Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(N/A) $1$. $AD$ को बिंदु $E$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $AD = DE$ हो। $EC$ को मिलाइए।
$2$. $\Delta ADB$ और $\Delta EDC$ में:
- $AD = DE$ (रचना से)
- $\angle ADB = \angle EDC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
- $BD = DC$ ($AD$,$BC$ पर माध्यिका है)
$3$. $SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta ADB \cong \Delta EDC$ है।
$4$. इसलिए,$AB = EC$ ($CPCT$ से)।
$5$. $\Delta AEC$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है:
- $AC + EC > AE$
$6$. चूँकि $AE = AD + DE = AD + AD = 2AD$ और $EC = AB$,हम इन मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:
- $AC + AB > 2AD$।
$7$. अतः,$AB + AC > 2AD$ सिद्ध हुआ।

(N/A) $1$. $BP$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $AC$ को बिंदु $D$ पर प्रतिच्छेद करे।
$2$. $\Delta ABD$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार,दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है: $AB + AD > BD$।
$3$. चूँकि $BD = BP + PD$,हम लिख सकते हैं: $AB + AD > BP + PD$ --- (समीकरण $1$)।
$4$. $\Delta PDC$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार: $PD + DC > PC$ --- (समीकरण $2$)।
$5$. समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(AB + AD) + (PD + DC) > (BP + PD) + PC$।
$6$. असमिका को सरल करने पर: $AB + (AD + DC) + PD > BP + PD + PC$।
$7$. चूँकि $AD + DC = AC$,हमें प्राप्त होता है: $AB + AC + PD > BP + PC + PD$।
$8$. दोनों पक्षों से $PD$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $AB + AC > PB + PC$,जो $PB + PC < AB + AC$ के बराबर है।

(N/A) एक त्रिभुज में,किन्हीं दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्णों द्वारा निर्मित त्रिभुजों पर विचार करें:
$1$. $\triangle ABC$ में,$AB + BC > AC$ (समीकरण $1$)।
$2$. $\triangle ADC$ में,$AD + CD > AC$ (समीकरण $2$)।
$3$. $\triangle ABD$ में,$AB + AD > BD$ (समीकरण $3$)।
$4$. $\triangle BCD$ में,$BC + CD > BD$ (समीकरण $4$)।
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $(AB + BC + AD + CD) > 2AC$ प्राप्त होता है।
समीकरण $3$ और $4$ को जोड़ने पर: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$ प्राप्त होता है।
इन दोनों परिणामी असमिकाओं को जोड़ने पर: $2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$।

(N/A) माना $O$ विकर्णों $AC$ और $BD$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$AB + BC > AC$.
$\triangle ADC$ में,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$CD + DA > AC$.
इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $(AB + BC + CD + DA) > 2AC$.
इसी प्रकार,$\triangle ABD$ में,$AB + AD > BD$.
$\triangle BCD$ में,$BC + CD > BD$.
इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$.
अब,प्रतिच्छेदन बिंदु $O$ द्वारा निर्मित त्रिभुजों पर विचार करें:
$\triangle OAB$ में,$AB < OA + OB$.
$\triangle OBC$ में,$BC < OB + OC$.
$\triangle OCD$ में,$CD < OC + OD$.
$\triangle ODA$ में,$DA < OD + OA$.
इन चार असमिकाओं को जोड़ने पर: $AB + BC + CD + DA < 2(OA + OB + OC + OD)$.
चूंकि $OA + OC = AC$ और $OB + OD = BD$,इसलिए $AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$.

(A) $\Delta ABC$ में,मान लीजिए कि $AD$,$BE$ और $CF$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$AC$ और $AB$ पर माध्यिकाएँ हैं।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
$\Delta ABD$ में,$AB + BD > AD$ $(1)$।
$\Delta ACD$ में,$AC + CD > AD$ $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $AB + AC + (BD + CD) > 2AD$।
चूँकि $BD + CD = BC$,इसलिए $AB + AC + BC > 2AD$ $(3)$।
इसी प्रकार,माध्यिकाओं $BE$ और $CF$ के लिए:
$AB + BC + AC > 2BE$ $(4)$।
$AB + BC + AC > 2CF$ $(5)$।
$(3)$,$(4)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$3(AB + BC + AC) > 2(AD + BE + CF)$।
यह दर्शाता है कि $AB + BC + AC > \frac{2}{3}(AD + BE + CF)$।
हालाँकि,माध्यिकाओं के लिए मानक असमिका $AB + BC + AC > AD + BE + CF$ है। यह इस तथ्य से प्राप्त होता है कि किसी भी त्रिभुज में,माध्यिकाओं का योग उसके परिमाप से कम होता है $(AD + BE + CF < AB + BC + AC)$।

(N/A) $\Delta PQS$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है:
$PQ + QS > PS$ ---$(1)$
$\Delta PRS$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार:
$PR + RS > PS$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(PQ + QS) + (PR + RS) > PS + PS$
$PQ + PR + (QS + RS) > 2PS$
चूंकि $S$,$QR$ पर स्थित एक बिंदु है,इसलिए $QS + RS = QR$ होगा।
अतः,$PQ + PR + QR > 2PS$।

(N/A) $1$. $QS$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $PR$ को बिंदु $T$ पर प्रतिच्छेद करे।
$2$. $\Delta PQT$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है: $PQ + PT > QT$। इसे $PQ + PT > QS + ST$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $1$)।
$3$. $\Delta SRT$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,$ST + TR > SR$ (समीकरण $2$)।
$4$. समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $PQ + PT + ST + TR > QS + ST + SR$।
$5$. दोनों पक्षों से $ST$ को हटाने पर: $PQ + (PT + TR) > QS + SR$।
$6$. चूँकि $PT + TR = PR$,हमें $PQ + PR > QS + SR$ प्राप्त होता है,जो $SQ + SR < PQ + PR$ के समतुल्य है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle A = 90^{\circ}$ और $AB = AC$ है। $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है।
चूंकि $AB = AC$,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इसलिए,$\angle B = \angle C$ है।
$\Delta ABC$ में,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ है।
$90^{\circ} + \angle B + \angle B = 180^{\circ} \implies 2 \angle B = 90^{\circ} \implies \angle B = 45^{\circ}$ है। अतः,$\angle C = 45^{\circ}$ है।
चूंकि $AD$,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAD = \angle CAD = 45^{\circ}$ है।
$\Delta ABD$ में,$\angle B = 45^{\circ}$ और $\angle BAD = 45^{\circ}$ है। चूंकि दो कोण बराबर हैं,इसलिए $AD = BD$ है।
$\Delta ACD$ में,$\angle C = 45^{\circ}$ और $\angle CAD = 45^{\circ}$ है। चूंकि दो कोण बराबर हैं,इसलिए $AD = CD$ है।
चूंकि $D$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $BC = BD + CD$ है।
$BD = AD$ और $CD = AD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $BC = AD + AD = 2 AD$ प्राप्त होता है।
अतः,$BC = 2 AD$ सिद्ध हुआ।

(N/A) मान लीजिए $ABC$ एक त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $AB$,$BC$ और $AC$ हैं। मान लीजिए $AD$ भुजा $BC$ पर माध्यिका है,जिससे $BD = DC = \frac{1}{2} BC$ है।
$AD$ को बिंदु $E$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $AD = DE$ हो। $CE$ को मिलाइए।
$\triangle ABD$ और $\triangle ECD$ में:
$1$. $AD = DE$ (रचना से)
$2$. $\angle ADB = \angle EDC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$3$. $BD = DC$ (चूँकि $AD$ माध्यिका है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ है।
इसलिए,$AB = EC$ ($CPCT$ द्वारा)।
$\triangle ACE$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है:
$AC + CE > AE$
चूँकि $AE = AD + DE = 2AD$ और $CE = AB$ है,हम इन मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:
$AC + AB > 2AD$
अतः,दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा पर खींची गई माध्यिका के दोगुने से अधिक होता है।

(A) मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$,और $c$ हैं,और उनके सम्मुख कोण क्रमशः $A$,$B$,और $C$ हैं।
मान लीजिए $a$ सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए $a > b$ और $a > c$ है।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण सबसे बड़ा कोण होता है,इसलिए $A > B$ और $A > C$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के कोणों का योग $A + B + C = 180^{\circ}$ होता है।
चूँकि $A > B$ और $A > C$ है,इसलिए $A + A + A > A + B + C$ होगा,जिसका अर्थ है $3A > 180^{\circ}$।
अतः,$A > 60^{\circ}$।
एक समकोण $90^{\circ}$ होता है,और समकोण का $\frac{2}{3}$ भाग $\frac{2}{3} \times 90^{\circ} = 60^{\circ}$ होता है।
इस प्रकार,$A > 60^{\circ}$ यह सिद्ध करता है कि सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण का मान एक समकोण के $\frac{2}{3}$ भाग से अधिक है।

(B) $(1)$ असत्य: दो त्रिभुजों के $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम द्वारा सर्वांगसम होने के लिए,कोण को दोनों भुजाओं के बीच का होना चाहिए। यहाँ,$\Delta ABC$ में,$AB$ और $BC$ के बीच का कोण $\angle B$ है। $\Delta PQR$ में,$PQ$ और $PR$ के बीच का कोण $\angle P$ है। हालाँकि,दी गई शर्त $BC = PR$ है,लेकिन $\angle P$ बनाने वाली भुजाएँ $PQ$ और $PR$ हैं। चूँकि $BC$ भुजा $QR$ नहीं है,इसलिए $SAS$ कसौटी पूरी नहीं होती है।
$(2)$ सत्य: एक अंतःकोण और उसके संगत बहिष्कोण का योग $180^{\circ}$ होता है। यदि एक बहिष्कोण न्यूनकोण $(< 90^{\circ})$ है,तो संगत अंतःकोण अधिककोण $(> 90^{\circ})$ होना चाहिए। एक त्रिभुज में अधिकतम एक ही अधिककोण हो सकता है। इसलिए,दो बहिष्कोणों का न्यूनकोण होना असंभव है,क्योंकि इसका अर्थ यह होगा कि त्रिभुज में दो अधिककोण हैं,जो त्रिभुज के कोण योग गुण का उल्लंघन करता है।

(A) $(1)$ असत्य। प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज में,बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है। चूँकि $XY > XZ$ है,इसलिए $XY$ के सम्मुख कोण $(\angle Z)$ का मान $XZ$ के सम्मुख कोण $(\angle Y)$ से बड़ा होना चाहिए। अतः,$\angle Z > \angle Y$ सही है।
$(2)$ सत्य। दिया गया है कि $\frac{AB}{PR} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{RQ} = 1$,जिसका अर्थ है कि $AB = PR$,$BC = QP$,और $CA = RQ$ है। $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ है।

(B) त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta ABC$ के लिए,बहिष्कोण $\angle ABD = \angle BAC + \angle ACB = 110^{\circ}$ है।
बहिष्कोण $\angle ACE = \angle BAC + \angle ABC = 130^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle ACE > \angle ABD$,इसलिए $(\angle BAC + \angle ABC) > (\angle BAC + \angle ACB)$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\angle ABC > \angle ACB$ है।
त्रिभुज में बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है। इसलिए,$\angle ABC$ के सामने की भुजा $(AC)$ को $\angle ACB$ के सामने की भुजा $(AB)$ से बड़ा होना चाहिए।
अतः,$AC > AB$,जिसका अर्थ है कि $AB < AC$ है।
इसलिए,कथन $AB > AC$ असत्य है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$1$. $AB = PR$
$2$. $BC = RQ$
$3$. $\angle B = \angle R$
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
दी गई समानताओं के आधार पर शीर्षों का मिलान करने पर:
- शीर्ष $A$,शीर्ष $P$ के संगत है।
- शीर्ष $B$,शीर्ष $R$ के संगत है।
- शीर्ष $C$,शीर्ष $Q$ के संगत है।
अतः,$\Delta ABC \cong \Delta PRQ$।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR$ और $\Delta XYZ$ में:
$1$. $\angle P = \angle Z$
$2$. $\angle Q = \angle Y$
$3$. $PQ = YZ$
$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,शीर्षों का क्रम समान होना चाहिए।
चूंकि $\angle P$,$\angle Z$ के संगत है,$\angle Q$,$\angle Y$ के संगत है,और भुजा $PQ$,$ZY$ (या $YZ$) के संगत है,इसलिए शेष शीर्ष $R$,$X$ के संगत होगा।
अतः,संगतता $P \leftrightarrow Z$,$Q \leftrightarrow Y$ और $R \leftrightarrow X$ है।
इस प्रकार,$\Delta PQR \cong \Delta ZYX$।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में:
$1$. $\angle A = \angle X$
$2$. $\angle C = \angle Z$
$3$. $AB = XY$
कोण-कोण-भुजा $(AAS)$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,यहाँ $\angle A$,$\angle X$ के संगत है,$\angle C$,$\angle Z$ के संगत है और भुजा $AB$,$XY$ के संगत है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,तीसरा कोण $\angle B$,$\angle Y$ के बराबर होगा।
अतः,संगतता $A \leftrightarrow X$,$B \leftrightarrow Y$ और $C \leftrightarrow Z$ है।
इसलिए,$\Delta ABC \cong \Delta XYZ$.

(A) दिया गया है कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{RQ} = \frac{AC}{PR} = 1$ है।
इसका अर्थ है कि $AB = PQ$,$BC = RQ$,और $AC = PR$ है।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीनों संगत भुजाओं के बराबर हों,तो वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
भुजाओं की समानता के आधार पर शीर्षों का मिलान करने पर:
$AB = PQ$ (शीर्ष $A$,$P$ के संगत है,$B$,$Q$ के संगत है)
$BC = RQ$ (शीर्ष $B$,$R$ के संगत है,$C$,$Q$ के संगत है)
$AC = PR$ (शीर्ष $A$,$P$ के संगत है,$C$,$R$ के संगत है)
अतः,$\Delta ABC \cong \Delta PQR$।

(B) दिया गया है: $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\angle B = \angle P = 90^{\circ}$ है।
$AC = RQ$ ($\Delta ABC$ का कर्ण = $\Delta PQR$ का कर्ण)।
$AB = RP$ ($\Delta ABC$ की एक भुजा = $\Delta PQR$ की एक भुजा)।
$RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
शीर्षों का मिलान करने पर: $A$ के संगत $R$,$B$ के संगत $P$,और $C$ के संगत $Q$ है।
अतः,$\Delta ABC \cong \Delta RPQ$।

(C) $\Delta ABC$ में,यह दिया गया है कि $AB = AC$ है।
समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,भुजा $AB$ के सम्मुख कोण $\angle C$ है और भुजा $AC$ के सम्मुख कोण $\angle B$ है।
चूंकि $AB = AC$,इसलिए $\angle C = \angle B$ होगा।
दिया गया है कि $\angle B = 75^{\circ}$,इसलिए $\angle C = 75^{\circ}$ होगा।

(D) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$PQ = PR$ है।
समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle Q = \angle R$।
यहाँ $\angle R = 40^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\angle Q = 40^{\circ}$ होगा।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
मान रखने पर: $\angle P + 40^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P + 80^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ में,$XY = XZ$ है।
चूंकि दो भुजाएं बराबर हैं,इसलिए $\Delta XYZ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः,बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,जिसका अर्थ है कि $\angle Y = \angle Z$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle X + \angle Y + \angle Z = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $80^{\circ} + \angle Y + \angle Y = 180^{\circ}$।
$80^{\circ} + 2\angle Y = 180^{\circ}$।
$2\angle Y = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$\angle Y = 100^{\circ} / 2 = 50^{\circ}$।

(B) किसी भी त्रिभुज में,बड़े कोण के सामने की भुजा छोटे कोण के सामने की भुजा से बड़ी होती है।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ में $\angle A > \angle B$ है।
$\angle A$ के सामने की भुजा $BC$ है।
$\angle B$ के सामने की भुजा $AC$ है।
चूंकि $\angle A > \angle B$ है,इसलिए $\angle A$ के सामने की भुजा $\angle B$ के सामने की भुजा से बड़ी होनी चाहिए।
अतः,$BC > AC$,जिसका अर्थ है कि $AC < BC$।

(C) त्रिभुज के बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक बहिष्कोण का माप उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta ABC$ में,$\angle ACD$ शीर्ष $C$ पर स्थित बहिष्कोण है।
इसके अंतः अभिमुख कोण $\angle A$ और $\angle B$ हैं।
अतः,$\angle ACD = \angle A + \angle B$।
दिया गया है कि $\angle A = 50^{\circ}$ और $\angle B = 65^{\circ}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle ACD = 50^{\circ} + 65^{\circ} = 115^{\circ}$।

(D) $\Delta ABC$ में,हमें दिया गया है कि $AB = AC$ है।
समद्विबाहु त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle C = \angle B = 70^{\circ}$।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
$\angle A + 70^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A + 140^{\circ} = 180^{\circ}$,जिससे $\angle A = 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।
बहिष्कोण गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
अतः,$\angle ACD = \angle A + \angle B$।
$\angle ACD = 40^{\circ} + 70^{\circ} = 110^{\circ}$।

(A) समबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाएँ समान होती हैं और तीनों अंतःकोण समान होते हैं।
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक अंतःकोण $60^{\circ}$ होता है।
एक अंतःकोण और उसके संगत बाह्य कोण का योग $180^{\circ}$ होता है (रैखिक युग्म)।
इसलिए,बाह्य कोण = $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
वैकल्पिक रूप से,किसी भी बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है। चूंकि एक समबाहु त्रिभुज में $3$ समान बाह्य कोण होते हैं,इसलिए प्रत्येक बाह्य कोण = $360^{\circ} / 3 = 120^{\circ}$।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में, $\angle B = \angle C$ है।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार, समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए, $\angle B$ की सम्मुख भुजा $AC$ है और $\angle C$ की सम्मुख भुजा $AB$ है।
अतः, $AC = AB$ होगा।
हमें $AB = 5 \text{ cm}$ दिया गया है, इसलिए $AC = 5 \text{ cm}$ होगा।
साथ ही, $BC = 8 \text{ cm}$ दिया गया है।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC$ होता है।
परिमाप $= 5 \text{ cm} + 8 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 18 \text{ cm}$।

(C) $\Delta XYZ$ में,हमें दिया गया है कि $\angle Y = 90^{\circ}$ है।
चूंकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle X + \angle Y + \angle Z = 180^{\circ}$ होगा।
$\angle Y$ का मान रखने पर,$\angle X + 90^{\circ} + \angle Z = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\angle X + \angle Z = 90^{\circ}$ है।
हमें यह भी दिया गया है कि $XY = YZ$ है। त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle Z = \angle X$ होगा।
समीकरण $\angle X + \angle Z = 90^{\circ}$ में $\angle Z = \angle X$ रखने पर,हमें $\angle X + \angle X = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2\angle X = 90^{\circ}$ मिलता है,जिससे $\angle X = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(D) $\Delta ABC$ में,अंतःकोण $\angle ABC$,$\angle ACB$ और $\angle BAC$ (या $\angle A$) हैं।
चूंकि $\angle ABD$ शीर्ष $B$ पर एक बहिष्कोण है,इसलिए $\angle ABC + \angle ABD = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
अतः,$\angle ABC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
चूंकि $\angle ACE$ शीर्ष $C$ पर एक बहिष्कोण है,इसलिए $\angle ACB + \angle ACE = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
अतः,$\angle ACB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
$\Delta ABC$ के तीनों अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle A + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A + 100^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।

(A) मान लीजिए कि पहले त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं और दूसरे त्रिभुज के शीर्ष $P, Q, R$ हैं।
एकैकी संगति दो त्रिभुजों के शीर्षों के समुच्चयों के बीच एक मैपिंग है।
पहले त्रिभुज के $3$ शीर्षों को दूसरे त्रिभुज के $3$ शीर्षों से जोड़ने के तरीकों की संख्या $3$ तत्वों के क्रमचय (permutations) द्वारा दी जाती है,जो $3!$ है।
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
अतः,दो त्रिभुजों के बीच $6$ संभावित एकैकी संगति हो सकती हैं।

(B) दी गई संगति $ABC \leftrightarrow PRQ$ में,शीर्ष इस प्रकार संगत हैं:
$A$ के संगत $P$ है
$B$ के संगत $R$ है
$C$ के संगत $Q$ है
अतः,भुजा $AB$,$A$ और $B$ के संगत शीर्षों द्वारा बनी भुजा $PR$ के संगत है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \cong \Delta YZX$ है।
सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
शीर्षों की तुलना करने पर: $A$ के संगत $Y$,$B$ के संगत $Z$,और $C$ के संगत $X$ है।
अतः,भुजा $AB$,भुजा $YZ$ के संगत है।
इस प्रकार,भुजा $AB = YZ$ है।

(D) दिया गया है कि $\Delta PRQ \cong \Delta ZXY$ है।
सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
दोनों त्रिभुजों के शीर्षों की तुलना करने पर:
$P$ के संगत $Z$ है।
$R$ के संगत $X$ है।
$Q$ के संगत $Y$ है।
इसलिए,$\angle P = \angle Z$,$\angle R = \angle X$,और $\angle Q = \angle Y$ है।
चूंकि प्रश्न में पूछा गया है कि $\Delta XYZ$ में कौन सा कोण $\angle R$ के बराबर है,तो संगतता देखने पर: $\angle R$,$\angle X$ के बराबर है।
अतः,$\angle R = \angle X$।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ है।
सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इसका अर्थ है कि $\Delta ABC$ की भुजाएँ $\Delta RPQ$ की संगत भुजाओं के बराबर हैं।
विशेष रूप से,$AB = RP$,$BC = PQ$,और $AC = RQ$ है।
त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं का योग होता है।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 18 \, cm$ है।
चूँकि $\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ है,इसलिए $\Delta RPQ$ का परिमाप $\Delta ABC$ के परिमाप के बराबर होगा।
$\Delta RPQ$ का परिमाप = $RP + PQ + RQ = AB + BC + AC = 18 \, cm$ है।
ध्यान दें कि $\Delta PQR$ का परिमाप भी $\Delta RPQ$ के परिमाप के समान ही होगा क्योंकि भुजाओं की लंबाई का समूह वही है।
अतः,$\Delta PQR$ का परिमाप $18 \, cm$ है।

(B) त्रिभुज असमिका प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है। इसलिए,सही शब्द 'अधिक' है।

(B) त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का अंतर हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से कम होता है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$ और $c$ हैं,तो $|a - b| < c$,$|a - c| < b$ और $|b - c| < a$ होता है।

(D) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
$\angle A + 50^{\circ} + 85^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A + 135^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज में बड़े कोण के सामने की भुजा लंबी होती है।
यहाँ,$\angle C = 85^{\circ}$ और $\angle B = 50^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle C > \angle B$,इसलिए $\angle C$ के सामने की भुजा $(AB)$,$\angle B$ के सामने की भुजा $(AC)$ से बड़ी होगी।
अतः,$AB > AC$।

(A) त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार,एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए।
$\Delta ABC$ में,भुजाओं $AB$ और $BC$ का योग $AC$ से अधिक होना चाहिए।
इसलिए,$AB + BC > AC$।
दिए गए मानों को रखने पर: $6 \text{ cm} + 9 \text{ cm} > AC$।
$15 \text{ cm} > AC$,जिसका अर्थ है कि $AC < 15 \text{ cm}$।
अतः,भुजा $AC$ की लंबाई $15 \text{ cm}$ से कम होनी चाहिए।

(B) त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
साथ ही,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का अंतर हमेशा तीसरी भुजा से कम होता है।
मान लीजिए भुजाएँ $a = 8 \, cm$,$b = 5 \, cm$ और $c = AC$ हैं।
गुणधर्म के अनुसार: $|a - b| < c < a + b$।
मान रखने पर: $|8 - 5| < AC < 8 + 5$।
$3 < AC < 13$।
अतः,$AC$ का मान $3 \, cm$ से अधिक होना चाहिए।

(C) $\Delta PQR$ में,हमें दिया गया है कि $\angle Q = \angle R$ है।
प्रमेय के अनुसार,किसी त्रिभुज में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए,$\angle Q$ की सम्मुख भुजा $(PR)$,$\angle R$ की सम्मुख भुजा $(PQ)$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$PR = PQ$ है।
चूँकि $PQ = 6.5 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $PR = 6.5 \, cm$ होगा।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$AB = AC$ है।
समद्विबाहु त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,भुजा $AB$ के सम्मुख कोण $\angle C$ है और भुजा $AC$ के सम्मुख कोण $\angle B$ है।
चूंकि $AB = AC$,इसलिए $\angle B = \angle C$ होगा।
दिया गया है कि $\angle C = 75^{\circ}$ है।
अतः,$\angle B = 75^{\circ}$ होगा।

(A) त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
मान लीजिए तीसरी भुजा $AC = x \text{ cm}$ है।
तब,$AB + BC > AC \implies 8 + 10 > x \implies x < 18$।
साथ ही,$AB + AC > BC \implies 8 + x > 10 \implies x > 2$।
और $BC + AC > AB \implies 10 + x > 8$,जो सभी $x > 0$ के लिए सत्य है।
अतः,$2 < x < 18$।
परिमाप $P = AB + BC + AC = 8 + 10 + x = 18 + x$।
चूंकि $x < 18$,इसलिए परिमाप $P < 18 + 18 = 36 \text{ cm}$।
अतः,परिमाप $36 \text{ cm}$ से कम है।

(B) किसी भी त्रिभुज में,किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए (त्रिभुज असमिका प्रमेय)।
मान लीजिए $\Delta XYZ$ की भुजाएँ $XY = 7 \, cm$,$YZ = 10 \, cm$ और $XZ = z \, cm$ हैं।
त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार:
$XY + YZ > XZ \implies 7 + 10 > z \implies z < 17$
$XY + XZ > YZ \implies 7 + z > 10 \implies z > 3$
$YZ + XZ > XY \implies 10 + z > 7 \implies z > -3$ (जो लंबाई के लिए हमेशा सत्य है)।
अतः,तीसरी भुजा $z$ को $3 < z < 17$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
त्रिभुज का परिमाप $P = XY + YZ + XZ = 7 + 10 + z = 17 + z$ है।
चूंकि $z > 3$,इसलिए $P = 17 + z > 17 + 3 = 20$.
अतः,$\Delta XYZ$ का परिमाप $20 \, cm$ से अधिक है।

(C) दो त्रिभुज सर्वांगसम तब कहलाते हैं जब वे आकार और माप में समान हों।
यदि $\Delta ABC \cong \Delta DEF$ है,तो इसका अर्थ है कि उनकी सभी संगत भुजाएँ और कोण बराबर हैं।
सर्वांगसमता के परिणामस्वरुप,दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होना चाहिए।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= 58 \ cm^2$ है।
अतः,$\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= 58 \ cm^2$ होगा।

(D) किसी भी त्रिभुज में,सबसे लंबी भुजा के सम्मुख कोण सबसे बड़ा कोण होता है।
दिया गया है कि भुजाओं की लंबाई असमिका $AC > AB > BC$ को संतुष्ट करती है।
भुजा $AC$,$\Delta ABC$ की सबसे लंबी भुजा है।
भुजा $AC$ के सम्मुख कोण $\angle B$ है।
अतः,$\angle B$ त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है।

(A) त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से हमेशा बड़ा होता है और किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से हमेशा छोटा होता है।
दी गई भुजाएँ $PQ = 7.5 \, cm$ और $QR = 6.2 \, cm$ हैं।
माना तीसरी भुजा $PR$ है।
$1$. दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से कम होना चाहिए: $PR > |PQ - QR| = |7.5 - 6.2| = 1.3 \, cm$.
$2$. दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए: $PR < PQ + QR = 7.5 + 6.2 = 13.7 \, cm$.
इसलिए,$1.3 < PR < 13.7$.
इसकी तुलना $a < PR < b$ से करने पर,हमें $a = 1.3$ और $b = 13.7$ प्राप्त होता है।

(B) किसी भी त्रिभुज में,सबसे बड़े कोण के सामने की भुजा सबसे लंबी होती है और सबसे छोटे कोण के सामने की भुजा सबसे छोटी होती है।
दिया गया है कि कोण $\angle Y > \angle X > \angle Z$ हैं।
$\angle Y$ के सामने की भुजा $XZ$ है।
$\angle X$ के सामने की भुजा $YZ$ है।
$\angle Z$ के सामने की भुजा $XY$ है।
चूंकि $\angle Z$ सबसे छोटा कोण है,इसलिए इसके सामने की भुजा $XY$ त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा होगी।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \cong \Delta RPQ$ है।
सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
शीर्ष इस प्रकार संगत हैं: $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,और $C \leftrightarrow Q$।
अतः,$\Delta ABC$ की भुजा $AB$,$\Delta RPQ$ की भुजा $RP$ के संगत है।
चूंकि $\Delta RPQ$ वही त्रिभुज है जो $\Delta PQR$ है (क्योंकि शीर्षों का समूह समान है),भुजा $RP$,$\Delta PQR$ में भुजा $PR$ के समान है।
इस प्रकार,भुजा $AB$ भुजा $RP$ के बराबर है।

(D) माना त्रिभुज की तीसरी भुजा $AC = b$ है।
त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है और किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से छोटा होता है।
$1$. $AB + BC > AC \implies 9 + 12 > b \implies b < 21$.
$2$. $BC - AB < AC \implies 12 - 9 < b \implies b > 3$.
अतः,$3 < b < 21$.
परिमाप $P = AB + BC + AC = 9 + 12 + b = 21 + b$.
चूंकि $3 < b < 21$,हम असमिका के सभी भागों में $21$ जोड़ते हैं:
$3 + 21 < 21 + b < 21 + 21$
$24 < P < 42$.
इसकी तुलना $x < P < y$ से करने पर,हमें $x = 24$ और $y = 42$ प्राप्त होता है।