Textbook - Probability Questions in Hindi

(A) चूंकि सिक्के को $1000$ बार उछाला गया है,इसलिए कुल परीक्षणों की संख्या $1000$ है।
मान लीजिए $E$ चित आने की घटना है और $F$ पट आने की घटना है।
चित आने की संख्या $455$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{चितों की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}} = \frac{455}{1000} = 0.455$ है।
पट आने की संख्या $545$ है।
घटना $F$ की प्रायिकता $P(F) = \frac{\text{पटों की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}} = \frac{545}{1000} = 0.545$ है।
अतः,प्रायिकताएँ क्रमशः $0.455$ और $0.545$ हैं।

(N/A) माना कि दो चित,एक चित और कोई चित न आने की घटनाओं को क्रमशः $E_1, E_2$ और $E_3$ द्वारा दर्शाया गया है।
कुल परीक्षणों की संख्या $500$ है।
$E_1$ (दो चित) के लिए: $P(E_1) = \frac{105}{500} = 0.21$
$E_2$ (एक चित) के लिए: $P(E_2) = \frac{275}{500} = 0.55$
$E_3$ (कोई चित नहीं) के लिए: $P(E_3) = \frac{120}{500} = 0.24$
ध्यान दें कि $P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) = 0.21 + 0.55 + 0.24 = 1.0$ है। ये घटनाएँ परीक्षण के सभी संभावित परिणामों को कवर करती हैं।

(N/A) माना $E_i$ परिणाम $i$ प्राप्त करने की घटना को दर्शाता है,जहाँ $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार है: $P(E) = \frac{\text{उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटी}}{\text{परीक्षणों की कुल संख्या}}$।
यहाँ,परीक्षणों की कुल संख्या $1000$ है।
$P(E_1) = \frac{179}{1000} = 0.179$
$P(E_2) = \frac{150}{1000} = 0.150$
$P(E_3) = \frac{157}{1000} = 0.157$
$P(E_4) = \frac{149}{1000} = 0.149$
$P(E_5) = \frac{175}{1000} = 0.175$
$P(E_6) = \frac{190}{1000} = 0.190$
ध्यान दें कि सभी प्रायिकताओं का योग $0.179 + 0.150 + 0.157 + 0.149 + 0.175 + 0.190 = 1$ है।

(D) किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{उन परीक्षणों की संख्या जिनमें घटना घटी है}}{\text{परीक्षणों की कुल संख्या}}$.
यहाँ,टेलीफोन नंबरों की कुल संख्या $200$ है।
इकाई स्थान पर अंक $6$ की बारंबारता $14$ है।
अतः,इकाई स्थान पर अंक $6$ होने की प्रायिकता है:
$P(\text{अंक } 6) = \frac{14}{200} = \frac{7}{100} = 0.07$.

(A) कुल दिनों की संख्या जिसके लिए रिकॉर्ड उपलब्ध है $= 250$.
$(i)$ जिन दिनों में पूर्वानुमान सही था,उनकी संख्या $= 175$.
$P$ (किसी दिए गए दिन पर पूर्वानुमान के सही होने की प्रायिकता) $= \frac{\text{पूर्वानुमान सही होने वाले दिनों की संख्या}}{\text{कुल दिनों की संख्या}} = \frac{175}{250} = 0.7$.
$(ii)$ जिन दिनों में पूर्वानुमान सही नहीं था,उनकी संख्या $= 250 - 175 = 75$.
$P$ (किसी दिए गए दिन पर पूर्वानुमान के सही न होने की प्रायिकता) $= \frac{\text{पूर्वानुमान सही न होने वाले दिनों की संख्या}}{\text{कुल दिनों की संख्या}} = \frac{75}{250} = 0.3$.

(N/A) $(i)$ कुल परीक्षणों की संख्या $= 1000$.
$4000 \, km$ चलने से पहले बदलने की आवश्यकता वाले टायर की बारंबारता $20$ है。
अतः,$P(\text{\text{टायर }} 4000 \, km \text{ \text{चलने से पहले बदलना पड़े}}) = \frac{20}{1000} = 0.02$.
$(ii)$ $9000 \, km$ से अधिक चलने वाले टायर की बारंबारता $9001$ से $14000$ और $14000$ से अधिक की श्रेणियों की बारंबारताओं का योग है,जो $325 + 445 = 770$ है。
अतः,$P(\text{\text{टायर }} 9000 \, km \text{ \text{से अधिक चलेगा}}) = \frac{770}{1000} = 0.77$.
$(iii)$ $4000 \, km$ और $14000 \, km$ के बीच बदलने की आवश्यकता वाले टायर की बारंबारता $4000$ से $9000$ और $9001$ से $14000$ की श्रेणियों की बारंबारताओं का योग है,जो $210 + 325 = 535$ है。
अतः,$P(\text{\text{टायर }} 4000 \, km \text{ \text{और }} 14000 \, km \text{ \text{के बीच बदलना पड़े}}) = \frac{535}{1000} = 0.535$.

(C) आयोजित कुल इकाई परीक्षणों की संख्या $5$ है।
इकाई परीक्षणों में प्राप्त अंकों का प्रतिशत $69, 71, 73, 68, 74$ है।
जिन इकाई परीक्षणों में छात्र ने $70\%$ से अधिक अंक प्राप्त किए हैं,वे $II$ $(71\%)$,$III$ $(73\%)$,और $V$ $(74\%)$ हैं।
अतः,उन इकाई परीक्षणों की संख्या जिनमें छात्र ने $70\%$ से अधिक अंक प्राप्त किए हैं,$3$ है।
किसी घटना की प्रायिकता $P$ का सूत्र है: $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
इसलिए,$P$ ($70\%$ से अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता) $= \frac{3}{5} = 0.6$.

(N/A) ड्राइवरों की कुल संख्या $= 2000$.
$(i)$ $18-29$ वर्ष की आयु के ड्राइवरों की संख्या जिन्हें एक वर्ष में ठीक $3$ दुर्घटनाएं हुई हैं,$61$ है।
इसलिए,$P$ (ड्राइवर $18-29$ वर्ष की आयु का है और ठीक $3$ दुर्घटनाएं हुई हैं) $= \frac{61}{2000} = 0.0305$.
$(ii)$ $30-50$ वर्ष की आयु के ड्राइवरों की संख्या जिन्हें एक वर्ष में एक या अधिक दुर्घटनाएं हुई हैं $= 125 + 60 + 22 + 18 = 225$.
इसलिए,$P$ (ड्राइवर $30-50$ वर्ष की आयु का है और एक या अधिक दुर्घटनाएं हुई हैं) $= \frac{225}{2000} = 0.1125$.
$(iii)$ एक वर्ष में कोई दुर्घटना न होने वाले ड्राइवरों की संख्या $= 440 + 505 + 360 = 1305$.
इसलिए,$P$ (कोई दुर्घटना न होने वाले ड्राइवर) $= \frac{1305}{2000} = 0.6525$.

(A) $(i)$ कुल विद्यार्थियों की संख्या $38$ है। $46-50 \, kg$ के अंतराल में भार वाले विद्यार्थियों की संख्या $3$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{3}{38} \approx 0.079$ है।
$(ii)$ $0$ प्रायिकता वाली घटना एक असंभव घटना होती है। उदाहरण के लिए,वह घटना कि किसी विद्यार्थी का भार $30 \, kg$ है (क्योंकि सारणी में किसी भी विद्यार्थी का भार इतना नहीं है),इसकी प्रायिकता $0$ है।
$1$ प्रायिकता वाली घटना एक निश्चित घटना होती है। उदाहरण के लिए,वह घटना कि किसी विद्यार्थी का भार $30 \, kg$ से अधिक है (क्योंकि सभी $38$ विद्यार्थियों का भार $30 \, kg$ से अधिक है),इसकी प्रायिकता $\frac{38}{38} = 1$ है।

(A-D) कुल थैलों की संख्या $5$ है।
$(i)$ उन थैलों की संख्या जिनमें $40$ से अधिक बीज अंकुरित हुए,$3$ है (थैले $2, 3,$ और $5$)।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{5} = 0.6$.
$(ii)$ उन थैलों की संख्या जिनमें $49$ बीज अंकुरित हुए,$0$ है।
प्रायिकता $= \frac{0}{5} = 0$.
$(iii)$ उन थैलों की संख्या जिनमें $35$ से अधिक बीज अंकुरित हुए,$5$ है (सभी थैले)।
प्रायिकता $= \frac{5}{5} = 1$.

(C) महिला बल्लेबाज द्वारा बाउंड्री मारने की संख्या $= 6$.
खेली गई कुल गेंदों की संख्या $= 30$.
वह संख्या जितनी बार महिला बल्लेबाज ने बाउंड्री नहीं मारी $= 30 - 6 = 24$.
प्रायिकता $P$ कि उसने बाउंड्री नहीं मारी,उन गेंदों की संख्या का अनुपात है जिन पर उसने बाउंड्री नहीं मारी और कुल खेली गई गेंदों की संख्या का है।
$P(\text{बाउंड्री न मारने की}) = \frac{24}{30}$.
अंश और हर को $6$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(\text{बाउंड्री न मारने की}) = \frac{4}{5}$.

(N/A) कुल परिवारों की संख्या $= 475 + 814 + 211 = 1500$.
$(i)$ $2$ लड़कियाँ वाले परिवारों की संख्या $= 475$.
यादृच्छिक रूप से चुने गए परिवार में $2$ लड़कियाँ होने की प्रायिकता $(P_1)$ $= \frac{475}{1500} = \frac{19}{60}$.
$(ii)$ $1$ लड़की वाले परिवारों की संख्या $= 814$.
यादृच्छिक रूप से चुने गए परिवार में $1$ लड़की होने की प्रायिकता $(P_2)$ $= \frac{814}{1500} = \frac{407}{750}$.
$(iii)$ कोई लड़की न होने वाले परिवारों की संख्या $= 211$.
यादृच्छिक रूप से चुने गए परिवार में कोई लड़की न होने की प्रायिकता $(P_3)$ $= \frac{211}{1500}$.
इन सभी प्रायिकताओं का योग $= P_1 + P_2 + P_3 = \frac{475}{1500} + \frac{814}{1500} + \frac{211}{1500} = \frac{475 + 814 + 211}{1500} = \frac{1500}{1500} = 1$.
अतः,इन सभी प्रायिकताओं का योग $1$ है।

(A) दिए गए दंड आलेख (bar graph) से,अगस्त के महीने में जन्मे विद्यार्थियों की संख्या $6$ है।
विद्यार्थियों की कुल संख्या सभी महीनों में जन्मे विद्यार्थियों का योग है:
$3 + 4 + 2 + 2 + 5 + 1 + 2 + 6 + 3 + 4 + 4 + 4 = 40$.
विद्यार्थी का जन्म अगस्त में हुआ हो,इसकी प्रायिकता $P$ इस प्रकार है:
$P(\text{अगस्त}) = \frac{\text{अगस्त में जन्मे विद्यार्थियों की संख्या}}{\text{विद्यार्थियों की कुल संख्या}}$
$P(\text{अगस्त}) = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$.

(B) $2$ चित आने की संख्या $= 72$ है।
सिक्कों को उछालने के कुल प्रयासों की संख्या $= 200$ है।
किसी घटना की प्रायिकता,अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल प्रयासों की संख्या का अनुपात होती है।
$P(2 \text{ चित}) = \frac{2 \text{ चित आने की संख्या}}{\text{कुल प्रयासों की संख्या}}$
$P(2 \text{ चित}) = \frac{72}{200}$
अंश और हर को $8$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(2 \text{ चित}) = \frac{9}{25}$

(N/A) सर्वेक्षण किए गए परिवारों की कुल संख्या $= 2400$।
$(i)$ प्रति माह रु. $10000 - 13000$ कमाने वाले और ठीक $2$ वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या $= 29$।
प्रायिकता $= \frac{29}{2400}$।
$(ii)$ प्रति माह रु. $16000$ या अधिक कमाने वाले और ठीक $1$ वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या $= 579$।
प्रायिकता $= \frac{579}{2400}$।
$(iii)$ प्रति माह रु. $7000$ से कम कमाने वाले और कोई वाहन न रखने वाले परिवारों की संख्या $= 10$।
प्रायिकता $= \frac{10}{2400} = \frac{1}{240}$।
$(iv)$ प्रति माह रु. $13000 - 16000$ कमाने वाले और $2$ से अधिक वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या $= 25$।
प्रायिकता $= \frac{25}{2400} = \frac{1}{96}$।
$(v)$ $1$ से अधिक वाहन न रखने वाले परिवारों की संख्या (अर्थात $0$ या $1$ वाहन) $= (10 + 160) + (0 + 305) + (1 + 535) + (2 + 469) + (1 + 579) = 170 + 305 + 536 + 471 + 580 = 2062$।
प्रायिकता $= \frac{2062}{2400} = \frac{1031}{1200}$।

(D) छात्रों की कुल संख्या $= 90$।
$(i)$ $20$ से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या (जो $100$ का $20\%$ है) $= 7$।
प्रायिकता $P = \frac{20 \text{ से कम अंक वाले छात्रों की संख्या}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}} = \frac{7}{90}$।
$(ii)$ $60$ या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या $= (60-70 \text{ में छात्र}) + (70 \text{ और उससे अधिक में छात्र}) = 15 + 8 = 23$।
प्रायिकता $P = \frac{60 \text{ या उससे अधिक अंक वाले छात्रों की संख्या}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}} = \frac{23}{90}$।

(A) छात्रों की कुल संख्या $= 135 + 65 = 200$.
$(i)$ सांख्यिकी पसंद करने वाले छात्रों की संख्या $= 135$.
प्रायिकता (छात्र को सांख्यिकी पसंद है) $= \frac{\text{सांख्यिकी पसंद करने वाले छात्रों की संख्या}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}} = \frac{135}{200} = \frac{27}{40}$.
$(ii)$ सांख्यिकी पसंद न करने वाले छात्रों की संख्या $= 65$.
प्रायिकता (छात्र को सांख्यिकी पसंद नहीं है) $= \frac{\text{सांख्यिकी पसंद न करने वाले छात्रों की संख्या}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}} = \frac{65}{200} = \frac{13}{40}$.

(A) $(i)$ इंजीनियरों की कुल संख्या $= 40$ है।
कार्यस्थल से $7 \, km$ से कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या $= 8$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 0.2$ है।
$(ii)$ कार्यस्थल से $7 \, km$ या उससे अधिक दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या $= 40 - 8 = 32$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8$ है।
$(iii)$ कार्यस्थल से $\frac{1}{2} \, km$ के भीतर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या $= 0$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = 0$ है।

(N/A) प्रायिकता ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. मान लीजिए $n_1$ दोपहिया वाहनों की संख्या है, $n_2$ तिपहिया वाहनों की संख्या है और $n_3$ चारपहिया वाहनों की संख्या है।
$2$. देखे गए कुल वाहनों की संख्या ज्ञात करें: $N = n_1 + n_2 + n_3$।
$3$. दोपहिया वाहन चुनने की प्रायिकता $P$, दोपहिया वाहनों की संख्या और कुल वाहनों की संख्या के अनुपात द्वारा प्राप्त की जाती है।
$4$. सूत्र: $P(\text{दोपहिया}) = \frac{n_1}{N} = \frac{n_1}{n_1 + n_2 + n_3}$।

(A) $3-$अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $100$ से $999$ तक होती है।
$3-$अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $999 - 100 + 1 = 900$ है।
एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
किन्हीं भी $3$ क्रमागत पूर्णांकों की श्रृंखला में,ठीक एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
चूंकि $900$,$3$ का एक गुणज है,इसलिए इन संख्याओं में से ठीक एक-तिहाई संख्याएँ $3$ से विभाज्य हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= \frac{900}{3} = 300$ है।
प्रायिकता $P$,अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{300}{900} = \frac{1}{3}$.

(A) थैलियों की कुल संख्या $= 11$ है।
$5 \,kg$ से अधिक आटा रखने वाली थैलियाँ हैं: $5.05, 5.08, 5.03, 5.06, 5.08, 5.04, 5.07$।
$5 \,kg$ से अधिक आटा रखने वाली थैलियों की संख्या $= 7$ है।
घटना की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{7}{11}$ है।

(B) प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
दी गई आवृत्ति वितरण तालिका से:
$1$. जिन दिनों में सल्फर डाइऑक्साइड की सांद्रता $0.12 - 0.16$ के अंतराल में थी,उन दिनों की संख्या $2$ है।
$2$. कुल दिनों की संख्या $30$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P$ है:
$P = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

(C) कक्षा में छात्रों की कुल संख्या $30$ है।
रक्त समूह $AB$ वाले छात्रों की संख्या $3$ है।
किसी घटना की प्रायिकता $P$ ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित है:
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$
यहाँ,अनुकूल परिणामों की संख्या ($AB$ रक्त समूह वाले छात्र) $3$ है और कुल संभावित परिणामों की संख्या (कुल छात्र) $30$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$ है।