$ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $AB = AD$ और $CB = CD$ है। सिद्ध कीजिए कि $AC$,$BD$ का लंब समद्विभाजक है।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB = AD$ और $CB = CD$ है।
सिद्ध करना है: $AC$,$BD$ का लंब समद्विभाजक है।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में,
$AB = AD$ (दिया है)
$BC = CD$ (दिया है)
$AC = AC$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से,
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$
इसलिए,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ द्वारा)
अब,$\triangle AOB$ और $\triangle AOD$ में,
$AB = AD$ (दिया है)
$\angle 1 = \angle 2$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,
$\triangle AOB \cong \triangle AOD$
इसलिए,$BO = DO$ ($CPCT$ द्वारा)
और $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ द्वारा)
परंतु,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
चूँकि $\angle 3 = \angle 4$,इसलिए:
$\angle 3 + \angle 3 = 180^{\circ}$
$2\angle 3 = 180^{\circ}$
$\angle 3 = 90^{\circ}$
चूँकि $BO = DO$ और $\angle 3 = 90^{\circ}$ है,अतः $AC$,$BD$ का लंब समद्विभाजक है।
इति सिद्धम्।