Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(N/A) दिया है: एक वर्ग $ABCD$ और $\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $OA = OB = AB$.
सिद्ध करना है: $\triangle OCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति: वर्ग $ABCD$ में,$\angle DAB = \angle CBA = 90^{\circ}$.
चूंकि $\triangle OAB$ समबाहु है,$\angle OAB = \angle OBA = 60^{\circ}$.
अब,$\angle DAO = \angle DAB - \angle OAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
इसी प्रकार,$\angle CBO = \angle CBA - \angle OBA = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\triangle DAO$ और $\triangle CBO$ में:
$AD = BC$ (वर्ग की भुजाएँ)
$\angle DAO = \angle CBO = 30^{\circ}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$OA = OB$ (समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle DAO \cong \triangle CBO$.
अतः,$OD = OC$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूंकि $OD = OC$,इसलिए $\triangle OCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ और $\triangle DBC$ एक ही आधार $BC$ पर स्थित हैं। साथ ही,$AB = AC$ और $BD = CD$ है।
सिद्ध करना है: $AD$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है,अर्थात $OB = OC$ और $\angle AOB = \angle AOC = 90^{\circ}$ है।
उपपत्ति: $\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में,हमारे पास है:
$AB = AC$ [दिया है]
$BD = CD$ [दिया है]
$AD = AD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,सर्वांगसमता की $SSS$ कसौटी से,हमारे पास है:
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$
इसलिए,$\angle 1 = \angle 2$ [$CPCT$]
अब,$\triangle ABO$ और $\triangle ACO$ में,हमारे पास है:
$AB = AC$ [दिया है]
$\angle 1 = \angle 2$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$AO = AO$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,सर्वांगसमता की $SAS$ कसौटी से,हमारे पास है:
$\triangle ABO \cong \triangle ACO$
इसलिए,$BO = CO$ [$CPCT$]
और,$\angle 3 = \angle 4$ [$CPCT$]
परंतु,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]
$\Rightarrow \angle 3 + \angle 3 = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 2\angle 3 = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle 3 = 90^{\circ}$
चूंकि $BO = CO$ और $\angle 3 = 90^{\circ}$ है,इसलिए $AD$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है। इति सिद्धम्।

(N/A) $\triangle ADC$ और $\triangle BEC$ में हमारे पास है:
$AC = BC$ [दिया है] ... $(1)$
$\angle ADC = \angle BEC = 90^{\circ}$ [शीर्षलंब होने के कारण]
$\angle ACD = \angle BCE$ [उभयनिष्ठ कोण]
अतः,$\triangle ADC \cong \triangle BEC$ [$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसलिए,$CD = CE$ ... $(2)$ [$CPCT$]
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC - CE = BC - CD$
$AE = BD$
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ में भुजा $BC$ पर माध्यिका $AD$ है।
सिद्ध करना है: $AB + AC > 2AD$.
रचना: $AD$ को $E$ तक इस प्रकार बढ़ाया कि $DE = AD$ और $EC$ को मिलाया।
उपपत्ति: $\triangle ADB$ और $\triangle EDC$ में:
$AD = ED$ (रचना से)
$\angle 1 = \angle 2$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$DB = DC$ ($AD$ माध्यिका है)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle ADB \cong \triangle EDC$.
अतः,$AB = EC$ ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग).
अब,$\triangle AEC$ में,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है:
$AC + CE > AE$
चूँकि $AE = AD + DE = AD + AD = 2AD$ और $CE = AB$ है,इसलिए:
$AC + AB > 2AD$.
अतः,यह सिद्ध होता है कि दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा पर माध्यिका के दोगुने से अधिक होता है।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: $AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)$।
उपपत्ति: $\triangle AOB$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार (त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है),हमारे पास है:
$OA + OB > AB$ ... $(1)$
$\triangle BOC$ में,हमारे पास है:
$OB + OC > BC$ ... $(2)$
$\triangle COD$ में,हमारे पास है:
$OC + OD > CD$ ... $(3)$
$\triangle DOA$ में,हमारे पास है:
$OD + OA > DA$ ... $(4)$
समीकरण $(1), (2), (3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OD + OA) > AB + BC + CD + DA$
$2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + DA$
चूंकि $OA + OC = AC$ और $OB + OD = BD$,हम इन मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(AC) + 2(BD) > AB + BC + CD + DA$
$2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA$
अतः,$AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ है।
सिद्ध करना है: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$ है।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,हमारे पास $AB + BC > AC$ है $\ldots(1)$ [क्योंकि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]।
$\triangle BCD$ में,हमारे पास $BC + CD > BD$ है $\ldots(2)$ [वही कारण]।
$\triangle CDA$ में,हमारे पास $CD + DA > AC$ है $\ldots(3)$ [वही कारण]।
$\triangle DAB$ में,हमारे पास $DA + AB > BD$ है $\ldots(4)$ [वही कारण]।
$(1), (2), (3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(AB + BC) + (BC + CD) + (CD + DA) + (DA + AB) > AC + BD + AC + BD$
$2AB + 2BC + 2CD + 2DA > 2AC + 2BD$
$2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$
$AB + BC + CD + DA > AC + BD$ है।
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) हमें सिद्ध करना है कि $\angle ABC = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AD = DC$ है।
साथ ही,यह दिया गया है कि $BD = \frac{1}{2} AC$ है।
चूंकि $AC = AD + DC = 2AD$,इसलिए $BD = AD$ है।
अतः,$BD = AD = DC$ है।
$\Delta ABD$ में,चूंकि $BD = AD$ है,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle 1 = \angle 2$ है। $(1)$
$\Delta BCD$ में,चूंकि $BD = DC$ है,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle 3 = \angle 4$ है। $(2)$
$\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle 1 + (\angle 2 + \angle 3) + \angle 4 = 180^{\circ}$
$(1)$ और $(2)$ से $\angle 1 = \angle 2$ और $\angle 4 = \angle 3$ रखने पर:
$\angle 2 + (\angle 2 + \angle 3) + \angle 3 = 180^{\circ}$
$2(\angle 2 + \angle 3) = 180^{\circ}$
$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$
चूंकि $\angle ABC = \angle 2 + \angle 3$ है,इसलिए $\angle ABC = 90^{\circ}$ है।
इति सिद्धम्।

(N/A) $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है और $D$ कर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु है। हमें सिद्ध करना है कि $BD = \frac{1}{2} AC$ है।
रचना: $BD$ को $E$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $BD = DE$ हो। $EC$ को मिलाइए।
$\Delta ADB$ और $\Delta CDE$ में:
$AD = CD$ ($D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle ADB = \angle CDE$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$BD = DE$ (रचना से)
अतः,$\Delta ADB \cong \Delta CDE$ ($SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से)।
इस प्रकार,$AB = EC$ $(CPCT)$ और $\angle 1 = \angle 2$ $(CPCT)$।
चूंकि $\angle 1$ और $\angle 2$ एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए $EC \parallel BA$ है।
अब,$EC \parallel BA$ और $BC$ तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle ABC + \angle BCE = 180^{\circ}$।
चूंकि $\angle ABC = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle BCE = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
$\Delta ABC$ और $\Delta ECB$ में:
$BC = CB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$AB = EC$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle ABC = \angle ECB = 90^{\circ}$
अतः,$\Delta ABC \cong \Delta ECB$ ($SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से)।
इस प्रकार,$AC = EB$ $(CPCT)$।
चूंकि $BD = DE$ है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BE$ होगा।
$BE = AC$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $BD = \frac{1}{2} AC$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया है: रेखाएँ $l$ और $m$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $P$,$O$ से गुजरने वाली रेखा $n$ पर स्थित एक बिंदु है,इस प्रकार कि $PQ \perp l$ और $PR \perp m$,जहाँ $PQ = PR$ है।
सिद्ध करना है: $n$,$\angle QOR$ का समद्विभाजक है।
उपपत्ति: $\triangle OQP$ और $\triangle ORP$ में,हमारे पास है:
$\angle OQP = \angle ORP = 90^{\circ}$ (दिया है कि $P$,$l$ और $m$ से समान दूरी पर है)
$OP = OP$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$PQ = PR$ (दिया है)
$RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार:
$\triangle OQP \cong \triangle ORP$
अतः,$\angle QOP = \angle ROP$ ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग द्वारा)।
इस प्रकार,$n$,$\angle QOR$ का समद्विभाजक है। इति सिद्धम्।

(N/A) $MD$ और $MC$ को मिलाइए।
$\Delta DMN$ और $\Delta CMN$ में:
$DN = CN$ [चूंकि $N$,$DC$ का मध्य-बिंदु है]
$\angle DNM = \angle CNM = 90^{\circ}$ [दिया है]
$MN = MN$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$\Delta DMN \cong \Delta CMN$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसका अर्थ है कि $DM = CM$ और $\angle NMD = \angle NMC$ ... $(1)$ [$CPCT$]
अब,$\Delta AMD$ और $\Delta BMC$ पर विचार कीजिए:
$AM = BM$ [चूंकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है]
$DM = CM$ [$(1)$ से]
$\angle AMD = \angle AMN - \angle NMD$
$\angle BMC = \angle BMN - \angle NMC$
चूंकि $\angle AMN = \angle BMN = 90^{\circ}$ और $\angle NMD = \angle NMC$,इसलिए $\angle AMD = \angle BMC$ ... $(2)$
अतः,$\Delta AMD \cong \Delta BMC$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इस प्रकार,$AD = BC$ [$CPCT$]।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $\angle 1 = \angle 2$ और $\angle 3 = \angle 4$ है।
सिद्ध करना है: $AB = AD$ और $CB = CD$ है।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 2$ [दिया है]
$AC = AC$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\angle 3 = \angle 4$ [दिया है]
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,हमारे पास है:
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$
इसलिए,$AB = AD$ [$CPCT$ द्वारा]
और $CB = CD$ [$CPCT$ द्वारा]
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक समकोण त्रिभुज $ABC$ जिसमें $AB = AC$ है और $CD$,$\angle C$ का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: $AC + AD = BC$.
रचना: $DE \perp BC$ खींचिए।
उपपत्ति: समकोण त्रिभुज $ABC$ में,$AB = AC$ (दिया है)।
चूंकि $BC$ कर्ण है,$\angle A = 90^{\circ}$ है।
$\triangle DAC$ और $\triangle DEC$ में:
$\angle DAC = \angle DEC = 90^{\circ}$ (दिया है और रचना से)।
$\angle ACD = \angle ECD$ (चूंकि $CD$,$\angle C$ का समद्विभाजक है)।
$CD = CD$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle DAC \cong \triangle DEC$ है।
अतः,$AD = DE$ और $AC = CE$ ($CPCT$ से)।
$\triangle ABC$ में,चूंकि $AB = AC$ है,इसलिए $\angle B = \angle ACB$ है। चूंकि $\angle A = 90^{\circ}$ है,$\angle B + \angle ACB = 90^{\circ}$,इसलिए $2\angle B = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\angle B = 45^{\circ}$।
$\triangle DEB$ में,$\angle DEB = 90^{\circ}$ और $\angle B = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\angle EDB = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 45^{\circ}) = 45^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle EDB = \angle B = 45^{\circ}$ है,इसलिए उनके सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी: $DE = BE$।
चूंकि $AD = DE$ और $DE = BE$ है,इसलिए $AD = BE$ है।
अब,$BC = CE + BE$ है।
$CE = AC$ और $BE = AD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $BC = AC + AD$ प्राप्त होता है।
अतः,$AC + AD = BC$ सिद्ध हुआ।

(A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB$ सबसे छोटी भुजा है और $CD$ सबसे बड़ी भुजा है।
सिद्ध करना है: $\angle B > \angle D$.
रचना: $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\triangle ABD$ में,चूँकि $AB$ चतुर्भुज की सबसे छोटी भुजा है,इसलिए $AD > AB$ होगा। बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए $\angle ABD > \angle ADB$ ... $(1)$.
$\triangle CBD$ में,चूँकि $CD$ चतुर्भुज की सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए $CD > BC$ होगा। बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है,इसलिए $\angle CBD > \angle BDC$ ... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$\angle ABD + \angle CBD > \angle ADB + \angle BDC$
$\Rightarrow \angle ABC > \angle ADC$
$\Rightarrow \angle B > \angle D$.
अतः,यह सिद्ध होता है कि $\angle B$,$\angle D$ से बड़ा है।

(N/A) दिया है: एक त्रिभुज $ABC$,जो समबाहु त्रिभुज नहीं है। मान लीजिए $BC$ सबसे लंबी भुजा है।
सिद्ध करना है: $\angle A > \frac{2}{3} \times 90^{\circ} = 60^{\circ}$.
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,चूंकि $BC$ सबसे लंबी भुजा है,इसलिए हमारे पास है:
$BC > AB \Rightarrow \angle A > \angle C$ ..... $(1)$ [क्योंकि त्रिभुज में बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है]
$BC > AC \Rightarrow \angle A > \angle B$ ..... $(2)$ [क्योंकि त्रिभुज में बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है]
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle A + \angle A > \angle B + \angle C$
$2\angle A > \angle B + \angle C$
दोनों पक्षों में $\angle A$ जोड़ने पर:
$2\angle A + \angle A > \angle A + \angle B + \angle C$
$3\angle A > 180^{\circ}$ [त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से]
$\angle A > \frac{180^{\circ}}{3}$
$\angle A > 60^{\circ}$
चूंकि $60^{\circ} = \frac{2}{3} \times 90^{\circ}$,अतः $\angle A > \frac{2}{3}$ समकोण।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB = AD$ और $CB = CD$ है।
सिद्ध करना है: $AC$,$BD$ का लंब समद्विभाजक है।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में,
$AB = AD$ (दिया है)
$BC = CD$ (दिया है)
$AC = AC$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से,
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$
इसलिए,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ द्वारा)
अब,$\triangle AOB$ और $\triangle AOD$ में,
$AB = AD$ (दिया है)
$\angle 1 = \angle 2$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,
$\triangle AOB \cong \triangle AOD$
इसलिए,$BO = DO$ ($CPCT$ द्वारा)
और $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ द्वारा)
परंतु,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
चूँकि $\angle 3 = \angle 4$,इसलिए:
$\angle 3 + \angle 3 = 180^{\circ}$
$2\angle 3 = 180^{\circ}$
$\angle 3 = 90^{\circ}$
चूँकि $BO = DO$ और $\angle 3 = 90^{\circ}$ है,अतः $AC$,$BD$ का लंब समद्विभाजक है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\angle PXR = \angle SXQ$
दोनों पक्षों से $\angle QXR$ घटाने पर:
$\angle PXR - \angle QXR = \angle SXQ - \angle QXR$
$\therefore \angle PXQ = \angle SXR \quad \dots(1)$
अब,$\Delta XPQ$ और $\Delta XSR$ में:
$XP = XS$ (दिया है)
$XQ = XR$ (दिया है)
$\angle PXQ = \angle SXR$ [$(1)$ से]
$\therefore \Delta XPQ \cong \Delta XSR$ ($SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा)
$\therefore PQ = SR$ ($CPCT$ द्वारा)

(N/A) आयत $ABCD$ में,
$AB = DC$ (आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
और $\angle B = \angle C = 90^{\circ}$ (आयत का प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ होता है)।
साथ ही,$E$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BE = CE$ है।
अब,$\Delta ABE$ और $\Delta DCE$ पर विचार करें:
$AB = DC$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$BE = CE$ (दिया गया है कि $E$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABE \cong \Delta DCE$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं।
अतः,$AE = DE$ ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग द्वारा)।

(N/A) दिया है:
$1$. $PN \perp PQ$ और $QM \perp PQ$.
$2$. $X$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PX = QX$.
$3$. $X$,$MN$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $NX = MX$.
सिद्ध करना है: $\triangle PNX \cong \triangle QMX$.
उपपत्ति:
$\triangle PNX$ और $\triangle QMX$ में:
$1$. $PX = QX$ (दिया है,$X$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है)।
$2$. $NX = MX$ (दिया है,$X$,$MN$ का मध्य-बिंदु है)।
$3$. $\angle PNX = \angle QMX$ (चूंकि $PN \parallel QM$ क्योंकि दोनों $PQ$ पर लंब हैं,और $MN$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए ये एकांतर अंतःकोण हैं)।
वैकल्पिक रूप से,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग करते हुए:
$1$. $PX = QX$ (दिया है)।
$2$. $\angle P = \angle Q = 90^\circ$ (दिया है)।
$3$. $NX = MX$ (दिया है)।
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी (या $SAS$) द्वारा,$\triangle PNX \cong \triangle QMX$।

(N/A) $\triangle APM$ और $\triangle BPN$ पर विचार करें।
$1$. $\angle MAP = \angle NBP = 90^{\circ}$ (दिया है कि $AM \perp AB$ और $BN \perp AB$ है)।
$2$. $AP = BP$ ($P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,दिया है)।
$3$. $\angle APM = \angle BPN$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle APM \cong \triangle BPN$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर हैं $(CPCT)$:
- $AM = BN$ (इति सिद्धम)।
- $PM = PN$ (चूंकि $PM$ और $PN$ संगत भुजाएं हैं)।
चूंकि $PM = PN$ है,इसलिए $P$,$MN$ का मध्य-बिंदु है (इति सिद्धम)।

(N/A) दिया है: $PQ = ST$,$QU = TR$,$\angle PQT = 90^\circ$ और $\angle STQ = 90^\circ$.
सिद्ध करना है: $PR = SU$.
उपपत्ति:
$\triangle PQR$ और $\triangle STU$ पर विचार करें।
$1$. $PQ = ST$ (दिया है)
$2$. $\angle PQR = \angle STU = 90^\circ$ (दिया है)
$3$. $QR = QU + UR$ और $TU = TR + UR$.
चूंकि $QU = TR$,इसलिए $QR = TR + UR = TU$.
अतः,$QR = TU$.
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle PQR \cong \triangle STU$.
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$PR = SU$.

(A) माना $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जहाँ $AB = BC = CA = a$ है।
माना $AD$,$BE$,और $CF$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$AC$,और $AB$ पर खींची गई माध्यिकाएँ हैं।
एक समबाहु त्रिभुज में,माध्यिका ही शीर्षलंब (altitude) भी होती है।
$\triangle ABD$ में,$\angle ADB = 90^\circ$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AD^2 = AB^2 - BD^2$।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = a/2$ होगा।
$AD^2 = a^2 - (a/2)^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4$।
अतः,$AD = (a\sqrt{3})/2$।
इसी प्रकार,माध्यिका $BE$ के लिए,$\triangle BCE$ में,$BE^2 = BC^2 - CE^2 = a^2 - (a/2)^2 = 3a^2/4$।
अतः,$BE = (a\sqrt{3})/2$।
इसी प्रकार,$CF = (a\sqrt{3})/2$।
चूँकि $AD = BE = CF = (a\sqrt{3})/2$ है,इसलिए समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ समान होती हैं।

(N/A) मान लीजिए $PQ$ एक रेखाखंड है और $L$ इसका लंब समद्विभाजक है। मान लीजिए $M$,$L$ पर एक बिंदु है जो $PQ$ पर स्थित नहीं है। मान लीजिए $L$,$PQ$ को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करता है। चूँकि $L$,$PQ$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $PO = OQ$ और $\angle MOP = \angle MOQ = 90^{\circ}$ है। $\triangle MOP$ और $\triangle MOQ$ पर विचार करें। इन त्रिभुजों में: $1$. $PO = OQ$ (दिया है)। $2$. $\angle MOP = \angle MOQ = 90^{\circ}$ (दिया है)। $3$. $MO = MO$ (उभयनिष्ठ भुजा)। $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle MOP \cong \triangle MOQ$ है। चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$। इसलिए,$MP = MQ$ है। अतः,बिंदु $M$,$P$ और $Q$ से समान दूरी पर है।

(N/A) $\angle P$ का समद्विभाजक $PM$ खींचिए जो $QR$ को $M$ पर मिलता है।
अतः,$\angle QPM = \angle RPM$ $(1)$.
अब,$\Delta PMQ$ और $\Delta PMR$ में:
$PQ = PR$ (दिया है)
$PM = PM$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle QPM = \angle RPM$ [$(1)$ से]
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta PMQ \cong \Delta PMR$ है।
इसलिए,$\angle R = \angle Q$ ($CPCT$ द्वारा - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।

(N/A) $\triangle ABC$ में,$AB = AC$ (दिया है)।
$\therefore \angle ABC = \angle ACB$ ($\because$ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
चूंकि $P$,$BC$ पर स्थित है और $Q$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $\angle ABP = \angle ACQ$ है।
अब,$\triangle ABP$ और $\triangle ACQ$ में:
$AB = AC$ (दिया है)
$BP = CQ$ (दिया है)
$\angle ABP = \angle ACQ$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ABP \cong \triangle ACQ$ है।
$\therefore AP = AQ$ ($CPCT$ द्वारा)।
अब,$\triangle APQ$ में,चूंकि $AP = AQ$ है,इसलिए $\Delta APQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(A) $\Delta ABC$ में,हमें दिया गया है कि $AB = AC$ है।
समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle B = \angle C$ होगा।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
$\angle A = 50^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $50^{\circ} + \angle B + \angle B = 180^{\circ}$।
$2 \angle B = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$।
$\angle B = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ}$।
चूंकि $\angle B = \angle C$ है,इसलिए $\angle C = 65^{\circ}$ होगा।

(A) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$PQ = PR$ है।
समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,और चूंकि भुजाएँ $PQ$ और $PR$ बराबर हैं,इसलिए उनके सम्मुख कोण भी बराबर होंगे।
अतः,$\angle R = \angle Q$।
दिया गया है $\angle Q = 48^{\circ}$,इसलिए $\angle R = 48^{\circ}$।
किसी भी त्रिभुज में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
मान रखने पर: $\angle P + 48^{\circ} + 48^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P + 96^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$।
अतः,$\angle P = 84^{\circ}$ और $\angle R = 48^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$AB = AC$ है। इसलिए,इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle B = \angle C$।
चूंकि $\angle B = x + 10^{\circ}$ है,इसलिए $\angle C = x + 10^{\circ}$ होगा।
त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2x + (x + 10) + (x + 10) = 180$।
$4x + 20 = 180$।
$4x = 160$।
$x = 40$।
अब,कोणों की गणना करने पर:
$\angle A = 2x = 2(40) = 80^{\circ}$।
$\angle B = x + 10 = 40 + 10 = 50^{\circ}$।
$\angle C = x + 10 = 40 + 10 = 50^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$PQ = PR$ है। इसलिए,इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे,अतः $\angle Q = \angle R = 4x - 5^{\circ}$।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(x + 10^{\circ}) + (4x - 5^{\circ}) + (4x - 5^{\circ}) = 180^{\circ}$।
समान पदों को जोड़ने पर: $9x = 180^{\circ}$,जिससे $x = 20^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,कोणों की गणना करने पर:
$\angle P = x + 10^{\circ} = 20^{\circ} + 10^{\circ} = 30^{\circ}$।
$\angle Q = 4x - 5^{\circ} = 4(20^{\circ}) - 5^{\circ} = 80^{\circ} - 5^{\circ} = 75^{\circ}$।
चूँकि $\angle Q = \angle R$,इसलिए $\angle R = 75^{\circ}$।
अतः,कोण $30^{\circ}, 75^{\circ}, 75^{\circ}$ हैं।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$AB = AC$ और $AD \perp BC$ है।
सिद्ध करना है: $BD = DC$ है।
उपपत्ति: $\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ पर विचार कीजिए।
$1$. $AB = AC$ (दिया है)।
$2$. $\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$ (क्योंकि $AD$ एक शीर्षलंब है)।
$3$. $AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$RHS$ (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$BD = DC$ है।
यह सिद्ध करता है कि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$AB = AC$ है। $\angle CAD$ शीर्ष $A$ पर एक बहिष्कोण है। $AP$,$\angle CAD$ का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: $AP \parallel BC$।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $AB = AC$ है,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए,$\angle ABC = \angle ACB$।
$2$. त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है। अतः,$\angle CAD = \angle ABC + \angle ACB$।
$3$. चूँकि $\angle ABC = \angle ACB$ है,हम लिख सकते हैं कि $\angle CAD = 2 \angle ACB$।
$4$. $AP$,$\angle CAD$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle CAP = \frac{1}{2} \angle CAD$।
$5$. चरण $3$ से मान रखने पर,$\angle CAP = \frac{1}{2} (2 \angle ACB) = \angle ACB$।
$6$. $\angle CAP$ और $\angle ACB$ एकांतर अंतःकोण हैं। चूँकि ये बराबर हैं,इसलिए रेखाएँ $AP$ और $BC$ समांतर होंगी $(AP \parallel BC)$।

(N/A) दिया गया है कि $BP$,$\angle B$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle XBP = \angle PBC$।
चूंकि $XY \parallel BC$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle PBC = \angle BXP$।
अतः,$\angle XBP = \angle BXP$।
$\Delta XBP$ में,आधार के कोण बराबर होने के कारण,उनकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $XB = XP$।
इसी प्रकार,$CP$,$\angle C$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle YCP = \angle PCB$।
चूंकि $XY \parallel BC$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle PCB = \angle CYP$।
अतः,$\angle YCP = \angle CYP$।
$\Delta YCP$ में,आधार के कोण बराबर होने के कारण,उनकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $YC = YP$।
अब,$XY = XP + YP$।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $XY = XB + YC$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ एक-दूसरे को $P$ पर समद्विभाजित करते हैं। इसका अर्थ है $PA = PB$ और $PC = PD$ है।
हालाँकि,प्रश्न में $PA = PD$ और $PB = PC$ दिया गया है।
$\triangle APC$ और $\triangle BPD$ पर विचार करें:
$1$. $PA = PD$ (दिया है)
$2$. $\angle APC = \angle BPD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$3$. $PC = PB$ (दिया है)
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle APC \cong \triangle BPD$ है।
चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$,
अतः,$AC = BD$ सिद्ध हुआ।

(N/A) $\Delta SPQ$ और $\Delta RQP$ में:
$PS = QR$ (दिया है)
$QS = PR$ (दिया है)
$PQ = QP$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta SPQ \cong \Delta RQP$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$(1) \angle PSQ = \angle QRP$ और $(2) \angle SPQ = \angle RQP$ है।

(N/A) दिया है: $AB \perp BQ$,$PQ \perp QB$,$AC = PR$ और $BR = QC$ है।
चूंकि $AB \perp BQ$,इसलिए $\angle ABQ = 90^{\circ}$। अतः,$\angle ABC = 90^{\circ}$।
चूंकि $PQ \perp QB$,इसलिए $\angle PQB = 90^{\circ}$। अतः,$\angle PQR = 90^{\circ}$।
दिया है $BR = QC$ है।
दोनों पक्षों में $RC$ जोड़ने पर,हमें $BR + RC = QC + RC$ प्राप्त होता है।
अतः,$BC = QR$......$(1)$
$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$AC = PR$ (दिया है)
$\angle ABC = \angle PQR = 90^{\circ}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$BC = QR$ [$(1)$ से]
$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta PQR$ है।
अतः,$\angle BAC = \angle QPR$ ($CPCT$ द्वारा)।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$X$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QX = XR$ है। $XY \perp PQ$ और $XZ \perp PR$ है। साथ ही,$XY = XZ$ है।
चरण $1$: $\Delta QXY$ और $\Delta RXZ$ पर विचार करें।
चरण $2$: इन दो त्रिभुजों में:
$1$. $\angle XYQ = \angle XZR = 90^{\circ}$ (शीर्षलंब दिए गए हैं)।
$2$. $XY = XZ$ (दिया है)।
$3$. $QX = XR$ ($X$,$QR$ का मध्य-बिंदु है)।
चरण $3$: $RHS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta QXY \cong \Delta RXZ$ है।
चरण $4$: $CPCT$ द्वारा,$\angle Q = \angle R$ है।
चरण $5$: $\Delta PQR$ में,चूँकि $\angle Q = \angle R$ है,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए,अर्थात $PR = PQ$ है।
निष्कर्ष: चूँकि $\Delta PQR$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,अतः $\Delta PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(C) एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण बराबर होते हैं,वह एक आयत होता है।
आयत के प्रत्येक कोण का माप $90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle PQR = 90^{\circ}$।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि विकर्ण $PR$,$\angle QPS$ और $\angle QRS$ को समद्विभाजित करता है,हम दो त्रिभुजों $\triangle PQR$ और $\triangle PSR$ पर विचार करते हैं।
$1$. $\triangle PQR$ और $\triangle PSR$ में:
- $PQ = PS$ (दिया है)
- $QR = RS$ (दिया है)
- $PR = PR$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$2$. $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle PQR \cong \triangle PSR$ है।
$3$. चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$:
- $\angle QPR = \angle SPR$। इसका अर्थ है कि $PR$,$\angle QPS$ को समद्विभाजित करता है।
- $\angle QRP = \angle SRP$। इसका अर्थ है कि $PR$,$\angle QRS$ को समद्विभाजित करता है।
अतः,यह सिद्ध होता है कि विकर्ण $PR$,$\angle QPS$ और $\angle QRS$ दोनों को समद्विभाजित करता है।

(N/A) $1$. दो त्रिभुजों $\triangle PQR$ और $\triangle PSR$ पर विचार करें।
$2$. इन त्रिभुजों में,हमें दिया गया है कि $PQ = PS$ (भुजा)।
$3$. हमें यह भी दिया गया है कि $RQ = RS$ (भुजा)।
$4$. भुजा $PR$ दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है,इसलिए $PR = PR$ (भुजा)।
$5$. $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle PQR \cong \triangle PSR$ है।
$6$. चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं ($CPCT$ - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
$7$. अतः,$\angle PQR = \angle PSR$ है।

(N/A) $1$. समकोण त्रिभुज $\Delta PLQ$ और $\Delta QMP$ पर विचार करें।
$2$. इन त्रिभुजों में,$PL = QM$ (दिया गया है),$PQ = QP$ (उभयनिष्ठ भुजा),और $\angle PLQ = \angle QMP = 90^{\circ}$ (शीर्षलंब)।
$3$. $RHS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta PLQ \cong \Delta QMP$।
$4$. $CPCT$ द्वारा,$\angle PQL = \angle QPM$,जिसका अर्थ है कि $\angle PQR = \angle QPR$।
$5$. चूंकि आधार के कोण बराबर हैं,इसलिए उनके सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी,अतः $PR = QR$।
$6$. इसी प्रकार,$\Delta QMR$ और $\Delta RNP$ पर विचार करके,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\Delta QMR \cong \Delta RNP$,जिसका अर्थ है कि $\angle QRM = \angle RPN$,जिससे $PQ = QR$ प्राप्त होता है।
$7$. चूंकि $PR = QR$ और $PQ = QR$ है,इसलिए $PQ = QR = PR$ है।
$8$. अतः,$\Delta PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ में,मान लीजिए $PL \perp QR$,$QM \perp PR$,और $RN \perp PQ$ है। दिया गया है कि $PL = QM = RN$ है।
$2$. $\Delta QRN$ और $\Delta RQM$ पर विचार करें। यहाँ $\angle QNR = \angle RMQ = 90^{\circ}$,$QR = RQ$ (उभयनिष्ठ भुजा),और $RN = QM$ (दिया है)।
$3$. $RHS$ सर्वांगसमता नियम से,$\Delta QRN \cong \Delta RQM$ है। अतः,$\angle RQN = \angle QRM$,जिसका अर्थ है कि $\angle RQP = \angle QRP$ है।
$4$. इसी प्रकार,$\Delta PQL$ और $\Delta QPM$ पर विचार करके,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle QPR = \angle PQR$ है।
$5$. चूँकि $\angle PQR = \angle QRP$ और $\angle QPR = \angle PQR$ है,इसलिए $\angle PQR = \angle QRP = \angle QPR$ होगा।
$6$. चूँकि सभी कोण बराबर हैं,अतः $\Delta PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $\Delta XYZ$ में,$XY > XZ$ (दिया है)।
$\therefore \angle XZY > \angle XYZ$ (क्योंकि त्रिभुज की बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है)।
$\Delta XPZ$ में,$\angle XPY$ एक बहिष्कोण है और $\angle XZP$ इसका अंतः अभिमुख कोण है।
अतः,$\angle XPY > \angle XZP$ (बहिष्कोण गुणधर्म)।
चूंकि $\angle XZY$ ही $\angle XZP$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\angle XPY > \angle XZP > \angle XYZ$।
इस प्रकार,$\angle XPY > \angle XYZ$ (या $\angle XPY > \angle XYP$)।
$\Delta XYP$ में,चूंकि $XY$ के सम्मुख कोण (जो $\angle XPY$ है) का मान $XP$ के सम्मुख कोण (जो $\angle XYP$ है) से बड़ा है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $XY > XP$।

(A) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle C = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
हम जानते हैं कि छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होती है और बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है।
कोणों का आरोही क्रम $\angle A < \angle B < \angle C$ $(50^{\circ} < 60^{\circ} < 70^{\circ})$ है।
अतः,भुजाओं का आरोही क्रम $BC < AC < AB$ है।

(QR, PR, PQ) $\Delta PQR$ में,त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $40^{\circ} + \angle Q + 80^{\circ} = 180^{\circ}$.
$120^{\circ} + \angle Q = 180^{\circ}$,जिससे $\angle Q = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि सबसे छोटे कोण के सामने की भुजा सबसे छोटी होती है और सबसे बड़े कोण के सामने की भुजा सबसे बड़ी होती है।
कोणों का आरोही क्रम: $\angle P (40^{\circ}) < \angle Q (60^{\circ}) < \angle R (80^{\circ})$.
अतः,इन कोणों के सामने की भुजाओं का आरोही क्रम $QR < PR < PQ$ है।

(A) $\Delta XYZ$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle Z = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
कोणों को आरोही क्रम में रखने पर: $\angle Y (30^{\circ}) < \angle Z (70^{\circ}) < \angle X (80^{\circ})$।
चूंकि छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होती है,इसलिए भुजाओं का आरोही क्रम $XZ < XY < YZ$ होगा।

(N/A) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle A + 70^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A + 90^{\circ} = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle A = 90^{\circ}$.
कोणों का माप $\angle C = 20^{\circ}$,$\angle B = 70^{\circ}$,और $\angle A = 90^{\circ}$ है।
चूँकि छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होती है,इसलिए भुजाओं का आरोही क्रम $AB < AC < BC$ है।

(A) $\Delta PQR$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$
$93^{\circ} + \angle Q + 55^{\circ} = 180^{\circ}$
$148^{\circ} + \angle Q = 180^{\circ}$
$\angle Q = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ}$.
चूँकि सबसे छोटे कोण के सामने की भुजा सबसे छोटी और सबसे बड़े कोण के सामने की भुजा सबसे बड़ी होती है,इसलिए कोणों की तुलना करने पर: $\angle Q (32^{\circ}) < \angle R (55^{\circ}) < \angle P (93^{\circ})$.
अतः,भुजाओं का आरोही क्रम है: $PR < PQ < QR$।

(A) एक त्रिभुज में,बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है।
दिया गया है कि भुजाओं की लंबाई का क्रम $AB > BC > CA$ है।
भुजा $AB$ के सम्मुख कोण $\angle C$ है।
भुजा $BC$ के सम्मुख कोण $\angle A$ है।
भुजा $CA$ के सम्मुख कोण $\angle B$ है।
चूंकि $AB > BC > CA$,इसलिए $\angle C > \angle A > \angle B$ होगा।
अतः,कोणों का आरोही क्रम $\angle B < \angle A < \angle C$ है।

(N/A) माना $\angle ABC = \beta$ और $\angle ACB = \gamma$ है।
चूंकि $\angle ABD$ शीर्ष $B$ पर एक बहिष्कोण है,अतः $\angle ABD = 180^\circ - \beta$।
चूंकि $\angle ACE$ शीर्ष $C$ पर एक बहिष्कोण है,अतः $\angle ACE = 180^\circ - \gamma$।
दिया गया है कि $\angle ABD > \angle ACE$,अतः:
$180^\circ - \beta > 180^\circ - \gamma$।
दोनों पक्षों से $180^\circ$ घटाने पर,$-\beta > -\gamma$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है: $\beta < \gamma$।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है।
यहाँ $\angle ACB (\gamma) > \angle ABC (\beta)$ है,इसलिए $\angle ACB$ के सामने की भुजा $AB$ है और $\angle ABC$ के सामने की भुजा $AC$ है।
अतः,यदि $\angle ACB > \angle ABC$ है,तो $AB > AC$ होगा। यदि प्रश्न में $\angle ABD > \angle ACE$ दिया है,तो $AC > AB$ सिद्ध होता है।

(N/A) माना कि विषमबाहु त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$,और $c$ हैं,जहाँ $a > b > c$ है।
माना कि इन भुजाओं के सम्मुख कोण क्रमशः $A$,$B$,और $C$ हैं।
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण सबसे बड़ा होता है। अतः,$A > B > C$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $A + B + C = 180^{\circ}$ है।
चूँकि $A > B$ और $A > C$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $A + A + A > A + B + C$।
अतः,$3A > 180^{\circ}$।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $A > 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,विषमबाहु त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण हमेशा $60^{\circ}$ से बड़ा होता है।

(N/A) $\Delta ABD$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है: $AB + BD > AD$ (समीकरण $1$)।
$\Delta ACD$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार: $AC + CD > AD$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $(AB + BD) + (AC + CD) > AD + AD$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $AB + AC + (BD + CD) > 2 AD$।
चूंकि $D$,$BC$ पर स्थित एक बिंदु है,इसलिए $BD + CD = BC$।
अतः,$AB + AC + BC > 2 AD$।
यह दर्शाता है कि $\Delta ABC$ का परिमाप $2 AD$ से अधिक है।