Doppler's Effect of Light Questions in Gujarati

(N/A) પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસર એટલે પ્રકાશના ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિને કારણે પ્રકાશની અવલોકિત આવૃત્તિ (અથવા તરંગલંબાઇ) માં થતો ફેરફાર.
જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે તરંગ અગ્રોએ વધુ અંતર કાપવું પડે છે,જેના કારણે ક્રમિક તરંગ અગ્રોના આગમન વચ્ચેનો સમયગાળો વધે છે. આના પરિણામે અવલોકિત આવૃત્તિમાં ઘટાડો થાય છે અને તરંગલંબાઇમાં વધારો થાય છે,જેને 'રેડ શિફ્ટ' કહેવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકારની નજીક આવે છે,ત્યારે તરંગ અગ્રો ટૂંકા અંતરાલે પહોંચે છે,જેનાથી અવલોકિત આવૃત્તિમાં વધારો થાય છે અને તરંગલંબાઇમાં ઘટાડો થાય છે,જેને 'બ્લુ શિફ્ટ' કહેવામાં આવે છે.
પ્રકાશ માટે ડોપ્લર શિફ્ટનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\Delta \nu = -\nu \frac{v_{radial}}{c}$
જ્યાં $\Delta \nu$ એ આવૃત્તિમાં ફેરફાર છે,$\nu$ એ મૂળ આવૃત્તિ છે,$v_{radial}$ એ દ્રષ્ટિરેખાની દિશામાં ઉદગમનો સાપેક્ષ વેગ છે,અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
આવૃત્તિમાં આંશિક ફેરફાર:
$\frac{\Delta \nu}{\nu} = -\frac{v_{radial}}{c}$

(N/A) પ્રકાશ માટે,ડોપ્લર શિફ્ટ એ સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિને કારણે આવૃત્તિ અથવા તરંગલંબાઇમાં થતા ફેરફાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો સ્ત્રોત અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતો હોય (જ્યાં $v \ll c$),તો આવૃત્તિમાં ડોપ્લર શિફ્ટ $\Delta \nu$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\Delta \nu = \nu \left( \frac{v}{c} \right) \cos \theta$
જ્યાં:
$\nu$ એ મૂળ આવૃત્તિ છે,
$c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે,
$v$ એ સાપેક્ષ વેગ છે,
$\theta$ એ ગતિની દિશા અને દ્રષ્ટિરેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વૈકલ્પિક રીતે,તરંગલંબાઇમાં શિફ્ટ $\Delta \lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\Delta \lambda = \lambda \left( \frac{v}{c} \right) \cos \theta$

(D) અવલોકનકારથી દૂર જતા સ્ત્રોત માટે તરંગલંબાઈમાં ડોપ્લર શિફ્ટનું સૂત્ર: $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે.
આપેલ છે:
ગેલેક્સીની ઝડપ $v = 286 \, km/s = 286 \times 10^{3} \, m/s$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 630 \, nm = 630 \times 10^{-9} \, m$.
શિફ્ટ $\Delta \lambda$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta \lambda = \frac{v}{c} \times \lambda$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \lambda = \frac{286 \times 10^{3}}{3 \times 10^{8}} \times 630 \times 10^{-9}$.
$\Delta \lambda = \frac{286}{3 \times 10^{5}} \times 630 \times 10^{-9}$.
$\Delta \lambda = \frac{286 \times 630}{3} \times 10^{-14} = 286 \times 210 \times 10^{-14} = 60060 \times 10^{-14} = 6.006 \times 10^{-10} \, m$.
આને $x \times 10^{-10} \, m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x \approx 6$ મળે છે.

(C) પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે,જ્યાં $\Delta \lambda$ એ તરંગલંબાઇમાં ફેરફાર છે,$\lambda$ એ મૂળ તરંગલંબાઇ છે,$v$ એ સાપેક્ષ વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5890 \ \mathring{A}$,અવલોકિત તરંગલંબાઇ $\lambda' = 5896 \ \mathring{A}$.
તરંગલંબાઇમાં ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 5896 - 5890 = 6 \ \mathring{A}$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s} = 3 \times 10^5 \ \text{km/s}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $v = c \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$.
$v = (3 \times 10^5 \ \text{km/s}) \times \frac{6 \ \mathring{A}}{5890 \ \mathring{A}}$.
$v = \frac{18 \times 10^5}{5890} \ \text{km/s} \approx 305.6 \ \text{km/s}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ આશરે $306 \ \text{km/s}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
$\lambda_{\text{emitted}} = 670 \; nm$
$\lambda_{\text{obs}} = 670.7 \; nm$
$c = 3 \times 10^{8} \; m/s$
જ્યારે $v << c$ હોય ત્યારે પ્રકાશ માટે ડોપ્લર શિફ્ટનું સૂત્ર:
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$
જ્યાં $\Delta \lambda = \lambda_{\text{obs}} - \lambda_{\text{emitted}} = 670.7 - 670 = 0.7 \; nm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.7}{670} = \frac{v}{3 \times 10^{8}}$
$v = \frac{0.7 \times 3 \times 10^{8}}{670}$
$v = \frac{2.1 \times 10^{8}}{670} \approx 0.003134 \times 10^{8} \; m/s$
$v \approx 3.13 \times 10^{5} \; m/s$.

(C) ગેલેક્સીમાંથી આવતા પ્રકાશના વર્ણપટમાં રેડ શિફ્ટ એ સૂચવે છે કે પ્રકાશની અવલોકન કરેલી તરંગલંબાઇ ઉત્સર્જિત તરંગલંબાઇ કરતા વધારે છે.
પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે પ્રકાશનો સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો હોય ત્યારે તરંગલંબાઇમાં વધારો (વર્ણપટના લાલ છેડા તરફ શિફ્ટ) થાય છે.
તેથી,રેડ શિફ્ટનો અર્થ એ છે કે ગેલેક્સી પૃથ્વીથી દૂર જઈ રહી છે.

(B) અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહેલા સ્ત્રોત માટે આભાસી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda' = \lambda \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$.
અહીં આપેલ છે કે $\lambda' = \lambda + 0.02\% \text{ of } \lambda = \lambda(1 + 0.0002) = 1.0002\lambda$.
તેથી,$\sqrt{\frac{c+v}{c-v}} = 1.0002$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{c+v}{c-v} = (1.0002)^2 \approx 1.0004$.
$v \ll c$ માટે અંદાજિત સૂત્ર વાપરતા,$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \approx \frac{v}{c}$.
અહીં,$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{0.02}{100} = 0.0002$.
તેથી,$v = 0.0002 \times c$.
$c = 3 \times 10^5 \, km/s$ લેતા,$v = 0.0002 \times 3 \times 10^5 = 60 \, km/s$ મળે છે.

(B) પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે,જ્યાં $\Delta \lambda$ એ તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે,$\lambda$ એ વાસ્તવિક તરંગલંબાઈ છે,$v$ એ તારાનો વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
આપેલ છે કે આભાસી તરંગલંબાઈ વાસ્તવિક તરંગલંબાઈ કરતા $0.02 \%$ વધારે છે,તેથી $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 0.02 \% = \frac{0.02}{100} = 2 \times 10^{-4}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{-4} = \frac{v}{3 \times 10^8 \ m/s}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = (2 \times 10^{-4}) \times (3 \times 10^8 \ m/s) = 6 \times 10^4 \ m/s$.
$km/s$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = \frac{6 \times 10^4}{10^3} \ km/s = 60 \ km/s$.

(C) પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે પ્રકાશનો સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f'$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f$ કરતા વધે છે.
આ સૂત્ર $f' = f \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ અવલોકનકાર તરફ સ્ત્રોતનો વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
આવૃત્તિ વધતી હોવાથી,તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટે છે $(\lambda = c/f)$.
તરંગલંબાઇમાં ઘટાડો એ દ્રશ્ય વર્ણપટના વાદળી છેડા તરફના સ્થાનાંતરને અનુરૂપ છે,જેને 'બ્લુ શિફ્ટ' તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,પીળો પ્રકાશ વાદળી રંગ તરફ બદલાતો જણાશે.

(A) આપેલ છે કે,મૂળ તરંગલંબાઈ $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$.
અવલોકિત તરંગલંબાઈ $\lambda' = 601 \ nm = 601 \times 10^{-9} \ m$.
તરંગલંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = (601 - 600) \times 10^{-9} \ m = 1 \times 10^{-9} \ m$.
પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસર મુજબ,સંબંધ $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે,જ્યાં $v$ એ ગેલેક્સીની ઝડપ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ છે.
તેથી,$v = c \cdot \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = (3 \times 10^8 \ m/s) \cdot \frac{1 \times 10^{-9} \ m}{600 \times 10^{-9} \ m}$.
$v = 3 \times 10^8 \cdot \frac{1}{600} = \frac{3 \times 10^8}{600} = 0.5 \times 10^6 \ m/s$.
$v = 500,000 \ m/s = 500 \ km/s$.

(A) તરંગલંબાઈમાં ડોપ્લર સ્થાનાંતરનું સૂત્ર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે, જ્યાં $v$ એ સ્ત્રોતનો વેગ છે, $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે, $\Delta \lambda$ એ તરંગલંબાઈમાં ફેરફાર છે અને $\lambda$ એ મૂળ તરંગલંબાઈ છે।
આપેલ છે: $\Delta \lambda = 0.1 \text{ Å}$, $\lambda = 6000 \text{ Å}$, અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $v = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \times c$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{0.1}{6000} \times 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$v = \frac{1}{60000} \times 3 \times 10^8 \text{ m/s} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^4} \text{ m/s} = 0.5 \times 10^4 \text{ m/s} = 5000 \text{ m/s}$.
$\text{km/s}$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = 5 \text{ km/s}$.

(B) પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસર મુજબ તરંગલંબાઇમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ સ્ત્રોતનો સાપેક્ષ વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8 \, \text{m} \, \text{s}^{-1})$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 6600 \, \text{Å}$, $\Delta \lambda = 22 \, \text{Å}$.
પ્રકાશ રેડ-શિફ્ટ થયેલ હોવાથી, તરંગલંબાઇ વધે છે, જે સૂચવે છે કે તારો પૃથ્વીથી દૂર જઈ રહ્યો છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $v = c \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = (3 \times 10^8 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}) \times \frac{22 \, \text{Å}}{6600 \, \text{Å}}$.
$v = (3 \times 10^8) \times \frac{1}{300} = 10^6 \, \text{m} \, \text{s}^{-1} = 10 \times 10^5 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}$.
આમ, તારો $10 \times 10^5 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}$ ની ઝડપે પૃથ્વીથી દૂર જઈ રહ્યો છે.