Single Slit Diffraction of Light Questions in Hindi

(A) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n$-वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है, जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है, $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $\theta$ कोणीय स्थिति है।
दिया गया है: $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ और $a = 0.3 \text{ mm} = 0.3 \times 10^{-3} \text{ m} = 3 \times 10^{-4} \text{ m}$.
प्रथम निम्निष्ठ के लिए, $n = 1$.
मान रखने पर: $3 \times 10^{-4} \sin \theta = 1 \times 6 \times 10^{-7}$.
$\sin \theta = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3}$.
चूँकि $\theta$ बहुत छोटा है, $\sin \theta \approx \theta$.
अतः, $\theta = 2 \times 10^{-3} \text{ rad}$.

(B) विवर्तन ग्रेटिंग में मुख्य उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है, जहाँ $d = \frac{1}{N}$ ग्रेटिंग तत्व है और $N$ प्रति इकाई लंबाई रेखाओं की संख्या है.
अतः, $\frac{\sin \theta}{N} = n \lambda$, जिसका अर्थ है $n = \frac{\sin \theta}{N \lambda}$.
यहाँ $\lambda = 625 \, nm = 6.25 \times 10^{-7} \, m$ और $N = 2 \times 10^{5} \, \text{lines}/m$ दिया गया है.
अधिकतम संभव क्रम $n$ शर्त $\sin \theta \leq 1$ द्वारा निर्धारित होता है, इसलिए $n < \frac{1}{N \lambda}$.
$n < \frac{1}{(2 \times 10^{5}) \times (6.25 \times 10^{-7})} = \frac{1}{0.125} = 8$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए अधिकतम क्रम $n = 8$ है.
कुल देखे गए उच्चिष्ठों की संख्या $2n + 1$ द्वारा दी जाती है (जिसमें $n=0$ पर केंद्रीय उच्चिष्ठ और दोनों तरफ $n$ क्रम शामिल हैं).
कुल उच्चिष्ठ $= 2(8) + 1 = 17$.

(D) विवर्तन की मात्रा आपतित तरंग की तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है।
चूंकि विवर्तन तब होता है जब बाधा या छिद्र का आकार तरंग की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होता है,इसलिए लंबी तरंगदैर्ध्य वाली तरंगें अधिक स्पष्ट विवर्तन प्रभाव प्रदर्शित करती हैं।
दिए गए विकल्पों में से,रेडियो तरंगों की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है।
इसलिए,रेडियो तरंगें अधिकतम विवर्तन प्रदर्शित करती हैं।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन में $n$-वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $n$ निम्निष्ठ का क्रम है।
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$,इसलिए $a \sin \theta = \lambda$.
चूँकि कोण $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,जहाँ $y$ केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी है और $D$ पर्दे तक की दूरी है।
अतः,$y = \frac{n \lambda D}{a}$.
प्रथम निम्निष्ठ $(n = 1)$ के लिए,$y_1 = \frac{\lambda D}{a}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के बीच की दूरी $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
दिया गया है: $a = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,$D = 1 \ m$.
मान रखने पर: $2y_1 = \frac{2 \times 500 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \times 10^{-6} \ m = 0.5 \times 10^{-3} \ m = 0.5 \ mm$.

(B) विवर्तन प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय आकार के अवरोध या छिद्र के कोनों पर प्रकाश के मुड़ने की घटना है।
महत्वपूर्ण विवर्तन होने के लिए,छिद्र या स्लिट की चौड़ाई '$a$' आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य '$\lambda$' के बराबर या उससे छोटी होनी चाहिए।
गणितीय रूप से,इस शर्त को $a \leq \lambda$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
दोनों पक्षों को '$\lambda$' से विभाजित करने पर,हमें $\frac{a}{\lambda} \leq 1$ प्राप्त होता है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन (diffraction) के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की शर्त $x \sin \theta = n \lambda$ होती है।
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$ है।
दिया गया है: $\lambda = 6500 \text{ Å} = 6500 \times 10^{-10} \text{ m} = 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}$ और $\theta = 30^{\circ}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x \sin 30^{\circ} = 1 \times 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}$।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए:
$x \times 0.5 = 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}$।
$x = \frac{6.5 \times 10^{-7}}{0.5} \text{ m} = 13 \times 10^{-7} \text{ m} = 1.3 \times 10^{-6} \text{ m}$।
अतः,$x = 1.3 \mu \text{m}$ है।

(A) विवर्तन में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इसी प्रकार,केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई $\beta = \frac{2D\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
इन संबंधों से यह स्पष्ट है कि विवर्तन बैंड की चौड़ाई उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\beta \propto \lambda$।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होती है $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{red}})$,इसलिए लाल प्रकाश को नीले प्रकाश से बदलने पर विवर्तन बैंड की चौड़ाई कम हो जाएगी।
अतः,बैंड संकरे हो जाएंगे।

(A) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है।
यहाँ,$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य को दर्शाता है और $a$ स्लिट की चौड़ाई को दर्शाता है।
चूंकि आवृत्ति $f$ तरंगदैर्ध्य से $\lambda = \frac{c}{f}$ द्वारा संबंधित है,इसलिए कोणीय चौड़ाई प्रकाश की आवृत्ति पर भी निर्भर करती है।
हालाँकि,सूत्र यह दर्शाता है कि कोणीय चौड़ाई स्लिट और स्रोत (या पर्दे) के बीच की दूरी पर निर्भर नहीं करती है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ (maxima) की शर्त इस प्रकार है:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$
यहाँ, $a = 0.014 \ mm = 0.014 \times 10^{-3} \ m$ स्लिट की चौड़ाई है, $\theta = 2.81^{\circ}$ कोणीय स्थिति है, और दूसरी चमकीली रेखा के लिए $n = 2$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{2a \sin \theta}{2n + 1}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\lambda = \frac{2 \times 0.014 \times 10^{-3} \times \sin(2.81^{\circ})}{2(2) + 1}$
$\lambda = \frac{2 \times 0.014 \times 10^{-3} \times 0.049072}{5}$
$\lambda = 2.748 \times 10^{-7} \ m$
एंग्स्ट्रॉम में बदलने पर $(1 \ Å = 10^{-10} \ m)$:
$\lambda = 2748 \ Å$

(B) चौड़ाई की एकल स्लिट के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है।
पहले निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए,कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
अतः,$a \sin 30^{\circ} = 1 \cdot \lambda \Rightarrow a(0.5) = \lambda \Rightarrow a = 2 \lambda$।
$n$ वें गौण उच्चिष्ठ की शर्त $a \sin \theta' = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है।
पहले गौण उच्चिष्ठ के लिए,हम $n=1$ लेते हैं।
समीकरण में $a = 2 \lambda$ और $n=1$ रखने पर:
$(2 \lambda) \sin \theta' = (1 + \frac{1}{2}) \lambda$
$2 \sin \theta' = \frac{3}{2}$
$\sin \theta' = \frac{3}{4}$
$\theta' = \sin^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$।

(C) समतल ट्रांसमिशन ग्रेटिंग के लिए,$n$-वें क्रम के विवर्तन उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $d$ ग्रेटिंग नियतांक है,$\theta$ विवर्तन कोण है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
संबंध $\sin \theta = \frac{n \lambda}{d}$ से,यह स्पष्ट है कि एक निश्चित क्रम $n$ और ग्रेटिंग नियतांक $d$ के लिए,विवर्तन कोण $\theta$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक है (अर्थात,छोटे कोणों के लिए $\theta \propto \lambda$)।
जब स्रोत को छोटी तरंगदैर्ध्य वाले दूसरे स्रोत से बदल दिया जाता है,तो $\lambda$ का मान कम हो जाता है। परिणामस्वरूप,$\sin \theta$ कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि सभी क्रमों $(n=1, 2, 3)$ के लिए विवर्तन कोण $\theta$ कम हो जाता है।
$O$ पर सीधा प्रतिबिंब ($0$-वां क्रम) स्थिर रहता है क्योंकि $n=0$ के लिए $\sin \theta = 0$ होता है,चाहे तरंगदैर्ध्य कुछ भी हो। हालाँकि,विवर्तित प्रतिबिंब $A, B$ और $C$ अपने विवर्तन कोणों के कम होने के कारण केंद्रीय उच्चिष्ठ $O$ के करीब आ जाएंगे।
इसलिए,प्रतिबिंब $C, B$ और $A$ $O$ की ओर स्थानांतरित होंगे।

(D) विवर्तन प्रकाश के तरंगदैर्ध्य के तुलनीय आकार के किसी अवरोध या द्वारक के कोनों से प्रकाश के मुड़ने की घटना है।
महत्वपूर्ण विवर्तन होने के लिए,द्वारक या अवरोध का आकार $a$ आपतित प्रकाश के तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर या उससे छोटा होना चाहिए।
गणितीय रूप से,इस शर्त को $\frac{a}{\lambda} \leq 1$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n$ वें क्रम की अदीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है।
दिया गया है: $n = 5$, $\theta = 12^{\circ}$, $d = 9 \mu m = 9 \times 10^{-6} \text{ m}$।
छोटे कोण के सन्निकटन $\sin \theta \approx \theta$ (रेडियन में) का उपयोग करते हुए:
$\theta = 12^{\circ} = 12 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{\pi}{15} \text{ rad}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$d \theta = n \lambda$
$(9 \times 10^{-6}) \times (\frac{\pi}{15}) = 5 \times \lambda$
$\lambda = \frac{9 \times 10^{-6} \times \pi}{15 \times 5} = \frac{9 \times 3.14159 \times 10^{-6}}{75} \approx 3.77 \times 10^{-7} \text{ m}$।
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda \approx 3770 Å$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार, सबसे निकटतम मान $3768 Å$ है।

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
माना प्रारंभिक कोणीय चौड़ाई $\theta_1 = \frac{2\lambda}{a}$ है और अंतिम कोणीय चौड़ाई $\theta_2 = \frac{2(7000 Å)}{a}$ है।
प्रश्न के अनुसार,कोणीय चौड़ाई आधी हो जाती है,इसलिए $\theta_2 = \frac{1}{2} \theta_1$.
मान रखने पर,$\frac{2(7000 Å)}{a} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\lambda}{a} \right)$.
इसे सरल करने पर,$7000 Å = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 2 \times 7000 Å = 14000 Å$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि तरंगदैर्ध्य $7000 Å$ से $3500 Å$ की जाती है,तो चौड़ाई आधी हो जाएगी,इसलिए सही विकल्प $3500 Å$ है।

(D) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है, जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है, $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, और $n = 1, 2, 3, ...$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$, जहाँ $y_n$ $n^{th}$ निम्निष्ठ की स्थिति है और $D$ पर्दे की दूरी है।
अतः, $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$।
पहले $(n=1)$ और तीसरे $(n=3)$ निम्निष्ठ के बीच की दूरी $\Delta y = y_3 - y_1 = \frac{3 \lambda D}{a} - \frac{1 \lambda D}{a} = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
दिया गया है: $\Delta y = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, $D = 0.5 \,m$, और $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$।
मान रखने पर: $3 \times 10^{-3} = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7}) \times 0.5}{a}$।
$a = \frac{2 \times 6 \times 10^{-7} \times 0.5}{3 \times 10^{-3}} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^{-4} \,m$।
$mm$ में बदलने पर: $a = 0.2 \,mm$।

(B) एकल स्लिट विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
अतः,$\theta \propto \lambda$.
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 6000 \text{ Å}$ है और प्रारंभिक कोणीय चौड़ाई $\theta_1 = \theta$ है।
इसलिए $\theta_1 = k \lambda_1$ $(i)$
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $\lambda_2 = \lambda$ कर दिया जाता है,तो कोणीय चौड़ाई $30 \%$\ कम हो जाती है।
इसलिए,$\theta_2 = \theta_1 - 0.30 \theta_1 = 0.70 \theta_1$.
चूँकि $\theta_2 = k \lambda_2$,इसलिए $0.70 \theta_1 = k \lambda_2$ (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{k \lambda_2}{k \lambda_1} = \frac{0.70 \theta_1}{\theta_1}$
$\frac{\lambda_2}{6000 \text{ Å}} = 0.70$
$\lambda_2 = 0.70 \times 6000 \text{ Å} = 4200 \text{ Å}$.

(B) केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर स्थित प्रथम कोटि के दो निम्निष्ठों के बीच की दूरी केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई के बराबर होती है।
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
दी गई मान हैं:
स्लिट की चौड़ाई $a = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
पर्दे की दूरी $D = 2 \,m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6330 \mathring{A} = 6330 \times 10^{-10} \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$w = \frac{2 \times 6330 \times 10^{-10} \times 2}{2 \times 10^{-3}}$
$w = 2 \times 6330 \times 10^{-7} \,m$
$w = 12660 \times 10^{-7} \,m = 1.266 \times 10^{-3} \,m$
$w \approx 1.27 \,mm$.

(C) ज्यामितीय प्रकाशिकी (किरण प्रकाशिकी) तब मान्य होती है जब विवर्तन (diffraction) के प्रभाव नगण्य हों।
विवर्तन तब महत्वपूर्ण हो जाता है जब छिद्र का आकार $D$,प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के तुलनीय हो।
फ्रेनेल दूरी $z_F$ को $z_F = \frac{D^2}{\lambda}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ज्यामितीय प्रकाशिकी लागू होने के लिए,छिद्र से पर्दे तक की दूरी $L$,फ्रेनेल दूरी से बहुत कम होनी चाहिए,अर्थात $L \ll z_F$।
$z_F$ का व्यंजक रखने पर,हमें $L \ll \frac{D^2}{\lambda}$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{L \lambda}{D^2} \ll 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{blue})$ लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{red})$ से कम होती है,इसलिए विवर्तन फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई कम हो जाती है।
अतः,फ्रिंज संकरी और एक-दूसरे के करीब हो जाएंगी।

(C) एकल-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ क्रम के विवर्तन निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है और $\theta$ विवर्तन कोण है।
$\lambda_1$ के $2^{nd}$ क्रम के निम्निष्ठ के लिए,हमारे पास $a \sin \theta_1 = 2 \lambda_1$ है।
$\lambda_2$ के $3^{rd}$ क्रम के निम्निष्ठ के लिए,हमारे पास $a \sin \theta_2 = 3 \lambda_2$ है।
चूंकि निम्निष्ठ संपाती हैं,इसलिए विवर्तन कोण समान हैं,अर्थात $\theta_1 = \theta_2 = \theta$।
अतः,$2 \lambda_1 = 3 \lambda_2$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन में $n$ वीं कोटि के निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है। छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$ होता है।
अतः,$n$ वें निम्निष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम कोटि के निम्निष्ठों के बीच की रैखिक दूरी केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई है,जो $w = y_1 - (-y_1) = 2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $a = 0.5 ~mm = 0.5 \times 10^{-3} ~m$,$\lambda = 600 ~nm = 600 \times 10^{-9} ~m$,और $D = 50 ~cm = 0.5 ~m$.
मान रखने पर: $w = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9} \times 0.5}{0.5 \times 10^{-3}} = 1200 \times 10^{-6} ~m = 1.2 ~mm$.

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
कोणीय चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta\theta = \frac{2\Delta\lambda}{d}$ है,जहाँ $\Delta\lambda = |\lambda_1 - \lambda_2|$ है।
दी गई आवृत्तियाँ $f_1 = 4 \times 10^{14} \ s^{-1}$ और $f_2 = 5 \times 10^{14} \ s^{-1}$ हैं।
$\lambda = \frac{c}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है:
$\lambda_1 = \frac{3 \times 10^8}{4 \times 10^{14}} = 7.5 \times 10^{-7} \ m$.
$\lambda_2 = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{14}} = 6.0 \times 10^{-7} \ m$.
$\Delta\lambda = |7.5 \times 10^{-7} - 6.0 \times 10^{-7}| = 1.5 \times 10^{-7} \ m$.
दिया गया है $\Delta\theta = 0.6 \ \text{radian}$.
$d = \frac{2\Delta\lambda}{\Delta\theta}$ से:
$d = \frac{2 \times 1.5 \times 10^{-7}}{0.6} = \frac{3.0 \times 10^{-7}}{0.6} = 5 \times 10^{-7} \ m$.

(A) एकल स्लिट विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है, और रैखिक चौड़ाई $\beta_{cm} = \frac{2\lambda D}{a}$ होती है, जहाँ $\lambda$ तरंग दैर्ध्य है, $D$ पर्दे की दूरी है, और $a$ स्लिट की चौड़ाई है。
$(A)$ चूंकि $\beta_{cm} \propto \lambda$, इसलिए तरंग दैर्ध्य बढ़ने पर केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई बढ़ती है। अतः, $(A)$ सही है。
$(B)$ चूंकि $\beta_{cm} \propto \lambda$, इसलिए तरंग दैर्ध्य घटने पर चौड़ाई घटती है। अतः, $(B)$ गलत है。
$(C)$ चूंकि $\beta_{cm} \propto \frac{1}{a}$, इसलिए स्लिट की चौड़ाई $a$ घटने पर केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई बढ़ती है। अतः, $(C)$ सही है。
$(D)$ चूंकि $\beta_{cm} \propto \frac{1}{a}$, इसलिए स्लिट की चौड़ाई $a$ बढ़ने पर चौड़ाई घटती है। अतः, $(D)$ गलत है。
$(E)$ केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता स्लिट की चौड़ाई के वर्ग के समानुपाती और तरंग दैर्ध्य के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\text{Intensity} \propto \frac{a^2}{\lambda^2})$। इसलिए, जैसे-जैसे $\lambda$ घटता है, केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता (चमक) बढ़ती है। अतः, $(E)$ सही है。
निष्कर्ष: कथन $(A)$, $(C)$ और $(E)$ सही हैं।

(C) एकल स्लिट विवर्तन में निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n\lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta = y_n/D$,इसलिए $n^{th}$ निम्निष्ठ की स्थिति $y_n = nD\lambda/a$ है।
$1^{st}$ निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए,स्थिति $y_1 = D\lambda/a$ है।
$3^{rd}$ निम्निष्ठ $(n=3)$ के लिए,स्थिति $y_3 = 3D\lambda/a$ है।
$1^{st}$ और $3^{rd}$ निम्निष्ठ के बीच की रैखिक दूरी $|y_3 - y_1| = 3D\lambda/a - D\lambda/a = 2D\lambda/a$ है।

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 628 \text{ nm} = 628 \times 10^{-9} \text{ m}$,$a = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
मान रखने पर: $\theta = \frac{2 \times 628 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = \frac{1256 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = 6280 \times 10^{-6} = 6.28 \times 10^{-3} \text{ रेडियन}$.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,हम $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करते हैं:
$\theta^{\circ} = 6.28 \times 10^{-3} \times \frac{180}{3.14}$.
चूंकि $\frac{6.28}{3.14} = 2$,इसलिए $\theta^{\circ} = 2 \times 10^{-3} \times 180 = 360 \times 10^{-3} = 0.36^{\circ}$.
इसे $\alpha \times 10^{-2}$ के रूप में व्यक्त करने पर,हमें $0.36 = 36 \times 10^{-2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha$ का मान $36$ है।