Textbook - Lines and Angles Questions in Hindi

(N/A) चूँकि $PQ$ एक सीधी रेखा है,रैखिक युग्म बनाने वाले कोणों का योग $180^o$ होता है।
$\angle POR + \angle ROQ = 180^o$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
दिया गया है कि $\angle POR : \angle ROQ = 5 : 7$ है।
माना $\angle POR = 5x$ और $\angle ROQ = 7x$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$5x + 7x = 180^o$
$12x = 180^o$
$x = 15^o$
अतः,$\angle POR = 5 \times 15^o = 75^o$ और $\angle ROQ = 7 \times 15^o = 105^o$ है।
चूँकि $PQ$ और $RS$ प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं,शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं:
$\angle POS = \angle ROQ = 105^o$
$\angle SOQ = \angle POR = 75^o$
इस प्रकार,कोण $75^o, 105^o, 75^o$ और $105^o$ हैं।

(B) किरण $OS$ रेखा $POQ$ पर स्थित है।
अतः,$\angle POS + \angle SOQ = 180^o$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)।
दिया है कि $\angle POS = x$ है।
इसलिए,$x + \angle SOQ = 180^o$,जिसका अर्थ है कि $\angle SOQ = 180^o - x$ है।
अब,किरण $OR$,$\angle POS$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle ROS = \frac{1}{2} \times \angle POS = \frac{x}{2}$ है।
इसी प्रकार,किरण $OT$,$\angle SOQ$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle SOT = \frac{1}{2} \times \angle SOQ = \frac{1}{2} \times (180^o - x) = 90^o - \frac{x}{2}$ है।
अब,$\angle ROT = \angle ROS + \angle SOT$ है।
मान रखने पर,$\angle ROT = \frac{x}{2} + 90^o - \frac{x}{2} = 90^o$ है।

(N/A) इसे सिद्ध करने के लिए,हमें $OP$,$OQ$,$OR$ या $OS$ किरणों में से किसी एक को पीछे की ओर एक बिंदु तक बढ़ाने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि हम किरण $OQ$ को पीछे की ओर बिंदु $T$ तक बढ़ाते हैं ताकि $TOQ$ एक सीधी रेखा बन जाए।
अब,किरण $OP$ रेखा $TOQ$ पर स्थित है।
इसलिए,$\angle TOP + \angle POQ = 180^o$ ........ $(1)$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
इसी प्रकार,किरण $OS$ रेखा $TOQ$ पर स्थित है।
इसलिए,$\angle TOS + \angle SOQ = 180^o$ ........ $(2)$
परंतु,$\angle SOQ = \angle SOR + \angle QOR$ है।
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle TOS + \angle SOR + \angle QOR = 180^o$ ........ $(3)$
अब,$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle TOP + \angle POQ + \angle TOS + \angle SOR + \angle QOR = 360^o$ ........ $(4)$
चूंकि $\angle TOP + \angle TOS = \angle POS$ है,इसलिए समीकरण $(4)$ इस प्रकार हो जाता है:
$\angle POQ + \angle QOR + \angle SOR + \angle POS = 360^o$.

(D) चूँकि $AB$ एक सीधी रेखा है,इसलिए बिंदु $O$ पर रेखा के एक ओर के कोणों का योग $180^o$ होता है।
$\therefore \angle AOC + \angle COE + \angle BOE = 180^o$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\angle AOC + \angle BOE) + \angle COE = 180^o$
दिया गया है कि $\angle AOC + \angle BOE = 70^o$,इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$70^o + \angle COE = 180^o$
$\angle COE = 180^o - 70^o = 110^o$
प्रतिवर्ती $\angle COE = 360^o - \angle COE = 360^o - 110^o = 250^o$
चूँकि रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं:
$\angle AOC = \angle BOD$
दिया गया है $\angle BOD = 40^o$,इसलिए $\angle AOC = 40^o$।
दिए गए समीकरण $\angle AOC + \angle BOE = 70^o$ का उपयोग करने पर:
$40^o + \angle BOE = 70^o$
$\angle BOE = 70^o - 40^o = 30^o$
अतः,$\angle BOE = 30^o$ और प्रतिवर्ती $\angle COE = 250^o$।

(A) $XOY$ एक सीधी रेखा है।
अतः,$\angle b + \angle a + \angle POY = 180^o$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)।
दिया है कि $\angle POY = 90^o$,इसलिए $\angle b + \angle a + 90^o = 180^o$,जिसका अर्थ है $\angle b + \angle a = 90^o$।
दिया है $a: b = 2: 3$,मान लीजिए $a = 2x$ और $b = 3x$।
तब $2x + 3x = 90^o$,अर्थात $5x = 90^o$,जिससे $x = 18^o$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\angle a = 2 \times 18^o = 36^o$ और $\angle b = 3 \times 18^o = 54^o$।
चूँकि रेखाएँ $XY$ और $MN$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए $\angle XON$ और $\angle NOY$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
यहाँ,$\angle NOY = \angle b = 54^o$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$\angle c = \angle XON = 180^o - 54^o = 126^o$।

(N/A) चूँकि $ST$ एक सीधी रेखा है,
$\therefore \angle PQS + \angle PQR = 180^\circ$ ........... $(1)$
इसी प्रकार,$\angle PRT + \angle PRQ = 180^\circ$ ........... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\angle PQS + \angle PQR = \angle PRT + \angle PRQ$
परंतु $\angle PQR = \angle PRQ$ [दिया है]
$\therefore \angle PQS = \angle PRT$

(N/A) एक बिंदु के चारों ओर के सभी कोणों का योग $360^\circ$ होता है।
इसलिए,$x+y+z+w=360^\circ$ है।
हमें दिया गया है कि $x+y=w+z$ है।
$(w+z)$ के स्थान पर $(x+y)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+y)+(x+y)=360^\circ$
$2(x+y)=360^\circ$
$x+y = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$ है।
चूंकि आसन्न कोणों $x$ और $y$ का योग $180^\circ$ है,इसलिए वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$AOB$ एक सीधी रेखा है।

(N/A) $POQ$ एक सीधी रेखा है। [दिया है]
$\therefore \angle POS + \angle ROS + \angle ROQ = 180^o$
परंतु $OR \perp PQ$,इसलिए $\angle ROQ = 90^o$ है।
समीकरण में $\angle ROQ = 90^o$ रखने पर:
$\angle POS + \angle ROS + 90^o = 180^o$
$\Rightarrow \angle POS + \angle ROS = 90^o$ --- $(1)$
अब,हमारे पास $\angle QOS = \angle ROQ + \angle ROS$ है।
चूंकि $\angle ROQ = 90^o$,इसलिए:
$\angle QOS = 90^o + \angle ROS$
$\Rightarrow 90^o = \angle QOS - \angle ROS$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle POS + \angle ROS = \angle QOS - \angle ROS$
$\Rightarrow \angle ROS + \angle ROS = \angle QOS - \angle POS$
$\Rightarrow 2 \angle ROS = \angle QOS - \angle POS$
$\therefore \angle ROS = \frac{1}{2}(\angle QOS - \angle POS)$

(A) $XYP$ एक सीधी रेखा है।
अतः,$\angle XYZ + \angle ZYQ + \angle QYP = 180^o$।
चूंकि $64^o + \angle ZYQ + \angle QYP = 180^o$ और $YQ$,$\angle ZYP$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle ZYQ = \angle QYP$।
अतः,$64^o + 2 \angle QYP = 180^o$।
$2 \angle QYP = 180^o - 64^o = 116^o$।
$\angle QYP = 58^o$।
प्रतिवर्ती $\angle QYP = 360^o - 58^o = 302^o$।
अब,$\angle XYQ = \angle XYZ + \angle ZYQ = 64^o + 58^o = 122^o$।

(B) इसे हल करने के लिए,हम बिंदु $M$ से होकर जाने वाली एक रेखा $AB$ खींचते हैं ताकि $AB \parallel PQ$ हो। चूँकि $PQ \parallel RS$ और $AB \parallel PQ$ है,इसलिए $AB \parallel RS$ होगा।
अब,समांतर रेखाओं $PQ$ और $AB$ को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखा $XM$ पर विचार करें। तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
इसलिए,$\angle QXM + \angle XMB = 180^o$।
दिया गया है कि $\angle QXM = 135^o$,इसलिए $135^o + \angle XMB = 180^o$,जिससे हमें $\angle XMB = 180^o - 135^o = 45^o$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
आगे,समांतर रेखाओं $RS$ और $AB$ को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखा $YM$ पर विचार करें। एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle BMY = \angle MYR$।
दिया गया है कि $\angle MYR = 40^o$,इसलिए $\angle BMY = 40^o$ (समीकरण $2$)।
अंत में,$\angle XMY = \angle XMB + \angle BMY$।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ के मान रखने पर,हमें $\angle XMY = 45^o + 40^o = 85^o$ प्राप्त होता है।

(N/A) आकृति में,एक तिर्यक रेखा $AD$ दो रेखाओं $PQ$ और $RS$ को क्रमशः $B$ और $C$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। किरण $BE$,$\angle ABQ$ का समद्विभाजक है और किरण $CG$,$\angle BCS$ का समद्विभाजक है; और $BE \parallel CG$ है।
हमें सिद्ध करना है कि $PQ \parallel RS$ है।
यह दिया गया है कि किरण $BE$,$\angle ABQ$ का समद्विभाजक है।
इसलिए,$\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABQ$ ...... $(1)$
इसी प्रकार,किरण $CG$,$\angle BCS$ का समद्विभाजक है।
इसलिए,$\angle BCG = \frac{1}{2} \angle BCS$ ...... $(2)$
परंतु $BE \parallel CG$ है और $AD$ तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle ABE = \angle BCG$ (संगत कोण अभिगृहीत) ...... $(3)$
$(1)$ और $(2)$ का मान $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{1}{2} \angle ABQ = \frac{1}{2} \angle BCS$
अर्थात,$\angle ABQ = \angle BCS$
परंतु,ये तिर्यक रेखा $AD$ द्वारा $PQ$ और $RS$ के साथ बने संगत कोण हैं; और ये बराबर हैं।
इसलिए,$PQ \parallel RS$ (संगत कोण अभिगृहीत का विलोम)।

(D) दिया गया है कि $AB \parallel CD$ और $CD \parallel EF$,इसलिए $AB \parallel EF$ है।
चूंकि $CD \parallel EF$ और $ED$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
अतः,$y + 55^o = 180^o$.
$y = 180^o - 55^o = 125^o$.
चूंकि $AB \parallel CD$ और $BE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं।
अतः,$x = y = 125^o$.
चूंकि $EA \perp AB$ और $AB \parallel EF$,इसलिए $EA \perp EF$ है। अतः,$\angle AEF = 90^o$.
आकृति से,$\angle AEF = z + 55^o$.
$z + 55^o = 90^o$.
$z = 90^o - 55^o = 35^o$.
अतः,$x = 125^o, y = 125^o, z = 35^o$.

(N/A) आकृति से,रेखा $PQ$ रेखा $CD$ को बिंदु $F$ पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः,$y = 130^o$ (शीर्षाभिमुख कोण) .......... $(1)$
अब,रेखा $AB$ पर विचार कीजिए। कोण $x$ और कोण $50^o$ प्रतिच्छेदन बिंदु $E$ पर रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$x + 50^o = 180^o$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
$x = 180^o - 50^o = 130^o$ .......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $x = y = 130^o$ है।
चूँकि ये एकांतर अंतःकोण हैं और वे बराबर हैं,इसलिए रेखाएँ $AB$ और $CD$ समांतर होनी चाहिए।
अतः,$AB \parallel CD$।

(B) दिया है: $AB \parallel CD$ और $CD \parallel EF$।
चूंकि एक ही रेखा के समांतर रेखाएं परस्पर समांतर होती हैं,इसलिए $AB \parallel EF$ है।
माना कि तिर्यक रेखा $AB$,$CD$ और $EF$ को क्रमशः $P$,$Q$ और $R$ बिंदुओं पर काटती है।
चूंकि $AB \parallel EF$,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं। अतः,$\angle x = \angle z$ .......... $(1)$
पुनः,$AB \parallel CD$,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^o$ होता है।
अतः,$y + z = 180^o$।
दिया है $y: z = 3: 7$,माना $y = 3k$ और $z = 7k$ है।
तब,$3k + 7k = 180^o \Rightarrow 10k = 180^o \Rightarrow k = 18^o$।
इसलिए,$z = 7 \times 18^o = 126^o$।
समीकरण $(1)$ से,$x = z = 126^o$।

(N/A) दिया है कि $AB \parallel CD$,$EF \perp CD$ और $\angle GED = 126^o$ है।
$1$. चूँकि $AB \parallel CD$ है और $GE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle AGE = \angle GED$।
दिया है $\angle GED = 126^o$,इसलिए $\angle AGE = 126^o$।
$2$. हम जानते हैं कि $\angle GED = \angle GEF + \angle FED$।
चूँकि $EF \perp CD$ है,इसलिए $\angle FED = 90^o$।
अतः,$126^o = \angle GEF + 90^o$।
$\angle GEF = 126^o - 90^o = 36^o$।
$3$. चूँकि $AB \parallel CD$ है और $GE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^o$ होता है।
अतः,$\angle FGE + \angle GED = 180^o$।
$\angle FGE + 126^o = 180^o$।
$\angle FGE = 180^o - 126^o = 54^o$।
अतः,$\angle AGE = 126^o$,$\angle GEF = 36^o$ और $\angle FGE = 54^o$।

(D) दिया है: $PQ \parallel ST$,$\angle PQR = 110^o$ और $\angle RST = 130^o$ है।
रचना: बिंदु $R$ से होकर जाने वाली $ST$ के समांतर एक रेखा $EF$ खींचिए।
चूंकि $PQ \parallel ST$ और $EF \parallel ST$,इसलिए $PQ \parallel EF$ होगा।
$PQ \parallel EF$ और तिर्यक रेखा $QR$ के लिए,एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^o$ होता है,अतः $\angle PQR + \angle QRE = 180^o \Rightarrow 110^o + \angle QRE = 180^o \Rightarrow \angle QRE = 70^o$।
इसी प्रकार,$ST \parallel EF$ और तिर्यक रेखा $RS$ के लिए,$\angle RST + \angle SRE = 180^o \Rightarrow 130^o + \angle SRE = 180^o \Rightarrow \angle SRE = 50^o$।
आकृति से,$\angle QRS = 180^o - (\angle QRE + \angle SRE) = 180^o - (70^o + 50^o) = 180^o - 120^o = 60^o$।

(A) दिया है: $AB \parallel CD$,$\angle APQ = 50^o$ और $\angle PRD = 127^o$ है।
$1$. चूँकि $AB \parallel CD$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle PQR = \angle APQ$।
दिया है $\angle APQ = 50^o$,इसलिए $x = 50^o$।
$2$. चूँकि $AB \parallel CD$ और $PR$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle APR = \angle PRD$।
दिया है $\angle PRD = 127^o$,इसलिए $\angle APR = 127^o$।
हम जानते हैं कि $\angle APR = \angle APQ + \angle QPR$।
मान रखने पर,$127^o = 50^o + y$।
$y = 127^o - 50^o = 77^o$।
अतः,$x = 50^o$ और $y = 77^o$ है।

(N/A) $(i)$ समांतर रेखाओं पर खींचे गए लंब भी समांतर होते हैं।
$(ii)$ परावर्तन के नियमों के अनुसार,आपतन कोण $=$ परावर्तन कोण।
किरण $BL \perp PQ$ और $CM \perp RS$ खींचिए।
$\because PQ \parallel RS$ [दिया है]
$\therefore BL \parallel CM$ [$\because BL \perp PQ$ और $CM \perp RS$]
और $BC$ एक तिर्यक रेखा है।
$\therefore \angle LBC = \angle MCB$ [एकांतर अंतःकोण] ......... $(1)$
चूंकि,(आपतन कोण) $=$ (परावर्तन कोण)
$\therefore \angle ABL = \angle LBC$ और $\angle MCB = \angle MCD$
$\Rightarrow \angle ABL = \angle MCD$
$\therefore (1)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\angle LBC + \angle ABL = \angle MCB + \angle MCD$ [बराबर में बराबर जोड़ने पर]
$\Rightarrow \angle ABC = \angle BCD$
अर्थात,एकांतर अंतःकोणों का एक युग्म बराबर है।
$\therefore AB \parallel CD$।

(C) $\Delta TQR$ में,चूँकि $QT \perp PR$,अतः $\angle QTR = 90^o$ है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\Delta TQR$ के कोणों का योग $180^o$ होता है:
$\angle QTR + \angle TQR + \angle TRQ = 180^o$
$90^o + 40^o + x = 180^o$
$130^o + x = 180^o$
$x = 180^o - 130^o = 50^o$
अब,$\Delta P S R$ पर विचार करें। $\Delta P S R$ का बहिष्कोण $y$ उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है:
$y = \angle SPR + \angle PRS$
$y = 30^o + x$
$y = 30^o + 50^o = 80^o$
अतः,$x = 50^o$ और $y = 80^o$ है।

(N/A) किरण $BO$,$\angle CBE$ का समद्विभाजक है।
अतः,$\angle CBO = \frac{1}{2} \angle CBE = \frac{1}{2}(180^o - y) = 90^o - \frac{y}{2}$ ......... $(1)$
इसी प्रकार,किरण $CO$,$\angle BCD$ का समद्विभाजक है।
अतः,$\angle BCO = \frac{1}{2} \angle BCD = \frac{1}{2}(180^o - z) = 90^o - \frac{z}{2}$ ......... $(2)$
$\Delta BOC$ में,$\angle BOC + \angle BCO + \angle CBO = 180^o$ ......... $(3)$
$(1)$ और $(2)$ का मान $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BOC + (90^o - \frac{z}{2}) + (90^o - \frac{y}{2}) = 180^o$
$\angle BOC + 180^o - \frac{1}{2}(y + z) = 180^o$
$\angle BOC = \frac{1}{2}(y + z)$ ......... $(4)$
$\Delta ABC$ में,$x + y + z = 180^o$ (त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से)।
अतः,$y + z = 180^o - x$.
इसे $(4)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle BOC = \frac{1}{2}(180^o - x) = 90^o - \frac{x}{2} = 90^o - \frac{1}{2} \angle BAC$.

(A) चूँकि $TQR$ एक सीधी रेखा है,
$\therefore \angle TQP + \angle PQR = 180^o$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]
$\Rightarrow 110^o + \angle PQR = 180^o$
$\Rightarrow \angle PQR = 180^o - 110^o = 70^o$
अब,$\Delta PQR$ के लिए,भुजा $QP$ को $S$ तक बढ़ाया गया है।
अतः,$\angle SPR$ त्रिभुज $\Delta PQR$ का एक बहिष्कोण है।
बहिष्कोण गुणधर्म के अनुसार,बहिष्कोण का मान उसके अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\therefore \angle SPR = \angle PQR + \angle PRQ$
$135^o = 70^o + \angle PRQ$
$\Rightarrow \angle PRQ = 135^o - 70^o$
$\Rightarrow \angle PRQ = 65^o$

(B) $\Delta XYZ$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^o$ होता है।
$\angle XYZ + \angle YZX + \angle ZXY = 180^o$
दिया है कि $\angle XYZ = 54^o$ और $\angle ZXY = 62^o$ है।
$54^o + \angle YZX + 62^o = 180^o$
$\angle YZX = 180^o - 116^o = 64^o$।
चूंकि $YO$ और $ZO$ क्रमशः $\angle XYZ$ और $\angle XZY$ के समद्विभाजक हैं:
$\angle OZY = \frac{1}{2} \angle XZY = \frac{1}{2} (64^o) = 32^o$।
$\angle OYZ = \frac{1}{2} \angle XYZ = \frac{1}{2} (54^o) = 27^o$।
$\Delta OYZ$ में,कोण योग गुणधर्म के अनुसार:
$\angle YOZ + \angle OYZ + \angle OZY = 180^o$
$\angle YOZ + 27^o + 32^o = 180^o$
$\angle YOZ = 180^o - 59^o = 121^o$।
अतः,$\angle OZY = 32^o$ और $\angle YOZ = 121^o$।

(C) दिया गया है कि $AB \parallel DE$ और $AE$ एक तिर्यक रेखा है।
चूंकि $AB \parallel DE$,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle AED = \angle BAC = 35^o$।
अब,त्रिभुज $\Delta CDE$ पर विचार करें।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^o$ होता है।
इसलिए,$\angle CDE + \angle DEC + \angle DCE = 180^o$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $53^o + 35^o + \angle DCE = 180^o$।
$88^o + \angle DCE = 180^o$।
$\angle DCE = 180^o - 88^o = 92^o$।

(D) $\Delta PRT$ में,
$\angle P + \angle R + \angle PTR = 180^\circ$ [त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म द्वारा]
$\Rightarrow 95^\circ + 40^\circ + \angle PTR = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle PTR = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$
चूँकि रेखाएँ $PQ$ और $RS$ बिंदु $T$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle QTS = \angle PTR = 45^\circ$
अब,$\Delta TQS$ में,
$\angle TSQ + \angle STQ + \angle SQT = 180^\circ$ [त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म द्वारा]
$\Rightarrow 75^\circ + 45^\circ + \angle SQT = 180^\circ$
$\Rightarrow 120^\circ + \angle SQT = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle SQT = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
अतः,$\angle SQT = 60^\circ$.

(A) $\Delta QRS$ में,भुजा $SR$ को $T$ तक बढ़ाया गया है।
अतः,बहिष्कोण $\angle QRT = \angle RQS + \angle RSQ$ (बहिष्कोण गुणधर्म)।
दिया है $\angle RQS = 28^o$ और $\angle QRT = 65^o$।
अतः,$28^o + \angle RSQ = 65^o$।
$\angle RSQ = 65^o - 28^o = 37^o$।
चूँकि $PQ \parallel SR$ और $QS$ एक तिर्यक रेखा है,अतः एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle PQS = \angle RSQ$।
$x = 37^o$।
दिया है $PQ \perp PS$,इसलिए $\angle SPQ = 90^o$।
$\Delta PQS$ में,त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से,$\angle SPQ + \angle PQS + \angle PSQ = 180^o$।
$90^o + x + y = 180^o$।
$90^o + 37^o + y = 180^o$।
$127^o + y = 180^o$।
$y = 180^o - 127^o = 53^o$।
अतः,$x = 37^o$ और $y = 53^o$।

(N/A) $\Delta PQR$ में,भुजा $QR$ को $S$ तक बढ़ाया गया है।
$\therefore$ बहिष्कोण $\angle PRS = \text{अंतः अभिमुख कोणों का योग}$
$\Rightarrow \angle PRS = \angle P + \angle Q$
चूंकि $QT$ और $RT$ क्रमशः $\angle PQR$ और $\angle PRS$ के समद्विभाजक हैं,
$\therefore \angle TQR = \frac{1}{2} \angle PQR$ और $\angle TRS = \frac{1}{2} \angle PRS$.
अब,$\Delta QRT$ में,बहिष्कोण $\angle TRS = \angle TQR + \angle QTR$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \angle PRS = \frac{1}{2} \angle PQR + \angle QTR$
$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle PRS - \frac{1}{2} \angle PQR$
$\angle QTR = \frac{1}{2} (\angle PRS - \angle PQR)$
चूंकि $\angle PRS = \angle P + \angle PQR$ (बहिष्कोण गुणधर्म),
$\angle QTR = \frac{1}{2} (\angle P + \angle PQR - \angle PQR)$
$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle P$
अर्थात्,$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle QPR$।