Mix Examples - Lines and Angles Questions in Hindi

(A) किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B + \angle C$।
योग समीकरण में $(\angle B + \angle C)$ को $\angle A$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle A + (\angle B + \angle C) = 180^{\circ}$
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$2\angle A = 180^{\circ}$
$\angle A = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$।

(B) किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B = \angle C$,मान लीजिए कि प्रत्येक कोण $x$ है।
समीकरण में मान रखने पर,$x + x + x = 180^{\circ}$।
$3x = 180^{\circ}$।
$x = 180^{\circ} / 3 = 60^{\circ}$।
अतः,$\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$।

(C) त्रिभुज के बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,बहिष्कोण का माप उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta PQR$ में,$\angle PRT$ शीर्ष $R$ पर स्थित बहिष्कोण है।
इसके अंतः अभिमुख कोण $\angle P$ और $\angle Q$ हैं।
अतः,$\angle PRT = \angle P + \angle Q$.
दिया गया है कि $\angle P = 70^{\circ}$ और $\angle Q = 50^{\circ}$ है।
$\angle PRT = 70^{\circ} + 50^{\circ} = 120^{\circ}$।

(D) माना कि न्यूनकोण $x$ है।
परिभाषा के अनुसार,$x$ का पूरक कोण $(90^{\circ} - x)$ है।
$x$ का संपूरक कोण $(180^{\circ} - x)$ है।
संपूरक कोण और पूरक कोण के बीच का अंतर इस प्रकार है:
$(180^{\circ} - x) - (90^{\circ} - x)$
$= 180^{\circ} - x - 90^{\circ} + x$
$= 180^{\circ} - 90^{\circ}$
$= 90^{\circ}$
अतः,अंतर हमेशा $90^{\circ}$ होता है।

(A) त्रिभुज के बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक बहिष्कोण का माप उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta ABC$ में,$\angle ACD$ शीर्ष $C$ पर स्थित बहिष्कोण है।
इसलिए,$\angle ACD = \angle A + \angle B$.
दिया गया है कि $\angle ACD = 122^{\circ}$ और $\angle A = 68^{\circ}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $122^{\circ} = 68^{\circ} + \angle B$.
$\angle B$ के लिए हल करने पर: $\angle B = 122^{\circ} - 68^{\circ} = 54^{\circ}$.
अतः,$\angle B = 54^{\circ}$.

(C) एक रेखा बिंदुओं का एक संग्रह है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती है। रेखा का वह भाग जिसके दो निश्चित अंत बिंदु होते हैं,उसे रेखाखंड कहा जाता है। अतः,सही उत्तर रेखाखंड है।

(B) रेखा एक सीधा पथ है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैला होता है। रेखाखंड रेखा का वह भाग है जिसके दो अंत बिंदु होते हैं। किरण रेखा का वह भाग है जो एक बिंदु (अंत बिंदु) से शुरू होती है और एक दिशा में अनंत तक जाती है। इसलिए,रेखा का एक भाग जिसका एक अंत बिंदु होता है,उसे किरण कहा जाता है।

(D) वह कोण जिसका माप ठीक $180^{\circ}$ होता है,उसे ऋजु कोण (सरल कोण) कहा जाता है। यह कोण एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(B) वह कोण जिसका माप ठीक $90^{\circ}$ होता है,उसे समकोण कहा जाता है। अतः,सही उत्तर समकोण है।

(C) वह कोण जिसका माप $180^{\circ}$ से अधिक और $360^{\circ}$ से कम होता है,उसे प्रतिवर्ती कोण (reflex angle) कहा जाता है।

(C) रैखिक युग्म के कोण तब बनते हैं जब दो आसन्न कोण एक रेखा पर स्थित होते हैं और उनकी उभयनिष्ठ न होने वाली भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं।
रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार,यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो,तो इस प्रकार बने दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,रैखिक युग्म के कोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।

(A) जब दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो वे शीर्षाभिमुख कोणों के दो जोड़े बनाती हैं। शीर्षाभिमुख कोण प्रमेय के अनुसार,ये कोण हमेशा एक-दूसरे के बराबर होते हैं।

(B) जब दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है,तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों को क्रमागत अंतःकोण (जिन्हें सह-अंतःकोण भी कहा जाता है) कहते हैं।
समांतर रेखाओं के गुणों के अनुसार,ये कोण संपूरक होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका योग $180^{\circ}$ होता है।

(B) त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा $180^o$ के बराबर होता है।
अतः,एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^o$ होता है।

(A) जब दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा द्वारा काटा जाता है,तो प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनने वाले संगत कोण बराबर होते हैं। यह समांतर रेखाओं का एक मूलभूत गुण है जिसे संगत कोण अभिगृहीत (Corresponding Angles Axiom) के रूप में जाना जाता है।

(D) $\Delta ABC$ में,शीर्ष $B$ पर बहिष्कोण $\angle ABD = 140^{\circ}$ है। चूँकि एक अंतःकोण और उसके आसन्न बहिष्कोण का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle ABC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$ होगा।
इसी प्रकार,शीर्ष $C$ पर बहिष्कोण $\angle ACE = 80^{\circ}$ है। अतः,अंतःकोण $\angle ACB = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$ होगा।
$\Delta ABC$ में,सभी अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। इसलिए,$\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
मान रखने पर,$\angle A + 40^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A + 140^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle A = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$।

(A) माना कि कोण का माप $x^o$ है।
चूंकि पूरक कोणों का योग $90^o$ होता है,इसलिए इसके पूरक कोण का माप $(90 - x)^o$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,कोण का माप उसके पूरक कोण का $\frac{5}{4}$ गुना है:
$x = \frac{5}{4}(90 - x)$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$4x = 5(90 - x)$
$4x = 450 - 5x$
दोनों पक्षों में $5x$ जोड़ने पर:
$9x = 450$
$9$ से भाग देने पर:
$x = 50$
अतः,उस कोण का माप $50^o$ है।

(B) बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक बहिष्कोण का माप उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta ABC$ में,$\angle ACD$ शीर्ष $C$ पर स्थित बहिष्कोण है।
इसके अंतः अभिमुख कोण $\angle A$ और $\angle B$ हैं।
अतः,$\angle ACD = \angle A + \angle B$।
दिया गया है कि $\angle A = 70^{\circ}$ और $\angle B = 40^{\circ}$।
$\angle ACD = 70^{\circ} + 40^{\circ} = 110^{\circ}$।

(C) त्रिभुज के सभी अंतःकोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
$\Delta PQR$ में,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $\angle P = 42^{\circ}$ और $\angle Q = 75^{\circ}$ है।
इन मानों को रखने पर: $42^{\circ} + 75^{\circ} + \angle R = 180^{\circ}$।
$117^{\circ} + \angle R = 180^{\circ}$।
$\angle R = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}$।

(A) माना कि कोण का माप $x^o$ है।
दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^o$ हो।
अतः,$x^o$ का संपूरक कोण $(180 - x)^o$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,कोण अपने संपूरक कोण का आठवां भाग है:
$x = \frac{1}{8}(180 - x)$
दोनों पक्षों को $8$ से गुणा करने पर:
$8x = 180 - x$
दोनों पक्षों में $x$ जोड़ने पर:
$9x = 180$
$9$ से भाग देने पर:
$x = 20$
अतः,कोण का माप $20^o$ है।

(A) यदि दो कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,तो वे कोण संपूरक कोण कहलाते हैं।
माना कि $52^{\circ}$ के कोण का संपूरक कोण $x$ है।
परिभाषा के अनुसार,$52^{\circ} + x = 180^{\circ}$।
इसलिए,$x = 180^{\circ} - 52^{\circ}$।
$x = 128^{\circ}$।
अतः,संपूरक कोण का माप $128^{\circ}$ है।

(B) यदि दो कोणों के मापों का योग $90^{\circ}$ हो,तो वे कोण एक-दूसरे के पूरक कोण कहलाते हैं।
माना कि पूरक कोण का माप $x$ है।
परिभाषा के अनुसार,$x + 44^{\circ} = 90^{\circ}$।
दोनों पक्षों से $44^{\circ}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $x = 90^{\circ} - 44^{\circ}$।
अतः,$x = 46^{\circ}$।

(C) चरण $1$: $62^{\circ}$ के कोण का पूरक कोण ज्ञात करें।
दो पूरक कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है।
पूरक कोण = $90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ}$।
चरण $2$: चरण $1$ में प्राप्त परिणाम का संपूरक कोण ज्ञात करें।
दो संपूरक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
संपूरक कोण = $180^{\circ} - 28^{\circ} = 152^{\circ}$।

(D) चरण $1$: $128^{\circ}$ के माप वाले कोण का संपूरक कोण ज्ञात कीजिए।
दो संपूरक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
संपूरक कोण = $180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$।
चरण $2$: चरण $1$ में प्राप्त परिणाम का पूरक कोण ज्ञात कीजिए।
दो पूरक कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है।
पूरक कोण = $90^{\circ} - 52^{\circ} = 38^{\circ}$।

(A) माना कि न्यून कोण का माप $x^{\circ}$ है।
$x^{\circ}$ का संपूरक कोण $(180 - x)^{\circ}$ होता है।
$x^{\circ}$ का पूरक कोण $(90 - x)^{\circ}$ होता है।
संपूरक कोण और पूरक कोण के बीच का अंतर:
अंतर $= (180 - x)^{\circ} - (90 - x)^{\circ}$
अंतर $= 180 - x - 90 + x$
अंतर $= 180 - 90 = 90^{\circ}$।