Single Slit Diffraction of Light Questions in Hindi

(N/A) $1$. रेज़र ब्लेड प्रयोग: दो रेज़र ब्लेड को इस प्रकार रखें कि उनके किनारे एक-दूसरे के समानांतर और बहुत करीब हों,जिससे एक संकीर्ण स्लिट बन जाए। जब आप इस संकीर्ण स्लिट के माध्यम से दूर स्थित बल्ब के फिलामेंट को देखते हैं,तो प्रकाश के विवर्तन के कारण फिलामेंट के चारों ओर चमकीली और काली धारियाँ दिखाई देती हैं।
$2$. उंगलियों का प्रयोग: अपनी उंगलियों को एक-दूसरे के बहुत करीब लाएं और उनके बीच के संकीर्ण अंतराल से दूर स्थित प्रकाश स्रोत को देखें। आपको विवर्तन प्रतिरूप दिखाई देगा।
$3$. खादी कपड़े का प्रयोग: खादी के महीन कपड़े के टुकड़े के माध्यम से दूर स्थित बल्ब को देखें। कपड़े के रेशे विवर्तन ग्रेटिंग के रूप में कार्य करते हैं,और आपको प्रकाश स्रोत के चारों ओर चमकीली और काली धारियाँ दिखाई देंगी।
$4$. पिनहोल प्रयोग: सोडियम लैंप जैसे एकवर्णी प्रकाश स्रोत के सामने एक छोटे से छेद (पिनहोल) वाला अपारदर्शी पर्दा रखें। जब प्रकाश इस पिनहोल से गुजरता है और दूर स्थित पर्दे पर पड़ता है,तो आपको चमकीली और काली धारियों वाला विवर्तन प्रतिरूप दिखाई देता है।

(C) अपारदर्शी वस्तुओं की छाया के धुंधले होने के लिए जिम्मेदार घटना विवर्तन (Diffraction) है।
विवर्तन प्रकाश तरंगों का किसी बाधा के कोनों के चारों ओर या किसी छिद्र से होकर मुड़ना है।
जब प्रकाश किसी अपारदर्शी वस्तु से टकराता है,तो अपनी तरंग प्रकृति के कारण यह पूरी तरह से सीधी रेखा में यात्रा नहीं करता है।
इसके बजाय,प्रकाश तरंगें वस्तु के किनारों के चारों ओर मुड़ जाती हैं,जिससे छाया एक तीक्ष्ण और स्पष्ट सीमा के बजाय किनारों पर धुंधली या अस्पष्ट हो जाती है।

(N/A) विवर्तन प्रकाश के तरंगदैर्ध्य के तुलनीय आकार के किसी अवरोध या छिद्र के किनारों से प्रकाश के मुड़ने की घटना है।
जब प्रकाश तरंगें किसी अवरोध या छिद्र से टकराती हैं, तो वे पूरी तरह से सीधी रेखा में यात्रा करने के बजाय ज्यामितीय छाया के क्षेत्र में फैल जाती हैं।
यह मुड़ने का प्रभाव तब अधिक स्पष्ट होता है जब अवरोध या छिद्र का आकार छोटा होता है, विशेष रूप से जब यह आपतित प्रकाश के तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की कोटि का होता है।

(A) एकल स्लिट विवर्तन में,$n^{th}$ क्रम के द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$
जहाँ:
$a$ स्लिट की चौड़ाई है,
$\theta$ विवर्तन कोण है,
$\lambda$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,
$n$ एक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, ...)$.

(A) प्रकाश के विवर्तन की घटना को सबसे पहले $17$वीं शताब्दी में इतालवी वैज्ञानिक $Francesco \text{ } Maria \text{ } Grimaldi$ द्वारा देखा और वर्णित किया गया था। उन्होंने लैटिन शब्द 'diffringere' से 'diffraction' शब्द गढ़ा, जिसका अर्थ है 'टुकड़ों में तोड़ना', यह वर्णन करने के लिए कि प्रकाश बाधाओं के चारों ओर कैसे मुड़ता है।

(B) द्वि-स्लिट विवर्तन प्रयोग में,व्यतिकरण पैटर्न विवर्तन लिफाफे (diffraction envelope) द्वारा संशोधित होता है। केंद्रीय विवर्तन उच्चिष्ठ के भीतर व्यतिकरण फ्रिंजों की संख्या $n$,केंद्रीय विवर्तन उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई और व्यतिकरण फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई के अनुपात द्वारा दी जाती है।
केंद्रीय विवर्तन उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\Delta \theta_{diff} = \frac{2\lambda}{a}$ है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
व्यतिकरण पैटर्न की कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
व्यतिकरण फ्रिंजों की संख्या $n$ इन दो चौड़ाइयों का अनुपात है:
$n = \frac{2\lambda / a}{\lambda / d} = \frac{2d}{a}$.
इस प्रकार,व्यतिकरण फ्रिंजों की संख्या स्लिटों के बीच की दूरी $d$ और स्लिट की चौड़ाई $a$ के अनुपात पर निर्भर करती है।

(A) विवर्तन के लिए मुख्य शर्त यह है कि बाधा या छिद्र का आकार $(d)$ तरंग की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के तुलनीय होना चाहिए, अर्थात $\frac{\lambda}{d} \approx 1$।
दृश्य प्रकाश के लिए, तरंगदैर्ध्य $\lambda$ लगभग $6 \times 10^{-7} \,m$ होती है। हमारे दैनिक जीवन में अधिकांश बाधाएं इससे बहुत बड़ी होती हैं (जैसे $d \approx 10^{-1} \,m$ से $1 \,m$), इसलिए अनुपात $\frac{\lambda}{d}$ अत्यंत छोटा होता है, जिससे विवर्तन नगण्य हो जाता है।
ध्वनि तरंगों के लिए, श्रव्य आवृत्ति सीमा $20 \,Hz$ से $20,000 \,Hz$ है। यदि हम $332 \,Hz$ की आवृत्ति और ध्वनि की गति $v = 332 \,m/s$ लें, तो तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{332}{332} = 1 \,m$ प्राप्त होती है।
चूंकि ध्वनि की तरंगदैर्ध्य $(1 \,m)$ सामान्य बाधाओं जैसे दरवाजों या खिड़कियों के आकार के तुलनीय है, इसलिए अनुपात $\frac{\lambda}{d}$ महत्वपूर्ण होता है, जिससे स्पष्ट विवर्तन होता है।
यही कारण है कि हम कोनों के पीछे से आने वाली ध्वनि सुन सकते हैं, लेकिन प्रकाश नहीं देख सकते।

(A) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में निम्निष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$
चूँकि $|\sin \theta| < 1$,इसलिए $n < \frac{d}{\lambda}$ होगा।
दिया गया है $d = 0.6 \times 10^{-4} \ m = 6 \times 10^{-5} \ m$ और $\lambda = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$ है।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{d}{\lambda} = \frac{6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-7}} = 100$ प्राप्त होता है।
अतः,$n < 100$ है। एक तरफ $n$ के संभावित पूर्णांक मान $1, 2, \dots, 99$ हैं।
इसलिए,एक तरफ निम्निष्ठों की संख्या $99$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर निम्निष्ठों की कुल संख्या $99 + 99 = 198$ है।

(A) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $(\lambda) = 5400 \ \mathring{A} = 5.4 \times 10^{-7} \ m$.
स्लिट की चौड़ाई $(a) = 0.80 \ mm = 8 \times 10^{-4} \ m$.
पर्दे की दूरी $(D) = 1.4 \ m$.
केंद्रीय चमकीली पट्टी के प्रत्येक तरफ पहली दो काली पट्टियों के बीच की दूरी केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) की चौड़ाई के बराबर होती है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर: $w = \frac{2 \times 5.4 \times 10^{-7} \times 1.4}{8 \times 10^{-4}}$.
$w = \frac{15.12 \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-4}} = 1.89 \times 10^{-3} \ m$.
$mm$ में बदलने पर,हमें $w = 1.89 \ mm$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्ताकार छिद्र के लिए केंद्रीय विवर्तन उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta \approx \frac{1.22 \lambda}{D}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ पिनहोल का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
जैसे-जैसे पिनहोल का व्यास $D$ बढ़ता है,कोणीय चौड़ाई $\theta$ घटती है,जिसका अर्थ है कि विवर्तन पैटर्न का आकार घट जाता है।
चूंकि पिनहोल का क्षेत्रफल बढ़ने के साथ (क्षेत्रफल $\propto D^2$) पिनहोल से गुजरने वाले प्रकाश की कुल मात्रा बढ़ जाती है,और यह प्रकाश अब एक छोटे क्षेत्र में केंद्रित हो जाता है,इसलिए विवर्तन पैटर्न की तीव्रता बढ़ जाती है।
अतः,आकार घटता है और तीव्रता बढ़ती है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन के लिए,$n$-वें उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है।
प्रथम उच्चिष्ठ के लिए,$n = 1$,अतः $a \sin \theta = \frac{3 \lambda}{2}$।
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{L}$,जहाँ $y$ केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी है और $L$ स्क्रीन तक की दूरी है।
अतः,$y = \frac{3 \lambda L}{2 a}$।
दो तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 650\, nm$ और $\lambda_2 = 655\, nm$ के लिए प्रथम उच्चिष्ठ के बीच की दूरी $\Delta y = y_2 - y_1 = \frac{3 L}{2 a} (\lambda_2 - \lambda_1)$ है।
दिया गया है $L = 2.0\, m$,$a = 0.5\, mm = 0.5 \times 10^{-3}\, m$,$\lambda_1 = 650 \times 10^{-9}\, m$,और $\lambda_2 = 655 \times 10^{-9}\, m$।
$\Delta y = \frac{3 \times 2.0}{2 \times 0.5 \times 10^{-3}} \times (655 - 650) \times 10^{-9}$।
$\Delta y = \frac{6}{10^{-3}} \times 5 \times 10^{-9} = 6 \times 5 \times 10^{-6} = 30 \times 10^{-6} = 3 \times 10^{-5}\, m$।
$x \times 10^{-5}\, m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(C)
दिए गए पैटर्न में से,कॉम्पैक्ट डिस्क पर दिखाई देने वाले रंग प्रकाश के विवर्तन के कारण होते हैं।
अन्य पैटर्न के कारण इस प्रकार हैं:
$(a)$ इंद्रधनुष प्रकाश के अपवर्तन,पूर्ण आंतरिक परावर्तन और विक्षेपण के कारण बनता है।
$(b)$ जब सफेद प्रकाश एक प्रिज्म से गुजरता है,तो बनने वाला रंगीन पैटर्न प्रकाश के विक्षेपण के कारण होता है।
$(d)$ आकाश का नीला रंग प्रकाश के प्रकीर्णन के कारण होता है।

(A) चौड़ाई की स्लिट के लिए केंद्रीय विवर्तन उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि स्लिट आयताकार है जिसकी चौड़ाई $w$ और ऊंचाई $h$ है,जहाँ $w = 2h$ है।
विवर्तन पैटर्न क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में विवर्तन प्रभावों के अध्यारोपण द्वारा बनता है।
क्षैतिज दिशा में कोणीय चौड़ाई $\theta_w = \frac{2\lambda}{w}$ है और ऊर्ध्वाधर दिशा में $\theta_h = \frac{2\lambda}{h}$ है।
चूंकि $w = 2h$,हमारे पास $\theta_w = \frac{2\lambda}{2h} = \frac{\lambda}{h}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$\theta_h = \frac{2\lambda}{h}$ और $\theta_w = \frac{\lambda}{h}$,यह स्पष्ट है कि $\theta_h > \theta_w$ है।
इसलिए,केंद्रीय विवर्तन शिखर क्षैतिज दिशा की तुलना में ऊर्ध्वाधर दिशा में अधिक चौड़ा है।

(D) विवर्तन की घटना विद्युत चुम्बकीय तरंगों सहित सभी तरंगों की एक सामान्य विशेषता है।
विवर्तन को देखने के लिए,छिद्र या अवरोध का आकार आपतित तरंग की तरंग दैर्ध्य के तुलनीय होना चाहिए।
चूंकि इन्फ्रारेड तरंगें,माइक्रोवेव्स और $X$-किरणें सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रकार हैं,इसलिए जब वे उपयुक्त अवरोधों या छिद्रों के साथ संपर्क में आते हैं तो वे सभी विवर्तन प्रदर्शित करते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) .
व्यतिकरण दो अलग-अलग,कला-संबद्ध स्रोतों से उत्पन्न तरंगों के अध्यारोपण के परिणामस्वरूप होने वाली घटना है।
विवर्तन एक ही तरंगाग्र के विभिन्न भागों से उत्पन्न द्वितीयक तरंगिकाओं के अध्यारोपण के परिणामस्वरूप होने वाली घटना है,जब वे किसी छिद्र से गुजरती हैं या किसी बाधा के चारों ओर मुड़ती हैं।

(D) एक-स्लिट विवर्तन प्रतिरूप में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र: $W = \frac{2D\lambda}{a}$ है।
दिए गए मान हैं:
$D = 2 \,m$
$\lambda = 580 \,nm = 580 \times 10^{-9} \,m$
$a = 0.30 \,mm = 0.30 \times 10^{-3} \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{2 \times 2 \times 580 \times 10^{-9}}{0.30 \times 10^{-3}}$
$W = \frac{2320 \times 10^{-9}}{0.30 \times 10^{-3}}$
$W = \frac{2320}{0.30} \times 10^{-6} \,m$
$W \approx 7733.33 \times 10^{-6} \,m = 7.73 \times 10^{-3} \,m$.
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $7.73 \times 10^{-3} \,m$ है।

(A) ऑप्टिकल डिस्क की भंडारण क्षमता पिट्स और लैंड्स के आकार द्वारा निर्धारित की जाती है,जो डेटा को पढ़ने/लिखने के लिए उपयोग किए जाने वाले लेजर बीम की विवर्तन सीमा द्वारा सीमित होती है।
विवर्तन सीमा के अनुसार,न्यूनतम स्पॉट आकार $d$,लेजर की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के समानुपाती होता है $(d \propto \lambda)$।
$DVD$ लगभग $6350 \,\mathring{A}$ की तरंगदैर्ध्य वाले लाल लेजर का उपयोग करती है,जबकि $CD$ $7800 \,\mathring{A}$ की तरंगदैर्ध्य वाले इन्फ्रारेड लेजर का उपयोग करती है।
चूंकि $DVD$ लेजर की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है,इसलिए यह छोटे स्पॉट आकार पर ध्यान केंद्रित कर सकती है,जिससे डिस्क की सतह पर पिट्स और लैंड्स का घनत्व बहुत अधिक हो जाता है।
परिणामस्वरूप,$DVD$ समान भौतिक आकार की $CD$ की तुलना में काफी अधिक जानकारी (लगभग $30$ गुना) संग्रहीत कर सकती है।
इसलिए,विकल्प $(A)$ सही स्पष्टीकरण है।

(A) विवर्तन किसी बाधा या छिद्र के कोनों पर तरंगों के मुड़ने की घटना है। महत्वपूर्ण विवर्तन के लिए शर्त यह है कि तरंग की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ बाधा या छिद्र के आकार $(a)$ के तुलनीय होनी चाहिए।
ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य $0.1 \, m$ से $10 \, m$ की सीमा में होती है, जो दरवाजे के छिद्र के आकार के तुलनीय है। इसलिए, ध्वनि तरंगें दरवाजे के किनारों पर आसानी से विवर्तित हो जाती हैं।
प्रकाश तरंगों की तरंगदैर्ध्य बहुत छोटी ($400 \, nm$ से $700 \, nm$ की सीमा में) होती है। चूंकि दरवाजे का छिद्र प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से बहुत बड़ा है, इसलिए प्रकाश महत्वपूर्ण विवर्तन का अनुभव नहीं करता है और एक सीधी रेखा में यात्रा करता है, जिससे हम कोने के आसपास नहीं देख पाते हैं।

(B) "फ्लोटर्स" की घटना आंख के काचाभ द्रव (vitreous humor) में तैर रहे मलबे (जैसे कोलेजन फाइबर या कोशिकाएं) द्वारा रेटिना पर पड़ने वाली छोटी परछाइयों के कारण होती है। जब प्रकाश इन छोटे कणों के चारों ओर से गुजरता है, तो इसका विवर्तन होता है। इन संरचनाओं द्वारा निर्मित विवर्तन प्रतिरूप को मस्तिष्क तैरते हुए धब्बों या बाल जैसी आकृतियों के रूप में देखता है। इसलिए, यह एक विवर्तन प्रतिरूप है। सही विकल्प $B$ है।

(A) सही विकल्प $A$ है।
विवर्तन किसी अवरोध या द्वारक के कोनों से प्रकाश के मुड़ने की घटना है।
महत्वपूर्ण विवर्तन होने के लिए,अवरोध का आकार या द्वारक की चौड़ाई आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के तुलनीय होनी चाहिए।
यदि अवरोध तरंगदैर्ध्य से बहुत बड़ा है,तो प्रकाश एक सीधी रेखा में यात्रा करता है और विवर्तन नगण्य होता है।
इसलिए,अवरोध का आकार उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य की कोटि का होना चाहिए।

(C) विवर्तन के महत्वपूर्ण होने के लिए शर्त यह है कि अवरोध या छिद्र का आकार तरंग की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होना चाहिए।
ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य $meters$ से $centimeters$ की सीमा में होती है,जो हमारे परिवेश में सामान्य वस्तुओं के आकार के तुलनीय है।
प्रकाश तरंगों की तरंगदैर्ध्य बहुत छोटी ($10^{-7} \ m$ की सीमा में) होती है,जो सामान्य वस्तुओं से बहुत छोटी होती है।
इसलिए,ध्वनि तरंगें प्रकाश तरंगों की तुलना में अवरोधों के चारों ओर अधिक आसानी से मुड़ जाती हैं,जिससे ध्वनि के लिए विवर्तन अधिक स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w = \frac{2D\lambda}{b}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ पर्दे की दूरी है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $b$ स्लिट की चौड़ाई है।
द्वि-स्लिट व्यतिकरण पैटर्न में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ है,जहाँ $d$ स्लिट पृथक्करण है।
यह दिया गया है कि व्यतिकरण पैटर्न के $20$ उच्चिष्ठ विवर्तन पैटर्न के केंद्रीय उच्चिष्ठ के भीतर स्थित हैं। $20$ व्यतिकरण फ्रिंजों द्वारा घेरी गई कुल चौड़ाई $20 \times \beta = 20 \frac{D\lambda}{d}$ है।
दोनों चौड़ाई की तुलना करने पर: $20 \frac{D\lambda}{d} = \frac{2D\lambda}{b}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{20}{d} = \frac{2}{b}$.
$b$ के लिए हल करने पर: $b = \frac{2d}{20} = \frac{d}{10}$.
चूंकि $d = 2 \, mm$ दिया गया है,इसलिए $b = \frac{2 \, mm}{10} = 0.2 \, mm$ प्राप्त होता है।

$(A)$ एक-स्लिट विवर्तन पैटर्न में मुख्य उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2\lambda D}{a}$ है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ पर्दे की दूरी है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
दिया गया है: $w = 2.5 \times 10^{-3}\,m$, $D = 2\,m$, और $a = 1 \times 10^{-3}\,m$.
मानों को सूत्र में रखने पर: $2.5 \times 10^{-3} = \frac{2 \times \lambda \times 2}{1 \times 10^{-3}}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{2.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3}}{4} = 0.625 \times 10^{-6}\,m$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 6.25 \times 10^{-7}\,m = 6250 \times 10^{-10}\,m = 6250\,\mathring{A}$.

(C) क्रिस्टल द्वारा विवर्तन के लिए ब्रैग का नियम इस समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$n\lambda = 2d \sin\theta$
जहाँ $n$ विवर्तन का क्रम है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$d$ अंतर-परमाणु दूरी है और $\theta$ ग्लैंसिंग कोण है।
चूंकि $\sin\theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए समीकरण $n\lambda \leq 2d$ हो जाता है।
प्रथम क्रम के विवर्तन $(n=1)$ के लिए,शर्त $\lambda \leq 2d$ होती है।
अतः,विवर्तन होने के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $2d$ से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए।

(B) एकल स्लिट विवर्तन प्रतिरूप में प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$a \sin \theta = n \lambda$
प्रथम निम्निष्ठ के लिए, $n = 1$, अतः समीकरण होगा:
$a \sin \theta = \lambda$
दिया गया है:
$\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$
$\theta = 30^{\circ}$
समीकरण में मान रखने पर:
$a \sin 30^{\circ} = 600 \times 10^{-9} \, m$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$:
$a \times 0.5 = 600 \times 10^{-9} \, m$
$a = 1200 \times 10^{-9} \, m$
$a = 1.2 \times 10^{-6} \, m$
$a = 1.2 \, \mu m$

(C) एकल स्लिट विवर्तन में प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$,इसलिए $a \sin \theta = \lambda$.
दिया गया है:
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.001 \text{ mm} = 1 \times 10^{-6} \text{ m}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
मान रखने पर:
$\sin \theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-6}} = 0.5$.
चूंकि $\sin \theta = 0.5$,इसलिए विवर्तन कोण $\theta = 30^{\circ}$ होगा।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n^{\text{वें}}$ निम्निष्ठ के लिए शर्त इस प्रकार है:
$b \sin \theta = n \lambda$
चूंकि $\lambda$ बहुत छोटा है,इसलिए $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$ लिया जा सकता है।
अतः,$n^{\text{वें}}$ निम्निष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{b}$ है।
प्रथम निम्निष्ठ $(n=1)$ की स्थिति $y_1 = \frac{\lambda D}{b}$ है।
तृतीय निम्निष्ठ $(n=3)$ की स्थिति $y_3 = \frac{3 \lambda D}{b}$ है।
प्रथम और तृतीय निम्निष्ठ के बीच की दूरी $\Delta y = y_3 - y_1 = \frac{2 \lambda D}{b}$ है।
दिया गया है: $\Delta y = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$,$\lambda = 6000 \mathring A = 6000 \times 10^{-10} \text{ m}$,और $D = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$.
मान रखने पर:
$3 \times 10^{-3} = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10} \times 0.5}{b}$
$b = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10} \times 0.5}{3 \times 10^{-3}}$
$b = \frac{6000 \times 10^{-10}}{3 \times 10^{-3}} = 2000 \times 10^{-7} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
अतः,स्लिट की चौड़ाई $2 \times 10^{-4} \text{ m}$ है। सही विकल्प $C$ है।

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वें द्वितीयक उच्चिष्ठ की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे की दूरी (लेंस की फोकस दूरी) है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
दिया गया है:
$\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$
$a = 0.2 \ mm = 0.2 \times 10^{-3} \ m$
$D = 100 \ cm = 1 \ m$
मान रखने पर:
$\text{चौड़ाई} = \frac{400 \times 10^{-9} \ m \times 1 \ m}{0.2 \times 10^{-3} \ m}$
$= \frac{400}{0.2} \times 10^{-6} \ m$
$= 2000 \times 10^{-6} \ m$
$= 2 \times 10^{-3} \ m = 2 \ mm$.

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई का सूत्र है:
$W = \frac{2 \lambda f}{a}$
जहाँ:
$\lambda = 6000 \text{ Å} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$a = 0.01 \text{ mm} = 1 \times 10^{-5} \text{ m}$
$f = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$
मान रखने पर:
$W = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7} \text{ m}) \times (0.2 \text{ m})}{1 \times 10^{-5} \text{ m}}$
$W = \frac{2.4 \times 10^{-7}}{10^{-5}} \text{ m}$
$W = 2.4 \times 10^{-2} \text{ m} = 24 \text{ mm}$

(C) प्रथम विवर्तन निम्निष्ठ (minima) के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है। प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$ है।
दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2.0 \ cm$ और स्लिट की चौड़ाई $a = 4.0 \ cm$ है।
मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{2.0}{4.0} = 0.5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ का कोणीय विस्तार केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर स्थित प्रथम निम्निष्ठों के बीच का कोण होता है,जो $2\theta$ है।
इसलिए,कोणीय विस्तार $= 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग के लिए, $n$-वें कोटि के निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$ होता है।
अतः, केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$-वें निम्निष्ठ की दूरी $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 550 \,nm = 550 \times 10^{-9} \,m$, $a = 0.20 \,mm = 0.20 \times 10^{-3} \,m$, $D = 100 \,cm = 1.0 \,m$, और $n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$y_1 = \frac{1 \times 550 \times 10^{-9} \times 1.0}{0.20 \times 10^{-3}} \,m$
$y_1 = \frac{550}{0.20} \times 10^{-6} \,m$
$y_1 = 2750 \times 10^{-6} \,m = 275 \times 10^{-5} \,m$ है।
इसे $x \times 10^{-5} \,m$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 275$ प्राप्त होता है।

(A) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n$ वीं कोटि के निम्निष्ठ के लिए शर्त $b \sin \theta = n \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \theta$, इसलिए $\theta = \frac{n \lambda}{b}$ है।
दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$, स्लिट की चौड़ाई $b = 0.4 \,mm = 4 \times 10^{-4} \,m$, और कोटि $n = 2$ है।
द्वितीय कोटि के निम्निष्ठ की कोणीय स्थिति $\theta = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9}}{4 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^{-3} \,rad$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर द्वितीय कोटि के निम्निष्ठों के बीच कुल कोणीय विचलन $2\theta$ है।
कुल विचलन $= 2 \times (3 \times 10^{-3} \,rad) = 6 \times 10^{-3} \,rad$.

(B) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$, पर्दे की दूरी $D = 1 \,m$, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \,nm = 5 \times 10^{-7} \,m$.
एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a$ प्रत्येक स्लिट की चौड़ाई है।
द्वि-स्लिट व्यतिकरण पैटर्न की फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
हमें दिया गया है कि द्वि-स्लिट पैटर्न के $10$ उच्चिष्ठ, एकल स्लिट पैटर्न के केंद्रीय उच्चिष्ठ के भीतर आते हैं। अतः, $10 \times \beta = \frac{2 \lambda D}{a}$.
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$10 \times \frac{\lambda D}{d} = \frac{2 \lambda D}{a}$
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{10}{d} = \frac{2}{a}$
$a = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$
चूँकि $d = 1 \,mm = 10 \times 10^{-4} \,m$:
$a = \frac{10 \times 10^{-4} \,m}{5} = 2 \times 10^{-4} \,m$.
अतः, सही मान $2$ है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,$n$-वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,और $\theta$ कोणीय स्थिति है।
दूसरे निम्निष्ठ $(n=2)$ के लिए,$\sin \theta_1 = \frac{2 \lambda}{a}$।
तीसरे निम्निष्ठ $(n=3)$ के लिए,$\sin \theta_2 = \frac{3 \lambda}{a}$।
कुल कोणीय पृथक्करण $\theta_1 + \theta_2 = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ रेडियन}$ है।
छोटे कोण सन्निकटन का उपयोग करते हुए,$\sin \theta \approx \theta$ (रेडियन में),हमारे पास है:
$\theta_1 \approx \frac{2 \lambda}{a}$ और $\theta_2 \approx \frac{3 \lambda}{a}$।
इनका योग करने पर,हमें $\theta_1 + \theta_2 \approx \frac{2 \lambda}{a} + \frac{3 \lambda}{a} = \frac{5 \lambda}{a}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\theta_1 + \theta_2 = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ रेडियन}$,इसलिए $\frac{5 \lambda}{a} = \frac{\pi}{6}$।
$\lambda = 628 \ nm = 0.628 \ \mu m$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{5 \times 0.628 \times 6}{\pi} \approx \frac{18.84}{3.14} \approx 6 \ \mu m$।

(A) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग के लिए, $n$ वें निम्निष्ठ की शर्त $a \sin \theta = n \lambda_1$ है, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है。
प्रथम निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए, स्थिति $a \sin \theta = 1 \times \lambda_1 = 660 \ nm$ है。
$m$ वें द्वितीयक उच्चिष्ठ की शर्त $a \sin \theta = (2m + 1) \frac{\lambda_2}{2}$ है, जहाँ $m = 1, 2, 3, ...$ है。
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ $(m=1)$ के लिए, स्थिति $a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda_2}{2} = \frac{3}{2} \lambda_2$ है。
चूँकि स्थितियाँ संपाती हैं, हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$660 \ nm = \frac{3}{2} \lambda_2$.
$\lambda_2$ के लिए हल करने पर:
$\lambda_2 = 660 \times \frac{2}{3} = 440 \ nm$.
एंगस्ट्रॉम $(\mathring{A})$ में परिवर्तित करने पर:
$440 \ nm = 440 \times 10 \mathring{A} = 4400 \mathring{A}$.

(B) एकल स्लिट विवर्तन के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है।
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$,इसलिए शर्त $d \sin \theta = \lambda$ हो जाती है।
दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda = 600 \ \mu m = 600 \times 10^{-6} \ m = 6 \times 10^{-4} \ m$.
दी गई स्लिट की चौड़ाई $d = 1.2 \ mm = 1.2 \times 10^{-3} \ m = 12 \times 10^{-4} \ m$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{6 \times 10^{-4}}{12 \times 10^{-4}} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6} \text{ रेडियन}$ होगा।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन प्रतिरूप में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र है: $W = \frac{2 \lambda D}{a}$।
दिए गए मान:
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.15 \ cm = 1.5 \times 10^{-3} \ m$.
पर्दे से दूरी $D = 2.1 \ m$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5 \times 10^{-5} \ cm = 5 \times 10^{-7} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{2 \times (5 \times 10^{-7} \ m) \times (2.1 \ m)}{1.5 \times 10^{-3} \ m}$.
$W = \frac{21 \times 10^{-7}}{1.5 \times 10^{-3}} \ m$.
$W = 14 \times 10^{-4} \ m = 1.4 \times 10^{-3} \ m = 1.4 \ mm$.

(D) स्लिट की चौड़ाई $b = \frac{m \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $m = 3$,$\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-6} \ mm$,$D = 1 \ m = 1000 \ mm$,$d = 5 \ mm$.
अल्पतमांक: $\Delta D = 1 \ cm = 10 \ mm$,$\Delta d = 1 \ mm$.
$b$ की गणना: $b = \frac{3 \times 600 \times 10^{-6} \times 1000}{5} = 0.36 \ mm = 360 \ \mu m$.
अधिकतम त्रुटि विधि का उपयोग करते हुए: $b_{max} = \frac{m \lambda (D + \Delta D)}{(d - \Delta d)} = \frac{3 \times 600 \times 10^{-6} \times 1010}{4} = 0.4545 \ mm = 454.5 \ \mu m$.
$b_{min} = \frac{m \lambda (D - \Delta D)}{(d + \Delta d)} = \frac{3 \times 600 \times 10^{-6} \times 990}{6} = 0.297 \ mm = 297 \ \mu m$.
त्रुटियाँ: $\Delta b_1 = |454.5 - 360| = 94.5 \ \mu m$ और $\Delta b_2 = |297 - 360| = 63 \ \mu m$.
अवकलन विधि का उपयोग करते हुए: $\frac{\Delta b}{b} = \frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta d}{d} = \frac{10}{1000} + \frac{1}{5} = 0.01 + 0.2 = 0.21$.
$\Delta b = 0.21 \times 360 = 75.6 \ \mu m$.
अतः,संभावित त्रुटियाँ $75.6 \ \mu m$ या $94.5 \ \mu m$ हैं।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ सबसे अधिक चमकीला और चौड़ा होता है। जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं,द्वितीयक उच्चिष्ठों की तीव्रता तेजी से घटती जाती है। केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $2\lambda D/a$ होती है,जबकि द्वितीयक उच्चिष्ठों की चौड़ाई $\lambda D/a$ होती है। इसलिए,फ्रिंज की चौड़ाई और तीव्रता असमान होती है। विकल्प $D$ कहता है कि फ्रिंज की चौड़ाई और तीव्रता समान होती है,जो कि गलत है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,$n$-वें द्वितीयक उच्चिष्ठ की शर्त है: $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है,$\theta$ विवर्तन कोण है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,जहाँ $y$ केंद्र से दूरी है और $D$ पर्दे तक की दूरी है।
दूसरे उच्चिष्ठ के लिए,$n = 2$. अतः,$a \frac{y}{D} = (2 + \frac{1}{2}) \lambda = \frac{5}{2} \lambda$.
दिया गया है: $a = 0.65 \ mm = 0.65 \times 10^{-3} \ m$,$D = 1.3 \ m$,और $y = 2.6 \ mm = 2.6 \times 10^{-3} \ m$.
मान रखने पर: $(0.65 \times 10^{-3}) \times \frac{2.6 \times 10^{-3}}{1.3} = \frac{5}{2} \lambda$.
$(0.65 \times 10^{-3}) \times (2 \times 10^{-3}) = 2.5 \lambda$.
$1.3 \times 10^{-6} = 2.5 \lambda$.
$\lambda = \frac{1.3 \times 10^{-6}}{2.5} = 0.52 \times 10^{-6} \ m = 5200 \ \times 10^{-10} \ m = 5200 \ Å$.

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,द्वितीयक उच्चिष्ठ की स्थिति $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ द्वितीयक उच्चिष्ठ का क्रम है।
$\lambda_1 = 6384 Å$ तरंगदैर्ध्य के लिए दूसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n = 2)$ की स्थिति $a \sin \theta = (2 + \frac{1}{2}) \lambda_1 = \frac{5}{2} \lambda_1$ है।
$\lambda_0$ तरंगदैर्ध्य के लिए तीसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n = 3)$ की स्थिति $a \sin \theta = (3 + \frac{1}{2}) \lambda_0 = \frac{7}{2} \lambda_0$ है।
चूंकि स्थितियां संपाती हैं,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं: $\frac{5}{2} \lambda_1 = \frac{7}{2} \lambda_0$.
यह $5 \lambda_1 = 7 \lambda_0$ में सरल हो जाता है।
$\lambda_1 = 6384 Å$ रखने पर,हमें $\lambda_0 = \frac{5 \times 6384}{7} = \frac{31920}{7} = 4560 Å$ प्राप्त होता है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र है: $y = \frac{2D\lambda}{a}$,जहाँ '$D$' स्लिट से पर्दे की दूरी है,'$\lambda$' प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है और '$a$' स्लिट की चौड़ाई है।
प्रारंभ में,$y = \frac{2D\lambda}{a}$.
दूसरे मामले में,स्लिट की चौड़ाई आधी कर दी जाती है,इसलिए नई चौड़ाई $a' = \frac{a}{2}$ है।
नई तरंग दैर्ध्य $\lambda' = 1.5\lambda = \frac{3}{2}\lambda$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की नई चौड़ाई '$y'$' का सूत्र है: $y' = \frac{2D\lambda'}{a'} = \frac{2D(1.5\lambda)}{a/2}$.
इसे सरल करने पर: $y' = \frac{2D(3/2\lambda)}{a/2} = \frac{3D\lambda}{a/2} = \frac{6D\lambda}{a}$.
चूंकि $y = \frac{2D\lambda}{a}$,हम इसे $y'$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$y' = 3 \times (\frac{2D\lambda}{a}) = 3y$.
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ की नई चौड़ाई $3y$ होगी।

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त है: $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda'$,जहाँ $n$ द्वितीयक उच्चिष्ठ का क्रम है।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के $4^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए: $a \sin \theta_1 = (4 + \frac{1}{2}) \lambda_1 = \frac{9}{2} \lambda_1$.
$\lambda$ तरंगदैर्ध्य के $3^{\text{rd}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए: $a \sin \theta_2 = (3 + \frac{1}{2}) \lambda = \frac{7}{2} \lambda$.
चूंकि उच्चिष्ठ संपाती हैं,$\theta_1 = \theta_2$,इसलिए $a \sin \theta_1 = a \sin \theta_2$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{9}{2} \lambda_1 = \frac{7}{2} \lambda$.
$\lambda_1$ के लिए हल करने पर: $\lambda_1 = \frac{7}{9} \lambda$.

(B) विवर्तन बैंड की चौड़ाई (या क्रमिक निम्निष्ठ/उच्चिष्ठ के बीच की दूरी) सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि बैंड की चौड़ाई $\beta$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $\beta \propto \lambda$.
हम जानते हैं कि नीले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य लाल प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से कम होती है,अर्थात $\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{red}}$.
चूंकि $\lambda$ घटता है,इसलिए बैंड की चौड़ाई $\beta$ भी घट जाती है।
अतः,विवर्तन बैंड संकीर्ण और एक-दूसरे के करीब हो जाते हैं।

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए स्थिति $x_n = \frac{(2n+1) \lambda D}{2a}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda = 6195 Å$ तरंगदैर्ध्य के लिए दूसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=2)$ की स्थिति $x_2 = \frac{(2 \times 2 + 1) \lambda D}{2a} = \frac{5 \lambda D}{2a}$ है।
$\lambda_0$ तरंगदैर्ध्य के लिए तीसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=3)$ की स्थिति $x_3 = \frac{(2 \times 3 + 1) \lambda_0 D}{2a} = \frac{7 \lambda_0 D}{2a}$ है।
चूंकि स्थितियां संपाती हैं,$x_2 = x_3$,जिसका अर्थ है $\frac{5 \lambda D}{2a} = \frac{7 \lambda_0 D}{2a}$।
इसे सरल करने पर,हमें $5 \lambda = 7 \lambda_0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_0 = \frac{5 \lambda}{7} = \frac{5 \times 6195 Å}{7} = 5 \times 885 Å = 4425 Å$।

(A) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n^{th}$ निम्निष्ठ की स्थिति $x_n = \frac{n D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ पर्दे की दूरी है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
दिया गया है:
$D = 50 \ cm = 0.5 \ m$
$\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$
$1^{st}$ और $3^{rd}$ निम्निष्ठ के बीच की दूरी: $\Delta x = x_3 - x_1 = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$x_3 - x_1 = (3 - 1) \frac{D \lambda}{d} = \frac{2 D \lambda}{d}$
$d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$d = \frac{2 D \lambda}{\Delta x}$
$d = \frac{2 \times 0.5 \times 600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}}$
$d = \frac{600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} = 200 \times 10^{-6} \ m = 0.2 \ mm$.

(C) विवर्तन पैटर्न की केंद्रीय अधिकतम चौड़ाई $W = \frac{2 \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन की दूरी है,और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
प्रारंभ में,$W = Y = \frac{2 \times 400 \times D}{d}$.
जब स्लिट का आधा हिस्सा ढक दिया जाता है,तो नई स्लिट चौड़ाई $d' = \frac{d}{2}$ हो जाती है।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = 600 \ nm$ है।
नई चौड़ाई $W'$ इस प्रकार है: $W' = \frac{2 \lambda' D}{d'} = \frac{2 \times 600 \times D}{d/2} = \frac{4 \times 600 \times D}{d}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{W'}{Y} = \frac{4 \times 600 \times D / d}{2 \times 400 \times D / d} = \frac{2400}{800} = 3$.
अतः,$W' = 3 Y$.

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$ वें गौण उच्चिष्ठ के लिए शर्त $\sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2a}$ है।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ $(n = 1)$ के लिए,$\sin \theta = \frac{3\lambda}{2a}$ होता है।
चूंकि कोण $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$,जहाँ $x$ केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी है और $D$ पर्दे की दूरी है।
अतः,$x = \frac{3\lambda D}{2a}$।
दो तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए प्रथम गौण उच्चिष्ठ की स्थितियों के बीच का पृथक्करण $\Delta x = \frac{3D}{2a} (\lambda_2 - \lambda_1)$ है।
दिया गया है: $\lambda_1 = 590 \times 10^{-9} \ m$,$\lambda_2 = 596 \times 10^{-9} \ m$,$D = 2 \ m$,$a = 2.4 \times 10^{-3} \ m$।
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{3 \times 2 \times (596 - 590) \times 10^{-9}}{2 \times 2.4 \times 10^{-3}}$
$\Delta x = \frac{6 \times 6 \times 10^{-9}}{4.8 \times 10^{-3}} = \frac{36 \times 10^{-9}}{4.8 \times 10^{-3}} = 7.5 \times 10^{-6} \ m$।

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$ वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta_n = n \lambda$ है।
$n$ वें द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta_n = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ है।
प्रथम निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए दिया गया है: $a \sin 30^{\circ} = 1 \cdot \lambda \Rightarrow a \cdot \frac{1}{2} = \lambda \Rightarrow a = 2\lambda$.
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए: $a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$.
समीकरण में $a = 2\lambda$ रखने पर: $(2\lambda) \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$.
$\sin \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) एकल स्लिट की चौड़ाई $d$ के लिए मुख्य उच्चिष्ठ की अर्ध-कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम मामले के लिए: $\theta = \frac{\lambda}{d} \implies d = \frac{\lambda}{\theta}$.
द्वितीय मामले के लिए: $q\theta = \frac{p\lambda}{d'} \implies d' = \frac{p\lambda}{q\theta}$.
$n$-वें गौण उच्चिष्ठ की अर्ध-कोणीय चौड़ाई $\theta_n = \frac{(2n+1)\lambda}{2d}$ होती है।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए,$\theta_{s1} = \frac{3\lambda}{2d}$ और $\theta_{s2} = \frac{3(p\lambda)}{2d'}$.
अनुपात $\frac{\theta_{s1}}{\theta_{s2}} = \frac{3\lambda / 2d}{3p\lambda / 2d'} = \frac{d'}{pd}$ होगा।
$d'$ और $d$ के मान रखने पर,$\frac{\theta_{s1}}{\theta_{s2}} = \frac{p\lambda / q\theta}{p(\lambda / \theta)} = \frac{1}{q}$.
अतः,अनुपात $1:q$ है।