Mix Examples - Probability Questions in Hindi

(A) कुल परीक्षणों की संख्या $1000$ है।
परिणाम $5$ की बारंबारता $150$ है।
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$।
अतः,$5$ आने की प्रायिकता $P(5) = \frac{150}{1000}$ होगी।
भिन्न को सरल करने पर: $P(5) = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) किसी घटना $E$ की आनुभविक प्रायिकता $P(E)$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$P(E) = \frac{\text{उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटी}}{\text{परीक्षणों की कुल संख्या}}$
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया व्यक्ति हाई स्कूल प्रमाण पत्र रखता है।
दिया गया है:
हाई स्कूल प्रमाण पत्र वाले लोगों की संख्या = $514$
नमूना अध्ययन में लोगों की कुल संख्या = $642$
अतः,प्रायिकता $P(E)$ है:
$P(E) = \frac{514}{642}$
मान की गणना करने पर:
$P(E) \approx 0.8006$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.8$ प्राप्त होता है।

(C) सर्वेक्षण में बच्चों की कुल संख्या $= 364$ है।
आलू के चिप्स खाना पसंद करने वाले बच्चों की संख्या $= 91$ है।
आलू के चिप्स खाना पसंद नहीं करने वाले बच्चों की संख्या $= 364 - 91 = 273$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया बच्चा आलू के चिप्स खाना पसंद नहीं करता है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
$P(E) = \frac{273}{364}$ है।
अंश और हर को $91$ से विभाजित करने पर,हमें $P(E) = \frac{3}{4} = 0.75$ प्राप्त होता है।

(D) छात्रों की कुल संख्या $= 10 + 13 + 12 + 5 = 40$ है।
मान लीजिए कि $E$ वह घटना है कि चुने गए छात्र का रक्त समूह $B$ है।
रक्त समूह $B$ वाले छात्रों की संख्या $12$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P(E) = \frac{\text{रक्त समूह } B \text{वाले छात्रों की संख्या}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}} = \frac{12}{40}$।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $P(E) = \frac{3}{10}$ प्राप्त होता है।

(A) दो सिक्कों को कुल $1000$ बार उछाला गया है।
माना $E$ अधिक से अधिक एक चित प्राप्त करने की घटना है,जिसका अर्थ है $0$ चित या $1$ चित प्राप्त करना।
घटना $E$ के घटित होने की संख्या $0$ चित और $1$ चित प्राप्त करने की बारंबारताओं का योग है।
घटना $E$ के घटित होने की संख्या $= 250 + 550 = 800$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परीक्षणों की संख्या का अनुपात है।
$P(E) = \frac{800}{1000} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$।

(B) बल्बों की कुल संख्या $= 80$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए बल्ब का जीवनकाल $1150 \text{ घंटे}$ है।
दी गई आवृत्ति तालिका से हम देख सकते हैं कि दर्ज किए गए जीवनकाल $300, 500, 700, 900$ और $1100 \text{ घंटे}$ हैं।
चूंकि $1150 \text{ घंटे}$ का कोई बल्ब नहीं है,इसलिए घटना $E$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $0$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{0}{80} = 0$.

(C) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि लॉट से यादृच्छिक रूप से चुने गए बल्ब का जीवनकाल $900$ घंटे से कम है।
तालिका से,$900$ घंटे से कम जीवनकाल वाले बल्बों की संख्या $300, 500$ और $700$ घंटे के जीवनकाल वाले बल्बों की आवृत्तियों का योग है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 10 + 12 + 23 = 45$.
बल्बों की कुल संख्या $= 80$.
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
$P(E) = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$.

(B) नहीं,किसी घटना की प्रायोगिक प्रायिकता एक ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती है।
प्रायिकता को उन परीक्षणों की संख्या,जिनमें घटना घटी है,और कुल परीक्षणों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि घटना के घटने वाले परीक्षणों की संख्या और कुल परीक्षणों की संख्या दोनों ही ऋणेतर पूर्णांक होते हैं (और कुल परीक्षणों की संख्या हमेशा $0$ से अधिक होती है),इसलिए प्राप्त अनुपात हमेशा $0$ या उससे अधिक ही होता है।

(B) किसी घटना की प्रायोगिक प्रायिकता को उन परीक्षणों की संख्या,जिनमें घटना घटी है,और कुल परीक्षणों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$P(E) = \frac{\text{उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटी}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$.
चूंकि उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटी है,कभी भी कुल परीक्षणों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती,इसलिए अंश हमेशा हर से छोटा या उसके बराबर होता है।
अतः,किसी घटना की प्रायोगिक प्रायिकता कभी भी $1$ से अधिक नहीं हो सकती है।

(B) नहीं,यह सही नहीं है। जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या बढ़ती है,प्रायोगिक प्रायिकता (चित की संख्या और कुल उछाल की संख्या का अनुपात) $\frac{1}{2}$ के बहुत करीब पहुंच जाती है,लेकिन यह हर मामले में सटीक रूप से $\frac{1}{2}$ नहीं होती है।

(C) हम देखते हैं कि $60$ वर्ष की आयु के $16090$ व्यक्तियों में से,जो व्यक्ति अपने $61$वें जन्मदिन से पहले मर गए,उनकी संख्या $(16090 - 11490) = 4600$ है।
अतः,$60$ वर्ष की आयु वाले व्यक्ति के एक वर्ष के भीतर मरने की प्रायिकता,मरने वाले व्यक्तियों की संख्या और उस आयु के कुल व्यक्तियों की संख्या का अनुपात है।
$P(60$ वर्ष की आयु वाले व्यक्ति के एक वर्ष के भीतर मरने की प्रायिकता$) = \frac{4600}{16090}$
$= \frac{460}{1609}$

(D) $61$ वर्ष की आयु वाले व्यक्तियों की संख्या $11490$ है।
$61$ वर्ष की आयु के व्यक्ति के $4$ वर्ष और जीवित रहने का अर्थ है कि वह $61 + 4 = 65$ वर्ष की आयु तक पहुँचेगा।
$65$ वर्ष की आयु पर जीवित बचे व्यक्तियों की संख्या $2320$ है।
$61$ वर्ष की आयु के व्यक्ति के $4$ वर्ष और जीवित रहने की प्रायिकता,$65$ वर्ष की आयु पर जीवित व्यक्तियों की संख्या और $61$ वर्ष की आयु वाले व्यक्तियों की संख्या का अनुपात है।
$P = \frac{2320}{11490} = \frac{232}{1149}$.

(A) यादृच्छिक रूप से चुने गए घरों की कुल संख्या $= 4000$ है।
प्रति माह $Rs. 10000 - 14999$ कमाने वाले और ठीक एक टेलीविजन वाले घरों की संख्या $= 240$ है।
किसी घटना की प्रायिकता $P$ ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{240}{4000} = \frac{24}{400} = \frac{6}{100} = 0.06$।

(B) सर्वेक्षण किए गए घरों की कुल संख्या $= 4000$ है।
$Rs. 25000$ और उससे अधिक मासिक आय वाले और $2$ टेलीविजन रखने वाले घरों की संख्या $= 760$ है।
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है:
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{760}{4000} = \frac{76}{400} = \frac{19}{100} = 0.19$।

(C) सर्वेक्षण किए गए घरों की कुल संख्या $= 4000$.
$0$ टेलीविजन वाले घरों की संख्या तालिका के पहले कॉलम में दी गई घरों की संख्या का योग है:
$20 + 10 + 0 + 0 + 0 = 30$.
किसी घर में टेलीविजन न होने की प्रायिकता $= \frac{0 \text{ टेलीविजन वाले घरों की संख्या}}{\text{घरों की कुल संख्या}}$.
प्रायिकता $= \frac{30}{4000} = \frac{3}{400}$.

(D) कुल परीक्षणों की संख्या $500$ है।
मान लीजिए $E$ दो पासों की ऊपरी सतहों पर $3$ का योग प्राप्त करने की घटना है।
दी गई तालिका से,योग $3$ की बारंबारता $30$ है।
घटना की प्रायिकता का सूत्र है:
$P(E) = \frac{\text{उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटी}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$
मान रखने पर:
$P(E) = \frac{30}{500} = \frac{3}{50} = 0.06$
अतः,योग $3$ प्राप्त करने की प्रायिकता $0.06$ है।

(A) कुल परीक्षणों की संख्या $500$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दो पासों के सबसे ऊपरी फलक पर आने वाली दो संख्याओं का योग $10$ से अधिक है। इसका अर्थ है कि योग $11$ या $12$ होना चाहिए।
तालिका से,$11$ का योग प्राप्त करने की बारंबारता $28$ है और $12$ का योग प्राप्त करने की बारंबारता $15$ है।
जिन परीक्षणों में घटना $E$ घटित हुई,उनकी संख्या $= 28 + 15 = 43$ है।
प्रायिकता $P(E)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{\text{उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटित हुई}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$
$P(E) = \frac{43}{500} = 0.086$.

(B) कुल परीक्षणों की संख्या $500$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दो पासों की ऊपरी सतहों पर आने वाली दो संख्याओं का योग $5$ या उससे कम है।
इसमें $2, 3, 4$ और $5$ का योग शामिल है।
घटना $E$ जितनी बार घटित हुई,वह इन परिणामों की आवृत्तियों का योग है:
$E$ के लिए परीक्षणों की संख्या $= 14 + 30 + 42 + 55 = 141$।
प्रायिकता $P(E)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{\text{उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटी}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$
$P(E) = \frac{141}{500} = 0.282$।

(C) कुल परीक्षणों की संख्या $500$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें योग $8$ और $12$ के बीच प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि योग $9, 10$ या $11$ हो सकता है।
तालिका से,इन योगों के लिए बारंबारताएँ इस प्रकार हैं:
योग $9$ की बारंबारता $= 53$
योग $10$ की बारंबारता $= 46$
योग $11$ की बारंबारता $= 28$
उन परीक्षणों की कुल संख्या जिनमें घटना $E$ घटित हुई $= 53 + 46 + 28 = 127$।
प्रायिकता $P(E)$ इस प्रकार दी जाती है:
$P(E) = \frac{\text{घटना के घटित होने वाले परीक्षणों की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$
$P(E) = \frac{127}{500} = 0.254$.

(D) जांच किए गए कुल कार्टन की संख्या $= 700$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चुने गए कार्टन में कोई दोषपूर्ण बल्ब नहीं है।
तालिका से,$0$ दोषपूर्ण बल्ब वाले कार्टन की संख्या $400$ है।
घटना की प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार है:
$P(E) = \frac{\text{उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटी}}{\text{परीक्षणों की कुल संख्या}}$
मान रखने पर:
$P(E) = \frac{400}{700} = \frac{4}{7}$।
अतः,चुने गए कार्टन में कोई दोषपूर्ण बल्ब न होने की प्रायिकता $\frac{4}{7}$ है।

(A) जांच किए गए कार्टन की कुल संख्या $= 700$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चुने गए कार्टन में $2$ से $6$ खराब बल्ब हैं।
दी गई तालिका से,$2, 3, 4, 5,$ या $6$ खराब बल्ब वाले कार्टन की संख्या उनकी बारंबारताओं का योग है:
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 48 + 41 + 18 + 8 + 3 = 118$ है।
प्रायिकता $P(E)$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$
$P(E) = \frac{118}{700} = \frac{59}{350}$।

(B) जाँच किए गए कुल कार्टन की संख्या $= 700$ है।
माना $E$ वह घटना है कि चुने गए कार्टन में $4$ से कम दोषपूर्ण बल्ब हैं।
इसका अर्थ है कि कार्टन में $0, 1, 2,$ या $3$ दोषपूर्ण बल्ब हैं।
तालिका से,$0, 1, 2,$ या $3$ दोषपूर्ण बल्ब वाले कार्टन की संख्या है:
$400 + 180 + 48 + 41 = 669$।
अतः,प्रायिकता $P(E)$ इस प्रकार है:
$P(E) = \frac{4 \text{ से कम दोषपूर्ण बल्ब वाले कार्टन की संख्या}}{\text{कुल कार्टन की संख्या}}$
$P(E) = \frac{669}{700}$।

(C) कुल कार्य दिवसों की संख्या $= 200$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कल के उत्पादन में कोई दोषपूर्ण भाग नहीं होगा।
तालिका से,$0$ दोषपूर्ण भागों वाले दिनों की संख्या $50$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:
$P(E) = \frac{\text{उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटी}}{\text{परीक्षणों की कुल संख्या}}$
$P(E) = \frac{50}{200} = \frac{1}{4} = 0.25$.
अतः,इस बात की प्रायिकता कि कल के उत्पादन में कोई दोषपूर्ण भाग नहीं होगा,$0.25$ है।

(D) कुल कार्य दिवसों की संख्या $200$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कल के उत्पादन में कम से कम एक दोषपूर्ण भाग होगा।
तालिका से,$0$ दोषपूर्ण भागों वाले दिनों की संख्या $50$ है।
कम से कम एक दोषपूर्ण भाग वाले दिनों की संख्या कुल दिनों में से $0$ दोषपूर्ण भागों वाले दिनों की संख्या को घटाकर प्राप्त की जाती है।
कम से कम एक दोषपूर्ण भाग वाले दिनों की संख्या $= 200 - 50 = 150$।
प्रायिकता $P(E)$ कम से कम एक दोषपूर्ण भाग वाले दिनों की संख्या और कुल दिनों की संख्या का अनुपात है।
$P(E) = \frac{\text{कम से कम एक दोषपूर्ण भाग वाले दिनों की संख्या}}{\text{कुल दिनों की संख्या}}$
$P(E) = \frac{150}{200} = \frac{3}{4} = 0.75$।

(A) कुल कार्य दिवसों की संख्या $200$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कल के उत्पादन में $5$ से अधिक दोषपूर्ण भाग नहीं होंगे।
'$5$ से अधिक नहीं' का अर्थ है कि दोषपूर्ण भागों की संख्या $0, 1, 2, 3, 4,$ या $5$ हो सकती है।
दी गई तालिका से,इन मानों के अनुरूप दिनों की संख्या इस प्रकार है:
$0$ भागों वाले दिन: $50$
$1$ भाग वाले दिन: $32$
$2$ भागों वाले दिन: $22$
$3$ भागों वाले दिन: $18$
$4$ भागों वाले दिन: $12$
$5$ भागों वाले दिन: $12$
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 50 + 32 + 22 + 18 + 12 + 12 = 146$ है।
प्रायिकता $P(E)$ इस प्रकार दी जाती है:
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$
$P(E) = \frac{146}{200} = 0.73$.

(B) कुल कार्य दिवसों की संख्या $200$ है।
माना $E$ वह घटना है कि कल के उत्पादन में $13$ से अधिक दोषपूर्ण भाग होंगे।
दी गई तालिका से,हम देखते हैं कि दर्ज किए गए दोषपूर्ण भागों की अधिकतम संख्या $13$ है।
इसलिए,उन दिनों की संख्या जिनमें $13$ से अधिक दोषपूर्ण भाग उत्पादित हुए,$0$ है।
प्रायिकता $P(E)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$P(E) = \frac{\text{उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटी}}{\text{परीक्षणों की कुल संख्या}}$
$P(E) = \frac{0}{200} = 0$.

(C) कारखाने में श्रमिकों की कुल संख्या $= 38 + 27 + 86 + 46 + 3 = 200$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया व्यक्ति $40$ वर्ष या उससे अधिक आयु का है।
$40$ वर्ष या उससे अधिक आयु वाले श्रमिकों की संख्या $40-49$,$50-59$ और $60$ से अधिक आयु वर्ग के श्रमिकों का योग है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 86 + 46 + 3 = 135$ है।
प्रायिकता $P(E)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$
$P(E) = \frac{135}{200} = 0.675$।

(D) कारखाने में श्रमिकों की कुल संख्या $= 38 + 27 + 86 + 46 + 3 = 200$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया व्यक्ति $40$ वर्ष से कम आयु का है।
$40$ वर्ष से कम आयु के श्रमिक $20-29$ और $30-39$ आयु वर्ग में हैं।
$40$ वर्ष से कम आयु के श्रमिकों की संख्या $= 38 + 27 = 65$ है।
प्रायिकता $P(E)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$
$P(E) = \frac{65}{200} = \frac{32.5}{100} = 0.325$।

(A) कारखाने में श्रमिकों की कुल संख्या $= 38 + 27 + 86 + 46 + 3 = 200$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया व्यक्ति $30$ से $39$ वर्ष की आयु का है।
ऊपर दी गई तालिका से,$30-39$ वर्ष के आयु वर्ग में श्रमिकों की संख्या $27$ है।
प्रायिकता $P(E)$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$
$P(E) = \frac{27}{200} = 0.135$।

(B) कारखाने में श्रमिकों की कुल संख्या $= 38 + 27 + 86 + 46 + 3 = 200$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया व्यक्ति $60$ वर्ष से कम लेकिन $39$ वर्ष से अधिक आयु का है।
तालिका से,इस शर्त को पूरा करने वाले आयु वर्ग $40-49$ और $50-59$ हैं।
इन आयु वर्गों में श्रमिकों की संख्या $= 86 + 46 = 132$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है:
$P(E) = \frac{40 \text{ और } 59 \text{ के बीच आयु वाले श्रमिकों की संख्या}}{\text{श्रमिकों की कुल संख्या}}$
$P(E) = \frac{132}{200} = 0.66$.

(A-D) चूँकि सिक्कों को $500$ बार उछाला गया है,इसलिए कुल परीक्षणों की संख्या $500$ है।
मान लीजिए कि $0$ चित,$1$ चित,$2$ चित और $3$ चित प्राप्त करने की घटनाओं को क्रमशः $A_1, A_2, A_3$ और $A_4$ द्वारा दर्शाया गया है।
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$।
$P(A_1) = \frac{70}{500} = 0.14$
$P(A_2) = \frac{190}{500} = 0.38$
$P(A_3) = \frac{175}{500} = 0.35$
$P(A_4) = \frac{65}{500} = 0.13$
अब,इन सभी प्रायिकताओं का योग सत्यापित करते हैं:
$P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + P(A_4) = 0.14 + 0.38 + 0.35 + 0.13 = 1$।
अतः,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ है।

(N/A) कुल परीक्षणों की संख्या $400$ है।
माना $A_i$ परिणाम $i$ प्राप्त करने की घटना है,जहाँ $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(A_i) = \frac{\text{परिणाम के आने की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$.
$P(A_1) = \frac{68}{400} = 0.17$
$P(A_2) = \frac{70}{400} = 0.175$
$P(A_3) = \frac{74}{400} = 0.185$
$P(A_4) = \frac{54}{400} = 0.135$
$P(A_5) = \frac{70}{400} = 0.175$
$P(A_6) = \frac{64}{400} = 0.16$

(B) किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है।
यहाँ, कुल कर्मचारियों की संख्या (कुल परिणाम) = $100$ है।
इकाई अंक $3$ की बारंबारता (अनुकूल परिणाम) = $15$ है।
अतः, यादृच्छिक रूप से चुने गए कर्मचारी के टेलीफोन नंबर का इकाई अंक $3$ होने की प्रायिकता:
$P(\text{इकाई अंक } 3) = \frac{\text{अंक } 3 \text{ की बारंबारता}}{\text{कुल कर्मचारियों की संख्या}}$
$P(\text{इकाई अंक } 3) = \frac{15}{100} = 0.15$.

(C) मंदिर के सामने से गुजरने वाले कुल वाहनों की संख्या $= 90 + 35 + 25 = 150$.
गुजरने वाले वाहन के दोपहिया होने की प्रायिकता का सूत्र:
$P(\text{दोपहिया}) = \frac{\text{दोपहिया वाहनों की संख्या}}{\text{कुल वाहनों की संख्या}}$
मान रखने पर:
$P(\text{दोपहिया}) = \frac{90}{150}$
अंश और हर को $30$ से विभाजित करने पर:
$P(\text{दोपहिया}) = \frac{3}{5}$.

(N/A) यहाँ,परिवारों की कुल संख्या $1000$ है।
$(1)$ मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि चुने गए परिवार में $2$ लड़कियाँ हैं।
$2$ लड़कियाँ वाले परिवारों की संख्या $200$ है।
प्रायिकता $P(E_1) = \frac{2 \text{ लड़कियों वाले परिवारों की संख्या}}{\text{परिवारों की कुल संख्या}} = \frac{200}{1000} = 0.2$।
$(2)$ मान लीजिए $E_2$ वह घटना है कि चुने गए परिवार में $1$ लड़की है।
$1$ लड़की वाले परिवारों की संख्या $672$ है।
प्रायिकता $P(E_2) = \frac{1 \text{ लड़की वाले परिवारों की संख्या}}{\text{परिवारों की कुल संख्या}} = \frac{672}{1000} = 0.672$।

(A) ड्राइवरों की कुल संख्या $= 1600$ है।
$25-40$ वर्ष की आयु वाले और एक वर्ष में ठीक $2$ दुर्घटनाओं वाले ड्राइवरों की संख्या $50$ है।
अतः,घटना की प्रायिकता $P$ इस प्रकार होगी:
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$
$P = \frac{50}{1600} = \frac{1}{32}$.

(B) कुल पारियों की संख्या $10$ है।
जिन पारियों में रोहित ने शतक लगाया है,उनकी संख्या $4$ है।
जिन पारियों में उसने शतक नहीं लगाया,उनकी संख्या $10 - 4 = 6$ है।
शतक न लगाने की प्रायिकता,बिना शतक वाली पारियों की संख्या और कुल पारियों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $= \frac{6}{10} = 0.6$।

(N/A) कुल परीक्षणों की संख्या $50$ है।
$1$. चित आने की प्रायिकता:
$P(\text{Head}) = \frac{\text{चितों की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}} = \frac{23}{50} = 0.46$.
$2$. पट आने की प्रायिकता:
$P(\text{Tail}) = \frac{\text{पटों की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}} = \frac{27}{50} = 0.54$.

कुल परिवारों की संख्या $50$ है।
$(1)$ $2$ लड़कियाँ होने की प्रायिकता:
$2$ लड़कियाँ वाले परिवारों की संख्या = $8$ है।
प्रायिकता = $\frac{8}{50} = 0.16$ है।
$(2)$ $1$ लड़की होने की प्रायिकता:
$1$ लड़की वाले परिवारों की संख्या = $32$ है।
प्रायिकता = $\frac{32}{50} = 0.64$ है।
$(3)$ कोई लड़की न होने की प्रायिकता:
$0$ लड़कियाँ वाले परिवारों की संख्या = $10$ है।
प्रायिकता = $\frac{10}{50} = 0.20$ है।

(N/A) कुल परीक्षणों की संख्या $400$ है।
$1$. दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता = (दो चित प्राप्त होने की संख्या) / (कुल परीक्षणों की संख्या) = $100 / 400 = 0.25$।
$2$. एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता = (एक चित प्राप्त होने की संख्या) / (कुल परीक्षणों की संख्या) = $220 / 400 = 0.55$।
$3$. कोई चित प्राप्त न होने की प्रायिकता = (कोई चित प्राप्त न होने की संख्या) / (कुल परीक्षणों की संख्या) = $80 / 400 = 0.20$।

(N/A) कुल परीक्षाओं की संख्या = $5$.
$(1)$ उन परीक्षाओं की संख्या जिनमें छात्र ने $90$ से अधिक अंक प्राप्त किए हैं,$1$ है (परीक्षा $4$ में $91$ अंक)।
अतः,प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{5}$.
$(2)$ उन परीक्षाओं की संख्या जिनमें छात्र ने $70$ और $80$ के बीच अंक प्राप्त किए हैं,$2$ है (परीक्षा $2$ में $72$ अंक और परीक्षा $3$ में $78$ अंक)।
अतः,प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{5}$.

(A) थैलियों की कुल संख्या = $5$.
$(1)$ उन थैलियों की संख्या जिनमें $60$ से अधिक बीज अंकुरित हुए = $4$ (थैली $1, 2, 3, 5$ में क्रमशः $76, 89, 65, 85$ बीज हैं)।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$(2)$ उन थैलियों की संख्या जिनमें $60$ से कम बीज अंकुरित हुए = $1$ (थैली $4$ में $58$ बीज हैं)।
प्रायिकता = $\frac{1}{5} = 0.2$.
$(3)$ उन थैलियों की संख्या जिनमें $90$ से अधिक बीज अंकुरित हुए = $0$.
प्रायिकता = $\frac{0}{5} = 0$.

(C) प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले मेले में आए कुल व्यक्तियों की संख्या की गणना करते हैं।
कुल व्यक्तियों की संख्या = (लड़कों की संख्या) + (लड़कियों की संख्या) + (पुरुषों की संख्या) + (महिलाओं की संख्या)
कुल = $70 + 80 + 20 + 30 = 200$.
मेले में महिलाओं की संख्या $30$ है।
यादृच्छिक रूप से चुने गए व्यक्ति के महिला होने की प्रायिकता $P$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(\text{महिला}) = \frac{\text{महिलाओं की संख्या}}{\text{कुल व्यक्तियों की संख्या}}$
$P(\text{महिला}) = \frac{30}{200} = \frac{3}{20} = 0.15$.
अतः, प्रायिकता $0.15$ है।

(D) कुल छात्रों की संख्या $50$ है。
हमें उस छात्र की प्रायिकता ज्ञात करनी है जिसका वजन $56 \ kg$ या उससे अधिक है。
$56 \ kg$ या उससे अधिक वजन वाले छात्र $56-58$ और $58-60$ के अंतराल में आते हैं。
$56-58$ अंतराल में छात्रों की संख्या $9$ है。
$58-60$ अंतराल में छात्रों की संख्या $6$ है。
$56 \ kg$ या उससे अधिक वजन वाले छात्रों की कुल संख्या = $9 + 6 = 15$ है。
प्रायिकता $P$ का सूत्र है: $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
$P = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} = 0.3$ है。
अतः,प्रायिकता $0.3$ है。

(A) कुल गेंदों की संख्या = $40$.
लाल गेंदों की संख्या = $18$.
पीली गेंदों की संख्या = $12$.
नीली गेंदों की संख्या = $\text{कुल गेंदें} - (\text{लाल गेंदें} + \text{पीली गेंदें}) = 40 - (18 + 12) = 40 - 30 = 10$.
नीली गेंद निकालने की प्रायिकता नीली गेंदों की संख्या और कुल गेंदों की संख्या का अनुपात है。
$P(\text{नीली}) = \frac{\text{नीली गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(N/A) कुल कार्डों की संख्या $n(S) = 100$ है।
$(1)$ $1$ और $100$ के बीच $7$ के गुणज ${7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}$ हैं। ऐसी कुल $14$ संख्याएँ हैं। प्रायिकता $P = 14/100 = 0.14$ है।
$(2)$ $30$ से छोटी संख्याएँ ${1, 2, 3, dots, 29}$ हैं। ऐसी कुल $29$ संख्याएँ हैं। प्रायिकता $P = 29/100 = 0.29$ है।
$(3)$ $1$ और $100$ के बीच अभाज्य संख्याएँ ${2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}$ हैं। ऐसी कुल $25$ संख्याएँ हैं। प्रायिकता $P = 25/100 = 0.25$ है।

(C) $(1)$ असत्य। किसी भी घटना $A$ की प्रायिकता $P(A)$,$0 \le P(A) \le 1$ को संतुष्ट करती है। यह $0$ (असंभव घटना) या $1$ (निश्चित घटना) हो सकती है।
$(2)$ असत्य। मार्च में $31$ दिन होते हैं,जिसका अर्थ है $4$ सप्ताह और $3$ अतिरिक्त दिन। अतिरिक्त दिन (रवि,सोम,मंगल),(सोम,मंगल,बुध),(मंगल,बुध,गुरु),(बुध,गुरु,शुक्र),(गुरु,शुक्र,शनि),(शुक्र,शनि,रवि) या (शनि,रवि,सोम) हो सकते हैं। कुल $7$ संभावनाओं में से $3$ में रविवार आता है। अतः,प्रायिकता $\frac{3}{7}$ है।
$(3)$ सत्य। किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$ होती है। दिया गया है $P(A) = \frac{3}{7}$,तो $P(\text{not } A) = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$।

(B) $(1)$ असत्य। एक लीप वर्ष में फरवरी के महीने में $29$ दिन होते हैं। $29$ दिनों में $4$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है। यह अतिरिक्त दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है। अतः,इस अतिरिक्त दिन के शनिवार होने की प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है,जो $0$ नहीं है।
$(2)$ असत्य। $100$ अंकों की परीक्षा में,प्राप्त किए जा सकने वाले अंक $0$ से $100$ तक के पूर्णांक हैं। कुल $101$ संभावित परिणाम हैं $(0, 1, 2, ..., 100)$। यदि प्रत्येक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता समान मानी जाए,तो ठीक $51$ अंक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{101}$ होती है। (नोट: प्रश्न में दिया गया कथन गणितीय रूप से सत्य है,लेकिन वास्तविक परीक्षा में अंकों की प्रायिकता समान नहीं होती है।)

$(A)$ एक मानक पासे में $6$ फलक होते हैं,जिन पर $1, 2, 3, 4, 5,$ और $6$ अंकित होते हैं।
जब एक पासे को एक बार फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ होती है (अर्थात ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$)।
संख्या $6$ प्राप्त करने का अनुकूल परिणाम ${6}$ है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है।
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$।
अतः,$6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(6) = \frac{1}{6}$ है।

(B) जब तीन संतुलित सिक्कों को उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है: $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
हमें उन परिणामों को देखना है जिनमें ठीक दो चित हैं। ये हैं: $HHT, HTH, THH$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
अतः,दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{8}$ है।