Mix Examples - Lines and Angles Questions in Hindi

(C) दो कोण पूरक कोण कहलाते हैं यदि उनका योग $90^{\circ}$ हो।
दिया गया है कि $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$।
साथ ही,अनुपात $\angle A : \angle B = 1 : 5$ है। मान लीजिए $\angle A = x$ और $\angle B = 5x$ है।
इन मानों को योग समीकरण में रखने पर: $x + 5x = 90^{\circ}$।
$6x = 90^{\circ}$।
$x = 90^{\circ} / 6 = 15^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 15^{\circ}$ और $\angle B = 5 \times 15^{\circ} = 75^{\circ}$।

(A) दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^{\circ}$ हो।
दिया गया है $\angle X : \angle Y = 23 : 13$,मान लीजिए $\angle X = 23k$ और $\angle Y = 13k$ है।
चूंकि वे संपूरक हैं,इसलिए $23k + 13k = 180^{\circ}$.
$36k = 180^{\circ}$.
$k = \frac{180^{\circ}}{36} = 5^{\circ}$.
अतः,$\angle X = 23 \times 5^{\circ} = 115^{\circ}$ और $\angle Y = 13 \times 5^{\circ} = 65^{\circ}$.

(A) दो कोण पूरक होते हैं यदि उनका योग $90^{\circ}$ हो।
अतः,$\angle P + \angle Q = 90^{\circ}$.
दिए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $(3x + 15^{\circ}) + (x + 7^{\circ}) = 90^{\circ}$.
समान पदों को जोड़ने पर: $4x + 22^{\circ} = 90^{\circ}$.
दोनों पक्षों से $22^{\circ}$ घटाने पर: $4x = 68^{\circ}$.
$4$ से भाग देने पर: $x = 17^{\circ}$.
अब,$\angle P$ का मान ज्ञात करें: $\angle P = 3(17^{\circ}) + 15^{\circ} = 51^{\circ} + 15^{\circ} = 66^{\circ}$.
$\angle Q$ का मान ज्ञात करें: $\angle Q = 17^{\circ} + 7^{\circ} = 24^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle P = 66^{\circ}$ और $\angle Q = 24^{\circ}$ है।

(B) दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^{\circ}$ हो।
अतः,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
दिए गए व्यंजकों को रखने पर: $(3x - 10^{\circ}) + (2x + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$.
समान पदों को जोड़ने पर: $5x + 20^{\circ} = 180^{\circ}$.
दोनों पक्षों से $20^{\circ}$ घटाने पर: $5x = 160^{\circ}$.
$5$ से भाग देने पर: $x = 32^{\circ}$.
अब,$\angle A$ ज्ञात करें: $\angle A = 3(32^{\circ}) - 10^{\circ} = 96^{\circ} - 10^{\circ} = 86^{\circ}$.
$\angle B$ ज्ञात करें: $\angle B = 2(32^{\circ}) + 30^{\circ} = 64^{\circ} + 30^{\circ} = 94^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle A = 86^{\circ}$ और $\angle B = 94^{\circ}$।

(A) दो कोण पूरक होते हैं यदि उनका योग $90^{\circ}$ हो।
दिया गया है: $\angle X + \angle Y = 90^{\circ}$ और $\angle X = 4 \angle Y$.
पहले समीकरण में $\angle X$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \angle Y + \angle Y = 90^{\circ}$
$5 \angle Y = 90^{\circ}$
$\angle Y = 90^{\circ} / 5 = 18^{\circ}$.
अब,$\angle X$ ज्ञात कीजिए:
$\angle X = 4 \times 18^{\circ} = 72^{\circ}$.
अतः,$\angle X = 72^{\circ}$ और $\angle Y = 18^{\circ}$ है।

(D) दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^{\circ}$ हो।
अतः,$\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$.
दिया गया है कि $\angle P = 11 \angle Q$.
पहले समीकरण में $\angle P$ का मान रखने पर:
$11 \angle Q + \angle Q = 180^{\circ}$
$12 \angle Q = 180^{\circ}$
$\angle Q = \frac{180^{\circ}}{12} = 15^{\circ}$.
अब,$\angle P$ ज्ञात कीजिए:
$\angle P = 11 \times 15^{\circ} = 165^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle P = 165^{\circ}$ और $\angle Q = 15^{\circ}$ है।

(A) दो कोण पूरक होते हैं यदि उनका योग $90^{\circ}$ हो।
अतः,$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B - 20^{\circ}$।
पहले समीकरण में $\angle A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\angle B - 20^{\circ}) + \angle B = 90^{\circ}$
$2\angle B - 20^{\circ} = 90^{\circ}$
$2\angle B = 110^{\circ}$
$\angle B = 55^{\circ}$।
अब,$\angle A$ ज्ञात कीजिए:
$\angle A = 55^{\circ} - 20^{\circ} = 35^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle A = 35^{\circ}$ और $\angle B = 55^{\circ}$।

(A) दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^{\circ}$ हो।
दिया गया है: $\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$ (समीकरण $1$)
दिया गया है: $\angle P = \angle Q + 35^{\circ}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$(\angle Q + 35^{\circ}) + \angle Q = 180^{\circ}$
$2\angle Q + 35^{\circ} = 180^{\circ}$
$2\angle Q = 180^{\circ} - 35^{\circ}$
$2\angle Q = 145^{\circ}$
$\angle Q = 145^{\circ} / 2 = 72.5^{\circ}$
अब,समीकरण $2$ का उपयोग करके $\angle P$ ज्ञात करें:
$\angle P = 72.5^{\circ} + 35^{\circ} = 107.5^{\circ}$
अतः,$\angle P = 107.5^{\circ}$ और $\angle Q = 72.5^{\circ}$।

(A) चूंकि $\angle APC$ और $\angle BPD$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए वे बराबर होंगे।
अतः,$3x - 20^{\circ} = 2x + 30^{\circ}$.
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर,हमें $x - 20^{\circ} = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $20^{\circ}$ जोड़ने पर,$x = 50^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,$x = 50^{\circ}$ का मान कोणों के व्यंजकों में रखने पर:
$\angle APC = 3(50^{\circ}) - 20^{\circ} = 150^{\circ} - 20^{\circ} = 130^{\circ}$.
$\angle BPD = 2(50^{\circ}) + 30^{\circ} = 100^{\circ} + 30^{\circ} = 130^{\circ}$.
इस प्रकार,$x = 50^{\circ}$ है और दोनों कोणों की माप $130^{\circ}$ है।

(A) चूँकि $\angle ABD$ और $\angle DBC$ आसन्न कोण हैं,उनका योग $\angle ABC$ के बराबर होगा।
अतः,$\angle ABD + \angle DBC = \angle ABC$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1.5x + 2x = 70$.
$3.5x = 70$.
$x = \frac{70}{3.5} = 20$.
अब,कोणों के माप की गणना करें:
$\angle ABD = 1.5 \times 20^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\angle DBC = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
इस प्रकार,$x = 20$,$\angle ABD = 30^{\circ}$ और $\angle DBC = 40^{\circ}$ है।

(A) आकृति में दिखाए अनुसार बिंदु $X$ से होकर जाने वाली एक रेखा $PQ \parallel AB$ खींचिए।
अब,$PQ \parallel AB$ और $AB \parallel CD$ है।
इसलिए,$CD \parallel PQ$ (चूंकि $AB \parallel CD$ और $AB \parallel PQ$ है)।
समांतर रेखाओं $AB$ और $PQ$ को काटने वाली तिर्यक रेखा $MX$ पर विचार करें। तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
$\therefore \angle BMX + \angle MXQ = 180^{\circ}$
दिया है $\angle BMX = 125^{\circ}$,अतः:
$125^{\circ} + \angle MXQ = 180^{\circ}$
$\therefore \angle MXQ = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$ $(1)$
अब,समांतर रेखाओं $CD$ और $PQ$ को काटने वाली तिर्यक रेखा $NX$ पर विचार करें। एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle NXQ = \angle XNC = 55^{\circ}$ $(2)$
अंत में,$\angle MXN = \angle MXQ + \angle NXQ$ है।
$(1)$ और $(2)$ से मान रखने पर:
$\angle MXN = 55^{\circ} + 55^{\circ} = 110^{\circ}$.

$(96^{\circ})$ दिया है: $PQ \parallel RS$ और $RS \parallel TU$ है।
चूंकि एक ही रेखा के समांतर रेखाएं एक-दूसरे के समांतर होती हैं,इसलिए $PQ \parallel TU$ होगा।
अतः,$x = z$ (एकांतर अंतःकोण)।
अब,$PQ \parallel RS$ के लिए,तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
अतः,$x + y = 180^{\circ}$।
समीकरण में $x = z$ रखने पर,हमें $z + y = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $y: z = 7: 8$ दिया गया है,इसलिए मान लीजिए $y = 7k$ और $z = 8k$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $7k + 8k = 180^{\circ} \implies 15k = 180^{\circ} \implies k = 12^{\circ}$।
इस प्रकार,$y = 7 \times 12^{\circ} = 84^{\circ}$ और $z = 8 \times 12^{\circ} = 96^{\circ}$।
चूंकि $x = z$ है,इसलिए $x = 96^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. आकृति से,कोण $x$ और कोण $70^{\circ}$ शीर्षाभिमुख कोण हैं। इसलिए,$x = 70^{\circ}$।
$2$. आकृति में $y$ और $110^{\circ}$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए $y = 110^{\circ}$।
$3$. वैकल्पिक रूप से,तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण $y$ और $x$ हैं। यहाँ $y = 110^{\circ}$ और $x = 70^{\circ}$ है,इसलिए उनका योग $110^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$ है।
$4$. चूँकि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए रेखाएँ $PQ$ और $XY$ समांतर हैं $(PQ \parallel XY)$।

(D) दिया गया है कि $PQ || RS$ और $RS || MN$ है। इसलिए,$PQ || MN$ होगा।
आकृति से,$x$ और $y$ रेखाओं $PQ$ और $RS$ के बीच तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण हैं,इसलिए $x + y = 180^o$।
इसी प्रकार,$y$ और $z$ रेखाओं $RS$ और $MN$ के बीच तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण हैं,इसलिए $y + z = 180^o$।
इसका अर्थ है कि $x = z$ (क्योंकि दोनों $y$ के संपूरक कोण हैं)।
दिया है $y: z = 7: 11$,मान लीजिए $y = 7k$ और $z = 11k$ है।
चूंकि $y + z = 180^o$,इसलिए $7k + 11k = 180^o$,जिससे $18k = 180^o$ प्राप्त होता है,अतः $k = 10^o$।
इस प्रकार,$y = 7 \times 10^o = 70^o$ और $z = 11 \times 10^o = 110^o$।
चूंकि $x + y = 180^o$,इसलिए $x + 70^o = 180^o$।
अतः,$x = 180^o - 70^o = 110^o$।

(N/A) $1$. दिया है: $PQ \parallel RS$,$YZ \perp RS$ (अर्थात $\angle YZS = 90^{\circ}$),और $\angle SZX = 143^{\circ}$।
$2$. चूँकि $RS$ एक सीधी रेखा है,$\angle RZX + \angle SZX = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$\angle RZX + 143^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle RZX = 37^{\circ}$।
$3$. चूँकि $PQ \parallel RS$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं। अतः,$\angle PXZ = \angle RZX = 37^{\circ}$।
$4$. चूँकि $YZ \perp RS$,$\angle YZS = 90^{\circ}$। साथ ही,$\angle XZY = \angle YZS - \angle XZS$। शीर्षाभिमुख कोण होने के कारण $\angle XZS = \angle RZX = 37^{\circ}$। अतः,$\angle XZY = 90^{\circ} - 37^{\circ} = 53^{\circ}$।
$5$. $\triangle XYZ$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। $\angle YXZ + \angle XZY + \angle XYZ = 180^{\circ}$। चूँकि $PQ \parallel RS$ और $YZ \perp RS$,$\angle XYZ = 90^{\circ}$।
$\angle YXZ + 53^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle YXZ = 180^{\circ} - 143^{\circ} = 37^{\circ}$।

(B) $\angle BPC$ ज्ञात करने के लिए,बिंदु $P$ से होकर जाने वाली एक रेखा $EF$ खींचिए ताकि $EF \parallel AB$ हो। चूँकि $AB \parallel CD$ और $EF \parallel AB$,इसलिए $EF \parallel CD$ होगा।
$1$. समांतर रेखाओं $AB$ और $EF$ पर विचार करें। चूँकि $BP$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle PBA + \angle BPE = 180^{\circ}$
$140^{\circ} + \angle BPE = 180^{\circ}$
$\angle BPE = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$.
$2$. समांतर रेखाओं $CD$ और $EF$ पर विचार करें। चूँकि $CP$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle PCD + \angle CPE = 180^{\circ}$
$130^{\circ} + \angle CPE = 180^{\circ}$
$\angle CPE = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
$3$. अब,$\angle BPC = \angle BPE + \angle CPE = 40^{\circ} + 50^{\circ} = 90^{\circ}$.

(C) दिया गया है कि $AB \parallel CD$ है।
चूंकि $AB \parallel CD$ है और $XY$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं। अतः,$\angle C Y X = \angle AXY = 80^{\circ}$।
चूंकि $CYD$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle C Y X + \angle X Y Z = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$AB \parallel CD$ के कारण,$\angle AXY + \angle X Y C = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
$80^{\circ} + \angle X Y C = 180^{\circ} \implies \angle X Y C = 100^{\circ}$।
चूंकि $CYD$ एक सीधी रेखा है,$\angle X Y C + \angle X Y Z = 180^{\circ} \implies 100^{\circ} + x = 180^{\circ} \implies x = 80^{\circ}$।
अब,$\angle XZD = 140^{\circ}$ के लिए,$CYD$ एक सीधी रेखा है,अतः $\angle X Z Y + \angle X Z D = 180^{\circ} \implies \angle X Z Y + 140^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle X Z Y = 40^{\circ}$।
$\triangle XYZ$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle X Y Z + \angle X Z Y + \angle Y X Z = 180^{\circ} \implies 80^{\circ} + 40^{\circ} + y = 180^{\circ} \implies 120^{\circ} + y = 180^{\circ} \implies y = 60^{\circ}$।
अतः,$x = 80^{\circ}$ और $y = 60^{\circ}$।

(D) मान लीजिए $\angle XYZ = 2\theta$ है। चूँकि $YM$,$\angle XYZ$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle XYM = \angle MYZ = \theta$ होगा।
चूँकि $YN$,$\angle MYZ$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle MYN = \angle NYZ = \frac{\theta}{2}$ होगा।
दिया गया है कि $\angle XYN = 45^{\circ}$,जिसे हम $\angle XYM + \angle MYN = 45^{\circ}$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान रखने पर,हमें $\theta + \frac{\theta}{2} = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{3\theta}{2} = 45^{\circ}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $3\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle XYZ = 2\theta = 2(30^{\circ}) = 60^{\circ}$ होगा।

(N/A) दिया गया है कि किरण $BE$,$\angle DBC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle EBC = \angle EBD = 19^{\circ}$ है।
अतः,$\angle DBC = \angle EBC + \angle EBD = 19^{\circ} + 19^{\circ} = 38^{\circ}$ होगा।
चूंकि किरण $BD$,$\angle ABC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle ABD = \angle DBC = 38^{\circ}$ होगा।
इस प्रकार,$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 38^{\circ} + 38^{\circ} = 76^{\circ}$ होगा।
अंत में,$\angle ABE = \angle ABD + \angle DBE = 38^{\circ} + 19^{\circ} = 57^{\circ}$ होगा।

(A) चूंकि $\angle ABC$ और $\angle ABD$ एक रैखिक युग्म बनाते हैं,इसलिए उनका योग $180^{\circ}$ होता है।
माना $\angle ABC = 17x$ और $\angle ABD = 13x$ है।
अतः,$17x + 13x = 180^{\circ}$।
$30x = 180^{\circ}$,जिससे $x = 6^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,$\angle ABC = 17 \times 6^{\circ} = 102^{\circ}$।
और $\angle ABD = 13 \times 6^{\circ} = 78^{\circ}$।

(C) चूंकि $\angle PQR$ और $\angle PQS$ एक रैखिक युग्म बनाते हैं,इसलिए उनका योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle PQR + \angle PQS = 180^{\circ}$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है कि $11 \angle PQR = 9 \angle PQS$,इसलिए हम लिख सकते हैं $\angle PQS = \frac{11}{9} \angle PQR$।
इसे समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle PQR + \frac{11}{9} \angle PQR = 180^{\circ}$।
$\frac{9 \angle PQR + 11 \angle PQR}{9} = 180^{\circ}$।
$\frac{20 \angle PQR}{9} = 180^{\circ}$।
$20 \angle PQR = 1620^{\circ}$।
$\angle PQR = \frac{1620^{\circ}}{20} = 81^{\circ}$।
अब,$\angle PQS$ ज्ञात कीजिए:
$\angle PQS = 180^{\circ} - 81^{\circ} = 99^{\circ}$।
अतः,$\angle PQR = 81^{\circ}$ और $\angle PQS = 99^{\circ}$ है।

(A) जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं,तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
चूँकि रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए $\angle APC$ और $\angle BPD$ शीर्षाभिमुख कोण हैं।
अतः,$\angle APC = \angle BPD$.
दिए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $2x + 30^{\circ} = 4x - 20^{\circ}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $30^{\circ} + 20^{\circ} = 4x - 2x$.
$50^{\circ} = 2x$,जिससे $x = 25^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,कोणों की गणना करते हैं:
$\angle APC = 2(25) + 30 = 50 + 30 = 80^{\circ}$.
$\angle BPD = 4(25) - 20 = 100 - 20 = 80^{\circ}$.
इस प्रकार,$x = 25$,$\angle APC = 80^{\circ}$ और $\angle BPD = 80^{\circ}$ है।

(N/A) दिया है: $AB \parallel DE$ और $BC \parallel EF$ है।
सिद्ध करना है: $\angle ABC = \angle DEF$ है।
रचना: $DE$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $BC$ को बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $AB \parallel DE$ है और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle ABC = \angle DGC$ (संगत कोण)।
$2$. चूँकि $BC \parallel EF$ है और $DE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle DGC = \angle DEF$ (संगत कोण)।
$3$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle ABC = \angle DEF$ है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $AB \parallel DE$ और $BC \parallel EF$।
सिद्ध करना है: $\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$।
रचना: $ED$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $BC$ को बिंदु $G$ पर मिले।
उपपत्ति:
चूंकि $AB \parallel DE$ और $ED$ को $G$ तक बढ़ाया गया है,इसलिए $AB \parallel DG$ है।
चूंकि $AB \parallel DG$ और $BG$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,अतः $\angle ABC + \angle BGD = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
अब,$BC \parallel EF$ पर विचार करें। चूंकि $BC \parallel EF$ और $EG$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle BGD = \angle DEF$ (संगत कोण)।
पहले समीकरण में $\angle BGD = \angle DEF$ रखने पर,हमें $\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम।

(A) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया अनुपात $\angle A : \angle B : \angle C = 5 : 7 : 8$ है,इसलिए मान लीजिए कि कोण $5x, 7x$ और $8x$ हैं।
कोणों का योग: $5x + 7x + 8x = 180^{\circ}$.
$20x = 180^{\circ}$.
$x = \frac{180^{\circ}}{20} = 9^{\circ}$.
अतः,कोणों के माप इस प्रकार हैं:
$\angle A = 5 \times 9^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\angle B = 7 \times 9^{\circ} = 63^{\circ}$.
$\angle C = 8 \times 9^{\circ} = 72^{\circ}$.

(N/A) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle A \quad \dots(1)$
$\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक $I$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\therefore \angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ और $\angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB$.
$\Delta IBC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle BIC + \angle IBC + \angle ICB = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - (\angle IBC + \angle ICB)$.
$\angle IBC$ और $\angle ICB$ के मान रखने पर:
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \left[ \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB \right]$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB)$.
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर:
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle A)$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.
$\therefore \angle BIC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.

(A) माना $\Delta PQR$ के कोण क्रमशः $5x$,$2x$ और $2x$ हैं।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$5x + 2x + 2x = 180^{\circ}$.
$9x = 180^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
अब,प्रत्येक कोण की गणना करने पर:
$\angle P = 5x = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle Q = 2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
$\angle R = 2x = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
अतः,कोण $100^{\circ}, 40^{\circ}, 40^{\circ}$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है: $\angle A + \angle B = 80^{\circ}$ और $\angle B + \angle C = 150^{\circ}$।
योग समीकरण में $\angle A + \angle B = 80^{\circ}$ रखने पर: $80^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} \implies \angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$\angle C = 100^{\circ}$ को $\angle B + \angle C = 150^{\circ}$ में रखने पर: $\angle B + 100^{\circ} = 150^{\circ} \implies \angle B = 50^{\circ}$।
$\angle B = 50^{\circ}$ को $\angle A + \angle B = 80^{\circ}$ में रखने पर: $\angle A + 50^{\circ} = 80^{\circ} \implies \angle A = 30^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 50^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है $\angle B = \frac{\angle A + \angle C}{2}$,जिसका अर्थ है $2\angle B = \angle A + \angle C$।
इसे योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2\angle B + \angle B = 180^{\circ} \implies 3\angle B = 180^{\circ} \implies \angle B = 60^{\circ}$।
अब,$\angle A + \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
अनुपात $\angle A : \angle C = 1 : 2$ दिया गया है,मान लीजिए $\angle A = x$ और $\angle C = 2x$।
तब $x + 2x = 120^{\circ} \implies 3x = 120^{\circ} \implies x = 40^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 40^{\circ}$ और $\angle C = 2(40^{\circ}) = 80^{\circ}$।
कोण $\angle A = 40^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 80^{\circ}$ हैं।

(A) चूंकि $S-Q-R-T$ एक सीधी रेखा है,$\angle PQS$ और $\angle PQR$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए,$\angle PQR = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\angle PRT$ और $\angle PRQ$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए,$\angle PRQ = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
$\Delta PQR$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
$\angle P + 80^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P + 130^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle P = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle P = 50^{\circ}, \angle Q = 80^{\circ}, \angle R = 50^{\circ}$ हैं।

(A) त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2x - 10^{\circ}) + (x + 10^{\circ}) + (2x - 20^{\circ}) = 180^{\circ}$।
समान पदों को जोड़ने पर: $5x - 20^{\circ} = 180^{\circ}$।
$5x = 200^{\circ}$।
$x = 40^{\circ}$।
अब,प्रत्येक कोण की गणना करें:
$\angle A = 2(40^{\circ}) - 10^{\circ} = 80^{\circ} - 10^{\circ} = 70^{\circ}$।
$\angle B = 40^{\circ} + 10^{\circ} = 50^{\circ}$।
$\angle C = 2(40^{\circ}) - 20^{\circ} = 80^{\circ} - 20^{\circ} = 60^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 70^{\circ}, \angle B = 50^{\circ}, \angle C = 60^{\circ}$ हैं।

(N/A) मान लीजिए $ABCD$ एक उत्तल चतुर्भुज है।
एक विकर्ण $AC$ खींचिए जो चतुर्भुज को दो त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में विभाजित करता है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\triangle ABC$ के लिए,$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$ (समीकरण $1$)।
$\triangle ADC$ के लिए,$\angle DAC + \angle ADC + \angle DCA = 180^{\circ}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\angle BAC + \angle DAC) + \angle ABC + \angle ADC + (\angle BCA + \angle DCA) = 180^{\circ} + 180^{\circ}$।
आकृति से,$\angle BAC + \angle DAC = \angle A$ और $\angle BCA + \angle DCA = \angle C$ है।
अतः,$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$।
इस प्रकार,एक उत्तल चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।

(N/A) माना $\angle ABC = y$ और $\angle ACB = z$ है। बाह्य कोण $\angle CBD = 180^{\circ} - y$ और $\angle BCE = 180^{\circ} - z$ हैं।
चूंकि $BO$ और $CO$ क्रमशः $\angle CBD$ और $\angle BCE$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए:
$\angle CBO = \frac{1}{2} \angle CBD = \frac{1}{2} (180^{\circ} - y) = 90^{\circ} - \frac{y}{2}$
$\angle BCO = \frac{1}{2} \angle BCE = \frac{1}{2} (180^{\circ} - z) = 90^{\circ} - \frac{z}{2}$
$\Delta BOC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle BOC + \angle CBO + \angle BCO = 180^{\circ}$
$\angle BOC + (90^{\circ} - \frac{y}{2}) + (90^{\circ} - \frac{z}{2}) = 180^{\circ}$
$\angle BOC + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(y + z) = 180^{\circ}$
$\angle BOC = \frac{1}{2}(y + z)$
$\Delta ABC$ में,$y + z + \angle A = 180^{\circ}$,इसलिए $y + z = 180^{\circ} - \angle A$।
इस मान को $\angle BOC$ के समीकरण में रखने पर:
$\angle BOC = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$।

(N/A) माना $\angle ABC = \angle B$,$\angle ACB = \angle C$,और $\angle BAC = \angle A$ है।
चूँकि $AE$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAE = \angle CAE = \frac{1}{2} \angle A$ होगा।
$\Delta ABC$ में,बहिष्कोण $\angle ACD = \angle ABC + \angle BAC = \angle B + \angle A$ होता है।
$\Delta AEC$ में,त्रिभुज के बहिष्कोण गुणधर्म से,$\angle AEC = \angle B + \angle BAE = \angle B + \frac{1}{2} \angle A$ होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \angle AEC = 2 \angle B + \angle A$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\angle ABC + \angle ACD = \angle B + (\angle B + \angle A) = 2 \angle B + \angle A$ है।
अतः,$\angle ABC + \angle ACD = 2 \angle AEC$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\angle ACD$ एक बहिष्कोण है। बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,$\angle ACD = \angle BAC + \angle ABC$।
$\Delta EBC$ में,$\angle ECD$ एक बहिष्कोण है। इसलिए,$\angle ECD = \angle EBC + \angle BEC$।
चूंकि $BE$,$\angle ABC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC$।
चूंकि $CE$,$\angle ACD$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle ECD = \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC)$।
इन मानों को $\Delta EBC$ के समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC) = \frac{1}{2} \angle ABC + \angle BEC$।
सरल करने पर,$\frac{1}{2} \angle BAC + \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle ABC + \angle BEC$।
अतः,$\angle BEC = \frac{1}{2} \angle BAC$।

(B) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle A + 70^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAD = \angle CAD = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}$ होगा।
$\Delta ABD$ में,$\angle ADB = 180^{\circ} - (\angle B + \angle BAD) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 15^{\circ}) = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$।
$\Delta ADC$ में,$\angle ADC = 180^{\circ} - (\angle C + \angle CAD) = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 15^{\circ}) = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$।

(N/A) $\Delta PQR$ में,मान लीजिए $\angle QPR = 2\alpha$ है। चूँकि $PA$ कोण समद्विभाजक है,इसलिए $\angle QPA = \angle RPA = \alpha$ होगा।
$\Delta PQR$ में,$\angle Q + \angle R + \angle QPR = 180^{\circ}$,अतः $\angle Q + \angle R + 2\alpha = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 90^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle Q + \angle R)$।
$\Delta PMQ$ में,$\angle PMQ = 90^{\circ}$,इसलिए $\angle QPM = 90^{\circ} - \angle Q$ होगा।
अब,$\angle APM = \angle QPA - \angle QPM$।
मान रखने पर: $\angle APM = \alpha - (90^{\circ} - \angle Q)$।
$\angle APM = [90^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle Q + \angle R)] - 90^{\circ} + \angle Q$।
$\angle APM = \angle Q - \frac{1}{2}\angle Q - \frac{1}{2}\angle R$।
$\angle APM = \frac{1}{2}\angle Q - \frac{1}{2}\angle R = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$।
अतः,सिद्ध हुआ।

(B) $(1)$ असत्य। यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है,तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं (उनका योग $180^{\circ}$ होता है),न कि बराबर।
$(2)$ असत्य। किसी भी त्रिभुज में तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। यह संभव है कि तीनों कोण न्यूनकोण हों (उदाहरण के लिए,एक समबाहु त्रिभुज में,सभी कोण $60^{\circ}$ होते हैं),इसलिए एक त्रिभुज में न्यूनकोणों की अधिकतम संख्या तीन होती है।

(N/A) $(1)$ असत्य। त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। यदि किसी त्रिभुज में दो समकोण हों $(90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ})$,तो तीसरा कोण $0^{\circ}$ होना चाहिए,जो कि एक त्रिभुज के लिए असंभव है।
$(2)$ सत्य। $33^{\circ}$ के कोण का पूरक कोण $90^{\circ} - 33^{\circ} = 57^{\circ}$ होता है। $57^{\circ}$ के कोण का संपूरक कोण $180^{\circ} - 57^{\circ} = 123^{\circ}$ होता है।

(B) त्रिभुज के सभी अंतःकोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि $\angle P = 95^{\circ}$ और $\angle Q = 95^{\circ}$ है।
इन दो कोणों का योग $= 95^{\circ} + 95^{\circ} = 190^{\circ}$ है।
चूंकि $190^{\circ} > 180^{\circ}$ है,इसलिए एक त्रिभुज में दो कोणों का मान $95^{\circ}$ होना संभव नहीं है क्योंकि कोणों का योग त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से अधिक हो जाएगा।
अतः,यह कथन असत्य है।

(C) संपूरक कोण वे दो कोण होते हैं जिनका योग $180^o$ होता है।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B$ और वे संपूरक कोण हैं,इसलिए $\angle A + \angle B = 180^o$।
$\angle B$ को $\angle A$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle A + \angle A = 180^o$।
$2 \angle A = 180^o$।
$\angle A = \frac{180^o}{2} = 90^o$।

(D) माना कि कोण का माप $x^{\circ}$ है।
चूंकि पूरक कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है,इसलिए $x^{\circ}$ का पूरक कोण $(90 - x)^{\circ}$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,कोण अपने पूरक कोण से $20^{\circ}$ अधिक है:
$x = (90 - x) + 20$
$x = 110 - x$
$2x = 110$
$x = 55^{\circ}$
अतः,उस कोण का माप $55^{\circ}$ है।

(A) माना कि कोण का माप $x^{\circ}$ है।
चूंकि संपूरक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए संपूरक कोण $(180 - x)^{\circ}$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,यह कोण अपने संपूरक कोण से $40^{\circ}$ कम है:
$x = (180 - x) - 40$
$x = 140 - x$
$2x = 140$
$x = 70^{\circ}$.
अतः,कोण का माप $70^{\circ}$ है।

(B) दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^o$ हो।
दिया गया है कि $\angle A : \angle B = 3 : 7$,इसलिए मान लीजिए $\angle A = 3x$ और $\angle B = 7x$ है।
चूंकि वे संपूरक हैं,$3x + 7x = 180^o$ होगा।
$10x = 180^o$,जिसका अर्थ है $x = 18^o$।
अतः,$\angle B = 7x = 7 \times 18^o = 126^o$।

(C) रैखिक युग्म प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित आसन्न कोणों का एक युग्म होता है।
रैखिक युग्म के कोणों के मापों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
माना कि पहले कोण का माप $x^{\circ}$ है।
माना कि दूसरे कोण का माप $y^{\circ}$ है।
रैखिक युग्म की परिभाषा के अनुसार,$x^{\circ} + y^{\circ} = 180^{\circ}$।
अतः,दूसरे कोण का माप $y^{\circ} = 180^{\circ} - x^{\circ}$ होगा।

(D) शीर्षाभिमुख कोण हमेशा एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
दिया गया है कि दो कोण $(5x + 30^{\circ})$ और $(8x - 60^{\circ})$ हैं।
इसलिए,हम समीकरण बना सकते हैं: $5x + 30 = 8x - 60$.
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर: $30 = 3x - 60$.
दोनों पक्षों में $60$ जोड़ने पर: $90 = 3x$.
$3$ से भाग देने पर: $x = 30$.
अतः,$x$ का मान $30$ है।

(A) रैखिक युग्म दो आसन्न कोणों का एक जोड़ा होता है जो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा बनता है। रैखिक युग्म के कोणों के मापों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि एक कोण $75^{\circ}$ है।
मान लीजिए कि दूसरे कोण का माप $x$ है।
इसलिए,$75^{\circ} + x = 180^{\circ}$।
$x = 180^{\circ} - 75^{\circ}$।
$x = 105^{\circ}$।
अतः,दूसरे कोण का माप $105^{\circ}$ है।

(B) चरण $1$: $32^{\circ}$ के कोण का पूरक कोण ज्ञात कीजिए।
दो पूरक कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है।
पूरक कोण = $90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ}$।
चरण $2$: चरण $1$ में प्राप्त परिणाम का संपूरक कोण ज्ञात कीजिए।
दो संपूरक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
संपूरक कोण = $180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) चरण $1$: $132^{\circ}$ माप वाले कोण का संपूरक कोण ज्ञात कीजिए।
यदि दो कोणों का योग $180^{\circ}$ हो,तो वे संपूरक कोण कहलाते हैं।
संपूरक कोण $= 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$.
चरण $2$: चरण $1$ में प्राप्त परिणाम का पूरक कोण ज्ञात कीजिए।
यदि दो कोणों का योग $90^{\circ}$ हो,तो वे पूरक कोण कहलाते हैं।
पूरक कोण $= 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ}$.
अतः,सही उत्तर $42^{\circ}$ है।

(D) माना कि $\Delta XYZ$ के कोण क्रमशः $x$,$4x$ और $4x$ हैं।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$x + 4x + 4x = 180^{\circ}$.
$9x = 180^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
अब,$\angle Z = 4x = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.