Single Slit Diffraction of Light Questions in Hindi

(A) चौड़ाई की एक एकल स्लिट द्वारा फ्रौनहोफर विवर्तन में,$n$-वें क्रम के निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n\lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
यहाँ,$a \sin \theta$ स्लिट के ऊपरी और निचले किनारों से उत्पन्न होने वाली द्वितीयक तरंगिकाओं के बीच पथ अंतर को दर्शाता है।
अतः,$n$-वें क्रम के निम्निष्ठ के लिए पथ अंतर $n\lambda$ है।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता स्लिट की चौड़ाई के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto b^2)$.
जब स्लिट की चौड़ाई $b$ को दोगुना करके $2b$ कर दिया जाता है,तो आयाम $A$ दोगुना हो जाता है।
इसलिए,नई तीव्रता $I' = (2A)^2 = 4A^2 = 4I_0$ होगी।
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता $4I_0$ हो जाएगी।

(A) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में,निम्निष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
पहले निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए,हमारे पास $d \sin \theta_1 = \lambda_1$ है,जिसका अर्थ है $\sin \theta_1 = \frac{\lambda_1}{d}$।
पहले द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए,शर्त $d \sin \theta_2 = (n + \frac{1}{2}) \lambda_2$ है। पहले द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए $n=1$ लेने पर,$d \sin \theta_2 = \frac{3}{2} \lambda_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin \theta_2 = \frac{3 \lambda_2}{2d}$।
चूंकि $\lambda_1$ का पहला निम्निष्ठ $\lambda_2$ के पहले उच्चिष्ठ पर संपाती है,इसलिए $\theta_1 = \theta_2$ और $\sin \theta_1 = \sin \theta_2$ होगा।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{\lambda_1}{d} = \frac{3 \lambda_2}{2d}$।
$\lambda_2$ के लिए हल करने पर: $\lambda_2 = \frac{2}{3} \lambda_1$।
$\lambda_1 = 660 \ nm$ रखने पर: $\lambda_2 = \frac{2}{3} \times 660 \ nm = 440 \ nm$।

(B) विवर्तन सभी प्रकार की तरंगों की एक सामान्य विशेषता है,जिसमें यांत्रिक तरंगें (जैसे ध्वनि और जल तरंगें) और विद्युतचुंबकीय तरंगें (जैसे प्रकाश,रेडियो तरंगें और $X$-किरणें) शामिल हैं।
यह घटना तब होती है जब तरंगें किसी ऐसे अवरोध या छिद्र का सामना करती हैं जिसका आकार तरंग की तरंगदैर्घ्य के तुलनीय होता है।
अतः,विवर्तन केवल प्रकाश या विद्युतचुंबकीय तरंगों तक ही सीमित नहीं है।

(D) प्रकाश के विवर्तन की घटना को सबसे पहले $17^{\text{वीं}}$ शताब्दी में इतालवी वैज्ञानिक फ्रांसेस्को मारिया ग्रिमाल्डी द्वारा देखा और वर्णित किया गया था। उन्होंने लैटिन शब्द 'diffringere' से 'diffraction' (विवर्तन) शब्द गढ़ा, जिसका अर्थ है टुकड़ों में टूटना।

(C) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6500 \, \mathring{A} = 6500 \times 10^{-10} \, \text{m} = 6.5 \times 10^{-7} \, \text{m}$.
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.50 \, \text{mm} = 0.50 \times 10^{-3} \, \text{m}$.
स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $D = 1.8 \, \text{m}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर स्थित दो प्रथम निम्निष्ठों के बीच की दूरी केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई के बराबर होती है,जो $W = \frac{2 \lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$W = \frac{2 \times (6.5 \times 10^{-7} \, \text{m}) \times (1.8 \, \text{m})}{0.50 \times 10^{-3} \, \text{m}}$
$W = \frac{23.4 \times 10^{-7}}{0.50 \times 10^{-3}} \, \text{m}$
$W = 46.8 \times 10^{-4} \, \text{m} = 4.68 \times 10^{-3} \, \text{m} = 4.68 \, \text{mm}$.

(D) विवर्तन तब महत्वपूर्ण होता है जब तरंग की तरंगदैर्घ्य बाधा या छिद्र के आकार के तुलनीय होती है।
$X$-किरणों,$\gamma$-किरणों और दृश्य प्रकाश की तुलना में रेडियो तरंगों की तरंगदैर्घ्य बहुत अधिक होती है।
उनकी तरंगदैर्घ्य बड़ी होने के कारण,वे सामान्य आकार की बाधाओं के चारों ओर आसानी से मुड़ सकती हैं,जिसके परिणामस्वरूप स्पष्ट और अवलोकन योग्य विवर्तन होता है।

(C) विवर्तन किसी अवरोध या द्वारक के कोनों पर प्रकाश के मुड़ने की घटना है।
महत्वपूर्ण विवर्तन होने के लिए,अवरोध का आकार या द्वारक की चौड़ाई आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होनी चाहिए।
यदि अवरोध तरंगदैर्ध्य की तुलना में बहुत बड़ा है,तो प्रकाश एक सीधी रेखा में चलता हुआ प्रतीत होता है (ऋजुरेखीय संचरण)।
इसलिए,सही शर्त यह है कि अवरोध का आयाम प्रकाश की तरंगदैर्ध्य की कोटि का होना चाहिए।

(A) एकल स्लिट पर फ्रॉनहोफर विवर्तन के लिए,$n^{th}$ निम्निष्ठ की स्थिति इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $x_n = \frac{n f \lambda}{a}$.
दिया गया है: $n = 3$,$f = 1 \ m$,$a = 0.3 \ mm = 3 \times 10^{-4} \ m$,और $x_n = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$.
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{a x_n}{n f}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{(3 \times 10^{-4} \ m) \times (5 \times 10^{-3} \ m)}{3 \times 1 \ m}$.
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$.
$\mathring{A}$ में परिवर्तित करने पर: $\lambda = 5 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 5000 \ \mathring{A}$.

(A) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती होती है $(w \propto \lambda)$।
इसलिए,यदि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को कम किया जाता है,तो केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w$ भी घट जाएगी।

(D) एकल-स्लिट विवर्तन में पहले निम्निष्ठ के लिए शर्त है:
$a \sin \theta = n \lambda$
पहले निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$ है।
अतः,$a \sin \theta = \lambda$
$a = \frac{\lambda}{\sin \theta}$
दिया गया है: $\lambda = 650 \ nm = 650 \times 10^{-9} \ m$ और $\theta = 30^\circ$।
मान रखने पर:
$a = \frac{650 \times 10^{-9}}{\sin 30^\circ}$
$a = \frac{650 \times 10^{-9}}{0.5}$
$a = 1300 \times 10^{-9} \ m$
$a = 1.3 \times 10^{-6} \ m$

(C) एकल-स्लिट विवर्तन प्रयोग में,केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ (minima) के लिए शर्त $d \sin \theta = \pm n\lambda$ होती है।
प्रथम निम्निष्ठ $(n = 1)$ के लिए,हमारे पास $d \sin \theta = \lambda$ है।
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,इसलिए $\sin \theta \approx \theta$ लिया जा सकता है।
अतः,$\theta = \frac{\lambda}{d}$।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई दोनों ओर के प्रथम निम्निष्ठों के बीच की दूरी है,जो $2\theta$ होती है।
इस प्रकार,कोणीय चौड़ाई $= 2 \times \frac{\lambda}{d} = \frac{2\lambda}{d}$।

(A) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = 2\lambda / a$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि कोणीय चौड़ाई $\theta$,स्लिट की चौड़ाई $a$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\theta \propto 1/a)$,इसलिए स्लिट की चौड़ाई $a$ को कम करने पर कोणीय चौड़ाई $\theta$ बढ़ जाएगी।
अतः,विवर्तन पैटर्न पहले की तुलना में अधिक चौड़ा हो जाएगा।

(A) एकल स्लिट विवर्तन के लिए,$n$ वीं अदीप्त फ्रिंज की शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,स्लिट की चौड़ाई $d = 24 \times 10^{-5} \, cm = 24 \times 10^{-7} \, m = 24000 \times 10^{-10} \, m = 24000 \, \mathring{A}$ है।
$n = 2$ वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए कोणीय स्थिति $\theta = 30^\circ$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $24000 \times \sin(30^\circ) = 2 \times \lambda$.
$24000 \times 0.5 = 2 \lambda$.
$12000 = 2 \lambda$.
$\lambda = 6000 \, \mathring{A}$.

(B) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6328 \, \mathring{A} = 6.328 \times 10^{-7} \, m$,स्लिट की चौड़ाई $a = 0.2 \, mm = 2 \times 10^{-4} \, m$.
एक-स्लिट विवर्तन प्रतिरूप में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\theta = \frac{2 \times 6.328 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}} = 6.328 \times 10^{-3} \, \text{रेडियन}$.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,$\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें:
$\theta^{\circ} = 6.328 \times 10^{-3} \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.36^{\circ}$.

(A) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र है: $\beta = \frac{2\lambda}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कोणीय चौड़ाई तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और स्लिट की चौड़ाई $(d)$ पर निर्भर करती है।
यह स्लिट और स्रोत के बीच की दूरी $(D)$ या स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी पर निर्भर नहीं करती है।

(B) इलेक्ट्रॉनों की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉनों की गति $v$ बढ़ती है,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घटती है।
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ होती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि $v$ बढ़ने पर $\lambda$ घटती है,इसलिए केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta$ भी घट जाएगी।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन (single-slit diffraction) में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\beta_{\theta} = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, \text{m}$ और $a = 18 \times 10^{-5} \, \text{cm} = 18 \times 10^{-7} \, \text{m}$.
मान रखने पर: $\beta_{\theta} = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10}}{18 \times 10^{-7}} = \frac{12000 \times 10^{-10}}{18 \times 10^{-7}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \, \text{रेडियन}$.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,$\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें।
$\beta_{\theta} = \frac{2}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{120}{\pi} \approx 38.2^\circ$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $40^\circ$ है।

(A) दूसरे गौण उच्चिष्ठ के लिए,विवर्तन की शर्त $d \sin \theta = \frac{5\lambda}{2}$ है।
यहाँ $\theta$ बहुत छोटा है,इसलिए $\sin \theta \approx \theta = \frac{x}{f}$ लेने पर।
रैखिक चौड़ाई के सूत्र $2x = \frac{5\lambda f}{d}$ का उपयोग करते हुए:
$2x = \frac{5 \times (6 \times 10^{-7}) \times 0.8}{0.4 \times 10^{-3}}$
$2x = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.4 \times 10^{-3}} = 6 \times 10^{-3} \,m = 6 \,mm$.

(C) एक-स्लिट फ्रौनहोफर विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय दीप्त उच्चिष्ठ की अर्ध कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
दिया गया है: $\lambda = 6000 \ \mathring A = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
स्लिट की चौड़ाई $a = 12 \times 10^{-5} \ cm = 12 \times 10^{-7} \ m$.
मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{6 \times 10^{-7}}{12 \times 10^{-7}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^o$.
इस प्रकार,केंद्रीय दीप्त उच्चिष्ठ की अर्ध कोणीय चौड़ाई $30^o$ है।

(A) विवर्तन का अर्थ है प्रकाश का किसी अवरोध या द्वारक के किनारों से मुड़ना। महत्वपूर्ण विवर्तन होने के लिए,द्वारक का आकार $(a)$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के तुलनीय होना चाहिए। गणितीय रूप से,यह स्थिति $\frac{a}{\lambda} \approx 1$ या $a \approx \lambda$ के रूप में व्यक्त की जाती है।

(B) विवर्तन प्रकाश के तरंगदैर्घ्य के तुलनीय आकार वाले किसी अवरोध या द्वारक के कोनों पर प्रकाश के मुड़ने की घटना है。
विवर्तन के महत्वपूर्ण होने के लिए, अवरोध या द्वारक का आकार $(a)$ आपतित प्रकाश के तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ के तुलनीय होना चाहिए。
यदि अवरोध का आकार तरंगदैर्घ्य से बहुत बड़ा है, तो प्रकाश एक सीधी रेखा में चलता हुआ प्रतीत होता है (प्रकाश का ऋजुरेखीय संचरण)。
इसलिए, विवर्तन प्रभाव अवरोध के आकार $(a)$ और उपयोग किए गए प्रकाश के तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ पर निर्भर करता है。

(D) $m$-वें क्रम के विवर्तन निम्निष्ठ को प्राप्त करने की शर्त $a \sin \theta = m \lambda$ है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है,$\theta$ विवर्तन कोण है,और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम विवर्तन निम्निष्ठ के लिए,$m = 1$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, \text{m} = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}$ और $\theta = 30^\circ$।
$a \sin(30^\circ) = 1 \times (5 \times 10^{-7} \, \text{m})$
$a \times (1/2) = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}$
$a = 10 \times 10^{-7} \, \text{m} = 10 \times 10^{-5} \, \text{cm}$।

(C) एक-स्लिट विवर्तन प्रतिरूप में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $W = \frac{2 \lambda D}{a}$ होता है।
दिया गया है:
$\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \ m$
$D = 2 \ m$
$a = 0.30 \ mm = 3 \times 10^{-4} \ m$
मान रखने पर:
$W = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7} \ m) \times (2 \ m)}{3 \times 10^{-4} \ m}$
$W = \frac{24 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} \ m$
$W = 8 \times 10^{-3} \ m$
$W = 8 \ mm$.
अतः, केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $8 \ mm$ है।

(A) किसी अवरोध या छिद्र के किनारों से प्रकाश के मुड़ने की घटना को विवर्तन कहा जाता है। इस मुड़ने के कारण प्रकाश अपने सीधी रेखा के पथ से विचलित हो जाता है,यही कारण है कि छोटे अवरोधों का सामना करने पर प्रकाश पूरी तरह से सरल रेखीय प्रसार का पालन नहीं करता है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन में केंद्रीय दीप्त फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र है: $w = \frac{2D\lambda}{a}$।
यहाँ, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \, \text{Å} = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}$ है।
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.1 \, \text{mm} = 10^{-4} \, \text{m}$ है।
पर्दे की दूरी $D = 2 \, \text{m}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$w = \frac{2 \times 2 \times 5 \times 10^{-7}}{10^{-4}} \, \text{m}$.
$w = 20 \times 10^{-3} \, \text{m}$.
$w = 20 \, \text{mm}$।

(D) एकल स्लिट विवर्तन में,केंद्रीय उच्चिष्ठ सबसे अधिक चमकीला और चौड़ा होता है। जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं,द्वितीयक उच्चिष्ठों की तीव्रता तेजी से घटती जाती है,और द्वितीयक उच्चिष्ठों के लिए फ्रिंजों की चौड़ाई स्थिर रहती है लेकिन यह केंद्रीय उच्चिष्ठ से भिन्न होती है। इसलिए,फ्रिंजें न तो समान तीव्रता की होती हैं और न ही समान चौड़ाई की।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की स्थिति का सूत्र है: $x_n = \frac{n \lambda D}{a}$,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
दिया गया है:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \, \mathring A = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$.
पहले निम्निष्ठ की दूरी $x_1 = 5 \, mm = 5 \times 10^{-3} \, m$.
स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $D = 2 \, m$.
क्रम $n = 1$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$5 \times 10^{-3} = \frac{1 \times (5 \times 10^{-7}) \times 2}{a}$
$a = \frac{10 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}}$
$a = 2 \times 10^{-4} \, m = 0.2 \times 10^{-3} \, m = 0.2 \, mm$.
अतः,स्लिट की चौड़ाई $0.2 \, mm$ है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन के लिए,$n$-वें द्वितीयक उच्चिष्ठ की शर्त $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
प्रथम उच्चिष्ठ के लिए,$n = 1$ रखने पर,शर्त $a \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$ हो जाती है।
दिया गया है: $\lambda = 650 \ nm = 650 \times 10^{-9} \ m$ और $\theta = 30^\circ$।
मान रखने पर: $a \sin(30^\circ) = \frac{3 \times 650 \times 10^{-9}}{2}$।
चूंकि $\sin(30^\circ) = 0.5$,इसलिए $a(0.5) = \frac{1950 \times 10^{-9}}{2}$।
$a = \frac{1950 \times 10^{-9}}{1} = 1.95 \times 10^{-6} \ m$।

(A) जब इलेक्ट्रॉन $d$ चौड़ाई की एक संकीर्ण स्लिट से गुजरते हैं,जो उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर होती है $(d = \lambda)$,तो वे विवर्तन का अनुभव करते हैं।
एकल-स्लिट विवर्तन सूत्र के अनुसार,स्क्रीन पर तीव्रता $I$ को $I = I_0 \left( \frac{\sin \beta}{\beta} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\beta = \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda}$ है।
चूंकि $d = \lambda$ है,इसलिए पहला न्यूनतम $\sin \theta = \frac{\lambda}{d} = 1$ पर होता है,जिसका अर्थ है $\theta = 90^\circ$।
इसके परिणामस्वरूप एक बहुत ही विस्तृत केंद्रीय अधिकतम प्राप्त होता है जो पूरी स्क्रीन पर फैल जाता है।
दिए गए विकल्पों में से,जो ग्राफ एकल स्लिट के विवर्तन पैटर्न को दर्शाता है,वह केंद्रीय शिखर और गौण शिखर वाला ग्राफ है। विकल्प $A$ और $D$ समान हैं,जो मानक विवर्तन पैटर्न को दर्शाते हैं।

(B) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$v$ वेग से गतिमान इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\omega = \frac{2\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
$\lambda$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\omega = \frac{2h}{mdv}$ प्राप्त होता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\omega \propto \frac{1}{v}$ है।
अतः,यदि इलेक्ट्रॉनों की गति $v$ बढ़ाई जाती है,तो केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\omega$ कम हो जाएगी।

(D) दिया गया है: $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$,स्लिट की चौड़ाई $a = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,और दूरी $D = 2 \, m$ है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज के दोनों ओर पहली अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) की चौड़ाई के बराबर होती है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर:
$w = \frac{2 \times (600 \times 10^{-9} \, m) \times 2 \, m}{10^{-3} \, m}$
$w = \frac{2400 \times 10^{-9}}{10^{-3}} \, m$
$w = 2400 \times 10^{-6} \, m = 2.4 \times 10^{-3} \, m = 2.4 \, mm$.

(A) दिया गया है:
स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
पर्दे की दूरी $D = 1\, m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m$
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w = \frac{2\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
द्वि-स्लिट व्यतिकरण पैटर्न में एक फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
प्रश्न के अनुसार,एकल-स्लिट पैटर्न के केंद्रीय उच्चिष्ठ में द्वि-स्लिट पैटर्न के $10$ उच्चिष्ठ समाहित हैं।
अतः,$\frac{2\lambda D}{a} = 10 \times \frac{\lambda D}{d}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{2}{a} = \frac{10}{d}$.
$a = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$.
$d = 1\, mm$ रखने पर:
$a = \frac{1\, mm}{5} = 0.2\, mm$.

(A) एकल स्लिट विवर्तन में,केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = \pm \lambda$ द्वारा दी जाती है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta = \frac{\lambda}{a}$ होता है।
पर्दे के केंद्र से प्रथम निम्निष्ठ की दूरी $y = D \tan \theta \approx D \theta = \frac{D \lambda}{a}$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ दोनों ओर के प्रथम निम्निष्ठ के बीच स्थित होता है,इसलिए इसकी कुल चौड़ाई $2y = \frac{2D \lambda}{a}$ होगी।

(D) यह स्थिति चित्र में दिखाई गई है। चित्र में,$A$ और $B$ चौड़ाई $a$ की स्लिट $AB$ के किनारों को दर्शाते हैं और $C$ स्लिट का मध्य बिंदु है। $P$ पर पहले निम्निष्ठ के लिए,शर्त इस प्रकार है:
$a \sin \theta = \lambda$ ...... $(i)$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
किनारे $A$ और मध्य बिंदु $C$ से आने वाली तरंगिकाओं के बीच का पथांतर $\Delta x$ है:
$\Delta x = \frac{a}{2} \sin \theta = \frac{1}{2}(a \sin \theta) = \frac{\lambda}{2}$ (समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए)।
संगत कलांतर $\Delta \phi$ इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi \text{ rad}$.

(B) दिया गया है:
द्वारक की चौड़ाई $a = 0.02\, cm = 2 \times 10^{-4}\, m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5 \times 10^{-5}\, cm = 5 \times 10^{-7}\, m$
लेंस की फोकस दूरी $f = 60\, cm = 0.6\, m$। चूंकि स्क्रीन फोकस दूरी पर है,इसलिए दूरी $D = f = 0.6\, m$ है।
एकल स्लिट पर फ्रॉनहोफर विवर्तन के लिए,$n$ वें अदीप्त बैंड (न्यूनतम) के लिए शर्त $a \sin \theta = n\lambda$ है।
पहले अदीप्त बैंड के लिए,$n = 1$,इसलिए $\sin \theta \approx \theta = \frac{\lambda}{a}$।
स्क्रीन के केंद्र से दूरी $y_1 = D \theta = \frac{D\lambda}{a}$ है।
मान रखने पर:
$y_1 = \frac{0.6 \times 5 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}} = \frac{3 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10^{-3}\, m = 0.15\, cm$।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में पहले निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है। पहले निम्निष्ठ के लिए $n = 1$ रखने पर,$a \sin \theta = \lambda$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$a (\frac{1}{2}) = \lambda$,जिसका अर्थ है कि $a = 2 \lambda$ ..... $(i)$.
पहले गौण उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta' = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है,जहाँ $n = 1$ रखने पर $a \sin \theta' = \frac{3}{2} \lambda$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से $a = 2 \lambda$ का मान इस समीकरण में रखने पर:
$(2 \lambda) \sin \theta' = \frac{3}{2} \lambda$.
दोनों पक्षों को $2 \lambda$ से विभाजित करने पर,$\sin \theta' = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\theta' = \sin^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$.

(D) एकल स्लिट विवर्तन में,$n^{th}$ अदीप्त बैंड के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,जहाँ $y$ केंद्रीय दीप्त बैंड से दूरी है।
इस मान को शर्त में रखने पर,हमें $d \left( \frac{y}{D} \right) = n \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्रीय दीप्त बैंड से $n^{th}$ अदीप्त बैंड की दूरी $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दूसरे अदीप्त बैंड के लिए,हम $n = 2$ रखते हैं।
इसलिए,$y_2 = \frac{2 \lambda D}{d}$.

(A) $n$-वें अर्ध-आवर्त क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_n = \pi b \lambda$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ तरंगग्र (wavefront) से प्रेक्षण बिंदु की दूरी है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
चूँकि क्षेत्रफल $A_n$ क्षेत्र के क्रम $n$ से स्वतंत्र है,हम लिख सकते हैं कि $A_n \propto n^0$.
दिए गए व्यंजक $n^m$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $m = 0$.

(A) स्पॉट का ज्यामितीय फैलाव छेद की त्रिज्या $a$ के बराबर है।
विवर्तन के कारण फैलाव को कोणीय फैलाव $\theta \approx \frac{\lambda}{a}$ को लंबाई $L$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है,जो $\frac{\lambda L}{a}$ है।
कुल फैलाव $b$ इन दोनों का योग है: $b = a + \frac{\lambda L}{a}$.
न्यूनतम आकार $b_{min}$ ज्ञात करने के लिए,हम $b$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{db}{da} = 1 - \frac{\lambda L}{a^2} = 0$.
$a$ के लिए हल करने पर,हमें $a^2 = \lambda L$ या $a = \sqrt{\lambda L}$ प्राप्त होता है।
$a$ के इस मान को $b$ के समीकरण में रखने पर:
$b_{min} = \sqrt{\lambda L} + \frac{\lambda L}{\sqrt{\lambda L}} = \sqrt{\lambda L} + \sqrt{\lambda L} = 2\sqrt{\lambda L} = \sqrt{4\lambda L}$.

(A) जब इलेक्ट्रॉन अपनी डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के तुलनीय '$d$' चौड़ाई वाली एक संकीर्ण स्लिट से गुजरते हैं, तो वे तरंग जैसा व्यवहार प्रदर्शित करते हैं और विवर्तन से गुजरते हैं।
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न के अनुसार, तीव्रता (या इलेक्ट्रॉनों की संख्या '$N$') केंद्र $(y = 0)$ पर अधिकतम होती है।
प्रथम निम्निष्ठ उस स्थिति पर होते हैं जो $d \sin \theta = \lambda$ शर्त द्वारा दी जाती है, जहाँ $\theta \approx y/D$ है।
इस प्रकार, $y = \pm \lambda D / d$।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda$, '$d$' के तुलनीय है, इसलिए केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई महत्वपूर्ण होती है, और विवर्तन पैटर्न फैल जाता है।
ग्राफ $A$ एकल-स्लिट विवर्तन के लिए मानक तीव्रता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है, जहाँ केंद्रीय उच्चिष्ठ $y = 0$ पर है और तीव्रता $y = \pm \lambda D / d$ पर शून्य हो जाती है।

(A) एकल स्लिट फ्रौनहोफर विवर्तन में,$n^{th}$ क्रम के निम्निष्ठ के लिए शर्त समीकरण $a \sin \theta = n\lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है,$\theta$ विवर्तन का कोण है,और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
यहाँ,$a \sin \theta$ स्लिट के किनारों से उत्पन्न होने वाली द्वितीयक तरंगिकाओं के बीच पथ अंतर को दर्शाता है।
इसलिए,$n^{th}$ क्रम के निम्निष्ठ के लिए,पथ अंतर $n\lambda$ के बराबर होता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$।

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$ वें निम्निष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ स्लिट की चौड़ाई है,$D$ पर्दे की दूरी है,और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $D = 50\,cm = 0.5\,m$,$\lambda = 6000\,\mathring{A} = 6 \times 10^{-7}\,m$,और पहले और तीसरे निम्निष्ठ के बीच की दूरी $\Delta y = 3\,mm = 3 \times 10^{-3}\,m$ है।
$n_1$ वें और $n_2$ वें निम्निष्ठ के बीच की दूरी $\Delta y = \frac{(n_2 - n_1) \lambda D}{d}$ होती है।
$n_2 = 3$ और $n_1 = 1$ रखने पर,हमें $\Delta y = \frac{2 \lambda D}{d}$ प्राप्त होता है।
$d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $d = \frac{2 \lambda D}{\Delta y}$.
$d = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7}\,m) \times (0.5\,m)}{3 \times 10^{-3}\,m}$.
$d = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^{-4}\,m = 0.2\,mm$.

$(A)$ एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n$ वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है, जहाँ $d$ स्लिट की चौड़ाई है, $\theta$ कोणीय स्थिति है और $n$ फ्रिंज का क्रम है।
दिया गया है: स्लिट की चौड़ाई $d = 24 \times 10^{-5} \, cm$, कोण $\theta = 30^\circ$, और क्रम $n = 2$.
सूत्र में मान रखने पर: $24 \times 10^{-5} \times \sin(30^\circ) = 2 \times \lambda$.
चूंकि $\sin(30^\circ) = 0.5$, इसलिए $24 \times 10^{-5} \times 0.5 = 2 \lambda$.
$12 \times 10^{-5} = 2 \lambda$.
$\lambda = 6 \times 10^{-5} \, cm$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $1 \, cm = 10^8 \, \mathring{A}$.
$\lambda = 6 \times 10^{-5} \times 10^8 \, \mathring{A} = 6000 \, \mathring{A}$.

(A) फ्रौनहोफर विवर्तन में,प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त (जो केंद्रीय उच्चिष्ठ की अर्ध कोणीय चौड़ाई को परिभाषित करती है) $d \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$,इसलिए $d \sin \theta = \lambda$।
यहाँ स्लिट की चौड़ाई $d = \frac{1200}{\sqrt{2}} \ \mu m$ और अर्ध कोणीय चौड़ाई $\theta = 45^o$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\lambda = \left( \frac{1200}{\sqrt{2}} \right) \sin(45^o)$
चूंकि $\sin(45^o) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\lambda = \left( \frac{1200}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$\lambda = \frac{1200}{2} = 600 \ \mu m$।

(C) एकल स्लिट विवर्तन के लिए केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{b}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है और $b$ स्लिट की चौड़ाई है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लैंक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $v$ इसकी गति है।
$\lambda$ का मान कोणीय चौड़ाई के सूत्र में रखने पर,हमें $\theta = \frac{2h}{mbv}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोणीय चौड़ाई $\theta$ गति $v$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(\theta \propto \frac{1}{v})$,इसलिए इलेक्ट्रॉनों की गति $v$ बढ़ाने पर कोणीय चौड़ाई $\theta$ कम हो जाएगी।
अतः,सही कथन यह है कि विवर्तन पैटर्न के केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई कम हो जाएगी।

(B) स्लिट चौड़ाई वाले एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए,निम्निष्ठ की शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
प्रथम निम्निष्ठ $(n = 1)$ के लिए,$\sin \theta_1 = \frac{\lambda}{a}$ होता है।
उच्चिष्ठ की शर्त $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n = 1)$ के लिए,$\sin \theta_m = \frac{3 \lambda}{2a}$ होता है।
यह दिया गया है कि $\lambda$ तरंगदैर्ध्य वाले प्रकाश का प्रथम उच्चिष्ठ,$\lambda_0 = 540 \ nm$ तरंगदैर्ध्य वाले प्रकाश के प्रथम निम्निष्ठ के साथ संपाती है:
$\frac{3 \lambda}{2a} = \frac{\lambda_0}{a}$.
दोनों पक्षों से $a$ को हटाने पर,हमें $\frac{3 \lambda}{2} = \lambda_0$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{2}{3} \lambda_0 = \frac{2}{3} \times 540 \ nm = 360 \ nm$.