Mix Examples - Probability Questions in Hindi

(C) ताश की एक मानक गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
तस्वीर वाले पत्ते (face cards) वे होते हैं जिनमें राजा (King),रानी (Queen) और गुलाम (Jack) शामिल होते हैं,जो प्रत्येक $4$ सूट में होते हैं।
तस्वीर वाले पत्तों की कुल संख्या = $3 \times 4 = 12$ है।
तस्वीर वाला पत्ता निकालने की प्रायिकता $P$,अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है।
$P = \frac{12}{52}$।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{3}{13}$ प्राप्त होता है।

(D) एक लीप वर्ष में फरवरी के महीने में $29$ दिन होते हैं।
$29$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है।
$4$ सप्ताह में $4$ सोमवार शामिल होते हैं।
$29$ वां दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से (सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार या रविवार) कोई भी एक हो सकता है।
फरवरी में $5$ सोमवार होने के लिए,$29$ वें दिन का सोमवार होना आवश्यक है।
चूंकि $7$ संभावित परिणामों में से केवल $1$ अनुकूल परिणाम (सोमवार) है,इसलिए प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।

(A) कक्षा में कुल छात्रों की संख्या = $50$.
लड़कियों की संख्या = $22$.
लड़कों की संख्या = $\text{कुल छात्र} - \text{लड़कियों की संख्या} = 50 - 22 = 28$.
प्रथम रैंक प्राप्त करने वाला छात्र एक लड़का हो, इसकी प्रायिकता लड़कों की संख्या और कुल छात्रों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता = $\frac{\text{लड़कों की संख्या}}{\text{कुल छात्रों की संख्या}} = \frac{28}{50}$.
इसे दशमलव में बदलने के लिए, अंश और हर को $2$ से गुणा करें: $\frac{28 \times 2}{50 \times 2} = \frac{56}{100} = 0.56$.

(B) ताश की एक मानक गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
लाल रंग के दो सूट होते हैं: पान (Hearts) और ईंट (Diamonds)।
प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं।
इसलिए,लाल पत्तों की कुल संख्या $13 + 13 = 26$ है।
लाल पत्ता निकालने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $= \frac{\text{लाल पत्तों की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$।

(C) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं।
$365$ दिन $= 52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन।
$52$ सप्ताह में $52$ रविवार होते हैं।
शेष $1$ दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है: {सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार,रविवार}।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,अतिरिक्त दिन का रविवार होना आवश्यक है।
कुल $7$ संभावित परिणामों में से केवल $1$ अनुकूल परिणाम है।
अतः,प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।

(D) अगस्त के महीने में $31$ दिन होते हैं।
$31$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $3$ अतिरिक्त दिन होते हैं $(31 = 4 \times 7 + 3)$।
ये $3$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित क्रमिक दिनों के सेट हो सकते हैं:
$1$. (रविवार,सोमवार,मंगलवार)
$2$. (सोमवार,मंगलवार,बुधवार)
$3$. (मंगलवार,बुधवार,गुरुवार)
$4$. (बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार)
$5$. (गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार)
$6$. (शुक्रवार,शनिवार,रविवार)
$7$. (शनिवार,रविवार,सोमवार)
इन $7$ संभावनाओं में से,जिन सेटों में बुधवार शामिल है,वे हैं: (सोमवार,मंगलवार,बुधवार),(मंगलवार,बुधवार,गुरुवार),और (बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार)।
कुल $7$ संभावनाओं में से $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{3}{7}$ है।

(A) कुल दिनों की संख्या = $30$।
जिन दिनों भविष्यवाणी सच साबित हुई, उनकी संख्या = $20$।
जिन दिनों भविष्यवाणी गलत साबित हुई, उनकी संख्या = $\text{कुल दिन} - \text{सही दिन} = 30 - 20 = 10$।
भविष्यवाणी के गलत साबित होने की प्रायिकता, गलत भविष्यवाणी वाले दिनों की संख्या और कुल दिनों की संख्या का अनुपात है।
$P(\text{गलत}) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$।

(B) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं।
$366$ दिन $= 52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन।
ये $2$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित जोड़ों में से कोई भी हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),या (शनिवार,रविवार)।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,$2$ अतिरिक्त दिनों में से एक रविवार होना चाहिए।
अनुकूल परिणाम (रविवार,सोमवार) और (शनिवार,रविवार) हैं।
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{7}$।

(C) एक निश्चित घटना वह घटना है जिसका घटित होना सुनिश्चित है।
परिभाषा के अनुसार,जो घटना निश्चित रूप से घटित होती है,उसकी प्रायिकता $1$ होती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) असंभव घटना वह घटना है जो कभी घटित नहीं हो सकती।
परिभाषा के अनुसार,किसी घटना $E$ की प्रायिकता $0 \le P(E) \le 1$ के बीच होती है।
चूंकि असंभव घटना के घटित होने की कोई संभावना नहीं होती है,इसलिए इसकी प्रायिकता $0$ होती है।

(A) घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता को $P(A) = 0.43$ द्वारा दर्शाया जाता है।
घटना $A$ के घटित न होने की प्रायिकता (पूरक घटना) को $P(\text{not } A)$ या $P(A')$ द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी घटना के घटित होने और न होने की प्रायिकताओं का योग हमेशा $1$ होता है।
$P(A) + P(A') = 1$
$0.43 + P(A') = 1$
$P(A') = 1 - 0.43$
$P(A') = 0.57$
अतः,घटना $A$ के घटित न होने की प्रायिकता $0.57$ है।

(B) किसी भी घटना $E$ की प्रायिकता,जिसे $P(E)$ द्वारा दर्शाया जाता है,हमेशा $0 \le P(E) \le 1$ के परिसर में होती है।
अतः,किसी भी घटना की प्रायिकता का न्यूनतम संभव मान $0$ होता है (जो एक असंभव घटना के लिए होता है),और अधिकतम संभव मान $1$ होता है (जो एक निश्चित घटना के लिए होता है)।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(C) किसी भी घटना $E$ की प्रायिकता,जिसे $P(E)$ द्वारा दर्शाया जाता है,हमेशा $0 \le P(E) \le 1$ की सीमा में होती है।
इसका अर्थ है कि प्रायिकता का न्यूनतम संभव मान $0$ (असंभव घटना के लिए) और अधिकतम संभव मान $1$ (निश्चित घटना के लिए) होता है।
अतः,किसी भी घटना की प्रायिकता का अधिकतम मान $1$ होता है।

(D) $100$ अंकों की परीक्षा में,एक छात्र $0$ से $100$ तक के अंक प्राप्त कर सकता है।
संभावित परिणामों की कुल संख्या = $100 - 0 + 1 = 101$ है।
चूंकि प्रत्येक स्कोर को समान रूप से संभावित परिणाम माना जाता है,इसलिए ठीक $70$ अंक प्राप्त करने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है।
अनुकूल परिणामों की संख्या ($70$ अंक प्राप्त करना) = $1$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभावित परिणामों की कुल संख्या}} = \frac{1}{101}$ है।

(A) एक अंक वाली प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 9$ है।
इस समुच्चय में $3$ के गुणज $E = \{3, 6, 9\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

(B) एक संतुलित पासे में $6$ फलक होते हैं,जिन पर $1, 2, 3, 4, 5,$ और $6$ अंकित होते हैं।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
$3$ प्राप्त करने की घटना $E = {3}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
अतः,$P(E) = \frac{1}{6}$ है।

(C) 'सूर्य पूर्व में उगता है' घटना एक निश्चित घटना है।
प्रायिकता सिद्धांत के अनुसार,एक निश्चित घटना की प्रायिकता हमेशा $1$ होती है।

(D) बबूल का पेड़ आम के पेड़ से एक अलग प्रजाति है। बबूल के पेड़ पर आम का उगना जैविक रूप से असंभव है। चूंकि यह एक असंभव घटना है,इसलिए इसकी प्रायिकता $0$ है।

(A) जब एक संतुलित पासा फेंका जाता है,तो कुल परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
एक भाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह धनात्मक पूर्णांक है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कम से कम एक और भाजक हो।
समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में,भाज्य संख्याएँ $4$ और $6$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणाम $E = \{4, 6\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ होगी।

(B) अच्छी तरह से फेंटी गई ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $n(S) = 52$ है।
$52$ पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ रानियाँ होती हैं (प्रत्येक सूट के लिए एक: पान,ईंट,चिड़ी और हुकुम)।
मान लीजिए कि $E$ रानी निकालने की घटना है। अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
मान रखने पर,हमें $P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ प्राप्त होता है।

(C) जब एक संतुलित पासे को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं।
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
पासे पर विषम संख्याएँ $1, 3$ और $5$ हैं।
माना $E$ विषम संख्या प्राप्त करने की घटना है,इसलिए $E = \{1, 3, 5\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।

(D) कुल छात्रों की संख्या = $30$।
लड़कों की संख्या = $12$।
लड़कियों की संख्या = $30 - 12 = 18$।
प्रथम पुरस्कार किसी लड़की द्वारा जीतने की प्रायिकता,लड़कियों की संख्या और कुल छात्रों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता = $\frac{\text{लड़कियों की संख्या}}{\text{कुल छात्र}} = \frac{18}{30}$।
अंश और हर को $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है: $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$.
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
हमें कोई भी टेल न आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। वह परिणाम जिसमें कोई टेल नहीं है,वह $(H, H)$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र है: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$.

(B) किसी भी वर्ष में,$26$ जनवरी सप्ताह के $7$ दिनों में से (सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार या रविवार) किसी भी दिन समान प्रायिकता के साथ आ सकती है।
चूंकि कुल $7$ संभावित परिणाम हैं और उनमें से केवल $1$ रविवार है,इसलिए प्रायिकता की गणना इस प्रकार की जाती है:
$P(\text{रविवार}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{7}$.

(C) महिलाओं की कुल संख्या $700$ है।
कार्यरत महिलाओं की संख्या $280$ है।
एक कार्यरत महिला को चुनने की प्रायिकता $P$,कार्यरत महिलाओं की संख्या और महिलाओं की कुल संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{\text{कार्यरत महिलाओं की संख्या}}{\text{महिलाओं की कुल संख्या}}$
$P = \frac{280}{700}$
अंश और हर को $140$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{2}{5}$

(D) कुल छात्रों की संख्या = $40$।
लड़कियों की संख्या = $16$।
लड़कों की संख्या = $40 - 16 = 24$।
एक लड़के के चुने जाने की प्रायिकता लड़कों की संख्या और कुल छात्रों की संख्या का अनुपात है।
$P(\text{लड़का}) = \frac{\text{लड़कों की संख्या}}{\text{कुल छात्रों की संख्या}} = \frac{24}{40}$।
अंश और हर को $8$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{24}{40} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः, एक लड़के के चुने जाने की प्रायिकता $3/5$ है।

(A) कुल उछालों की संख्या = $200$।
पट (tail) आने की संख्या = $92$।
चित (head) आने की संख्या = $200 - 92 = 108$।
चित प्राप्त करने की प्रायिकता चितों की संख्या और कुल उछालों की संख्या का अनुपात है।
$P(\text{Head}) = \frac{\text{चितों की संख्या}}{\text{कुल उछालों की संख्या}} = \frac{108}{200}$।
$P(\text{Head}) = \frac{54}{100} = 0.54$।

(B) परीक्षा में कुल अंक $50$ हैं।
$50$ अंकों में से $51$ अंक प्राप्त करना असंभव है क्योंकि अधिकतम संभव स्कोर $50$ है।
चूंकि $51$ अंक प्राप्त करने की घटना एक असंभव घटना है,इसलिए इसकी प्रायिकता $0$ है।