Mix Examples - Probability Questions in Gujarati

(A) કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $1000$ છે.
પરિણામ $5$ ની આવૃત્તિ $150$ છે.
ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર છે: $P(E) = \frac{\text{ઘટના ઉદ્ભવે તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$.
તેથી,$5$ મળવાની સંભાવના $P(5) = \frac{150}{1000}$ થશે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $P(5) = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કોઈ ઘટના $E$ ની પ્રાયોગિક સંભાવના $P(E)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલી વ્યક્તિ પાસે હાઈસ્કૂલનું પ્રમાણપત્ર છે.
આપેલ છે:
હાઈસ્કૂલનું પ્રમાણપત્ર ધરાવતા લોકોની સંખ્યા = $514$
નમૂનાના અભ્યાસમાં લોકોની કુલ સંખ્યા = $642$
તેથી,સંભાવના $P(E)$ છે:
$P(E) = \frac{514}{642}$
કિંમતની ગણતરી કરતા:
$P(E) \approx 0.8006$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.8$ મળે છે.

(C) સર્વેક્ષણમાં બાળકોની કુલ સંખ્યા $= 364$.
બટાકાની ચિપ્સ ખાવાનું પસંદ કરતા બાળકોની સંખ્યા $= 91$.
બટાકાની ચિપ્સ ખાવાનું પસંદ ન કરતા બાળકોની સંખ્યા $= 364 - 91 = 273$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ બાળકને બટાકાની ચિપ્સ ખાવાનું પસંદ નથી.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(E) = \frac{273}{364}$.
અંશ અને છેદને $91$ વડે ભાગતા,આપણને $P(E) = \frac{3}{4} = 0.75$ મળે છે.

(D) વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= 10 + 13 + 12 + 5 = 40$ છે.
ધારો કે $E$ એ પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થીનું રુધિર જૂથ $B$ હોય તેવી ઘટના છે.
રુધિર જૂથ $B$ ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $12$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$P(E) = \frac{\text{રુધિર જૂથ } B \text{ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{12}{40}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $P(E) = \frac{3}{10}$ મળે છે.

(A) બે સિક્કાઓને કુલ $1000$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
ધારો કે $E$ એ વધુમાં વધુ એક છાપ મળે તે ઘટના છે,જેનો અર્થ છે કે $0$ છાપ અથવા $1$ છાપ મળે.
ઘટના $E$ ઉદ્ભવે તે માટેની સંખ્યા એ $0$ છાપ અને $1$ છાપ મળવાની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે.
ઘટના $E$ માટેની સંખ્યા $= 250 + 550 = 800$.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(E) = \frac{800}{1000} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

(B) બલ્બની કુલ સંખ્યા $= 80$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા બલ્બનું આયુષ્ય $1150 \text{ કલાક}$ છે.
આપેલા આવૃત્તિ કોષ્ટક પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે નોંધાયેલ આયુષ્ય $300, 500, 700, 900$ અને $1100 \text{ કલાક}$ છે.
અહીં $1150 \text{ કલાક}$ આયુષ્ય ધરાવતો કોઈ પણ બલ્બ નથી,તેથી ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $0$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{0}{80} = 0$.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે લોટમાંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા બલ્બનું આયુષ્ય $900$ કલાકથી ઓછું છે.
કોષ્ટક પરથી,$900$ કલાકથી ઓછું આયુષ્ય ધરાવતા બલ્બની સંખ્યા એ $300, 500$ અને $700$ કલાકના આયુષ્ય ધરાવતા બલ્બની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 10 + 12 + 23 = 45$.
બલ્બની કુલ સંખ્યા $= 80$.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(E) = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$.

(B) ના,કોઈ ઘટનાની પ્રાયોગિક સંભાવના ઋણ સંખ્યા હોઈ શકે નહીં.
સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,તે ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા અને કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
જેમ કે,ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા અને કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા બંને અ-ઋણ પૂર્ણાંકો છે (અને કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા હંમેશા $0$ કરતા મોટી હોય છે),તેથી મળતો ગુણોત્તર હંમેશા $0$ અથવા તેનાથી મોટો જ હોય છે.

(B) કોઈ ઘટનાની પ્રાયોગિક સંભાવના એટલે તે ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા અને કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર.
ગાણિતિક રીતે,$P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$.
કારણ કે જે પ્રયત્નોમાં ઘટના બની હોય તે સંખ્યા ક્યારેય કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા કરતા વધી શકતી નથી,તેથી અંશ હંમેશા છેદ કરતા નાનો અથવા તેના જેટલો જ હોય છે.
આથી,કોઈ પણ ઘટનાની પ્રાયોગિક સંભાવના ક્યારેય $1$ કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં.

(B) ના,આ સાચું નથી. જેમ પ્રયત્નોની સંખ્યા વધે છે,તેમ પ્રાયોગિક સંભાવના (છાપની સંખ્યા અને કુલ ઉછાળની સંખ્યાનો ગુણોત્તર) $\frac{1}{2}$ ની ખૂબ નજીક પહોંચે છે,પરંતુ તે દરેક કિસ્સામાં ચોક્કસપણે $\frac{1}{2}$ હોતી નથી.

(C) આપણે જોઈએ છીએ કે $60$ વર્ષની ઉંમરના $16090$ વ્યક્તિઓમાંથી,જે વ્યક્તિઓ તેમના $61$મા જન્મદિવસ પહેલા મૃત્યુ પામ્યા તેમની સંખ્યા $(16090 - 11490) = 4600$ છે.
તેથી,$60$ વર્ષની વ્યક્તિનું એક વર્ષની અંદર મૃત્યુ થવાની સંભાવના એ મૃત્યુ પામેલી વ્યક્તિઓની સંખ્યા અને તે ઉંમરની કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(60$ વર્ષની વ્યક્તિનું એક વર્ષમાં મૃત્યુ થવાની સંભાવના$) = \frac{4600}{16090}$
$= \frac{460}{1609}$

(D) $61$ વર્ષની ઉંમરની વ્યક્તિઓની સંખ્યા $11490$ છે.
$61$ વર્ષની વ્યક્તિ $4$ વર્ષ સુધી જીવિત રહેવાનો અર્થ એ છે કે તે $61 + 4 = 65$ વર્ષની ઉંમર સુધી પહોંચશે.
$65$ વર્ષની ઉંમરે જીવિત રહેલા વ્યક્તિઓની સંખ્યા $2320$ છે.
$61$ વર્ષની વ્યક્તિ $4$ વર્ષ સુધી જીવિત રહે તેની સંભાવના એ $65$ વર્ષની ઉંમરે જીવિત વ્યક્તિઓની સંખ્યા અને $61$ વર્ષની ઉંમરની વ્યક્તિઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P = \frac{2320}{11490} = \frac{232}{1149}$.

(A) યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા ઘરોની કુલ સંખ્યા $= 4000$.
દર મહિને $Rs. 10000 - 14999$ કમાતા અને બરાબર એક ટેલિવિઝન ધરાવતા ઘરોની સંખ્યા $= 240$.
કોઈ ઘટનાની સંભાવના $P$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$
જરૂરી સંભાવના $= \frac{240}{4000} = \frac{24}{400} = \frac{6}{100} = 0.06$.

(B) સર્વેક્ષણ કરાયેલ ઘરોની કુલ સંખ્યા $= 4000$.
$Rs. 25000$ અને તેથી વધુ માસિક આવક ધરાવતા અને $2$ ટેલિવિઝન ધરાવતા ઘરોની સંખ્યા $= 760$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર:
$P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{760}{4000} = \frac{76}{400} = \frac{19}{100} = 0.19$.

(C) સર્વેક્ષણ કરેલા ઘરોની કુલ સંખ્યા $= 4000$.
$0$ ટેલિવિઝન ધરાવતા ઘરોની સંખ્યા એ કોષ્ટકના પ્રથમ સ્તંભમાં આપેલા ઘરોનો સરવાળો છે:
$20 + 10 + 0 + 0 + 0 = 30$.
કોઈપણ ટેલિવિઝન ન ધરાવતા ઘરની સંભાવના $= \frac{0 \text{ ટેલિવિઝન ધરાવતા ઘરોની સંખ્યા}}{\text{ઘરોની કુલ સંખ્યા}}$.
સંભાવના $= \frac{30}{4000} = \frac{3}{400}$.

(D) કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $500$ છે.
ધારો કે $E$ એ બે પાસાઓની ઉપરની સપાટી પર $3$ નો સરવાળો મળવાની ઘટના છે.
આપેલ કોષ્ટક પરથી,સરવાળો $3$ ની આવૃત્તિ $30$ છે.
ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર:
$P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E) = \frac{30}{500} = \frac{3}{50} = 0.06$
તેથી,સરવાળો $3$ મળવાની સંભાવના $0.06$ છે.

(A) કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $500$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓની ઉપરની સપાટી પર આવતી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $10$ થી વધુ હોય. આનો અર્થ એ છે કે સરવાળો $11$ અથવા $12$ હોવો જોઈએ.
કોષ્ટક પરથી,$11$ નો સરવાળો મેળવવાની આવૃત્તિ $28$ છે અને $12$ નો સરવાળો મેળવવાની આવૃત્તિ $15$ છે.
જે પ્રયત્નોમાં ઘટના $E$ બની છે તેની સંખ્યા $= 28 + 15 = 43$.
સંભાવના $P(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{43}{500} = 0.086$.

(B) કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $500$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓની ઉપરની સપાટી પર આવતી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $5$ કે તેથી ઓછો હોય.
આમાં $2, 3, 4$ અને $5$ ના સરવાળાનો સમાવેશ થાય છે.
ઘટના $E$ કેટલી વાર બની તે આ પરિણામોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે:
$E$ માટેના પ્રયત્નોની સંખ્યા $= 14 + 30 + 42 + 55 = 141$.
સંભાવના $P(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{141}{500} = 0.282$.

(C) કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $500$ છે.
ધારો કે $E$ એ $8$ અને $12$ ની વચ્ચે સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે. આનો અર્થ એ છે કે સરવાળો $9, 10$ અથવા $11$ હોઈ શકે છે.
કોષ્ટક પરથી,આ સરવાળા માટેની આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:
સરવાળા $9$ ની આવૃત્તિ $= 53$
સરવાળા $10$ ની આવૃત્તિ $= 46$
સરવાળા $11$ ની આવૃત્તિ $= 28$
જે પ્રયત્નોમાં ઘટના $E$ બની હોય તેની કુલ સંખ્યા $= 53 + 46 + 28 = 127$.
સંભાવના $P(E)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{127}{500} = 0.254$.

(D) તપાસવામાં આવેલા કુલ કાર્ટનની સંખ્યા $= 700$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલા કાર્ટનમાં કોઈ ખામીયુક્ત બલ્બ નથી.
કોષ્ટક પરથી,$0$ ખામીયુક્ત બલ્બ ધરાવતા કાર્ટનની સંખ્યા $400$ છે.
ઘટનાની સંભાવનાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E) = \frac{400}{700} = \frac{4}{7}$.
તેથી,પસંદ કરેલા કાર્ટનમાં એક પણ ખામીયુક્ત બલ્બ ન હોય તેની સંભાવના $\frac{4}{7}$ છે.

(A) તપાસવામાં આવેલા કાર્ટનની કુલ સંખ્યા $= 700$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલા કાર્ટનમાં $2$ થી $6$ ખામીયુક્ત બલ્બ છે.
આપેલ કોષ્ટક પરથી,$2, 3, 4, 5,$ અથવા $6$ ખામીયુક્ત બલ્બ ધરાવતા કાર્ટનની સંખ્યા તેમની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે:
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 48 + 41 + 18 + 8 + 3 = 118$.
સંભાવના $P(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{118}{700} = \frac{59}{350}$.

(B) તપાસવામાં આવેલા કુલ કાર્ટનની સંખ્યા $= 700$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલા કાર્ટનમાં $4$ થી ઓછા ખામીયુક્ત બલ્બ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાર્ટનમાં $0, 1, 2,$ અથવા $3$ ખામીયુક્ત બલ્બ છે.
કોષ્ટક પરથી,$0, 1, 2,$ અથવા $3$ ખામીયુક્ત બલ્બ ધરાવતા કાર્ટનની સંખ્યા:
$400 + 180 + 48 + 41 = 669$.
તેથી,સંભાવના $P(E)$ નીચે મુજબ છે:
$P(E) = \frac{4 \text{ થી ઓછા ખામીયુક્ત બલ્બ ધરાવતા કાર્ટનની સંખ્યા}}{\text{કુલ કાર્ટનની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{669}{700}$.

(C) કુલ કામકાજના દિવસોની સંખ્યા $= 200$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે આવતીકાલના ઉત્પાદનમાં કોઈ ખામીયુક્ત ભાગ નથી.
કોષ્ટક પરથી,$0$ ખામીયુક્ત ભાગો હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા $50$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{50}{200} = \frac{1}{4} = 0.25$.
આમ,આવતીકાલના ઉત્પાદનમાં કોઈ ખામીયુક્ત ભાગ ન હોય તેની સંભાવના $0.25$ છે.

(D) કુલ કામકાજના દિવસોની સંખ્યા $200$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે આવતીકાલના ઉત્પાદનમાં ઓછામાં ઓછો એક ખામીયુક્ત ભાગ હશે.
કોષ્ટક પરથી,$0$ ખામીયુક્ત ભાગો હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા $50$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક ખામીયુક્ત ભાગ હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા એ કુલ દિવસોમાંથી $0$ ખામીયુક્ત ભાગ હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
ઓછામાં ઓછો એક ખામીયુક્ત ભાગ હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા $= 200 - 50 = 150$.
સંભાવના $P(E)$ એ ઓછામાં ઓછો એક ખામીયુક્ત ભાગ હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા અને કુલ દિવસોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(E) = \frac{\text{ઓછામાં ઓછો એક ખામીયુક્ત ભાગ હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા}}{\text{કુલ દિવસોની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{150}{200} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(A) કુલ કામકાજના દિવસોની સંખ્યા $200$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે આવતીકાલના ઉત્પાદનમાં $5$ થી વધુ ખામીયુક્ત ભાગો ન હોય.
'$5$ થી વધુ નહીં' એટલે કે ખામીયુક્ત ભાગોની સંખ્યા $0, 1, 2, 3, 4,$ અથવા $5$ હોઈ શકે છે.
આપેલ કોષ્ટક પરથી,આ મૂલ્યોને અનુરૂપ દિવસોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$0$ ભાગો સાથેના દિવસો: $50$
$1$ ભાગ સાથેના દિવસો: $32$
$2$ ભાગો સાથેના દિવસો: $22$
$3$ ભાગો સાથેના દિવસો: $18$
$4$ ભાગો સાથેના દિવસો: $12$
$5$ ભાગો સાથેના દિવસો: $12$
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 50 + 32 + 22 + 18 + 12 + 12 = 146$.
સંભાવના $P(E)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{146}{200} = 0.73$.

(B) કુલ કામકાજના દિવસોની સંખ્યા $200$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે આવતીકાલના ઉત્પાદનમાં $13$ થી વધુ ખામીયુક્ત ભાગો હશે.
આપેલ કોષ્ટક પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે નોંધાયેલ ખામીયુક્ત ભાગોની મહત્તમ સંખ્યા $13$ છે.
તેથી,જે દિવસોમાં $13$ થી વધુ ખામીયુક્ત ભાગો ઉત્પન્ન થયા હોય તેની સંખ્યા $0$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{0}{200} = 0$.

(C) ફેક્ટરીમાં કામદારોની કુલ સંખ્યા $= 38 + 27 + 86 + 46 + 3 = 200$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વ્યક્તિની ઉંમર $40$ વર્ષ કે તેથી વધુ છે.
$40$ વર્ષ કે તેથી વધુ ઉંમરના કામદારોની સંખ્યા એ $40-49$,$50-59$ અને $60$ કે તેથી વધુ ઉંમરના જૂથોના કામદારોનો સરવાળો છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 86 + 46 + 3 = 135$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{135}{200} = 0.675$.

(D) ફેક્ટરીમાં કામદારોની કુલ સંખ્યા $= 38 + 27 + 86 + 46 + 3 = 200$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વ્યક્તિની ઉંમર $40$ વર્ષથી ઓછી છે.
$40$ વર્ષથી ઓછી ઉંમરના કામદારો $20-29$ અને $30-39$ વય જૂથમાં છે.
$40$ વર્ષથી ઓછી ઉંમરના કામદારોની સંખ્યા $= 38 + 27 = 65$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{65}{200} = \frac{32.5}{100} = 0.325$.

(A) ફેક્ટરીમાં કામદારોની કુલ સંખ્યા $= 38 + 27 + 86 + 46 + 3 = 200$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વ્યક્તિની ઉંમર $30$ થી $39$ વર્ષની વચ્ચે છે.
ઉપર આપેલા કોષ્ટક પરથી,$30-39$ વર્ષની વય જૂથમાં કામદારોની સંખ્યા $27$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{27}{200} = 0.135$.

(B) ફેક્ટરીમાં કામદારોની કુલ સંખ્યા $= 38 + 27 + 86 + 46 + 3 = 200$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વ્યક્તિની ઉંમર $60$ વર્ષથી ઓછી પરંતુ $39$ વર્ષથી વધુ છે.
કોષ્ટક પરથી,આ શરતને સંતોષતા વય જૂથો $40-49$ અને $50-59$ છે.
આ વય જૂથોમાં કામદારોની સંખ્યા $= 86 + 46 = 132$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P(E) = \frac{40 \text{ થી } 59 \text{ વર્ષની વચ્ચેના કામદારોની સંખ્યા}}{\text{કામદારોની કુલ સંખ્યા}}$
$P(E) = \frac{132}{200} = 0.66$.

(A-D) સિક્કાઓને $500$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે,તેથી કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $500$ છે.
ધારો કે $0$ છાપ,$1$ છાપ,$2$ છાપ અને $3$ છાપ મેળવવાની ઘટનાઓને અનુક્રમે $A_1, A_2, A_3$ અને $A_4$ વડે દર્શાવીએ.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{ઘટના ઉદ્ભવે તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$.
$P(A_1) = \frac{70}{500} = 0.14$
$P(A_2) = \frac{190}{500} = 0.38$
$P(A_3) = \frac{175}{500} = 0.35$
$P(A_4) = \frac{65}{500} = 0.13$
હવે,આ તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો ચકાસીએ:
$P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + P(A_4) = 0.14 + 0.38 + 0.35 + 0.13 = 1$.
આમ,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ છે.

(N/A) કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $400$ છે.
ધારો કે $A_i$ એ પરિણામ $i$ મેળવવાની ઘટના છે,જ્યાં $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(A_i) = \frac{\text{પરિણામ મળવાની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$.
$P(A_1) = \frac{68}{400} = 0.17$
$P(A_2) = \frac{70}{400} = 0.175$
$P(A_3) = \frac{74}{400} = 0.185$
$P(A_4) = \frac{54}{400} = 0.135$
$P(A_5) = \frac{70}{400} = 0.175$
$P(A_6) = \frac{64}{400} = 0.16$

(B) કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
અહીં, કુલ કર્મચારીઓની સંખ્યા (કુલ પરિણામો) = $100$ છે.
એકમનો અંક $3$ હોય તેની આવૃત્તિ (સાનુકૂળ પરિણામો) = $15$ છે.
તેથી, યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરાયેલ કર્મચારીના ટેલિફોન નંબરનો એકમનો અંક $3$ હોય તેની સંભાવના:
$P(\text{એકમનો અંક } 3) = \frac{\text{અંક } 3 \text{ ની આવૃત્તિ}}{\text{કુલ કર્મચારીઓની સંખ્યા}}$
$P(\text{એકમનો અંક } 3) = \frac{15}{100} = 0.15$.

(C) મંદિરની સામેથી પસાર થતા કુલ વાહનોની સંખ્યા $= 90 + 35 + 25 = 150$.
પસાર થતું વાહન બે પૈડાંવાળું હોય તેની સંભાવનાનું સૂત્ર:
$P(\text{બે પૈડાંવાળું}) = \frac{\text{બે પૈડાંવાળા વાહનોની સંખ્યા}}{\text{કુલ વાહનોની સંખ્યા}}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(\text{બે પૈડાંવાળું}) = \frac{90}{150}$
અંશ અને છેદને $30$ વડે ભાગતા:
$P(\text{બે પૈડાંવાળું}) = \frac{3}{5}$.

(N/A) અહીં,કુટુંબોની કુલ સંખ્યા $1000$ છે.
$(1)$ ધારો કે $E_1$ એ પસંદ કરેલા કુટુંબમાં $2$ છોકરીઓ હોય તેવી ઘટના છે.
$2$ છોકરીઓ ધરાવતા કુટુંબોની સંખ્યા $200$ છે.
સંભાવના $P(E_1) = \frac{2 \text{ છોકરીઓ ધરાવતા કુટુંબોની સંખ્યા}}{\text{કુટુંબોની કુલ સંખ્યા}} = \frac{200}{1000} = 0.2$.
$(2)$ ધારો કે $E_2$ એ પસંદ કરેલા કુટુંબમાં $1$ છોકરી હોય તેવી ઘટના છે.
$1$ છોકરી ધરાવતા કુટુંબોની સંખ્યા $672$ છે.
સંભાવના $P(E_2) = \frac{1 \text{ છોકરી ધરાવતા કુટુંબોની સંખ્યા}}{\text{કુટુંબોની કુલ સંખ્યા}} = \frac{672}{1000} = 0.672$.

(A) ડ્રાઇવરોની કુલ સંખ્યા $= 1600$.
$25-40$ વર્ષની ઉંમર ધરાવતા અને એક વર્ષમાં બરાબર $2$ અકસ્માત થયા હોય તેવા ડ્રાઇવરોની સંખ્યા $50$ છે.
તેથી,ઘટનાની સંભાવના $P$ નીચે મુજબ મળે:
$P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$
$P = \frac{50}{1600} = \frac{1}{32}$.

(B) કુલ ઇનિંગ્સની સંખ્યા $10$ છે.
જે ઇનિંગ્સમાં રોહિતે સદી ફટકારી છે તેની સંખ્યા $4$ છે.
જે ઇનિંગ્સમાં તેણે સદી નથી ફટકારી તેની સંખ્યા $10 - 4 = 6$ છે.
સદી ન ફટકારવાની સંભાવના એ સદી વગરની ઇનિંગ્સની સંખ્યા અને કુલ ઇનિંગ્સની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $= \frac{6}{10} = 0.6$.

(N/A) કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $50$ છે.
$1$. છાપ મળવાની સંભાવના:
$P(\text{Head}) = \frac{\text{છાપની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}} = \frac{23}{50} = 0.46$.
$2$. કાંટો મળવાની સંભાવના:
$P(\text{Tail}) = \frac{\text{કાંટાની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}} = \frac{27}{50} = 0.54$.

કુલ પરિવારોની સંખ્યા $50$ છે.
$(1)$ $2$ છોકરીઓ હોય તેની સંભાવના:
$2$ છોકરીઓ ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા = $8$.
સંભાવના = $\frac{8}{50} = 0.16$.
$(2)$ $1$ છોકરી હોય તેની સંભાવના:
$1$ છોકરી ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા = $32$.
સંભાવના = $\frac{32}{50} = 0.64$.
$(3)$ એક પણ છોકરી ન હોય તેની સંભાવના:
$0$ છોકરીઓ ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા = $10$.
સંભાવના = $\frac{10}{50} = 0.20$.

(N/A) કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $400$ છે.
$1$. બે છાપ મળે તેની સંભાવના = (બે છાપ મળી હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા) / (કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા) = $100 / 400 = 0.25$.
$2$. એક છાપ મળે તેની સંભાવના = (એક છાપ મળી હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા) / (કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા) = $220 / 400 = 0.55$.
$3$. એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના = (એક પણ છાપ ન મળી હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા) / (કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા) = $80 / 400 = 0.20$.

(N/A) કુલ કસોટીઓની સંખ્યા = $5$.
$(1)$ જે કસોટીમાં વિદ્યાર્થીએ $90$ થી વધુ ગુણ મેળવ્યા હોય તેવી કસોટીઓની સંખ્યા $1$ છે (કસોટી $4$ માં $91$ ગુણ).
તેથી,સંભાવના = $\frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{5}$.
$(2)$ જે કસોટીમાં વિદ્યાર્થીએ $70$ અને $80$ ની વચ્ચે ગુણ મેળવ્યા હોય તેવી કસોટીઓની સંખ્યા $2$ છે (કસોટી $2$ માં $72$ ગુણ અને કસોટી $3$ માં $78$ ગુણ).
તેથી,સંભાવના = $\frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{5}$.

(A) થેલીઓની કુલ સંખ્યા = $5$.
$(1)$ જે થેલીઓમાં $60$ થી વધુ બીજ અંકુરિત થયા હોય તેવી થેલીઓની સંખ્યા = $4$ (થેલી $1, 2, 3, 5$ માં અનુક્રમે $76, 89, 65, 85$ બીજ છે).
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$(2)$ જે થેલીઓમાં $60$ થી ઓછા બીજ અંકુરિત થયા હોય તેવી થેલીઓની સંખ્યા = $1$ (થેલી $4$ માં $58$ બીજ છે).
સંભાવના = $\frac{1}{5} = 0.2$.
$(3)$ જે થેલીઓમાં $90$ થી વધુ બીજ અંકુરિત થયા હોય તેવી થેલીઓની સંખ્યા = $0$.
સંભાવના = $\frac{0}{5} = 0$.

(C) સંભાવના શોધવા માટે, આપણે પહેલા મેળામાં આવેલી કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યાની ગણતરી કરીએ.
કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = (છોકરાઓની સંખ્યા) + (છોકરીઓની સંખ્યા) + (પુરુષોની સંખ્યા) + (સ્ત્રીઓની સંખ્યા)
કુલ = $70 + 80 + 20 + 30 = 200$.
મેળામાં સ્ત્રીઓની સંખ્યા $30$ છે.
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરાયેલ વ્યક્તિ સ્ત્રી હોય તેની સંભાવના $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P(\text{સ્ત્રી}) = \frac{\text{સ્ત્રીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા}}$
$P(\text{સ્ત્રી}) = \frac{30}{200} = \frac{3}{20} = 0.15$.
આમ, સંભાવના $0.15$ છે.

(D) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $50$ છે。
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થીનું વજન $56 \ kg$ કે તેથી વધુ હોય。
$56 \ kg$ કે તેથી વધુ વજન ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓ $56-58$ અને $58-60$ ના અંતરાલમાં આવે છે。
$56-58$ અંતરાલમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $9$ છે。
$58-60$ અંતરાલમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $6$ છે。
$56 \ kg$ કે તેથી વધુ વજન ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = $9 + 6 = 15$.
સંભાવના $P$ નું સૂત્ર: $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
$P = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} = 0.3$.
તેથી,સંભાવના $0.3$ છે。

(A) કુલ દડાઓની સંખ્યા = $40$.
લાલ દડાઓની સંખ્યા = $18$.
પીળા દડાઓની સંખ્યા = $12$.
વાદળી દડાઓની સંખ્યા = $\text{કુલ દડા} - (\text{લાલ દડા} + \text{પીળા દડા}) = 40 - (18 + 12) = 40 - 30 = 10$.
વાદળી દડો નીકળવાની સંભાવના એ વાદળી દડાઓની સંખ્યા અને કુલ દડાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{વાદળી}) = \frac{\text{વાદળી દડાઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાઓની સંખ્યા}} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(N/A) કુલ કાર્ડની સંખ્યા $n(S) = 100$ છે.
$(1)$ $1$ અને $100$ ની વચ્ચે $7$ ના ગુણકો ${7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}$ છે. આવી કુલ $14$ સંખ્યાઓ છે. સંભાવના $P = 14/100 = 0.14$.
$(2)$ $30$ થી નાની સંખ્યાઓ ${1, 2, 3, dots, 29}$ છે. આવી કુલ $29$ સંખ્યાઓ છે. સંભાવના $P = 29/100 = 0.29$.
$(3)$ $1$ અને $100$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ${2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}$ છે. આવી કુલ $25$ સંખ્યાઓ છે. સંભાવના $P = 25/100 = 0.25$.

(C) $(1)$ ખોટું. કોઈપણ ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A)$ એ $0 \le P(A) \le 1$ શરતનું પાલન કરે છે. તે $0$ (અશક્ય ઘટના) અથવા $1$ (ચોક્કસ ઘટના) હોઈ શકે છે.
$(2)$ ખોટું. માર્ચ મહિનામાં $31$ દિવસ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $4$ અઠવાડિયા અને $3$ વધારાના દિવસો. વધારાના દિવસો (રવિ,સોમ,મંગળ),(સોમ,મંગળ,બુધ),(મંગળ,બુધ,ગુરુ),(બુધ,ગુરુ,શુક્ર),(ગુરુ,શુક્ર,શનિ),(શુક્ર,શનિ,રવિ) અથવા (શનિ,રવિ,સોમ) હોઈ શકે છે. કુલ $7$ શક્યતાઓમાંથી $3$ માં રવિવાર આવે છે. તેથી,સંભાવના $\frac{3}{7}$ થાય.
$(3)$ સાચું. ઘટના ન ઉદ્ભવવાની સંભાવના $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$ છે. આપેલ છે કે $P(A) = \frac{3}{7}$,તેથી $P(\text{not } A) = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.

(B) $(1)$ ખોટું. લિપ વર્ષમાં ફેબ્રુઆરી મહિનામાં $29$ દિવસ હોય છે. $29$ દિવસમાં $4$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ હોય છે. આ વધારાનો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે. તેથી,આ વધારાનો દિવસ શનિવાર હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{7}$ છે,જે $0$ નથી.
$(2)$ ખોટું. $100$ ગુણની પરીક્ષામાં,મેળવી શકાય તેવા ગુણ $0$ થી $100$ સુધીની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે. કુલ $101$ શક્ય પરિણામો છે $(0, 1, 2, ..., 100)$. જો દરેક ગુણ મેળવવાની સંભાવના સમાન હોય,તો બરાબર $51$ ગુણ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{101}$ થાય છે. (નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિધાન ગણિતની દ્રષ્ટિએ સાચું છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે પરીક્ષામાં ગુણ મેળવવાની સંભાવના સમાન હોતી નથી.)

$(A)$ એક પ્રમાણિત પાસા પર $6$ સપાટીઓ હોય છે,જેના પર $1, 2, 3, 4, 5,$ અને $6$ અંક લખેલા હોય છે.
જ્યારે પાસાને એકવાર ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે (એટલે કે ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$).
$6$ અંક મેળવવાનું સાનુકૂળ પરિણામ ${6}$ છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,$6$ મેળવવાની સંભાવના $P(6) = \frac{1}{6}$ થાય.

(B) જ્યારે ત્રણ સંતુલિત સિક્કાઓ ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે: $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
આપણે બરાબર બે છાપ મળે તેવા પરિણામો શોધવાના છે. જે છે: $HHT, HTH, THH$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,બે છાપ મળવાની સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{8}$ થાય.