Mix Examples - Lines and Angles Questions in Hindi

(A) जब एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है,तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है (क्रमागत अंतःकोण संपूरक होते हैं)।
माना कि दो कोण $2x$ और $3x$ हैं।
गुणधर्म के अनुसार,$2x + 3x = 180^{\circ}$।
$5x = 180^{\circ}$।
$x = 180^{\circ} / 5 = 36^{\circ}$।
अतः,दोनों कोण $2(36^{\circ}) = 72^{\circ}$ और $3(36^{\circ}) = 108^{\circ}$ हैं।
दोनों कोणों में से बड़ा कोण $108^{\circ}$ है।

(B) दिया गया है कि $AB \parallel CD \parallel EF$ और $PQ \parallel RS$ है।
आकृति के अनुसार,$\angle QRS$ समांतर रेखाओं $PQ$ और $RS$ के बीच तिर्यक रेखा $QR$ द्वारा बनाया गया कोण है।
गणना के अनुसार,$\angle QRS = 180^{\circ} - (25^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$ होना चाहिए,लेकिन विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $145^{\circ}$ है।

(C) माना $\triangle ABC$ के कोण $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ हैं।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B + \angle C$ ...... $(1)$
किसी भी $\triangle ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ ...... $(2)$
[त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म]
समीकरण $(1)$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle A + (\angle B + \angle C) = 180^{\circ}$
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$2\angle A = 180^{\circ}$
$\angle A = 90^{\circ}$
चूंकि एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(D) त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
माना कि दोनों बराबर अंतः अभिमुख कोणों में से प्रत्येक का मान $x$ है।
दिया गया है कि बहिष्कोण $105^{\circ}$ है।
अतः,$x + x = 105^{\circ}$.
$2x = 105^{\circ}$.
$x = \frac{105^{\circ}}{2} = 52 \frac{1}{2}^{\circ}$.
इस प्रकार,प्रत्येक बराबर कोण का मान $52 \frac{1}{2}^{\circ}$ है।

(A) माना त्रिभुज के कोण $5x$,$3x$ और $7x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$5x + 3x + 7x = 180^{\circ}$
$15x = 180^{\circ}$
$x = 180^{\circ} / 15 = 12^{\circ}$
अतः,त्रिभुज के कोण हैं:
$5 \times 12^{\circ} = 60^{\circ}$
$3 \times 12^{\circ} = 36^{\circ}$
$7 \times 12^{\circ} = 84^{\circ}$
चूंकि त्रिभुज का प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ से कम है,इसलिए सभी कोण न्यूनकोण हैं।
अतः,त्रिभुज एक न्यूनकोण त्रिभुज है।

(B) मान लीजिए त्रिभुज $\triangle ABC$ है जिसमें $\angle A = 130^{\circ}$ है।
किसी भी त्रिभुज में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$ होगा।
मान लीजिए $OB$ और $OC$ क्रमशः $\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक हैं।
तब $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle B$ और $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle C$ होगा।
$\triangle OBC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB)$ होगा।
मान रखने पर,$\angle BOC = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$ प्राप्त होता है।
$\angle BOC = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(50^{\circ}) = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ}$ होगा।

(C) चूंकि $POQ$ एक सीधी रेखा है,इसलिए बिंदु $O$ पर रेखा के एक ही ओर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है (रैखिक युग्म अभिगृहीत)।
अतः,हमारे पास है:
$40^{\circ} + 4x + 3x = 180^{\circ}$
$40^{\circ} + 7x = 180^{\circ}$
$7x = 180^{\circ} - 40^{\circ}$
$7x = 140^{\circ}$
$x = 140^{\circ} / 7$
$x = 20^{\circ}$

(D) इसे हल करने के लिए,$OP$ को आगे बढ़ाएं जो $RQ$ को बिंदु $X$ पर प्रतिच्छेद करता है।
यहाँ,$OP \parallel RS$ है और $RS$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle RXP = \angle XRS$ (एकांतर अंतःकोण)
$\Rightarrow \angle RXP = 130^{\circ}$ ... $(1)$ [क्योंकि $\angle QRS = 130^{\circ}$]
अब,$RQ$ एक रेखाखंड है।
इसलिए,$\angle PXQ + \angle RXP = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)
$\Rightarrow \angle PXQ = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$
$\triangle PQX$ में,$\angle OPQ$ एक बहिष्कोण है।
इसलिए,$\angle OPQ = \angle PXQ + \angle PQX$ (बहिष्कोण का मान उसके सम्मुख अंतःकोणों के योग के बराबर होता है)
$110^{\circ} = 50^{\circ} + \angle PQX$
$\angle PQX = 110^{\circ} - 50^{\circ} = 60^{\circ}$
अतः,$\angle PQR = 60^{\circ}$.

(A) दिया गया है: त्रिभुज के कोणों का अनुपात $2: 4: 3$ है।
मान लीजिए कि त्रिभुज के कोण $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ हैं।
इसलिए,$\angle A = 2x, \angle B = 4x$ और $\angle C = 3x$ है।
$\triangle ABC$ में,कोणों का योग $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
[चूंकि त्रिभुज के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है]।
मान रखने पर: $2x + 4x + 3x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 180^{\circ} / 9 = 20^{\circ}$।
कोणों की गणना:
$\angle A = 2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$।
$\angle B = 4x = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$।
$\angle C = 3x = 3 \times 20^{\circ} = 60^{\circ}$।
$40^{\circ}, 80^{\circ}$ और $60^{\circ}$ कोणों की तुलना करने पर,सबसे छोटा कोण $40^{\circ}$ है।

(NONE) एक रेखा तब बनती है जब एक बिंदु के चारों ओर आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$AOC$ के एक रेखा होने के लिए,कोणों का योग $\angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}$ होना चाहिए।
यहाँ $\angle AOB = 100^{\circ}$ और $\angle BOC = 82^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए उनका योग $100^{\circ} + 82^{\circ} = 182^{\circ}$ है।
चूँकि $182^{\circ} \neq 180^{\circ}$,इसलिए $AOC$ एक सीधी रेखा नहीं है।
इसी प्रकार,$BOD$ के एक रेखा होने के लिए,कोणों का योग $\angle BOC + \angle COD = 180^{\circ}$ होना चाहिए।
यहाँ $\angle BOC = 82^{\circ}$ और $\angle COD = 100^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए उनका योग $82^{\circ} + 100^{\circ} = 182^{\circ}$ है।
चूँकि $182^{\circ} \neq 180^{\circ}$,इसलिए $BOD$ भी एक सीधी रेखा नहीं है।

(NO) नहीं,दोनों रेखाएँ हमेशा समांतर नहीं होंगी। दो रेखाओं के समांतर होने के लिए,तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए। यदि दो बराबर अंतःकोणों में से प्रत्येक का मान $x$ है,तो उनका योग $x + x = 2x$ होगा। रेखाएँ केवल तभी समांतर होती हैं जब $2x = 180^{\circ}$ हो,जिसका अर्थ है $x = 90^{\circ}$। यदि $x \neq 90^{\circ}$ है,तो रेखाएँ समांतर नहीं हैं।

(N/A) दी गई आकृति में,$x$ और $y$ बिंदु $B$ पर बने दो आसन्न कोण हैं।
$ABC$ के एक सीधी रेखा होने के लिए,आसन्न कोणों $x$ और $y$ का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए।
यह रैखिक युग्म अभिगृहीत पर आधारित है,जो बताता है कि यदि कोई किरण एक रेखा पर खड़ी हो,तो इस प्रकार बने दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$x + y = 180^{\circ}$।

(B) नहीं,एक त्रिभुज के सभी कोण $60^{\circ}$ से कम नहीं हो सकते।
यदि किसी त्रिभुज के तीनों कोण $60^{\circ}$ से कम हैं,तो उनका योग $60^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ से कम होगा।
हालाँकि,एक त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है (त्रिभुज का कोण योग गुण)।
इसलिए,यह असंभव है कि सभी कोण $60^{\circ}$ से कम हों।

(NO) वह कोण जिसका माप $90^{\circ}$ से अधिक लेकिन $180^{\circ}$ से कम होता है,उसे अधिक कोण (obtuse angle) कहा जाता है।
एक त्रिभुज में दो अधिक कोण नहीं हो सकते क्योंकि त्रिभुज के सभी अंतःकोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
यदि एक त्रिभुज में दो अधिक कोण होते,तो केवल उन दो कोणों का योग ही $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ से अधिक हो जाता।
चूंकि यह योग त्रिभुज के कोण योग गुण $(180^{\circ})$ से अधिक हो जाता है,इसलिए एक त्रिभुज में दो अधिक कोण होना असंभव है।

(A) किसी भी त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होना चाहिए।
दिए गए मामले में,कोणों का योग $45^{\circ} + 64^{\circ} + 72^{\circ} = 181^{\circ}$ है।
चूंकि कोणों का योग $180^{\circ}$ के बराबर नहीं है,इसलिए ऐसा त्रिभुज बनाना असंभव है।
अतः,$0$ त्रिभुज खींचे जा सकते हैं।

(C) दिए गए कोणों का योग $= 53^{\circ} + 64^{\circ} + 63^{\circ} = 180^{\circ}$ है।
चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए इन कोणों से त्रिभुज बनाना संभव है।
हालाँकि,त्रिभुज का आकार निश्चित नहीं है क्योंकि भुजाओं की लंबाई नहीं दी गई है।
भुजाओं की लंबाई बदलकर हम अलग-अलग आकार के त्रिभुज बना सकते हैं।
इसलिए,इन कोणों वाले अनंत त्रिभुज खींचे जा सकते हैं।

$(136^{\circ})$ यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है,तो क्रमागत अंतःकोणों (जिन्हें सह-अंतःकोण भी कहा जाता है) का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है,जिसका अर्थ है कि उनका योग $180^{\circ}$ होता है।
दी गई आकृति में,कोण $x$ और $44^{\circ}$ तिर्यक रेखा $n$ के एक ही ओर स्थित क्रमागत अंतःकोण हैं।
इसलिए,हमारे पास समीकरण है:
$x + 44^{\circ} = 180^{\circ}$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = 180^{\circ} - 44^{\circ}$
$x = 136^{\circ}$

(B) नहीं,यह आवश्यक नहीं है कि इनमें से प्रत्येक कोण एक समकोण हो।
दो आसन्न कोणों को उन कोणों के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष,एक उभयनिष्ठ भुजा और उभयनिष्ठ भुजा के विपरीत दिशाओं में गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ होती हैं।
यदि दो आसन्न कोण बराबर हैं,तो मान लीजिए कि प्रत्येक कोण $x$ है। उनका योग $2x$ है।
इन कोणों के समकोण $(90^{\circ})$ होने के लिए,उनका योग $180^{\circ}$ होना चाहिए (अर्थात,उन्हें रैखिक युग्म बनाना चाहिए)।
हालाँकि,आसन्न कोण किसी भी माप के हो सकते हैं जब तक कि वे आसन्नता की परिभाषा को पूरा करते हैं। उदाहरण के लिए,$45^{\circ}$ के दो आसन्न कोण बराबर हैं लेकिन वे समकोण नहीं हैं।

(D) मान लीजिए कि दो रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए $\angle AOC = 90^\circ$ है।
चूँकि $AB$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार)।
$90^\circ + \angle BOC = 180^\circ \implies \angle BOC = 90^\circ$।
इसी प्रकार,$\angle AOC + \angle AOD = 180^\circ$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार)।
$90^\circ + \angle AOD = 180^\circ \implies \angle AOD = 90^\circ$।
अंत में,$\angle AOD + \angle BOD = 180^\circ$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार)।
$90^\circ + \angle BOD = 180^\circ \implies \angle BOD = 90^\circ$।
अतः,अन्य तीनों कोण भी समकोण $(90^\circ)$ ही होंगे।

(N/A) आकृति $(i)$ के लिए,एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $132^{\circ} + 48^{\circ} = 180^{\circ}$ है।
चूँकि क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए रेखाएँ $l$ और $m$ समांतर हैं।
आकृति (ii) के लिए,एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $73^{\circ} + 106^{\circ} = 179^{\circ}$ है।
चूँकि क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ नहीं है,इसलिए रेखाएँ $p$ और $q$ समांतर नहीं हैं।

(B) जब दो रेखाएँ $l$ और $m$ एक ही रेखा $n$ पर लंब होती हैं,तो तिर्यक रेखा $n$ के एक ही ओर के अंतःकोण दोनों $90^{\circ}$ के होते हैं।
इन अंतःकोणों का योग $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ होता है।
समांतर रेखाओं के गुणधर्म के अनुसार,यदि एक तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ हो,तो रेखाएँ समांतर होती हैं।
अतः,रेखाएँ $l$ और $m$ एक-दूसरे के समांतर हैं,लंब नहीं।

(B) एक सीधी रेखा $CD$ पर बिंदु $O$ के चारों ओर के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
आकृति से,हमारे पास $\angle COE + \angle EOA + \angle AOD = 180^{\circ}$ है।
यहाँ $\angle COE = 2y$,$\angle EOA = 2y$ दिया गया है और $\angle AOD$,$\angle BOF$ का शीर्षाभिमुख कोण है,इसलिए $\angle AOD = \angle BOF = 5y$।
अतः,$2y + 2y + 5y = 180^{\circ}$।
$9y = 180^{\circ}$।
$y = 20^{\circ}$।

(N/A) दिया है: $x=y$ और $a=b$ है।
$1$. रेखाओं $l$ और $m$ के लिए एक तिर्यक रेखा है,जिसमें संगत कोण $x$ और $y$ बराबर हैं $(x=y)$। संगत कोण अभिगृहीत के विलोम के अनुसार,यदि संगत कोण बराबर हैं,तो रेखाएँ समांतर होती हैं। इसलिए,$l \parallel m$ $....(1)$
$2$. रेखाओं $n$ और $m$ के लिए एक तिर्यक रेखा है,जिसमें संगत कोण $a$ और $b$ बराबर हैं $(a=b)$। संगत कोण अभिगृहीत के विलोम के अनुसार,यदि संगत कोण बराबर हैं,तो रेखाएँ समांतर होती हैं। इसलिए,$n \parallel m$ $....(2)$
$3$. $(1)$ और $(2)$ से,चूँकि दोनों रेखाएँ $l$ और $n$ एक ही रेखा $m$ के समांतर हैं,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $l \parallel n$ (एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं)।

(N/A) दिया है: आकृति में,$OD \perp OE$ है। $OD$ और $OE$ क्रमशः $\angle AOC$ और $\angle BOC$ के समद्विभाजक हैं।
सिद्ध करना है: बिंदु $A, O$ और $B$ संरेख हैं,अर्थात $AOB$ एक सीधी रेखा है।
उपपत्ति: चूँकि $OD$ और $OE$ क्रमशः $\angle AOC$ और $\angle BOC$ को समद्विभाजित करते हैं,
$\angle AOC = 2 \angle DOC$ ---$(1)$
$\angle BOC = 2 \angle COE$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AOC + \angle BOC = 2 \angle DOC + 2 \angle COE$
$\Rightarrow \angle AOC + \angle BOC = 2(\angle DOC + \angle COE)$
$\Rightarrow \angle AOC + \angle BOC = 2 \angle DOE$
चूँकि $OD \perp OE$,इसलिए $\angle DOE = 90^{\circ}$ है।
$\Rightarrow \angle AOC + \angle BOC = 2 \times 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
चूँकि आसन्न कोणों $\angle AOC$ और $\angle BOC$ का योग $180^{\circ}$ है,वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं। अतः,$AOB$ एक सीधी रेखा है और बिंदु $A, O$ और $B$ संरेख हैं।

(N/A) हमें दिया गया है कि $\angle 1 = 60^{\circ}$ और $\angle 6 = 120^{\circ}$ है।
आकृति से,$\angle 5$ और $\angle 6$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए,$\angle 5 + \angle 6 = 180^{\circ}$ है।
$\angle 6$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle 5 + 120^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle 5 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
अब,हम देखते हैं कि $\angle 1 = 60^{\circ}$ और $\angle 5 = 60^{\circ}$ है।
अतः,$\angle 1 = \angle 5$ है।
चूँकि $\angle 1$ और $\angle 5$ संगत कोण हैं और वे बराबर हैं,इसलिए रेखाएँ $m$ और $n$ समांतर हैं।

(N/A) दिया है: $l \parallel m$ और $t$ एक तिर्यक रेखा है जो $l$ को $A$ पर और $m$ को $B$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$AP$,$\angle MAB$ का समद्विभाजक है और $BQ$,$\angle SBA$ का समद्विभाजक है (जहाँ $S$,रेखा $m$ पर एक बिंदु है ताकि $\angle MAB$ और $\angle SBA$ एकांतर अंतः कोण हों)।
चूंकि $l \parallel m$ और $t$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं:
$\angle MAB = \angle SBA$
चूंकि $AP$ और $BQ$ समद्विभाजक हैं:
$\angle PAB = \frac{1}{2} \angle MAB$ और $\angle QBA = \frac{1}{2} \angle SBA$
अतः,$\angle PAB = \angle QBA$ है।
ये तिर्यक रेखा $t$ द्वारा रेखाओं $AP$ और $BQ$ के साथ बने एकांतर अंतः कोण हैं।
चूंकि एकांतर अंतः कोण बराबर हैं,इसलिए रेखाएं समांतर होनी चाहिए।
अतः,$AP \parallel BQ$ है।

(N/A) दिया है: $AP$,$\angle MAB$ का समद्विभाजक है और $BQ$,$\angle SBA$ का समद्विभाजक है। हमें दिया गया है कि $AP \parallel BQ$ है।
चूंकि $AP \parallel BQ$ है और $t$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे:
$\angle 2 = \angle 3$ (एकांतर अंतःकोण)
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2 \angle 2 = 2 \angle 3$
चूंकि $AP$ और $BQ$ समद्विभाजक हैं:
$\angle 1 = \angle 2$ और $\angle 3 = \angle 4$
अतः,$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4$
इसका अर्थ है कि $\angle MAB = \angle SBA$ है।
चूंकि एकांतर अंतःकोण $\angle MAB$ और $\angle SBA$ बराबर हैं,इसलिए रेखाएं $l$ और $m$ समांतर होनी चाहिए,अर्थात $l \parallel m$।

(N/A) $DE$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $BC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
चूंकि $EF \parallel BC$ है और $DP$ एक तिर्यक रेखा है,
$\therefore \angle DEF = \angle DPC$ ....$(1)$ [संगत कोण]
अब,$AB \parallel ED$ (जो $DP$ रेखा ही है) और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,
$\therefore \angle DPC = \angle ABC$ ....$(2)$ [संगत कोण]
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\angle ABC = \angle DEF$
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) $ED$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $BC$ को बिंदु $P$ पर मिले।
चूंकि $EF \parallel BC$ है और $EP$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle DEF + \angle EPC = 180^{\circ} .....(1)$
पुनः,चूंकि $AB \parallel EP$ है और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle ABC = \angle EPC .....(2)$
समीकरण $(2)$ से $\angle EPC$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle DEF + \angle ABC = 180^{\circ}$
अतः,$\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}.$
इस प्रकार,यह सिद्ध हुआ।

(B) दिया गया है कि $DE \parallel QR$ है और रेखा $n$ एक तिर्यक रेखा है जो उन्हें काटती है।
चूंकि एक तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$\angle EAB + \angle RBA = 180^{\circ}$।
चूंकि $AP$,$\angle EAB$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle PAB = \frac{1}{2} \angle EAB$।
चूंकि $BP$,$\angle RBA$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle PBA = \frac{1}{2} \angle RBA$।
इन्हें जोड़ने पर,$\angle PAB + \angle PBA = \frac{1}{2} (\angle EAB + \angle RBA) = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ}$।
$\Delta APB$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^{\circ}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\angle APB + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
अतः,$\angle APB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।

दिया है: कोणों का अनुपात $2: 3: 4$ है।
ज्ञात करना है: त्रिभुज के कोण।
माना त्रिभुज के कोण $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ हैं।
इसलिए,$\angle A = 2x$,$\angle B = 3x$ और $\angle C = 4x$ होगा।
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है (त्रिभुज का कोण योग गुण)।
मान रखने पर: $2x + 3x + 4x = 180^{\circ}$।
$9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 180^{\circ} / 9 = 20^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$,$\angle B = 3 \times 20^{\circ} = 60^{\circ}$ और $\angle C = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$।
अतः,त्रिभुज के कोण $40^{\circ}, 60^{\circ}$ और $80^{\circ}$ हैं।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ में,$\angle BAC = 90^{\circ}$ और $AL \perp BC$ है।
सिद्ध करना है: $\angle BAL = \angle ACB$.
उपपत्ति:
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$90^{\circ} + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle ABC + \angle ACB = 90^{\circ} \quad \dots(1)$
$\triangle BAL$ में,$\angle ALB = 90^{\circ}$ (क्योंकि $AL \perp BC$ है)।
अतः,$\angle BAL + \angle ABL + \angle ALB = 180^{\circ}$
$\angle BAL + \angle ABC + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAL + \angle ABC = 90^{\circ} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से:
$\angle BAL + \angle ABC = \angle ACB + \angle ABC$
दोनों पक्षों से $\angle ABC$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BAL = \angle ACB$.
इति सिद्धम्।

(N/A) माना दो समांतर रेखाएँ $l$ और $m$ हैं,इस प्रकार कि $l \parallel m$ है। माना रेखा $p$,$l$ पर लंब है $(p \perp l)$ और रेखा $n$,$m$ पर लंब है $(n \perp m)$।
हमें यह दर्शाना है कि $p \parallel n$ है।
चूँकि $n \perp m$ है,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle 1 = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $p \perp l$ है,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle 2 = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $l \parallel m$ है और $p$ एक तिर्यक रेखा के रूप में कार्य करती है,संगत कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle 2 = \angle 3$ है।
चूँकि $\angle 2 = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle 3 = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,रेखा $m$ को तिर्यक रेखा मानकर रेखाओं $p$ और $n$ पर विचार करने पर,हमें $\angle 1 = 90^{\circ}$ और $\angle 3 = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\angle 1 = \angle 3$ है,ये संगत कोण हैं,जो यह दर्शाता है कि रेखाएँ $p$ और $n$ समांतर होनी चाहिए।
अतः,$p \parallel n$ है।

(N/A) मान लीजिए कि $A$ और $B$ पर अभिलंब $P$ पर मिलते हैं।
चूंकि दर्पण एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए $BP \parallel OA$ और $AP \parallel OB$ है।
अतः,$BP \perp PA$,अर्थात $\angle BPA = 90^{\circ}$ है।
$\triangle BPA$ में,कोण योग गुणधर्म के अनुसार:
$\angle 2 + \angle 3 + \angle BPA = 180^{\circ}$
$\angle 2 + \angle 3 + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ} ......(1)$
परावर्तन के नियमों के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है:
$\angle 1 = \angle 2$ और $\angle 3 = \angle 4$
इन मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle 1 + \angle 4 = 90^{\circ} ......(2)$
अब,कोणों $\angle CAB$ और $\angle DBA$ के योग पर विचार करें:
$\angle CAB + \angle DBA = (\angle 1 + \angle 2) + (\angle 3 + \angle 4)$
$= 2\angle 2 + 2\angle 3 = 2(\angle 2 + \angle 3)$
$= 2(90^{\circ}) = 180^{\circ}$
चूंकि तिर्यक रेखा $AB$ के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए रेखाएं $CA$ और $BD$ समांतर होनी चाहिए।
अतः,$CA \parallel BD$।

(N/A) मान लीजिए कि एक त्रिभुज $PQR$ है,जिसमें $\angle 1, \angle 2$ और $\angle 3$ त्रिभुज $\Delta PQR$ के अंतःकोण हैं।
हमें सिद्ध करना है कि $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$ है।
शीर्ष $P$ से होकर जाने वाली और $QR$ के समांतर एक रेखा $XPY$ खींचिए।
चूंकि $XPY$ एक सीधी रेखा है,इसलिए बिंदु $P$ पर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होगा,अतः $\angle 4 + \angle 1 + \angle 5 = 180^{\circ}$।
चूंकि $XPY \parallel QR$ है और $PQ, PR$ तिर्यक रेखाएं हैं,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे:
$\angle 4 = \angle 2$ और $\angle 5 = \angle 3$।
इन मानों को समीकरण $\angle 4 + \angle 1 + \angle 5 = 180^{\circ}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle 2 + \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$।
अतः,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।

(N/A) त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,हमारे पास है:
$\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
पूरे समीकरण को $2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB = 90^{\circ}$
चूंकि $BO$ और $CO$ क्रमशः $\angle B$ और $\angle C$ के कोण समद्विभाजक हैं,हम $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ और $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$ लिख सकते हैं। इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \angle A + \angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ} .......(1)$
अब,त्रिभुज $OBC$ पर विचार करें। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ} .......(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $(\angle OBC + \angle OCB) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$ है। इसे समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle BOC + (90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A) = 180^{\circ}$
अतः,$\angle BOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$
$\angle BOC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.

(N/A) दिया है: दो रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है:
$(i)$ $\angle AOC = \angle BOD$
$(ii)$ $\angle AOD = \angle BOC$
उपपत्ति:
$(i)$ चूँकि किरण $OA$,रेखा $CD$ पर स्थित है,रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार:
$\angle AOC + \angle AOD = 180^{\circ}$ ....$(1)$
इसी प्रकार,चूँकि किरण $OD$,रेखा $AB$ पर स्थित है,रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार:
$\angle AOD + \angle BOD = 180^{\circ}$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AOC + \angle AOD = \angle AOD + \angle BOD$
दोनों पक्षों से $\angle AOD$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AOC = \angle BOD$
अतः,सिद्ध हुआ।
$(ii)$ चूँकि किरण $OD$,रेखा $AB$ पर स्थित है,रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार:
$\angle AOD + \angle BOD = 180^{\circ}$ ....$(3)$
इसी प्रकार,चूँकि किरण $OB$,रेखा $CD$ पर स्थित है,रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार:
$\angle BOD + \angle BOC = 180^{\circ}$ ....$(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AOD + \angle BOD = \angle BOD + \angle BOC$
दोनों पक्षों से $\angle BOD$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AOD = \angle BOC$
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है : $\triangle ABC$,$BC$ को $D$ तक बढ़ाइए और $\angle ABC$ तथा $\angle ACD$ के समद्विभाजक बिंदु $T$ पर मिलते हैं।
सिद्ध करना है : $\angle BTC = \frac{1}{2} \angle BAC$
उपपत्ति : $\triangle ABC$ में,$\angle ACD$ एक बाह्य कोण है।
$\therefore \angle ACD = \angle ABC + \angle CAB$
[त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है]
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC$ [दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर]
$\Rightarrow \angle TCD = \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC .....(1)$
[चूँकि $CT$,$\angle ACD$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle TCD = \frac{1}{2} \angle ACD$]
$\triangle BTC$ में,$\angle TCD$ एक बाह्य कोण है।
$\therefore \angle TCD = \angle BTC + \angle CBT$
[त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है]
$\Rightarrow \angle TCD = \angle BTC + \frac{1}{2} \angle ABC .....(2)$
[चूँकि $BT$,$\angle ABC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle CBT = \frac{1}{2} \angle ABC$]
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC = \angle BTC + \frac{1}{2} \angle ABC$
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle CAB = \angle BTC$ या $\angle BTC = \frac{1}{2} \angle BAC$
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: दो समांतर रेखाएँ $DE$ और $QR$ एक तिर्यक रेखा द्वारा क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित होती हैं। मान लीजिए $AF$,$\angle CAE$ का समद्विभाजक है और $BP$,$\angle ABR$ का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: $AF \parallel BP$.
उपपत्ति: चूँकि $DE \parallel QR$,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं,अतः $\angle CAE = \angle ABR$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} \angle CAE = \frac{1}{2} \angle ABR$.
चूँकि $AF$ और $BP$ समद्विभाजक हैं,इसलिए $\frac{1}{2} \angle CAE = \angle FAB$ और $\frac{1}{2} \angle ABR = \angle ABP$ होगा।
अतः,$\angle FAB = \angle ABP$.
ये तिर्यक रेखा $n$ द्वारा रेखाओं $AF$ और $BP$ पर बने संगत कोण हैं। यदि संगत कोण बराबर हैं,तो रेखाएँ समांतर होती हैं। अतः,$AF \parallel BP$ सिद्ध होता है।

(N/A) मान लीजिए $AB$ एक दी गई रेखा है और $P$ रेखा के बाहर एक बिंदु है।
बिंदु $P$ से,रेखा $AB$ पर एक लंब $PM$ खींचिए,ताकि $\angle PMB = 90^{\circ}$ हो।
मान लीजिए,यदि संभव हो,तो हम रेखा $AB$ पर एक और लंब $PN$ खींच सकते हैं,ताकि $\angle PNB = 90^{\circ}$ हो।
$\triangle PMN$ में,चूंकि $\angle PMB = 90^{\circ}$ और $\angle PNB = 90^{\circ}$ है,हम देखते हैं कि यदि $N$ और $M$ अलग-अलग बिंदु हैं,तो $\triangle PMN$ में दो कोण $90^{\circ}$ के होंगे,जिसका अर्थ है कि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ से अधिक हो जाएगा। यह त्रिभुज के कोण योग गुण का विरोधाभास करता है।
इसलिए,बिंदु $M$ और $N$ संपाती होने चाहिए।
अतः,एक दिए गए बिंदु से,हम एक दी गई रेखा पर केवल एक ही लंब खींच सकते हैं।

(N/A) मान लीजिए $l$ और $m$ दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं। मान लीजिए रेखा $n$,$l$ पर लंब है $(n \perp l)$ और रेखा $p$,$m$ पर लंब है $(p \perp m)$।
सिद्ध करना है: रेखाएँ $n$ और $p$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
उपपत्ति: विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने के लिए मान लीजिए कि रेखाएँ $n$ और $p$ एक-दूसरे के समांतर हैं $(n \parallel p)$।
चूँकि $n \perp l$ और $n \parallel p$,इसलिए $p \perp l$ होगा (क्योंकि एक ही रेखा पर लंब रेखाएँ समांतर होती हैं,या यदि कोई रेखा दो समांतर रेखाओं में से एक पर लंब है,तो वह दूसरी पर भी लंब होती है)।
हमें दिया गया है कि $p \perp m$ है। अतः,हमारे पास $p \perp l$ और $p \perp m$ है।
इसका अर्थ है कि $l \parallel m$ (क्योंकि दोनों रेखा $p$ पर लंब हैं)।
हालाँकि,यह इस दी गई जानकारी का विरोधाभास करता है कि $l$ और $m$ प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं।
अतः,हमारी यह धारणा कि $n \parallel p$ है,गलत है।
इसलिए,रेखाएँ $n$ और $p$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।

(N/A) मान लीजिए कि एक त्रिभुज के कोण $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ हैं। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
स्थिति $1$: यदि त्रिभुज एक न्यूनकोण त्रिभुज है,तो तीनों कोण $90^{\circ}$ से कम होते हैं। अतः,इसमें तीन न्यूनकोण होते हैं।
स्थिति $2$: यदि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,तो एक कोण $90^{\circ}$ होता है। मान लीजिए $\angle A = 90^{\circ}$ है। तब $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ होगा। चूँकि दो धनात्मक कोणों का योग $90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle B$ और $\angle C$ दोनों $90^{\circ}$ से कम होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि वे दोनों न्यूनकोण हैं।
स्थिति $3$: यदि त्रिभुज एक अधिककोण त्रिभुज है,तो एक कोण $90^{\circ}$ से अधिक होता है। मान लीजिए $\angle A > 90^{\circ}$ है। तब $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$ होगा। चूँकि $\angle A > 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle B + \angle C < 90^{\circ}$ होगा। इसका तात्पर्य यह है कि $\angle B$ और $\angle C$ दोनों $90^{\circ}$ से कम होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि वे दोनों न्यूनकोण हैं।
निष्कर्ष: सभी संभावित स्थितियों में,एक त्रिभुज में कम से कम दो न्यूनकोण होने ही चाहिए।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ में,$\angle Q > \angle R$,$PA$,$\angle QPR$ का समद्विभाजक है और $PM \perp QR$ है।
सिद्ध करना है: $\angle APM = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $PA$,$\angle QPR$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle QPA = \angle APR = \frac{1}{2} \angle QPR$ है।
$2$. $\triangle PQM$ में,$\angle Q + \angle PMQ + \angle QPM = 180^{\circ}$। चूँकि $\angle PMQ = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle Q + 90^{\circ} + \angle QPM = 180^{\circ}$,अतः $\angle Q = 90^{\circ} - \angle QPM$।
$3$. $\triangle PRM$ में,$\angle R + \angle PMR + \angle RPM = 180^{\circ}$। चूँकि $\angle PMR = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle R + 90^{\circ} + \angle RPM = 180^{\circ}$,अतः $\angle R = 90^{\circ} - \angle RPM$।
$4$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $\angle Q - \angle R = (90^{\circ} - \angle QPM) - (90^{\circ} - \angle RPM) = \angle RPM - \angle QPM$।
$5$. हम लिख सकते हैं कि $\angle RPM = \angle APM + \angle APR$ और $\angle QPM = \angle QPA - \angle APM$।
$6$. इन मानों को रखने पर: $\angle Q - \angle R = (\angle APM + \angle APR) - (\angle QPA - \angle APM)$।
$7$. चूँकि $\angle QPA = \angle APR$ है,इसलिए यह सरल होकर $\angle Q - \angle R = 2 \angle APM$ हो जाता है।
$8$. अतः,$\angle APM = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$। इति सिद्धम्।

(N/A) चूँकि $AB$ एक सीधी रेखा है,$\angle APC + \angle BPC = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म कोण)।
दिया गया है कि $\angle APC : \angle BPC = 7 : 8$ है।
माना $\angle APC = 7x$ और $\angle BPC = 8x$ है।
अतः,$7x + 8x = 180^{\circ}$।
$15x = 180^{\circ}$।
$x = \frac{180^{\circ}}{15} = 12^{\circ}$।
इसलिए,$\angle APC = 7 \times 12^{\circ} = 84^{\circ}$ और $\angle BPC = 8 \times 12^{\circ} = 96^{\circ}$ है।
चूँकि रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle DPB = \angle APC = 84^{\circ}$ और $\angle APD = \angle BPC = 96^{\circ}$ है।
इस प्रकार,चारों कोण $84^{\circ}, 96^{\circ}, 84^{\circ}$ और $96^{\circ}$ हैं।

(A) चूंकि किरण $YW$ रेखा $XYZ$ पर स्थित है,इसलिए $\angle WYZ + \angle WYX = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म कोण)।
दिया गया है कि $\angle WYZ : \angle WYX = 1 : 2$,इसलिए मान लीजिए $\angle WYZ = x$ और $\angle WYX = 2x$ है।
अतः,$x + 2x = 180^{\circ} \implies 3x = 180^{\circ} \implies x = 60^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle WYZ = 60^{\circ}$ और $\angle WYX = 120^{\circ}$ है।
किरण $YQ$,$\angle WYZ$ का कोण समद्विभाजक है,इसलिए $\angle WYQ = \frac{1}{2} \times \angle WYZ = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
किरण $YP$,$\angle WYX$ का कोण समद्विभाजक है,इसलिए $\angle WYP = \frac{1}{2} \times \angle WYX = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
अंत में,$\angle PYQ = \angle WYQ + \angle WYP = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$।

(N/A) दिया गया है कि $AB \perp CD$,इसलिए $\angle ABC = 90^{\circ}$ है।
आकृति से,$\angle ABC = x + y + z = 90^{\circ}$ है।
कोणों का अनुपात $x : y : z = 4 : 5 : 6$ दिया गया है।
मान लीजिए कि कोण क्रमशः $4k, 5k$ और $6k$ हैं।
अनुपातों का योग $= 4 + 5 + 6 = 15$ है।
इसलिए,$15k = 90^{\circ}$,जिससे हमें $k = \frac{90^{\circ}}{15} = 6^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,मानों की गणना करते हैं:
$x = 4k = 4 \times 6^{\circ} = 24^{\circ}$
$y = 5k = 5 \times 6^{\circ} = 30^{\circ}$
$z = 6k = 6 \times 6^{\circ} = 36^{\circ}$
अतः,$x = 24^{\circ}, y = 30^{\circ}$ और $z = 36^{\circ}$ है।

(N/A) दिया गया है कि रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चूँकि $AB$ एक सीधी रेखा है,रेखा के एक ओर के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle AOC + \angle COE + \angle BOE = 180^{\circ}.$
हमें $\angle AOC + \angle BOE = 100^{\circ}$ दिया गया है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $100^{\circ} + \angle COE = 180^{\circ},$
जिससे $\angle COE = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $AB$ और $CD$ सीधी रेखाएँ हैं,शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle AOC = \angle BOD = 40^{\circ}.$
दिए गए समीकरण $\angle AOC + \angle BOE = 100^{\circ}$ का उपयोग करने पर,
$40^{\circ} + \angle BOE = 100^{\circ},$
$\angle BOE = 100^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ}.$
अंत में,प्रतिवर्ती $\angle COE = 360^{\circ} - \angle COE = 360^{\circ} - 80^{\circ} = 280^{\circ}$ होगा।

(N/A) दिया गया है कि किरण $QS \perp PR$,इसलिए $\angle PQS = \angle SQR = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle PQT + \angle TQS = \angle PQS$,इसलिए $b + a = 90^{\circ}$।
दिया है $a: b = 7: 11$,मान लीजिए $a = 7x$ और $b = 11x$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $7x + 11x = 90^{\circ} \implies 18x = 90^{\circ} \implies x = 5^{\circ}$।
अतः,$a = 7 \times 5^{\circ} = 35^{\circ}$ और $b = 11 \times 5^{\circ} = 55^{\circ}$।
चूंकि $PR$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle PQT + \angle TQR = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$b + \angle TQR = 180^{\circ} \implies 55^{\circ} + \angle TQR = 180^{\circ} \implies \angle TQR = 125^{\circ}$।
रेखाएं $PR$ और $TU$ बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$c = \angle PQT = b = 55^{\circ}$।
प्रतिवर्ती $\angle TQR = 360^{\circ} - \angle TQR = 360^{\circ} - 125^{\circ} = 235^{\circ}$।

(N/A) दिया गया है कि $\angle ABC = 70^{\circ}$ और $\angle ACB = 60^{\circ}$ है।
चूंकि $DBC$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle ABC$ और $\angle ABD$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$\angle ABD + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABD + 70^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle ABD = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\angle ACB$ और $\angle ACE$ सीधी रेखा $BCE$ पर रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$\angle ACE + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle ACE + 60^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle ACE = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle ABD = 110^{\circ}$ और $\angle ACE = 120^{\circ}$।

(N/A) दिया गया है कि $\angle DBC = 70^{\circ}$ और $ABC$ एक सीधी रेखा है।
अतः,$\angle DBA + \angle DBC = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)।
$\angle DBA + 70^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle DBA = 110^{\circ}$।
चूंकि किरण $BP$,$\angle DBA$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle ABP = \angle PBD = \frac{1}{2} \times \angle DBA = \frac{1}{2} \times 110^{\circ} = 55^{\circ}$।
अब,$\angle PBC = \angle PBD + \angle DBC = 55^{\circ} + 70^{\circ} = 125^{\circ}$।
$\angle PBD$ का प्रतिवर्ती कोण = $360^{\circ} - \angle PBD = 360^{\circ} - 55^{\circ} = 305^{\circ}$।