વેગમાન = $m_{2}v_{2}$
કણ $A$ ના વેગમાનમાં ફેરફારનો દર ($B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ,$F_{AB}$) = $\frac{m_{1}(v_{1} - u_{1})}{t}$
કણ $B$ ના વેગમાનમાં ફેરફારનો દર ($A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ,$F_{BA}$) = $\frac{m_{2}(v_{2} - u_{2})}{t}$
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ એ $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતા બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે:
$F_{AB} = -F_{BA}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{m_{1}(v_{1} - u_{1})}{t} = -\frac{m_{2}(v_{2} - u_{2})}{t}$
બંને બાજુ $t$ વડે ગુણતા:
$m_{1}v_{1} - m_{1}u_{1} = -(m_{2}v_{2} - m_{2}u_{2})$
$m_{1}v_{1} - m_{1}u_{1} = -m_{2}v_{2} + m_{2}u_{2}$
પદોને ગોઠવતા:
$m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$
આ દર્શાવે છે કે સિસ્ટમનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ સિસ્ટમના કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું છે,જે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમને સાબિત કરે છે.

(N/A) જ્યારે બંદૂકમાંથી ગોળી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંદૂકને પાછળની તરફ ધક્કો લાગે છે,જેને બંદૂકનું રિકોઈલ કહેવામાં આવે છે.
આ ઘટના વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.
આ નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે,તો તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,બંદૂક અને ગોળી બંને સ્થિર છે,તેથી તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે $m$ એ ગોળીનું દળ છે,$v$ એ ગોળીનો વેગ છે,$M$ એ બંદૂકનું દળ છે અને $V$ એ બંદૂકનો રિકોઈલ વેગ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$0 = mv + MV$
$MV = -mv$
$V = -\frac{mv}{M}$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બંદૂકના રિકોઈલ વેગની દિશા ગોળીના વેગની દિશાથી વિરુદ્ધ છે.

(D) પ્રથમ નિયમ: આ નિયમ મુજબ, "દરેક પદાર્થ જ્યાં સુધી તેના પર કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી તે પોતાની સ્થિર અવસ્થા અથવા સુરેખ પથ પર અચળ ગતિની અવસ્થા જાળવી રાખે છે."
ત્રીજો નિયમ: આ નિયમ મુજબ, "દરેક આઘાત (action) સામે સમાન મૂલ્યની અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રત્યાઘાત (reaction) હોય છે." બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આઘાત અને પ્રત્યાઘાત સમાન અને વિરુદ્ધ હોય છે.
$(b)$ આપેલ છે: દળ $m = 1800 \, kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m s^{-1}$, અંતિમ વેગ $v = 0$, અને અંતર $S = 50 \, m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2aS$
$0^2 - (10)^2 = 2 \times a \times 50$
$-100 = 100a$
$a = -1 \, m s^{-2}$ (ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે).
હવે, ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ બળની ગણતરી કરતા: $F = ma$
$F = 1800 \times (-1)$
$F = -1800 \, N$
કાર પર લાગતું બળ $1800 \, N$ છે, જે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.

(D) ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને આ ફેરફાર બળની દિશામાં જ થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $F$ બળ હોય,$m$ દળ હોય,$v$ અંતિમ વેગ હોય,$u$ પ્રારંભિક વેગ હોય અને $t$ સમય હોય:
$F \propto \frac{m(v-u)}{t}$
કારણ કે $\frac{v-u}{t} = a$ (પ્રવેગ),તેથી આપણને $F = kma$ મળે છે. અચળાંક $k = 1$ લેતા,બળ માપવાનું સૂત્ર મળે છે: $F = ma$.
$(b)$ આપેલ છે:
રાઈફલનું દળ $(M)$ = $4 \ kg$
ગોળીનું દળ $(m)$ = $50 \ g = 0.05 \ kg$
ગોળીનો વેગ $(v)$ = $40 \ m \ s^{-1}$
તંત્રનો પ્રારંભિક વેગ = $0$
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$MV + mv = 0$
$4 \times V + 0.05 \times 40 = 0$
$4V + 2 = 0$
$4V = -2$
$V = -0.5 \ m \ s^{-1}$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે રાઈફલ ગોળીની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછળ તરફ ધકેલાય છે.

$(c)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે બળની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને $t$ સમય પછી તેનો અંતિમ વેગ $v$ થાય છે, જ્યારે તેના પર $F$ બળ લાગે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = mu$.
અંતિમ વેગમાન $p_2 = mv$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર = $p_2 - p_1 = m(v - u)$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર = $\frac{m(v - u)}{t}$.
નિયમ મુજબ, $F \propto \frac{m(v - u)}{t}$.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t}$ હોવાથી, આપણને $F \propto ma$ મળે છે, અથવા $F = kma$. બળના એકમને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે $k = 1$ થાય, તેથી $F = ma$.
$(b)$ એક ન્યૂટન એટલે $1 \, kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થમાં $1 \, m s^{-2}$ નો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી બળ.
$(c)$ પ્રથમ કિસ્સા માટે: $F_1 = m_1 \times a_1 = 0.5 \, kg \times 5 \, m s^{-2} = 2.5 \, N$.
બીજા કિસ્સા માટે: $F_2 = m_2 \times a_2 = 4 \, kg \times 2 \, m s^{-2} = 8 \, N$.
અહીં $8 \, N$ > $2.5 \, N$ હોવાથી, $4 \, kg$ દળ માટે વધુ બળની જરૂર પડશે.

$(B)$ જડત્વ એ પદાર્થનો એવો આંતરિક ગુણધર્મ છે કે જે પદાર્થ પર કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ ન લાગે ત્યાં સુધી તે પોતાની સ્થિર અવસ્થા અથવા અચળ ગતિની અવસ્થામાં ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
ત્રણેય દડા સમાન આકાર અને કદના હોવાથી, તેમનું દળ તેમની ઘનતા પર આધાર રાખે છે $(\text{દળ } = \text{ઘનતા } \times \text{કદ})$.
એલ્યુમિનિયમ, સ્ટીલ અને લાકડામાં સ્ટીલની ઘનતા સૌથી વધુ છે. તેથી, સ્ટીલના દડાનું દળ સૌથી વધુ હોય છે અને પરિણામે તેનું જડત્વ પણ સૌથી વધુ હોય છે.
$(b)$ સ્થિરતાના જડત્વને સમજાવવા માટેની પ્રવૃત્તિ:
$1$. ટેબલ પર એક ખાલી ગ્લાસ મૂકો અને તેના ઉપર એક સખત પત્તા (playing card) ને મૂકો.
$2$. પત્તાની મધ્યમાં પાંચ રૂપિયાનો સિક્કો મૂકો.
$3$. તમારી આંગળી વડે પત્તાને જોરથી આડી દિશામાં ફટકો મારો.
$4$. અવલોકન: પત્તું ઝડપથી દૂર ફેંકાઈ જાય છે, જ્યારે સિક્કો સીધો ગ્લાસમાં નીચે પડે છે.
$5$. નિષ્કર્ષ: સિક્કો સ્થિરતાના જડત્વને કારણે પોતાની સ્થિર અવસ્થા જાળવી રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે, તેથી પત્તું દૂર થવા છતાં તે ગ્લાસમાં પડે છે.

(N/A) આ નિયમ મુજબ,જો પદાર્થોની સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
$(b)$ પદાર્થના વેગમાન $(p)$ ને નક્કી કરતા બે પરિબળો નીચે મુજબ છે:
$1$. પદાર્થનું દળ $(m)$.
$2$. પદાર્થનો વેગ $(v)$.
$(c)$ ધારો કે બે પદાર્થો $A$ અને $B$ છે,જેમના દળ અનુક્રમે $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે. તેઓ એક જ દિશામાં $u_{1}$ અને $u_{2}$ ના પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરે છે,જ્યાં $u_{1} > u_{2}$. તેઓ $t$ સમય માટે અથડાય છે. અથડામણ દરમિયાન,$A$ એ $B$ પર $F_{AB}$ બળ લગાડે છે અને $B$ એ $A$ પર $F_{BA}$ બળ લગાડે છે.
$A$ નું પ્રારંભિક વેગમાન = $m_{1}u_{1}$
$B$ નું પ્રારંભિક વેગમાન = $m_{2}u_{2}$
$A$ નું અંતિમ વેગમાન = $m_{1}v_{1}$
$B$ નું અંતિમ વેગમાન = $m_{2}v_{2}$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ $F_{AB} = m_{2} \frac{(v_{2} - u_{2})}{t}$ છે.
$B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_{BA} = m_{1} \frac{(v_{1} - u_{1})}{t}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$F_{AB} = -F_{BA}$.
$m_{2} \frac{(v_{2} - u_{2})}{t} = -m_{1} \frac{(v_{1} - u_{1})}{t}$
$m_{2}(v_{2} - u_{2}) = -m_{1}(v_{1} - u_{1})$
$m_{2}v_{2} - m_{2}u_{2} = -m_{1}v_{1} + m_{1}u_{1}$
$m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$
આ સાબિત કરે છે કે કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું જ છે.

(N/A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m s^{-1}$,પ્રવેગ $a = g = 10 \ m s^{-2}$,અને સ્થાનાંતર $S = 0.8 \ m$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 10 \times 0.8$
$v^2 = 16$
$v = 4 \ m s^{-1}$
હવે,વેગમાન $p = m \times v = 10 \ kg \times 4 \ m s^{-1} = 40 \ kg \ m s^{-1}$.
$(b)$ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળની સામે સમાન મૂલ્યનું અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે. જ્યારે હોસ પાઇપમાંથી પાણી ખૂબ જ વેગથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે તે આગળની દિશામાં બળ (ક્રિયાબળ) લગાડે છે. તેના બદલામાં,હોસ પાઇપ ફાયરમેન પર પાછળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ બળ (પ્રતિક્રિયાબળ) લગાડે છે. આ પ્રતિક્રિયાબળને રોકવા માટે ફાયરમેને હોસ પાઇપને ખૂબ જ જોરથી પકડી રાખવી પડે છે,જેના કારણે તેને પકડી રાખવી મુશ્કેલ બને છે.

(C) આ ગતિની દિશાના જડત્વને કારણે થાય છે. ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ પોતાની મૂળ દિશામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે. જ્યારે કાર વળાંક લે છે,ત્યારે આપણું શરીર તેની મૂળ સીધી રેખાની ગતિ જાળવી રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે,જેના કારણે આપણે એક તરફ નમી જઈએ છીએ.
$(b)$ ન્યૂટનનો ગતિનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં અથવા સીધી રેખામાં અચળ વેગથી ગતિ કરતો રહે છે. ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ જણાવે છે કે દરેક આઘાત (action) સામે હંમેશા સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રત્યાઘાત (reaction) હોય છે.
$(c)$ આપેલ છે: બળ $F = 5 \ N$,પ્રવેગ $a = 10 \ m \ s^{-2}$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m \times a$,તેથી $m = F / a$.
$m = 5 \ N / 10 \ m \ s^{-2} = 0.5 \ kg$.
$1 \ kg = 1000 \ g$ હોવાથી,દળ $0.5 \times 1000 = 500 \ g$ થાય.

(N/A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = ma$, જેનો અર્થ છે કે $a = F/m$. જો બળ $F$ અચળ રહે અને દળ $m$ બમણું $(2m)$ થાય, તો નવો પ્રવેગ $a' = F/(2m) = a/2$ થાય. આમ, પ્રવેગ અડધો થઈ જાય છે.
$(b)$ વેગમાન એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે $(p = mv)$. ટેનિસના દડાનું દળ ક્રિકેટના દડા કરતા ઓછું હોવાથી, સમાન ઝડપે ગતિ કરતા હોવા છતાં તેનું વેગમાન ઓછું હોય છે। તેથી, તેને અટકાવવા માટે ઓછા બળની જરૂર પડે છે, જે તેને અટકાવવાનું સરળ બનાવે છે.
$(c)$ વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ કાર્ય કરતું ન હોય, ત્યાં સુધી આંતરક્રિયા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને આંતરક્રિયા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન = $(m_{\text{છોકરી}} \times v_{\text{છોકરી}}) + (m_{\text{ગાડી}} \times v_{\text{ગાડી}}) = (40 \times 5) + (10 \times 0) = 200 \, kg \, m s^{-1}$.
અંતિમ વેગમાન = $(m_{\text{છોકરી}} + m_{\text{ગાડી}}) \times v_{\text{અંતિમ}} = (40 + 10) \times v = 50v$.
બંનેને સરખાવતા: $50v = 200$.
$v = 200 / 50 = 4 \, m s^{-1}$.

(N/A) બળ એ એક બાહ્ય એજન્ટ છે જે પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે અથવા ઉત્પન્ન કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે. બળની ત્રણ સંભવિત અસરો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ તે સ્થિર પદાર્થને ગતિમાં લાવી શકે છે.
$(ii)$ તે ગતિમાન પદાર્થને અટકાવી શકે છે.
$(iii)$ તે પદાર્થની ઝડપ અથવા ગતિની દિશા બદલી શકે છે.
$(b)$ આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 90 \, km \, h^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \, m \, s^{-1}$
અંતિમ વેગ $v = 0 \, m \, s^{-1}$
સમય $t = 5 \, s$
દળ $m = 200 \, kg$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 25 + a(5)$
$5a = -25$
$a = -5 \, m \, s^{-2}$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F = 200 \times (-5) = -1000 \, N$
આમ,બ્રેક દ્વારા લાગતું બળ $1000 \, N$ છે જે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.

(N/A) ગતિનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે, "કોઈ પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે બળની દિશામાં હોય છે." તેનું ગાણિતિક સ્વરૂપ $F = ma$ છે。
$a = \frac{v-u}{t}$ હોવાથી, $F = m \frac{v-u}{t}$, જેનો અર્થ થાય છે $Ft = mv - mu$.
જો બાહ્ય બળ $F = 0$ હોય, તો $mv - mu = 0$, એટલે કે $mv = mu$, અથવા $v = u$. આ દર્શાવે છે કે જો પદાર્થ પર કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે, તો તેનો વેગ અચળ રહે છે (અચળ ગતિ). જો $u = 0$ હોય, તો $v = 0$ થાય, એટલે કે પદાર્થ સ્થિર રહે છે. આ ન્યૂટનનો ગતિનો પ્રથમ નિયમ છે。
$(b)$ આપેલ છે: $u = 0 \, m \, s^{-1}$, $t = 0.5 \, s$, $g = 10 \, m \, s^{-2}$.
$(i)$ $v = u + gt$ નો ઉપયોગ કરતા: $v = 0 + 10 \times 0.5 = 5 \, m \, s^{-1}$.
$(ii)$ સરેરાશ ઝડપ = $\frac{v + u}{2} = \frac{5 + 0}{2} = 2.5 \, m \, s^{-1}$.
$(iii)$ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $h = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25 \, m$.

(N/A) $(i)$ પદાર્થોના સ્થિર કે ગતિમાન અવસ્થામાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરવાના ગુણધર્મને જડત્વ (Inertia) કહેવામાં આવે છે.
$(ii)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સંબંધ $F = ma$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ,$m$ એ દળ અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
$(iii)$ પદાર્થના દળ અને વેગના ગુણાકારને વેગમાન (Momentum) કહેવામાં આવે છે $(p = mv)$.
$(iv)$ વેગમાનના ફેરફારનો દર એ લાગુ પાડેલા બળ (Force) જેટલો હોય છે.
$(v)$ રોકેટ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ અને રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.

(N/A) આપેલ છે: $m_1 = 100\, g = 0.1\, kg$,$m_2 = 200\, g = 0.2\, kg$,$u_1 = 2\, m s^{-1}$,$u_2 = 1\, m s^{-1}$,$v_1 = 1.67\, m s^{-1}$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.1 \times 2) + (0.2 \times 1) = (0.1 \times 1.67) + (0.2 \times v_2)$.
$0.2 + 0.2 = 0.167 + 0.2 v_2$.
$0.4 = 0.167 + 0.2 v_2$.
$0.2 v_2 = 0.4 - 0.167 = 0.233$.
$v_2 = 0.233 / 0.2 = 1.165\, m s^{-1}$.
$(b)$ આ ઘટના ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ અને વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે. જ્યારે વ્યક્તિ આગળની તરફ કૂદકો મારે છે,ત્યારે તે હોડી પર પાછળની દિશામાં બળ લગાડે છે. હોડી પાણીમાં તરતી હોવાથી અને સ્થિર ન હોવાથી,તે તંત્રનું કુલ વેગમાન જાળવી રાખવા માટે પાછળની તરફ ગતિ કરે છે.

(N/A) ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ જણાવે છે કે, "દરેક ક્રિયાબળની સામે હંમેશા સમાન મૂલ્યનું અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે."
ઉદાહરણો:
$(i)$ ચાલવું: જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલે છે, ત્યારે તે તેના પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે (ક્રિયાબળ). જમીન પગ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે (પ્રતિક્રિયાબળ), જે વ્યક્તિને આગળ ધકેલે છે.
$(ii)$ હોડીમાંથી કૂદવું: જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ હોડીમાંથી બહાર કૂદે છે, ત્યારે તે હોડીને પાછળની તરફ ધકેલે છે (ક્રિયાબળ). હોડી વ્યક્તિ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે, જે વ્યક્તિને આગળ ધકેલે છે, જ્યારે હોડી પાછળની તરફ જાય છે (પ્રતિક્રિયાબળ).
$(b)$ સૂત્ર $F = m \times a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(i)$ આપેલ છે $m = 4 \, kg$ અને $a = 2.5 \, m s^{-2}$.
$F = 4 \, kg \times 2.5 \, m s^{-2} = 10 \, N$.
$(ii)$ આપેલ છે $m = 10 \, kg$ અને $a = 3 \, m s^{-2}$.
$F = 10 \, kg \times 3 \, m s^{-2} = 30 \, N$.

(N/A) $(a) (i)$ સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $B$ $20 \ g \ wt$ દર્શાવશે.
$(ii)$ આ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમને કારણે છે. જ્યારે સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $A$ એ બેલેન્સ $B$ પર બળ લગાડે છે,ત્યારે બેલેન્સ $B$ એ બેલેન્સ $A$ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે. લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $20 \ g \ wt$ હોવાથી,પ્રતિક્રિયા બળ પણ $20 \ g \ wt$ હશે.
$(b)$ એવું અવલોકન કરવામાં આવે છે કે ફુગ્ગો ઉપરની દિશામાં ગતિ કરે છે. હવા ફુગ્ગામાંથી નીચેની દિશામાં બહાર નીકળે છે (ક્રિયા). પરિણામે,ફુગ્ગાની ઉપરની ગતિના સ્વરૂપમાં સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા જોવા મળે છે,જે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ છે.

(D) જડત્વ એ પદાર્થનો એવો ગુણધર્મ છે જેના કારણે તે પોતાની સ્થિર અવસ્થા અથવા સુરેખ પથ પરની અચળ ગતિની અવસ્થામાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. સમાન આકાર અને કદના લાકડા,રબર અને લોખંડમાંથી,લોખંડના પદાર્થનું જડત્વ સૌથી વધુ હશે. તેનું કારણ એ છે કે દળ એ જડત્વનું માપ છે; લોખંડની ઘનતા સૌથી વધુ હોવાથી તેનું દળ પણ સૌથી વધુ હોય છે,તેથી તેનું જડત્વ સૌથી વધુ છે.
$(b)$ આ ઘટના સ્થિરતાના જડત્વને કારણે થાય છે. જ્યારે સ્ટ્રાઈકર સૌથી નીચેના સિક્કાને અથડાય છે,ત્યારે તે લાગુ પડેલા બળને કારણે ગતિમાં આવે છે. જોકે,ઢગલાના બાકીના સિક્કાઓ તેમના સ્થિરતાના જડત્વને કારણે સ્થિર અવસ્થામાં જ રહે છે. પરિણામે,તેઓ નીચે પડે છે અને તે જ જગ્યાએ રહે છે જ્યાંથી નીચેનો સિક્કો દૂર થયો છે.

(N/A) વેગમાન એટલે પદાર્થના દળ અને વેગનો ગુણાકાર. તેનો $SI$ એકમ $kg \ m s^{-1}$ છે.
$(b)$ વેગમાનનું સૂત્ર $p = m v$ છે. બંને માટે વેગમાન $p$ સમાન હોવાથી,$m_{T} v_{T} = m_{C} v_{C}$ થાય. ટ્રકનું દળ $m_{T}$ એ કારના દળ $m_{C}$ કરતા વધારે હોવાથી,સમાન વેગમાન જાળવી રાખવા માટે કારનો વેગ $v_{C}$ એ ટ્રકના વેગ $v_{T}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$(c)$ આપેલ છે: ગોળીનું દળ $m_{1} = 20 \ g = 0.02 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u_{1} = 500 \ m s^{-1}$. બ્લૉકનું દળ $m_{2} = 1 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u_{2} = 0 \ m s^{-1}$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = (m_{1} + m_{2}) v$.
$(0.02 \times 500) + (1 \times 0) = (0.02 + 1) v$.
$10 = 1.02 \times v$.
$v = 10 / 1.02 \approx 9.8 \ m s^{-1}$.

(N/A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma$ છે,જ્યાં $a$ એ $v-t$ આલેખના ઢાળ પરથી મેળવેલ પ્રવેગ છે.
$1$. $OA$ ભાગ માટે:
પ્રવેગ $a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{20 - 0}{10 - 0} = 2 \ m \ s^{-2}$.
બળ $F = ma = 2 \ kg \times 2 \ m \ s^{-2} = 4 \ N$.
$2$. $AB$ ભાગ માટે:
વેગ અચળ છે,તેથી પ્રવેગ $a = 0 \ m \ s^{-2}$.
બળ $F = ma = 2 \ kg \times 0 \ m \ s^{-2} = 0 \ N$.
$3$. $BC$ ભાગ માટે:
પ્રવેગ $a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 20}{40 - 30} = -2 \ m \ s^{-2}$.
બળ $F = ma = 2 \ kg \times (-2) \ m \ s^{-2} = -4 \ N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે આ પ્રતિપ્રવેગી બળ છે.

(A) ગતિમાન પદાર્થને રોકવા માટે જરૂરી બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F = \frac{dp}{dt} = ma)$.
બંને વાહનો સમાન વેગ $(v)$ થી ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનું વેગમાન $(p = mv)$ વાહનના દળ $(m)$ પર આધાર રાખે છે.
ખાલી વાહનની સરખામણીમાં લોડ થયેલા વાહનનું દળ વધારે હોય છે.
તેથી,લોડ થયેલા વાહનનું વેગમાન વધારે હોય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સમાન સમયમાં વધુ દળ ધરાવતા પદાર્થના વેગમાનમાં ફેરફાર કરવા માટે વધુ બળની જરૂર પડે છે.
આમ,લોડ થયેલા વાહનને રોકવા માટે વધુ બળની જરૂર પડશે.

(A) હા, પદાર્થ $\text{શૂન્ય}$ ન હોય તેવા વેગથી ગતિ કરી શકે છે.
ન્યૂટનના ગતિના $\text{પ્રથમ}$ નિયમ મુજબ, જ્યાં સુધી કોઈ પદાર્થ પર અસંતુલિત બળ ન લાગે ત્યાં સુધી તે સ્થિર અવસ્થામાં અથવા સુરેખ પથ પર અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખે છે.
જો પરિણામી બાહ્ય અસંતુલિત બળ $\text{શૂન્ય}$ હોય, તો પદાર્થ પોતાની ગતિની અવસ્થા જાળવી રાખશે.
તેથી, સમાન ગતિ જાળવી રાખવા માટે પદાર્થનો વેગ અચળ મૂલ્ય (ઝડપ) અને અચળ દિશા (સુરેખ પથ) ધરાવતો હોવો જોઈએ.

(B) વેગમાન $(p)$ એ દળ $(m)$ અને વેગ $(v)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર: $p = m \times v$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે:
દળ $(m_A)$ = $1 \ kg$
ઝડપ $(v_A)$ = $10 \ m s^{-1}$
વેગમાન $(p_A)$ = $1 \ kg \times 10 \ m s^{-1} = 10 \ kg \ m s^{-1}$.
પદાર્થ $B$ માટે:
દળ $(m_B)$ = $2 \ kg$
ઝડપ $(v_B)$ = $9 \ m s^{-1}$
વેગમાન $(p_B)$ = $2 \ kg \times 9 \ m s^{-1} = 18 \ kg \ m s^{-1}$.
બંને મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$18 \ kg \ m s^{-1} > 10 \ kg \ m s^{-1}$ છે.
તેથી,પદાર્થ $B$ નું વેગમાન વધારે છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જો કોઈ પદાર્થ નિયમિત ગતિમાં હોય,તો જ્યાં સુધી તેના પર કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ ન લાગે ત્યાં સુધી તે પોતાની ગતિ ચાલુ રાખે છે.
તેથી,પદાર્થ ગતિમાં રહે તે માટે તેના પર બળ લાગવું જરૂરી નથી.
બળની જરૂરિયાત માત્ર પદાર્થની ગતિની અવસ્થા બદલવા માટે (એટલે કે પ્રવેગિત કરવા,પ્રતિપ્રવેગિત કરવા અથવા દિશા બદલવા માટે) હોય છે.

(N/A) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગ બંને દળ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે.
ધારો કે $m_{1}$ દળ પર લાગતું બળ $F_{1}$ છે અને $m_{2}$ દળ પર લાગતું બળ $F_{2}$ છે.
બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,$F_{1} = -F_{2}$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m_{1} a_{1} = -m_{2} a_{2}$
અહીં,$a_{1}$ અને $a_{2}$ એ અનુક્રમે $m_{1}$ અને $m_{2}$ દળના પ્રવેગ છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવેગ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
પ્રવેગના ગુણોત્તરનું મૂલ્ય લેતા:
$\frac{|a_{1}|}{|a_{2}|} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$
આ સાબિત કરે છે કે તેમના પ્રવેગનો ગુણોત્તર તેમના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(N/A) જ્યારે નીચેની દોરી $B$ ને અચાનક ઝટકો આપવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોકની જડત્વ (inertia) ને કારણે સિસ્ટમનો ઉપરનો ભાગ ખૂબ જ ટૂંકા સમયગાળામાં આ બળને અનુભવી શકતો નથી અને બ્લોક સ્થિર રહેવાનો પ્રયત્ન કરે છે. પરિણામે,દોરી $B$ માં તણાવ તેની તોડવાની ક્ષમતા કરતા વધી જાય છે અને તે તૂટી જાય છે.
જ્યારે દોરી $B$ ને ધીમેથી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે બળને ઉપરની દોરી $A$ સુધી પહોંચવા માટે પૂરતો સમય મળે છે. આ કિસ્સામાં,દોરી $A$ માં કુલ તણાવ એ લાગુ પાડેલા બળ અને બ્લોકના વજનનો સરવાળો થાય છે $(T_A = F + mg)$,જ્યારે દોરી $B$ માં તણાવ માત્ર લાગુ પાડેલું બળ જ હોય છે $(T_B = F)$. $A$ માં તણાવ $B$ કરતા વધારે હોવાથી,દોરી $A$ પહેલા તૂટી જાય છે.

(N/A) ગતિના પ્રથમ નિયમ અનુસાર,પદાર્થ સ્થિર હોય તો તે સ્થિર રહે છે અને ગતિમાં હોય તો તે અચળ ઝડપે સીધી રેખામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે,જ્યાં સુધી તેના પર કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ ન લાગે.
પદાર્થનો પોતાની સ્થિર અવસ્થા કે અચળ ગતિની અવસ્થામાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરવાનો આંતરિક ગુણધર્મ એટલે જડત્વ.
ગતિનો પ્રથમ નિયમ આ ગુણધર્મને વ્યાખ્યાયિત કરતો હોવાથી,તેને સામાન્ય રીતે જડત્વનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.

(B) ના,હોડી ગતિ કરશે નહીં. ન્યૂટનના ગતિના $3^{rd}$ નિયમ મુજબ,જ્યારે પંખામાંથી આવતી હવા સઢને ધકેલે છે,ત્યારે સઢ પંખા પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે. પંખો હોડી સાથે જોડાયેલો હોવાથી,આખી સિસ્ટમ (પંખો + હોડી) પર લાગતા આંતરિક બળો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. ગતિ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર બાહ્ય અસંતુલિત બળ લાગે. અહીં પંખો હોડીનો જ એક ભાગ હોવાથી,સિસ્ટમ પર કોઈ ચોખ્ખું બાહ્ય બળ લાગતું નથી,તેથી હોડી ગતિ કરશે નહીં.

(N/A) ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ જણાવે છે કે દરેક ક્રિયાબળની સામે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે. જોકે,આ બંને બળો અલગ-અલગ પદાર્થો પર લાગે છે,એક જ પદાર્થ પર નહીં. કારણ કે આ બળો એક જ પદાર્થ પર લાગતા હોવાથી એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરતા નથી,તેથી પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય ન હોઈ શકે,જે પદાર્થને ગતિ કરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે.

(N/A) વરસાદનું ટીપું અચળ ઝડપથી નીચે પડે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો પ્રવેગ $a = 0$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F = ma = m(0) = 0$ થાય. આમ,પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
$(b)$ પાણી પર તરતો બૂચ સંતુલિત અવસ્થામાં હોય છે. નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) એ ઉપરની તરફ લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,બૂચ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
$(c)$ પતંગ સ્થિર રાખેલી હોવાથી,તેનો વેગ શૂન્ય છે અને તેનો પ્રવેગ પણ શૂન્ય છે. ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જો કોઈ પદાર્થ સ્થિર હોય,તો તેના પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.

(A) આપેલ છે: વેગમાન $(p)$ = $2000 \ kg \ m \ s^{-1}$,વેગ $(v)$ = $50 \ m \ s^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગમાન એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે,જેનું સૂત્ર: $p = m \times v$ છે.
દળ $(m)$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ: $m = \frac{p}{v}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{2000}{50} = 40 \ kg$.
તેથી,મિસાઇલનું દળ $40 \ kg$ છે.

(A) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કૂદકો મારતા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને કૂદકો માર્યા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
સિસ્ટમ (છોકરી + હોડી) શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે $m_1 = 50 \, kg$ એ છોકરીનું દળ છે અને $v_1 = 3 \, m s^{-1}$ તેનો વેગ છે.
ધારો કે $m_2 = 300 \, kg$ એ હોડીનું દળ છે અને $v_2$ એ હોડીનો વેગ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $(50 \times 3) + (300 \times v_2) = 0$.
$150 + 300 v_2 = 0$.
$300 v_2 = -150$.
$v_2 = -\frac{150}{300} = -0.5 \, m s^{-1}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે હોડી વિરુદ્ધ દિશામાં (પાછળની તરફ) $0.5 \, m s^{-1}$ ના વેગથી ગતિ કરશે.

(B) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે.
આપેલ છે: બળ $F = 40\, N$ અને પ્રવેગ $a = 5\, m s^{-2}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સંબંધ $F = m \times a$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $40 = m \times 5$ મળે છે.
તેથી,$m = \frac{40}{5} = 8\, kg$.
પદાર્થનું દળ $8\, kg$ છે.