Single Slit Diffraction of Light Questions in Hindi

(B) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि कोणीय चौड़ाई $\theta$,स्लिट की चौड़ाई $a$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\theta \propto \frac{1}{a}$।
इसलिए,जैसे-जैसे स्लिट की चौड़ाई $a$ बढ़ती है,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई घटती जाती है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई $(a)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,जब स्लिट की चौड़ाई $a$ को कम किया जाता है,तो केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई बढ़ जाती है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में,मुख्य उच्चिष्ठ की तीव्रता स्लिट की चौड़ाई के वर्ग $(a^2)$ के समानुपाती होती है। जब स्लिट की चौड़ाई $a$ को दोगुना करके $2a$ कर दिया जाता है,तो तरंगों का आयाम $2$ के गुणक में बढ़ जाता है। चूंकि तीव्रता आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए नई तीव्रता $I \propto (2a)^2 = 4I_0$ होगी। इस प्रकार,मुख्य उच्चिष्ठ की तीव्रता $4$ गुना बढ़ जाएगी।

(C) एक-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि लाल प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{red})$ नीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{blue})$ से अधिक होती है,इसलिए विवर्तन बैंड की चौड़ाई $\beta$ तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक होती है।
अतः,जब नीले प्रकाश को लाल प्रकाश से प्रतिस्थापित किया जाता है,तो विवर्तन बैंड चौड़े हो जाते हैं।

(A) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n$-वें क्रम के उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = (n + 1/2) \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = x/D$, जहाँ $x$ केंद्र से दूरी है और $D$ स्क्रीन तक की दूरी है।
अतः, $a(x/D) = (n + 1/2) \lambda$.
द्वितीय क्रम के उच्चिष्ठ के लिए, $n = 2$, इसलिए $a = \frac{(2 + 1/2) \lambda D}{x} = \frac{2.5 \lambda D}{x}$.
दिया गया है: $\lambda = 580 \times 10^{-9} \,m$, $D = 2.5 \,m$, $x = 14.5 \times 10^{-3} \,m$.
मान रखने पर: $a = \frac{2.5 \times 580 \times 10^{-9} \times 2.5}{14.5 \times 10^{-3}} \,m$.
$a = \frac{3625 \times 10^{-9}}{14.5 \times 10^{-3}} \,m = 250 \times 10^{-6} \,m = 0.25 \times 10^{-3} \,m \approx 0.26 \times 10^{-3} \,m$.

(B) $n$-वें विवर्तन निम्निष्ठ के लिए शर्त पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ निम्निष्ठ का क्रम है।
दूसरे निम्निष्ठ के लिए,हम $n = 2$ रखते हैं,जिससे पथ अंतर $\Delta x = 2\lambda$ प्राप्त होता है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दूसरे निम्निष्ठ के लिए $\Delta x$ का मान रखने पर:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (2\lambda) = 4\pi$.
अतः,दूसरे निम्निष्ठ पर स्लिट के दो किनारों से आने वाली किरणों के बीच का कलांतर $4\pi$ है।

(B) एक-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि कोणीय चौड़ाई $\theta$,स्लिट की चौड़ाई $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है (अर्थात,$\theta \propto \frac{1}{d}$)।
इसलिए,जैसे-जैसे स्लिट की चौड़ाई $d$ बढ़ती है,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई घटती जाती है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन के लिए,निम्निष्ठ की शर्त $d \sin \theta = n\lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
प्रथम निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए,$d \sin 30^{\circ} = \lambda$.
चूँकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $d(0.5) = \lambda$,जिसका अर्थ है $d = 2\lambda$.
द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2})\lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए,$d \sin \theta = (1 + \frac{1}{2})\lambda = \frac{3}{2}\lambda$.
समीकरण में $d = 2\lambda$ रखने पर:
$2\lambda \sin \theta = \frac{3}{2}\lambda$
$\sin \theta = \frac{3}{4}$
$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर पहले निम्निष्ठ के बीच की दूरी का सूत्र है: $\Delta y = \frac{2 \lambda D}{a}$
दिया गया है:
पहले निम्निष्ठ के बीच की दूरी $\Delta y = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$
पर्दे की दूरी $D = 80 \,cm = 0.8 \,m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \,m$
सूत्र में मान रखने पर:
$5 \times 10^{-3} = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7}) \times 0.8}{a}$
स्लिट की चौड़ाई $a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{2 \times 6 \times 10^{-7} \times 0.8}{5 \times 10^{-3}}$
$a = \frac{9.6 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}}$
$a = 1.92 \times 10^{-4} \,m = 0.192 \,mm$

(C) एकल-स्लिट विवर्तन प्रतिरूप में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,स्लिट की चौड़ाई $a$,केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w$ के बराबर है।
इसलिए,हम $a = \frac{2 \lambda D}{a}$ लिख सकते हैं।
$D$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a^2 = 2 \lambda D$.
अतः,$D = \frac{a^2}{2 \lambda}$.

(B) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2 \lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कोणीय चौड़ाई तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्लिट की चौड़ाई $a$ पर निर्भर करती है।
यह स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $D$ पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $(W)$ का सूत्र $W = \frac{2 \lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $W$,$\lambda$,$D$ और $a$ पर निर्भर करता है।
चूंकि $\lambda = \frac{c}{f}$ (जहाँ $c$ प्रकाश की गति है और $f$ आवृत्ति है),इसलिए चौड़ाई प्रकाश की आवृत्ति पर भी निर्भर करती है।
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई विकल्पों $A$,$B$ और $C$ में उल्लिखित सभी कारकों पर निर्भर करती है।
इसलिए,सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है (अर्थात यह दिए गए सभी कारकों पर निर्भर करता है)।

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $y_n = (n + \frac{1}{2}) \frac{\lambda D}{a}$ है।
लाल प्रकाश $(\lambda_1 = 6000 \text{ Å})$ के $2^{\text{nd}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए, स्थिति $y_2 = (2 + \frac{1}{2}) \frac{\lambda_1 D}{a} = 2.5 \frac{\lambda_1 D}{a}$ है।
अज्ञात तरंग दैर्ध्य $\lambda_2$ के $3^{\text{rd}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए, स्थिति $y_3 = (3 + \frac{1}{2}) \frac{\lambda_2 D}{a} = 3.5 \frac{\lambda_2 D}{a}$ है।
चूंकि उच्चिष्ठ संपाती हैं, $y_2 = y_3$, जिसका अर्थ है $2.5 \lambda_1 = 3.5 \lambda_2$.
मान रखने पर: $2.5 \times 6000 = 3.5 \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = \frac{2.5 \times 6000}{3.5} = \frac{15000}{3.5} \approx 4285.7 \text{ Å} \approx 4300 \text{ Å}$.

(C) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5400 \text{ Å} = 5.4 \times 10^{-7} \text{ m}$.
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.96 \text{ mm} = 0.96 \times 10^{-3} \text{ m}$.
स्क्रीन की दूरी $D = 2 \text{ m}$.
$n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
पहली अदीप्त फ्रिंज $(n = 1)$ के लिए, केंद्र से दूरी $y_1 = \frac{\lambda D}{a}$ है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज के दोनों ओर पहली अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर: $2y_1 = \frac{2 \times 5.4 \times 10^{-7} \times 2}{0.96 \times 10^{-3}} = 2.25 \text{ mm}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, $2.4 \text{ mm}$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(B) दिया गया है: स्लिट की चौड़ाई $a = 0.3 \text{ mm} = 0.3 \times 10^{-3} \text{ m}$.
पर्दे की दूरी $D = 3 \text{ m}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ से पहले निम्निष्ठ की दूरी $x = 5.5 \text{ mm} = 5.5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
एकल स्लिट विवर्तन के लिए, पहले निम्निष्ठ की शर्त $a \sin \theta = \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$.
अतः, $a \left( \frac{x}{D} \right) = \lambda$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{ax}{D} = \frac{(0.3 \times 10^{-3} \text{ m}) \times (5.5 \times 10^{-3} \text{ m})}{3 \text{ m}}$.
$\lambda = 0.1 \times 10^{-3} \times 5.5 \times 10^{-3} \text{ m} = 0.55 \times 10^{-6} \text{ m} = 5.5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 5500 \times 10^{-10} \text{ m} = 5500 \text{ Å}$.

(D) एकल स्लिट विवर्तन के लिए,$n$-वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है।
यहाँ,$a = 10^{-3} \ mm = 10^{-6} \ m$,$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$,और प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin \theta = \frac{n \lambda}{a} = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7} \ m}{10^{-6} \ m}$
$\sin \theta = \frac{5 \times 10^{-7}}{10 \times 10^{-7}} = 0.5 = \frac{1}{2}$
अतः,विवर्तन का कोण $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में मुख्य उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{2 \lambda D}{d}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,मुख्य उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $\beta = d$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $d = \frac{2 \lambda D}{d}$ प्राप्त होता है।
$D$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$D = \frac{d^{2}}{2 \lambda}$ प्राप्त होता है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2 \lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूँकि कोणीय चौड़ाई केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्लिट की चौड़ाई $d$ पर निर्भर करती है,इसलिए यह स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $D$ से स्वतंत्र है।
अतः,जब दूरी $D$ को दोगुना किया जाता है,तो फ्रिंजों के बीच का कोणीय पृथक्करण समान रहता है।

(D) पर्वत के पीछे सूर्योदय होने से ठीक पहले पर्वत की रूपरेखा के चारों ओर दिखाई देने वाली चमकदार सीमा प्रकाश के विवर्तन के कारण होती है। विवर्तन किसी अवरोध या छिद्र के किनारों पर प्रकाश के मुड़ने की घटना है। जब सूर्य क्षितिज से थोड़ा नीचे होता है,तो प्रकाश की किरणें पर्वत के किनारों के पास से गुजरती हैं। ये किरणें विवर्तन के कारण किनारों पर मुड़ जाती हैं,जिससे पर्वत की रूपरेखा चमकदार दिखाई देती है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन में,निम्निष्ठ के लिए शर्त $b \sin \theta = n\lambda$ है,जहाँ $n = \pm 1, \pm 2, \dots$ है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\theta = \frac{n\lambda}{b}$।
केंद्रीय उच्चिष्ठ प्रथम निम्निष्ठ $\theta = -\frac{\lambda}{b}$ और $\theta = \frac{\lambda}{b}$ के बीच स्थित होता है।
द्वितीयक उच्चिष्ठ निम्निष्ठों के बीच लगभग $\theta = \pm \frac{3\lambda}{2b}, \pm \frac{5\lambda}{2b}, \dots$ पर स्थित होते हैं।
किसी भी द्वितीयक उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई उसके चारों ओर के दो निम्निष्ठों के बीच की दूरी होती है।
कोणीय चौड़ाई $= \theta_{n+1} - \theta_{n-1} = \frac{(n+1)\lambda}{b} - \frac{(n-1)\lambda}{b} = \frac{2\lambda}{b}$।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) सबसे अधिक चमकीला और चौड़ा होता है। जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं,द्वितीयक उच्चिष्ठों (secondary maxima) की तीव्रता तेजी से घटती जाती है और फ्रिंज की चौड़ाई केंद्रीय उच्चिष्ठ की तुलना में असमान रहती है। इसलिए,फ्रिंज की चौड़ाई और तीव्रता दोनों असमान होती हैं।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) सबसे अधिक तीव्र और चौड़ा होता है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $\beta_0 = \frac{2\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे की दूरी है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
द्वितीयक उच्चिष्ठों की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,केंद्रीय फ्रिंज की चौड़ाई अन्य फ्रिंजों की तुलना में दोगुनी होती है।
चूंकि विकल्प $A$,$B$ या $C$ में से कोई भी इस गुण का सही वर्णन नहीं करता है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है। यदि स्लिट की चौड़ाई $a$ को दोगुना $(a' = 2a)$ कर दिया जाए,तो नई कोणीय चौड़ाई $\theta' = \frac{2\lambda}{2a} = \frac{\theta}{2}$ हो जाती है। इस प्रकार,कोणीय चौड़ाई आधी हो जाती है।
तीव्रता के संबंध में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता स्लिट की चौड़ाई के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto a^2)$। यदि स्लिट की चौड़ाई दोगुनी कर दी जाए,तो नई तीव्रता $I'$ का मान $I' \propto (2a)^2 = 4a^2 = 4I$ हो जाता है। इसलिए,तीव्रता $4$ के गुणक से बढ़ जाती है।

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$ वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
$n$ वें द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
प्रथम निम्निष्ठ $(n=1)$ के लिए दिया गया है: $a \sin 30^{\circ} = \lambda \Rightarrow a(1/2) = \lambda \Rightarrow a = 2\lambda$.
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए: $a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$.
समीकरण में $a = 2\lambda$ रखने पर: $(2\lambda) \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$.
$\sin \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) एकल स्लिट द्वारा प्रकाश के विवर्तन में,केंद्रीय (मुख्य) उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई का सूत्र इस प्रकार है:
$W_{c} = \frac{2 \lambda D}{d}$
प्रश्न के अनुसार,मुख्य उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $W_{c} = d$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{2 \lambda D}{d}$
$D$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$D = \frac{d^2}{2 \lambda}$

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है। छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$ होता है।
अतः, $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$, $D = 2 \,m$, $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
पहली अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n=1)$:
$y_1 = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9} \times 2}{10^{-3}} = 1200 \times 10^{-6} \,m = 1.2 \times 10^{-3} \,m = 1.2 \,mm$.
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज के दोनों ओर पहली अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $2 y_1 = 2 \times 1.2 \,mm = 2.4 \,mm$ है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n$ वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$.
पहले निम्निष्ठ के लिए, $n = 1$, इसलिए $d \frac{y}{D} = \lambda$.
स्लिट की चौड़ाई $d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $d = \frac{\lambda D}{y}$.
दिया गया है: $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$, $D = 2 \text{ m}$, और $y = 5 \text{ mm} = 5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
मान रखने पर: $d = \frac{(5 \times 10^{-7} \text{ m}) \times (2 \text{ m})}{5 \times 10^{-3} \text{ m}} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $d = 2 \times 10^{-4} \times 10^2 \text{ cm} = 0.02 \text{ cm}$.

(D) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ सबसे चमकीला और चौड़ा होता है। केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $2\lambda D/a$ होती है,जबकि द्वितीयक उच्चिष्ठों की चौड़ाई $\lambda D/a$ होती है। जैसे-जैसे फ्रिंजों का क्रम बढ़ता है,तीव्रता में काफी कमी आती है। इसलिए,एकल स्लिट द्वारा प्राप्त विवर्तन फ्रिंजों की चौड़ाई और तीव्रता दोनों असमान होती हैं।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वें उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
पहले उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए,स्क्रीन पर स्थिति $x = \frac{3 \lambda D}{2 d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\lambda_1 = 590 \,nm$,$\lambda_2 = 596 \,nm$,$D = 1.5 \,m$,$d = 2 \times 10^{-6} \,m$।
पहले उच्चिष्ठ की स्थितियों के बीच का पृथक्करण $\Delta x = x_2 - x_1 = \frac{3 D}{2 d} (\lambda_2 - \lambda_1)$ है।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{3 \times 1.5}{2 \times 2 \times 10^{-6}} \times (596 - 590) \times 10^{-9} \,m$।
$\Delta x = \frac{4.5}{4 \times 10^{-6}} \times 6 \times 10^{-9} \,m$।
$\Delta x = 1.125 \times 10^6 \times 6 \times 10^{-9} \,m = 6.75 \times 10^{-3} \,m = 6.75 \,mm$।

(D) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वें गौण उच्चिष्ठ के लिए,स्लिट के किनारों से आने वाली किरणों के बीच का पथ अंतर $x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ गौण उच्चिष्ठ के क्रम को दर्शाता है।
पहले गौण उच्चिष्ठ $(n = 1)$ के लिए,पथ अंतर $x_1 = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$ है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} x$ है।
$x_1$ का मान रखने पर,हमें $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \frac{3\lambda}{2} \right) = 3\pi$ प्राप्त होता है।

(B) फ्रिंजों के बीच कोणीय पृथक्करण $\theta$ को सूत्र $\theta = \frac{\beta}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है और $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ होती है,इसे $\theta$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर $\theta = \frac{(\frac{D \lambda}{d})}{D} = \frac{\lambda}{d}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
चूंकि $\theta$ के व्यंजक में $D$ पद शामिल नहीं है,इसलिए कोणीय पृथक्करण स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी से स्वतंत्र है।
अतः,जब दूरी दोगुनी की जाती है,तो कोणीय पृथक्करण समान रहता है।

(B) एक-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि आवृत्ति $f$,तरंगदैर्घ्य से $\lambda = \frac{c}{f}$ द्वारा संबंधित है,इसलिए कोणीय चौड़ाई आवृत्ति पर भी निर्भर करती है।
यह सूत्र दर्शाता है कि कोणीय विस्तार तरंगदैर्घ्य (और इस प्रकार आवृत्ति) और स्लिट की चौड़ाई पर निर्भर करता है।
यह स्लिट और स्रोत के बीच की दूरी या स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एकल-स्लिट विवर्तन में $n$-वें क्रम के द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त इस प्रकार है:
$a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$
दिया गया है:
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.01 \ cm = 10^{-4} \ m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ m$
उच्चिष्ठ का क्रम $n = 2$
मान रखने पर:
$\sin \theta = (2 + \frac{1}{2}) \frac{\lambda}{a}$
$\sin \theta = \frac{2.5 \times 5 \times 10^{-7}}{10^{-4}}$
$\sin \theta = 12.5 \times 10^{-3} = 0.0125$
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,इसलिए $\sin \theta \approx \theta$ लेने पर।
अतः,$\theta = 0.0125 \ \text{rad}$।

(A) सही उत्तर $A$ है।
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में, केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
यह दर्शाता है कि विवर्तन प्रभाव तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक है $(\text{diffraction} \propto \lambda)$.
चूंकि पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{Y})$ नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{B})$ से अधिक है, अर्थात $\lambda_{Y} > \lambda_{B}$, इसलिए पीले प्रकाश द्वारा उत्पन्न विवर्तन पैटर्न अधिक फैल जाएगा।
अतः, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ चौड़े हो जाते हैं और एक-दूसरे से अधिक दूर हो जाते हैं।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई $\beta = \frac{2 \lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $\beta = a$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$a = \frac{2 \lambda D}{a}$
$D$ के लिए हल करने पर:
$D = \frac{a^{2}}{2 \lambda}$

(B) एक-स्लिट विवर्तन में,पहले निम्निष्ठ (जहाँ प्रकाश विवर्तित होता है) के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
पहले निम्निष्ठ के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं,इसलिए $a \sin \theta = \lambda$।
चूंकि कोण $\theta$ बहुत छोटा है,हम $\sin \theta \approx \theta$ का सन्निकटन कर सकते हैं।
इसलिए,$a \theta \approx \lambda$,जिससे हमें $\theta \approx \frac{\lambda}{a}$ प्राप्त होता है।
अतः,विवर्तन का कोण लगभग $\frac{\lambda}{a}$ है।

(D) विवर्तन किसी अवरोध के कोनों के चारों ओर या किसी छिद्र से प्रकाश के मुड़ने या फैलने की घटना है।
महत्वपूर्ण विवर्तन होने के लिए,अवरोध या छिद्र का आकार आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $( \lambda )$ के तुलनीय होना चाहिए।
यदि अवरोध का आकार तरंगदैर्ध्य से बहुत बड़ा है,तो प्रकाश एक सीधी रेखा में यात्रा करता है (ऋजुरेखीय संचरण),और विवर्तन नगण्य होता है।
इसलिए,विवर्तन का अवलोकन करने के लिए शर्त यह है कि अवरोध का आकार प्रकाश की तरंगदैर्ध्य की कोटि का होना चाहिए।

(A) एकल स्लिट पर फ्रॉनहोफर विवर्तन के मामले में,तरंगाग्र के विभिन्न हिस्सों से आने वाली प्रकाश तरंगें व्यतिकरण करके स्क्रीन पर एक विवर्तन पैटर्न बनाती हैं।
इस पैटर्न में स्क्रीन के केंद्र में एक केंद्रीय चमकीला अधिकतम (केंद्रीय चमकीली पट्टी) होता है।
इस केंद्रीय अधिकतम के दोनों ओर द्वितीयक अधिकतम और न्यूनतम होते हैं,जो वैकल्पिक चमकीली और काली पट्टियों के रूप में दिखाई देते हैं।
जैसे-जैसे हम केंद्रीय अधिकतम से दूर जाते हैं,इन द्वितीयक अधिकतमों की तीव्रता तेजी से घटती जाती है।

(A) एक कॉम्पैक्ट डिस्क $(CD)$ की सतह पर बारीकी से व्यवस्थित खांचे होते हैं जो एक विवर्तन ग्रेटिंग (diffraction grating) की तरह कार्य करते हैं।
जब सफेद प्रकाश इन खांचों पर पड़ता है,तो प्रकाश का विवर्तन होता है।
चूंकि विवर्तन कोण प्रकाश की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है,इसलिए सफेद प्रकाश में मौजूद विभिन्न रंग अलग-अलग कोणों पर विवर्तित होते हैं।
इसके परिणामस्वरूप सफेद प्रकाश अपने घटक रंगों में विभाजित हो जाता है,जिससे रंगीन बैंड दिखाई देते हैं।

(B) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6500 Å = 6500 \times 10^{-10} \text{ m}$,कोण $\theta = 30^{\circ}$।
एकल स्लिट के विवर्तन पैटर्न के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है।
प्रथम विवर्तन निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$।
मान रखने पर: $a \sin 30^{\circ} = 1 \times (6500 \times 10^{-10} \text{ m})$।
चूँकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $a \times 0.5 = 6500 \times 10^{-10} \text{ m}$।
$a = 2 \times 6500 \times 10^{-10} \text{ m} = 13000 \times 10^{-10} \text{ m}$।
$a = 1.3 \times 10^{-6} \text{ m} = 1.3 \text{ micron}$।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w = 2\lambda D/a$ द्वारा दी जाती है,जबकि द्वितीयक उच्चिष्ठ की चौड़ाई $\lambda D/a$ होती है।
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई द्वितीयक उच्चिष्ठ की तुलना में दोगुनी होती है (कथन $I$ सही है)।
जैसे-जैसे हम केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूर जाते हैं,द्वितीयक उच्चिष्ठ की तीव्रता तेजी से घटती है (कथन $II$ सही है)।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई $a$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है (कथन $III$ गलत है)।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता द्वितीयक उच्चिष्ठ की तुलना में बहुत अधिक होती है (कथन $IV$ गलत है)।
इसलिए,कथन $I$ और $II$ सही हैं।

(B) $a$ चौड़ाई की एक एकल स्लिट के कारण फ्रौनहोफर विवर्तन में, केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = \pm \lambda$ होती है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \theta$, इसलिए $\theta = \pm \frac{\lambda}{a}$ प्राप्त होता है।
केंद्रीय (मुख्य) उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई दोनों ओर के प्रथम निम्निष्ठों के बीच की कोणीय दूरी है।
अतः, कोणीय चौड़ाई $= \theta - (-\theta) = 2\theta = \frac{2\lambda}{a}$ होगी।

(D) एकल स्लिट फ्रॉनहोफर विवर्तन में विवर्तन बैंड की चौड़ाई (या केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई) का सूत्र $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि विवर्तन बैंड की चौड़ाई उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\beta \propto \lambda$।
चूंकि पीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य नीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य से अधिक होती है $(\lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{blue}})$,इसलिए पीले प्रकाश को नीले प्रकाश से बदलने पर तरंगदैर्घ्य में कमी आती है।
परिणामस्वरूप,विवर्तन बैंड की चौड़ाई कम हो जाएगी,जिसका अर्थ है कि बैंड संकीर्ण (narrower) हो जाएंगे।

(A) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$।
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.2 \,mm = 0.2 \times 10^{-3} \,m$।
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है।
मान रखने पर: $\theta = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9} \,m}{0.2 \times 10^{-3} \,m}$।
$\theta = \frac{1200 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = 6000 \times 10^{-6} \,rad = 6 \times 10^{-3} \,rad$।
अतः, केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $6 \times 10^{-3} \,rad$ है।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन प्रयोग में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{2 \lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $\beta$,स्लिट की चौड़ाई $a$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\beta \propto 1/a)$।
इसलिए,यदि स्लिट की चौड़ाई $a$ कम की जाती है,तो केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई $\beta$ बढ़ जाएगी।
इसके अतिरिक्त,जैसे-जैसे स्लिट की चौड़ाई कम होती है,स्लिट से गुजरने वाले प्रकाश की मात्रा कम हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता में कमी आती है और यह कम चमकीला हो जाता है।